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专题19.33 一次函数几何分类专题（最值问题）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
（19-20八年级上·浙江湖州·期末）
1．点P是直线y＝﹣x+上一动点，O为原点，则OP的最小值为（　　）
A．2 B． C．1 D．
（21-22八年级下·福建福州·期末）
2．在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线上的动点，，是x轴上的两点，则的最小值为（　　）

A． B． C． D．6
（22-23八年级下·湖北武汉·期末）
3．如图，已知点，点M，N分别是直线和直线上的动点，连接，．的最小值为（ ）

A．2 B． C． D．
（22-23九年级下·广东广州·阶段练习）
4．如图，已知点，点B是直线上的动点，点C是y轴上的动点，则的周长的最小值等于（　　）
A． B． C． D．
（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）
5．如图，在平面直角坐标系中，，点是轴上一动点，且三点不共线，当的周长最小时，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
（22-23八年级下·江西南昌·期末）
6．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为（ ）

A． B． C． D．
（20-21八年级下·河南信阳·期末）
7．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B的坐标为，顶点A在y轴上，直线与交于点D，点E为的中点，点P为直线上一动点，当的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
（23-24八年级上·福建三明·期中）
8．如图，在平面直角坐标系中，已知，直线：与轴相交所成的锐角为．若是轴上的动点，，是上的动点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
（23-24八年级上·陕西西安·期中）
9．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点P为直线上的动点，以为边作等边，则的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
（20-21九年级上·湖南长沙·期末）
10．如图，在平面直角坐标系中，已知A（5，0）点P为线段OA上任意一点．在直线y＝x上取点E，使PO＝PE，延长PE到点F，使PA＝PF，分别取OE、AF中点M、N，连结MN，则MN的最小值是（　　）
A．2.5 B．2.4 C．2.8 D．3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）
11．如图，直线分别与轴、轴相交于点，．点在平面内．，点，则长度的最大值是 ．
（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）
12．如图，直线与直线交于点，且与轴交于点，直线与轴交于点．（1） ；
（2）若点与点是内部（包括边上）的点，则的最大值为 ．
（22-23八年级下·北京密云·期中）
13．如图，平面直角坐标系中，正方形的顶点A与原点重合，点B在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，正方形边长为2，点E是的中点，点P是上一个动点，当取得最小值时，此时最小值是 ；P点的坐标是 ．
（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）
14．如图，一次函数的图象与x轴交于点B，与正比例函数的图象交于点A，若点P是线段上的一个动点，则线段长的最小值为 ．

（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）
15．如图1，对于平面内的点A、P，如果将线段绕点P逆时针旋转得到线段，就称点B是点A关于点P的“放垂点”．如图2，已知点，点P是y轴上一点，点B是点A关于点P的“放垂点”，连接、，则的最小值是 ．

（22-23八年级下·四川自贡·期末）
16．如图，矩形两边与坐标轴正半轴重合，是边上的一个动点，是经过，两点的直线上的一个动点，则的最小值是 ．

（2023·江苏南通·一模）
17．已知点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在D处旋转，保持两直角边始终交x轴于A、B两点，为y轴上一点，连接，，则四边形面积的最小值为 ．
（22-23八年级上·浙江宁波·期末）
18．如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于A，B两点，于点C，P是线段上的一个动点，连接，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，则线段的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
（22-23八年级下·陕西西安·期末）
19．如图，直线与轴，轴分别交于点，，点的坐标为，点的坐标为，点是线段上的一个动点．

(1)求的值；
(2)求点在运动过程中的面积与的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)求面积的最大值．
（22-23八年级上·广东广州·期末）
20．如图，在平面直角坐标系内，，，点在轴上，轴，垂足为，轴，垂足为，线段交轴于点．若，．
(1)求点的坐标；
(2)如果经过点的直线与线段相交，求的取值范围；
(3)若点是轴上的一个动点，当取得最大值时，求的长．
（21-22八年级下·辽宁·期末）
21．直线与x轴交于点A，与y轴交于点．直线，与直线交于点C，与x轴交于点D．
(1)求点A和点D的坐标；
(2)若，过点作x轴的垂线，分别交直线，于M，N两点，则线段MN的长度是否存在最大值或者最小值，若存在，请求出这个值；若不存在，请说明理由；
(3)若，求m的值．
（20-21八年级下·山东聊城·期末）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点，B为直线上一点．

(1)求a，b的值；
(2)当线段最短时，求点B的坐标；
(3)在x轴上找一点C，使的值最大，请直接写出点C的坐标，并直接写出最大值．
（22-23七年级下·四川成都·期中）
23．如图：直线是一次函数的图象，且与x轴交于A点，直线是一次函数的图象，且与x轴交于B点．

(1)请用a、b表示出A、B、P各点的坐标；
(2)若点Q是与y轴的交点且，．求点P的坐标及直线的解析式；
(3)在（2）的条件下，连接，F是线段上一个动点，连接，在F的运动过程中是否存在最小值和最大值，若存在，求出长度变化范围，若不存在，请说明理由．
（23-24九年级上·福建厦门·期中）
24．如图，等边三角形的顶点P和Q分别在矩形的两边上，（其中点P不与点B、C重合，点Q不与点C重合），点E在边上，且．

(1)若，，，则：
①x可以取到的最大值是 ；
②写出y与x的函数关系式，并说明理由；
(2)若四边形的面积为，，求的长度；
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】首先判定当OP⊥AB的时候，OP最小，然后根据函数解析式求得OA、OB，再根据勾股定理求得AB，进而即可得出OP.
【详解】设直线y=﹣x+与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点O作直线AB的垂线，垂足为点P，此时线段OP最小，如图所示：
当x=0时，y=，
∴点A（0，），
∴OA=；
当y=0时，求得x=，
∴点B（，0），
∴OB=，
∴AB==2．
∴OP==1．
故选：C.
【点睛】此题主要考查一次函数以及勾股定理的运用，熟练掌握，即可解题.
2．B
【分析】首先作出点A关于的对称点，从而得到，故此，由两点之间线段最短可知即为所求．
【详解】解：取在y轴上点使，连接，
∴点的坐标为，
∴点与点A关于对称，
∴，
∴，
由两点之间线段最短可知：当点、P、B在一条直线上时，有最小值，
在中，，
故选：B．

【点睛】本题主要考查的是最短线路问题，勾股定理，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．
3．B
【分析】在坐标系中构造边长为6的正方形，得点P关于的对称点，连接，则：，当且仅当三点共线时，，即的最小值为的长，根据点到直线，垂线段最短，过点作垂直直线于点N，即于点N，交直线于点M，此时最小，利用等积法求出的长即可．
【详解】解：如图，在正方形中，，

∵直线经过点，，
∴直线是正方形的对称轴，
∵点在上，
∴可得点P关于的对称点，
当时，，
即直线经过点，
过点作垂直直线于点N，即于点N，交直线于点M，
∵和关于关于对称，
∴，
∴，即的最小值为的长，
此时，
∵，，
∴，
解得，
即的最小值为．
故选：B
【点睛】此题考查了正方形的性质、勾股定理、轴对称的性质、一次函数的图象和性质等知识，熟练掌握相关性质和数形结合是解题的关键．
4．A
【分析】作点A关于直线的对称点，作点A关于y轴的对称点，连接，交直线于点B，交y轴于点C，此时周长最小．
【详解】解：作点A关于直线的对称点，作点A关于y轴的对称点，连接，交直线于点B，交y轴于点C， 此时周长最小．
根据轴对称的性质可得：，，
∴，
令直线于x轴相交于点M，与y轴相交于点N，连接
把代入得：，
把代入得：，解得：，
∴，，
∴，
∴，，
∵点A和点关于直线MN对称，点A和点关于y轴对称，
∴，，，
∴，，
在中，根据勾股定理可得：，
∴周长最小值为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，轴对称的性质，解题的关键是根据题意，正确画出辅助线，根据轴对称的性质和勾股定理，求出最短路径．
5．C
【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及了待定系数法求一次函数解析式的方法及利用轴对称求线段和的最小值．
作H点关于y轴对称点点，连接，交y轴于点，利用待定系数法求出的解析式后，令，则，即可得到与y轴的交点M的坐标，此时的周长为最小．
【详解】解：作H点关于y轴对称点点，连接，交y轴于点，如图：

此时的周长最小，
∵，
∴点坐标为：，
设的解析式为，则可得：
，
解得：，
∴的解析式为，
令，则，
∴点坐标为，此时的周长最小．
故选C．
6．A
【分析】先确定A、B、C、D的坐标，构造点D关于x轴的对称点，连接交x轴与点P，此时的值最小，确定直线的解析式，再确定直线与x轴的交点坐标即可．
【详解】因为直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，C，D分别为线段，的中点，

所以，，，，
作点D关于x轴的对称点，
则
连接交x轴与点P，此时的值最小，
设直线的解析式为，
所以，
解得，
所以直线解析式为，
当时，
，
解得，
所以，
故选A．
【点睛】本题考查了一次函数的解析式，中点坐标公式，线段和最小问题，熟练掌握待定系数法，利用轴对称的性质求线段和最小是解题的关键．
7．A
【分析】连接，与直线的交点即为P点，此时，的周长最小，最小值为，根据待定系数法求得直线的解析式，即可求得P的坐标．
【详解】解：连接，与直线的交点即为P点，此时，，则的周长最小，最小值为，
∵正方形的顶点B的坐标为，顶点A在y轴上，
∴，
∴O、C关于直线对称，则，
∴，
∴的周长的最小值为，
∵，点E为的中点，
∴，
设直线的解析式为，
∵，
∴，解得
∴直线的解析式为，
把代入得，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，正方形的性质，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，求得P的位置是解题的关键．
8．A
【分析】如图所示，直线、轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作于点，交轴于点，交直线于，作直线，垂足为，此时最小（垂线段最短），在中利用勾股定理即可解决．
【详解】解：如图所示，直线、轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称，点是点关于直线的对称点，作于点，交轴于点，交直线于，作直线，垂足为，
∵，，
∴，
∵与轴相交所成的锐角为，
∴，
∴，
∴，
∴，设，
∵，直线、轴关于直线对称，
在中，，，，
∴，即，
解得：或（负值不符合题意，舍去），
∴，
∴的最小值为．
故选：A．

【点睛】本题考查轴对称—最短问题、垂线段最短、等腰三角形的判定、勾股定理等知识．解题的关键是利用轴对称性质正确找到点的位置．
9．B
【分析】如图所示，过点A作轴于C，连接，先证明是等边三角形，进而证明，得到，过点P作轴于H，取中点T，连接，设，则，，证明是等边三角形，得到，进而推出，则点Q在直线上运动，过点O作交直线于E，则，由垂线段最短可知的最小值为2．
【详解】解：如图所示，过点A作轴于C，连接，
∵点A的坐标为，
∴，
∴，
取，连接，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点P作轴于H，取中点T，连接，
设，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点Q在直线上运动，
过点O作交直线于E，
∴，
∴，
∴的最小值为2，
故选B．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，勾股定理，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形，从而确定点Q的运动轨迹是解题的关键．
10．B
【分析】如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．证明四边形PMJN是矩形，推出MN=PJ，求出PJ的最小值即可解决问题．
【详解】解：如图，连接PM，PN，设AF交EM于J，连接PJ．
∵PO=PE，OM=ME，
∴PM⊥OE，∠OPM=∠EPM，
∵PF=PA，NF=NA，
∴PN⊥AF，∠APN=∠FPN，
∴∠MPN=∠EPM+∠FPN=（∠OPF+∠FPA）=90°，∠PMJ=∠PNJ=90°，
∴四边形PMJN是矩形，
∴MN=PJ，
∴当JP⊥OA时，PJ的值最小此时MN的值最小，
∵AF⊥OM，A（5，0），直线OM的解析式为y=x
∴设直线AF的解析式为y=x+b
∵直线AF过A（5，0），
∴=0，
∴b=，
∴y=，
由，解得
∴
∴PJ的最小值为=2.4
即MN的最小值为2.4
故选：B．
【点睛】本题考查一次函数的应用，矩形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．
11．5
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，一次函数的图象和性质，勾股定理；
取的中点E，连接，根据直角三角形斜边中线的性质可得，则点P在以点E为圆心，为半径的圆上，然后求出点M、N的坐标，利用勾股定理求出，根据点C与点N重合可知，当P与M重合时，取最大值，最大值为．
【详解】解：如图，取的中点E，连接，
∵点在平面内，，
∴在中，，
∴点P在以点E为圆心，为半径的圆上，
在直线中，当时，；
当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴点C与点N重合，
∴当P与M重合时，取最大值，最大值为，
故答案为：5．
12． 6 5
【分析】本题考查了两条直线相交的问题，熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
（1）令，则可计算出点的坐标，继而得到长；
（2）令，则有：，，，，即当点与点分别在两个一次函数上时，最大，解出、求出即可．
【详解】解：（1）令，则，解得，
，
；
故答案为：6；
（2）在函数和中，
令，则有：
，，
解得：，，
当点与点分别在两个一次函数上时，最大，
．
点与点是内部（包括边上）的点，则的最大值为5．
故答案为：5
13．
【分析】如图，连接交于，连接．因为，推出，此时的值最小，求出直线， 的解析式，构建方程组确定交点坐标即可．
【详解】解：如图，连接交于，连接．
∵，
∴，此时的值最小，
四边形为正方形，点E是的中点，
，，，，
，
设直线解析式为，
，
，
直线的解析式为，
设直线的解析式为，
则有，
解得，
∴直线的解析式为，
由，
解得，
，
故答案为，．
【点睛】本题考查轴对称，坐标与图形的性质，最短问题，正方形的性质，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
14．
【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了两条直线相交问题，三角形的 面积公式，两点间距离公式，求出交点坐标是解本题的关键．判断出时，最小，利用三角形的面积建立方程求解即可得出结论．
【详解】解：由，
∴，
由一次函数，
令，解得，
∴，
∴，，
∵当时，最小，
此时，
∴，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】设，过点作轴，证明，求得的坐标，可得点在直线上，作关于的对称点，连接交直线轴于点，求得的坐标，继而根据进行求解即可．
【详解】解：如图，设，过点作轴，则，

，
，
，
，
，
，
∴，
，
∴点在直线上，
如图，作关于的对称点，连接交直线轴于点，

∵与x轴的夹角是，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点Q在y轴上，，
∴，
，
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，一次函数的应用，轴对称的性质等知识，熟练掌握利用轴对称求最短路径的方法是解题的关键．
16．8
【分析】先求解一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用P的位置进行讨论，结合勾股定理可得答案．
【详解】解：∵，
当时，，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∵是边上的一个动点，
如图，当在第二象限时，，则，

当在第四象限时，如图，，，

此时，
∴取得最小值时，在线段上，即；
此时当时，最小，P，Q重合时，P，Q之间距离为0，
设，
此时，如图，

∴；
故答案为：8
【点睛】本题考查的是一次函数与坐标轴的交点坐标，垂线段最短的含义，勾股定理的应用，矩形的定义，坐标与图形，二次根式的除法运算，清晰的分类讨论是解本题的关键．
17．6
【分析】取的中点E，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，当时，最小，推出四边形面积的最小，根据点在直线上，得到，推出，，根据，得到，根据即可得到答案．
【详解】取的中点E，连接，
∵，
∴，
当时，最小，就最小，与都最小，就最小，
∵点为直线上一点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
．
故答案为：6．
【点睛】本题主要考查了一次函数，直角三角形，垂线段，三角形面积等，解决问题的关键是熟练掌握一次函数图象上的点坐标适合解析式，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，垂线段最短等性质，三角形面积计算公式．
18．##
【分析】由点P的运动确定的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段，当线段与垂直时，线段的值最小．
【详解】解：由已知可得，
∴三角形是等腰直角三角形，
∵，
∴，
又∵P是线段上动点，将线段绕点A逆时针旋转，
∵P在线段上运动，所以的运动轨迹也是线段，
当P在O点时和P在C点时分别确定的起点与终点，
∴的运动轨迹是在与x轴垂直的一段线段，
∴当线段与垂直时，线段的值最小，
在中，，
∴，
又∵是等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，一次函数图象上点的坐标特点，动点运动轨迹的判断，垂线段最短，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．
19．(1)
(2)
(3)最大值为
【分析】（1）将点坐标代入解析式可求的值；
（2）由点在直线上可得点坐标，由三角形面积公式可求与的函数关系式；
（3）根据（2）中解析式，点的横坐标取值范围即可求面积的最大值．
【详解】（1）解：直线过点，
，
；
（2）解：∵点的坐标为，
∴，
点在直线上，
点，
，
，
点在线段上的一个动点，
；
（3）解：点是线段上的一个动点，，且，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，有最大值，最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数图象点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，利用点在直线上得出点的坐标，利用三角形的面积公式是求函数关系式的关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1），，轴，垂足为，轴，垂足为，可求出，的长，，，可证，由此即可求解；
（2）先计算出直线的解析式，从而求出点的坐标，已知点的坐标，从而可以将直线变形为，根据直线与线段相交，由此即可求解；
（3）根据“三角形两边之差小于第三边”可知，，的最大值为，，过点作轴于，根据勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：∵轴，轴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴点的坐标为：．
（2）解：设经过点，的直线的解析式为，且，，
∴，解方程组得，，
∴经过点，的直线的解析式为，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴，则直线的解析式表示为，
若直线经过点，则，解方程得，；
若直线经过点，则，
∴的取值范围是．
（3）解：根据“三角形两边之差小于第三边”可知，，
∴的最大值为，则点为直线与轴的交点，由（1）可知，，如图所示，
过点作轴于，根据勾股定理得，，
设，则，解方程得，，
∴，
∴当取得最大值时，的长为．
【点睛】本题主要考查一次函数，直角三角形的勾股定理，全等三角形的判定，掌握一次函数的运用是解题的关键．
21．(1)A(2，0)；
(2)当时，MN的值最小为1
(3)或．
【分析】（1）把点得坐标代入函数解析式列方程求解；
（2）利用两点之间的距离公式列出关系式，再依据不等式得性质求最值；
（3）利用三角形全等的性质求出点C的坐标，再代入函数解析式求出m．
【详解】（1）∵直线与y轴交于点，
∴，
∴，
令，，
∴，
∵直线与x轴交于点D，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）当时，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴MN随m的增大而增大．
∵，
∴当时，MN有最小值，
当时，MN的值最小为1；
（3）①当点C在x轴上方时，如图．
过D作交于点E，过C作轴于F，过E作轴于G．
∵，，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴≌，
∴，，
∵点E在直线上，
∴设．
∴，，
∴，
∴，
∵点C在直线上，
∴，解得，
∴，将点代入中，，，
②当点C在x轴下方时，记为，如图．
∵，，
∴，
过C作轴于点P，延长CP交于点Q，连接CD，
∵，，，
∴≌，
∴，
∴，
∵点在直线上，
∴，
∴．
综上所述，或．
【点睛】本题考查了一次函数的基础知识，综合考核一次函数，全等三角形，两点间的距离等，是一道综合性较强的题．
22．(1)
(2)
(3)，最大值
【分析】
（1）首先把点代入直线得出的值， 再进一步代入直线求得的值即可；
（2）当直线时, 线段最短，进而得出的坐标即可；
（3）由三角形的三边关系得，,当三点共线时, ，, 即最大, 即为,进而解答即可.
【详解】（1）把点代入直线，
解得：，
把代入，
解得：，
∴，；
（2）当垂直于直线时，线段最短，把直线与y轴的交点标记为E，

当时，，
∴，且，
∴是等腰直角三角形，
∴，
过点B作于点M，
∴，
∴，
∴B；
（3）
在轴上取点，由三角形的三边关系得，,
当三点共线时, ，, 即最大, 即为,
所以点在上,
把代入中,
得,
得,
∴,
∵,
过点作于点，
，
【点睛】
本题考查了一次函数的综合题，关键是根据一次函数图象上点的坐标特征与垂线段最短的性质解答，结合图形，选择适当的方法解决问题.
23．(1)，
(2)，直线的解析式为
(3)
【分析】（1）分别令，求得两个函数对应的x的值，即可求出点A、B的坐标，联立两个函数的解析式，即可求出点P的坐标；
（2）连接OP，则点Q的坐标为，则四边形的面积＝的面积+的面积，根据已知的两个条件可得关于a、b的方程，解方程求出a、b，可得点P、B的坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）当时，的值最小，当点F与B重合时，的值最大，然后分别利用等面积法和两点间的距离公式求解即可得出答案．
【详解】（1）对于，
令，可得，
∴，
对于，
令，可得，
∴，
由，解得，，
∴；
（2）连接OP，则点Q的坐标为，

∵四边形的面积＝的面积+的面积，
∴，
整理得，①，
∵，
∴，即②，
把②代入①并整理得，
∴（负值舍去），，
∴，B，
设直线的解析式为，
则有，解得，
∴直线的解析式为；
（3）如图，

由题意，Q，B，，
∴的面积，
∴，，
∵点F在线段上，
∴时，的值最小，最小值，
当点F与B重合时，的值最大，此时，
∴．
【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、直线与坐标轴的交点、勾股定理、方程组的求解等知识，熟练掌握一次函数的相关知识、灵活应用数形结合思想是解题的关键．
24．(1)①；②，理由见解析
(2)4
【分析】（1）由矩形，可得，，由勾股定理得，，即，即当最大时，最大，可知当与重合时，最大，即最大，，，，计算求解即可；②计算求解，则，由勾股定理得，，即，整理得，；
（2）如图，延长到，作，证明，则，，设，则，，，，，则，，，即，求出满足要求的解，然后计算作答即可．
【详解】（1）①解：∵矩形，
∴，，
由勾股定理得，，即，
∴当最大时，最大，
∵等边三角形，
∴，，
∴当与重合时，最大，即最大，
∴，
∴，
∴，
∴，解得，，
故答案为：；
②解：，理由如下：
∵，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，，即，整理得，，
故答案为：．
（2）解：如图，延长到，作，

∵，，，
∴，
∴，，
设，则，，，，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
解得，或（舍去），
∴，
∴的长度为．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质，一次函数的应用，含的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定与性质．解题的关键在于明确线段之间的数量关系．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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