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专题19.31 一次函数几何分类专题（折叠问题）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
（23-24八年级上·广东梅州·期末）
1．已知直线与轴、轴分别交于点和点，是线段上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．
（23-24八年级上·山西太原·阶段练习）
2．如图，在平面直角坐标系中，四边形是长方形，，将沿直线折叠，此时点A落在点D处，与交于点E，且，则所在直线的函数表达式为（ ）
A． B． C． D．
（17-18八年级下·重庆·阶段练习）
3．在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣x+6与x，y轴分别交于A，B两点，点C（0，n）是线段BO上一点，将△AOB沿直线AC折叠，点B刚好落在x轴负半轴上，则点C的坐标是（　　）

A．（0，3） B．（0，） C．（0，） D．（0，）
（23-24八年级上·福建厦门·期末）
4．在平面直角坐标系中，点O为原点，，（），点在线段上．将沿着直线折叠，点A的对称点是点C．若，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
（22-23八年级下·辽宁铁岭·期末）
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴，y轴交于A，B两点，以为底边在y轴的右侧作等腰，将沿y轴折叠，使点C恰好落在直线上，则C点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
（2023·河南商丘·三模）
6．如图，在平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴正半轴上，以，为边构造矩形，点的坐标为，，分别为，的中点，将沿折叠，点的对应点恰好落在上，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
（18-19八年级下·河北保定·阶段练习）
7．如图，直线分别交轴、轴于、两点，在轴的负半轴上有一点，若将沿直线折叠得到，点在轴上，则点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
（19-20八年级上·重庆·期中）
8．如图，已知点的坐标为，过点作轴的垂线交轴于点，连接，现将沿折叠，点落在第一象限的处，则直线与轴的交点的坐标为（ ）

A． B． C． D．
（18-19八年级下·河南安阳·期末）
9．如图，直线y＝2x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，以OB为底边在y轴右侧作等腰△OBC，将△OBC沿y轴折叠，使点C恰好落在直线AB上，则点C的坐标为（　　）
A．（1，2） B．（4，2） C．（3，2） D．（﹣1，2）
（21-22九年级下·江西吉安·期中）
10．如图，折叠ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G处，点D落在点H处，得到四边形AEHG．若ABCD的面积是8，则下列结论中正确的是（ ）
A．四边形AEHG不是平行四边形
B．AB≠AE
C．设四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，则y与x的函数关系式是
D．若BC=4，则点E到BG的距离为1
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
（23-24八年级上·河南郑州·期末）
11．如图，直线与轴和轴分别交于两点，第四象限中有一点，连接，，轴．将沿折叠，使点落在点处．若在轴上存在一点，满足，则点坐标为 ．
（23-24八年级上·浙江宁波·期末）
12．已知，，与交于点A，垂直于轴的直线交轴于点．若点为直线上一点，将沿折叠，使得点落在直线上，则点的纵坐标为 ．
（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）
13．如图，直线与轴、轴分别交于点和点，点在线段上，将沿所在直线折叠后，点恰好落在轴上点处，则点的坐标为 ．
（22-23八年级下·福建泉州·期中）
14．已知，，将沿着某直线折叠后如图所示，与轴交于点，与交于点，则点坐标是 ．

（22-23八年级下·福建厦门·期末）
15．如图，在菱形中，点C在x轴上，，，M为边的中点，N为边上一动点（不与点O重合），将沿直线折叠，使点O落在点E处，连接，，当为等腰三角形时，直线的解析式是 ．

（2023·辽宁沈阳·一模）
16．如图，四边形是矩形，在轴上，在轴上，函数的图象与交于点，点是射线上一点，沿折叠点恰好落在函数的图象上，且，则点的坐标为 ．
（21-22八年级下·江苏南通·阶段练习）
17．如图，长方形中，点B与原点O重合，点A在y轴的正半轴上，点C在x轴的正半轴上，E为中点，F为上一点，将沿折叠后，点A恰好落到上的点G处，所在的直线方程为，则折痕EF的长为 ．
（22-23八年级上·辽宁沈阳·期中）
18．在平面直角坐标系中，已知点，，连接，将线段沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕所在的直线交轴于点，则直线的表达式为 .
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
（23-24八年级上·内蒙古包头·期末）
19．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使分别落在x、y轴的正半轴上，其中，对角线所在直线解析式为将矩形沿着折叠，使点A落在边上的点D处．

(1)求点A的坐标；
(2)求的长度；
(3)点P是y轴上一动点，是否存在点P使得的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
（23-24八年级上·四川成都·期末）
20．如图，直线经过点，与直线交于点，与轴交于点，点为直线上一动点，过点作轴的垂线交直线于点．
(1)求点A的坐标；
(2)当时，求的面积；
(3)连接，当沿着折叠，使得点的对应点落在直线上，求此时点的坐标．
（23-24八年级上·江苏·周测）
21．如图所示，把长方形纸片放入直角坐标系中，使、分别落在x、y轴的正半轴上，连接，且，
(1)求所在直线的解析式；
(2)将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积．
(3)求所在的直线的函数解析式．
（23-24八年级上·河南郑州·期末）
22．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于点，，点C为x轴正半轴上一点，连接，将沿所在直线折叠，点B恰好与y轴上的点D重合．
(1)求直线对应的函数表达式；
(2)P为直线上一点，，求点P的坐标；
(3)若点Q在x轴上，且为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．
（23-24八年级上·广东茂名·期末）
23．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴上运动，连接，将沿直线折叠，点的对应点记为．
(1)求直线的函数表达式；
(2)若点恰好落在直线上，求的面积；
(3)如图2，若恰好与轴平行，且边与线段有交点，设交点为，在轴上是否存在点，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（23-24八年级上·江苏泰州·期末）
24．在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、点B，点P的坐标为．
(1)如图1，连接，将沿直线折叠，点O的对应点点C恰好落在上，则 ；
(2)如图2，取线段的中点E，连接，过点E作，交x轴于点Q．将沿所在直线折叠，点B的对应点记作点D，连接．
①猜想的度数，并证明；
②求证：；
(3)连接，请直接写出直线的解析式（用含有a的代数式表示）．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式，勾股定理，轴对称折叠的性质．由解析式，可得，，根据勾股定理，，中，构建方程求解得，于是，运用待定系数法求解即可．
【详解】解：对于，当时，；
当时，，；
∴，，
∴，，
∴．
由折叠知，．
∴．
中，，
∴，
解得，．
∴，
设直线的解析式为，得
，解得，
∴．
故选：C．
2．C
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、勾股定理，设点E的坐标为，则，，利用勾股定理即可求出m值，再根据点E的坐标，利用待定系数法即可求出OD所在直线的解析式．利用勾股定理求出点E的坐标是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是长方形，，
∴，
设点E的坐标为，则，，
在中，，，
∴，
∴，
∴点E的坐标为，
设所在直线的解析式为，
将点代入中，
得，解得：，
∴所在直线的解析式为．
故选C．
3．D
【分析】过C作CD⊥AB于D，先求出A，B的坐标，分别为A（8，0），B（0，6），得到AB的长，再根据折叠的性质得到AC平分∠OAB，得到CD=CO=n，DA=OA=8，则DB=10-8=2，BC=6-n，在Rt△BCD中，利用勾股定理得到n的方程，解方程求出n即可．
【详解】过C作CD⊥AB于D，如图，

对于直线y=-x+6，
当x=0，得y=6；当y=0，x=8，
∴A（8，0），B（0，6），即OA=8，OB=6，
∴AB=10，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，则BC=6-n，
∴DA=OA=8，
∴DB=10-8=2，
在Rt△BCD中，DC2+BD2=BC2，
∴n2+22=（6-n）2，解得n=，
∴点C的坐标为（0，）．
故选D．
【点睛】本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．
4．D
【分析】本题考查轴对称性质、一次函数的图象与性质、坐标与图形、两点坐标距离公式，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键．根据轴对称性质，判断出点C在y轴上，再根据坐标与图形，结合勾股定理列关于m、n、t的方程，再利用待定系数法求得直线的解析式，从而得到t与m、n的关系，然后逐项代值求解即可．
【详解】解：∵点在直线上，
∴，
∵沿着直线折叠，点的对称点是点C，
∴点C在y轴上，且，故选项A正确，不符合题意；
设直线的表达式为，
将、代入，得，则，
∴直线的表达式为，
∵点在线段上，
∴，则，
∵，
∴②，
由①②解得，
∴，故选项B正确，不符合题意；
∵，，，
所以正确，故选项C正确，符合题意；
∵，，
∴，故选项D不正确，符合题意，
故选：D
5．A
【分析】先求点的坐标，根据“以为底边在y轴的右侧作等腰”可求C点的纵坐标，进而可求C点的对应点坐标为，即可求解．
【详解】解：由题意得：点的坐标为：
∵以为底边在y轴的右侧作等腰
∴C点的纵坐标为
将沿y轴折叠后，C点的对应点纵坐标也为
∵点C恰好落在直线上
∴，
即C点的对应点坐标为
则C点的坐标为
故选：A
【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点、等腰三角形的性质等．掌握相关结论即可．
6．A
【分析】先求得直线的解析式，过点作于点，过点作于点，设点，在中，再利用勾股定理得到关于的方程，解方程即可．
【详解】解：点的坐标为，四边形是矩形，，分别为，的中点，
，，，
由折叠的性质可得：，
设直线的解析式为，
则，
解得：，
直线的解析式为，
过点作于点，过点作于点，

设点，
则，，
在中，，
，
解得：或（不合题意，舍去），
当时，，
点的坐标为，
故选：A．
【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．
7．A
【分析】根据题意易得点，则根据勾股定理可得AB=10，设点，则有，AC=AB=10，OC=16，然后利用勾股定理可求解．
【详解】解：令x=0时，则有y=8，令y=0时，则有，解得x=6，
∴点，
∴OA=6，OB=8，
在Rt△AOB中，，
∵将沿直线折叠得到，
∴AB=AC=10，BD=DC，
∴OC=16，
设点，则有，，
在Rt△DOC中，，即，
解得：，
∴点；
故选A．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何的综合，熟练掌握一次函数的性质及勾股定理、折叠的性质是解题的关键．
8．D
【分析】根据对称性得到∠BAO=∠CAO，由AB∥y轴得∠COA=∠BAO，可推出CA=CO，再根据勾股定理即可求得OC，进而求出直线AD解析式即可得结论．
【详解】根据翻折可知：
∠BAO=∠CAO，∠ABO=∠AB'O=90°，AB'=AB=9，OB'=OB=3．
∵AB⊥x轴，
∴AB∥y轴，
∴∠BAO=∠COA，
∴∠CAO=∠COA，
∴CA=CO，
设CA=x，则CO=x，CB'=9﹣x，
在Rt△OCB'中，根据勾股定理，得
OC2=OB'2+B'C2，即x2=32+(9﹣x)2，
解得：x=5，
∴OC=5，
∴C(0，5)，
设直线AD解析式为y=kx+b，
将A(﹣3，9)，C(0，5)代入，得
b=5，﹣3k+5=9，
解得：k，
∴直线AD解析式为yx+5，
当y=0时，x，
∴D点的坐标为(，0)．
故选：D．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、翻折变换、勾股定理，解决本题的关键是根据勾股定理求得OC的长．
9．A
【分析】由直线y=2x+4与y轴交于点B，可得OB=4，再根据△OBC是以OB为底的等腰三角形，可得点C的纵坐标为2，依据△OBC沿y轴折叠，使点C恰好落在直线AB上，即可得到点C的横坐标为1．
【详解】∵直线y=2x+4与y轴交于点B，
∴B（0，4），
∴OB=4，
又∵△OBC是以OB为底的等腰三角形，
∴点C的纵坐标为2，
∵△OBC沿y轴折叠，使点C恰好落在直线AB上，
∴当y=2时，2=2x+4，
解得x=-1，
∴点C的横坐标为1，
∴点C的坐标为（1，2），
故选A．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、翻折变换的性质、一次函数的性质；熟练掌握翻折变换和等腰三角形的性质是解决问题的关键．
10．C
【分析】根据轴对称、平行四边形、等腰三角形的性质，得，，从而证明四边形AEHG是平行四边形；根据轴对称和平行四边形的性质，得；设点E到BG的距离为，结合根据轴对称的性质分析，即可得到答案．
【详解】解：∵折叠ABCD，使折痕经过点B，交AD边于点E，点C落在BA延长线上的点G处，点D落在点H处，
∴，，，四边形面积=四边形面积
∵ABCD
∴，，
∴，
∴，
∴，即选项B不正确；
∴
∴四边形AEHG是平行四边形，即选项A不正确；
∴
∵四边形面积=四边形面积
∴四边形面积=+四边形AEHG面积
∵四边形AEHG的面积为y，四边形BCDE的面积为x，ABCD的面积是8
∴，即
∵点E在AD边上
∴四边形BCDE面积，即
∴，即选项C正确；
设点E到BG的距离为
∵四边形面积
∴四边形面积
∴，即
∴
∴，即点E到BG的距离为2
∴选项D不正确
故选：C．
【点睛】本题考查了一次函数、平行四边形、等腰三角形、轴对称的知识；解题的关键是熟练掌握轴对称、平行四边形的性质，从而完成求解．
11．
【分析】先求出点，点A的坐标为，根据等腰三角形的性质求出，根据轴，得出，说明点在y轴上，，求出，证明，得出，求出，即可得出答案．
【详解】解：把代入得：，则点，
把代入得：，解得：，
则点A的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵将沿折叠，使点落在点，
∴点在y轴上，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，三角形全等的判定和性质，折叠的性质，平行线的性质，等腰三角形的判断和性质，解题的关键是数形结合，根据题意作出图形，说明点在y轴上．
12．1或7##7或1
【分析】先求出点，根据两点间距离公式求出，设点的坐标为，点P的坐标为，根据折叠的性质求出，，根据两点间距离公式求出，求出或，得出或，再根据两点间距离公式求出结果即可．
【详解】解：联立，
解得：，
∴，
则，
设点F的对应点为，设点的坐标为，点P的坐标为，
根据折叠可知：，，
∴，
即，
解得：或，
∴或，
当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：；
综上分析可知，点P的横坐标为1或7．
故答案为：1或7．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，折叠的性质，两点间距离公式，求两条直线的交点坐标，解题的关键是熟练掌握两点间距离公式，准确计算．
13．
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠，勾股定理，由折叠可得，，由一次函数可得，，进而由勾股定理得到，，设，由列方程即可求出，进而得到点的坐标，掌握折叠的性质，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
【详解】解：由折叠可得，，
∵直线，当时，，当时，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，
则，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴点的坐标为，
故答案为：．
14．
【分析】设，根据题意，，然后根据勾股定理列出关于的方程，解方程即可求得．
【详解】解：设，
∴，
，，
又由折叠知，
∴，
在中，，
∴，
解得，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，翻折的性质以及勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．
15．或
【分析】分、和，分类讨论即可．
【详解】①当时，连接，作于H，于H，

∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴， ，
∴，
∵M为边的中点，
∴，，
∵折叠，
∴，，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴D、E、N三点共线，
设，则，，
在中，由勾股定理得，
解得，即，
∴，
设直线解析式为，
则，解得，
∴；
②当时，，此时E和A重合，N和C重合，是等腰三角形，，
∴，
把M，N坐标代入，得
，解得，
∴；
③当时， 此时E在的垂直平分线上
∵，，
∴是等边三角形，
∴的垂直平分线过点A，
∴
又，
∴
又，
∴E和A重合，
∴此种情况和②一样．
综上，直线解析式为或．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，折叠的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，明确题意，合理分类讨论是解题的关键．
16．##
【分析】设沿折叠点恰好落在函数的图象上，其坐标为，进而可得，点B坐标为，由，可得、、点E坐标为，根据和两点距离公式方程求出，即可解得．
【详解】解：由折叠性质可知：，
设沿DE折叠点B恰好落在函数的图象上，其坐标为，
∴，
∴点B坐标为
∵，四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴点E坐标为，，
∴，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），，
∴
∴点B坐标为
故答案为：
【点睛】本题主要考查了折叠图形的性质和一次函数图象点的坐标特征，根据两点距离公式正确表示出和列方程求解是解题关键．
17．
【分析】如图所示，连接，先求出点C和点F的坐标，然后证明，得到，设，则，在中，，则，由此求解即可．
【详解】解：如图所示，连接，
令，则，
∴，
令，则，解得，
∴；
∵四边形是矩形，
∴，
∵E是的中点，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得（负值舍去），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．或
【分析】根据题意作出图形，当点P在轴正半轴时，连接，根据勾股定理可求出AB的值，根据翻折的性质可得，则，设，在中，由勾股定理可得的值，由此可得P点的坐标，最后由待定系数法可求出函数的解析式；当点P在轴负半轴时，同理可得．
【详解】解：根据题意作出图形，当点P在轴正半轴时，如图所示，连接，

∵，，
∴，，
在中，
由勾股定理可得：，
∵将线段沿过点的直线折叠，使点A落在轴上的点处，
∴，，
∴，
设，则
在中，
由勾股定理可得，
∴，
解得：,
∴,
∴，
设直线的表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
当点P在轴负半轴时，如图所示，连接，

∵将线段沿过点的直线折叠，使点A落在轴上的点处，
∴，，
∴，
设，则
在中，
由勾股定理可得，
∴，
解得：,
∴,
∴，
设直线的表达式为，
∴，
解得：，
∴直线的表达式为；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理，用待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握翻折变换的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
19．(1)；
(2)5；
(3)存在，，理由见解析
【分析】本题考查了矩形的性质、待定系数法求一次函数解析式、一次函数图像上点的坐标特征、折叠的性质、勾股定理以及轴对称 最短路径问题，解题的关键是：（1）利用一次函数图像上点的坐标特征结合矩形的性质，找出点B的坐标；（2）利用折叠的性质结合勾股定理，求出的长度；（3）利用两点之间线段最短确定点P的位置．
（1）由矩形的性质结合的长度可得出点C的坐标，由点C的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，由直线的解析式，利用一次函数的图像上点的坐标特征可得出点A的坐标；
（2）在中，利用勾股定理可求出的长，进而可求出的长，设，则，在中，利用勾股定理可求出（的长）的值；
（3）作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，此时的周长最小，由点E的坐标可得出点的坐标，由点B，的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，再利用一次函数图像上点的坐标特征可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：∵，四边形是矩形，
∴，
∴，代入得到，
∴直线的解析式为，
令，得到，
∴；
（2）解：在中，，，
∴，，
设，则，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴；
（3）解：如图作点E关于y轴的对称点，连接交y轴于P，

此时的周长最小．
∵，，
∴
∴，
∴，
设直线的解析式为，
则
解得
则的解析试为，
当时，
∴．
20．(1)点A的坐标为
(2)的面积为
(3)点D的坐标为或
【分析】（1）利用直线过点得，利用待定系数法求出直线的解析式，令即可求解；
（2）设的横坐标为，代入直线与直线解析式表示出与的纵坐标，进而表示出的长，根据求出的值进而求出三角形面积即可；
（3）分点落在射线和射线上两种情况分类讨论，利用全等三角形的判定与性质求解即可．
【详解】（1）解：直线过点，
，解得，
点，
直线经过点点，，
，解得：，
直线解析式为，
令，则，解得，
点的坐标为；
（2）解：，
，
设点的横坐标为，则点坐标为，
轴，
点坐标为，
，
解得：或18，
当时，；
当时，同理可得：，
综上，的面积为；
（3）解：过作于点，
点的坐标为，，
，，，
，
，，
，，
，
，即，
当沿着折叠，且点落在射线上的时，设交轴于点，如图1所示：
根据折叠的性质可得：，，
又，
，
，，
轴，
当时，，
坐标为；
当沿着折叠，且点落在射线上的时，延长交轴于点，如图2所示：
根据折叠的性质可得：，，
又，
，
，，
轴，
当时，，
点坐标为，
综上，点的坐标为或．
【点睛】此题是一次函数综合题，考查了两条直线相交问题，涉及到一次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，折叠的性质，勾股定理及逆定理，解题的关键是注意分类求解，不要遗漏．
21．(1)
(2)重叠部分的面积为10
(3)直线的解析式为
【分析】（1）设，则，在中，由勾股定理建立方程，解方程求得x的值，即可得到点A、C的坐标，根据所得A、C两点的坐标用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）由折叠的性质可得，设，结合，可得，在中由勾股定理建立方程解方程求得y的值即可得到的值，再证可得，这样即可由三角形面积公式求出的面积了．
（3）由（2）可知，的长，从而可得点E、F的坐标，由此即可用待定系数法求得直线的解析式了．
【详解】（1）解：∵，
∴ 可设，则，
在中，由勾股定理可得，
∴ ，
解得或 (不合题意，舍去)，
∴，，
∴，，
设直线解析式为，
∴ ，
解得： ，
∴直线解析式为；
（2）解：由折叠的性质可知，
设，则，
在中，由勾股定理可得，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即重叠部分的面积为10；
（3）解：由（2）可知，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴ ，
解得： ，
∴直线的解析式为．
【点睛】本题考查了一次函数的面积问题，求一次函数解析，勾股定理，坐标与图形，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握待定系数法，求出重叠部分三角形的底和高是解题的关键．
22．(1)
(2)或
(3)点Q的坐标为或或或
【分析】（1）待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）根据勾股定理求出，根据折叠得出，，设，则，根据勾股定理得出，求出，设，根据，求出或，即可得出答案；
（3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：设直线对应的函数表达式为：，
∵直线交坐标轴于点，，
∴，
解得：，
∴直线对应的函数表达式为：；
（2）解：由题意可知：，，
在中，，
由折叠性质可知：，，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，
解得，，
∴，
∵P在直线上，
∴设，
∵，
∴，
解得，或，
①当时，，
②当时，，
∴或；
（3）解：设，
∵点，，
∴，， ，
①当时，
则，
解得（舍去）或，
∴点Q的坐标为；
②当时，
则，即或18，
∴点Q的坐标为或；
③当时，
则，
解得：，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了一次函数的几何综合，求一次函数解析式，等腰三角形的定义，折叠的性质，勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
23．(1)直线的函数表达式为
(2)的面积为15或60
(3)存在，点的坐标为或或或
【分析】本题考查了一次函数解析式，折叠的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，解题关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用；
（1）设直线的函数表达式为待定系数法求解即可；
（2）由勾股定理得，，由题意知，分点在上运动，点在轴的正半轴上运动，两种情况求解，①当点在上运动，由折叠的性质，，则，由勾股定理求出，根据求解；②当点在轴的正半轴上运动时，根据折叠性质和勾股定理得，根据，即可求解；
（3）轴，则轴，由题意得点P，点C坐标及长度；分当时，是等腰三角形；当时，是等腰三角形，分别求解即可；
【详解】（1）设直线的函数表达式为，
将，，代入得，，解得
直线的函数表达式为．
（2）由勾股定理得，，
由题意知，分点在上运动，点在轴的正半轴上运动，两种情况求解：
①当点在上运动，如图①，
由折叠的性质可知，，，则，
设，则，
由勾股定理得，，即，解得，
；
②当点在轴的正半轴上运动，如图②，
由折叠的性质可知，，，则，
设，则，
由勾股定理得，，即，解得，
；
综上所述，的面积为15或60；
（3）存在，点的坐标为或或或．
轴，则轴，
由题意知，，则，
当时，，则，
，
设，当时，是等腰三角形，如图③，
，解得，或，
或；
当时，是等腰三角形，则，解得，或，
；
当时，是等腰三角形，则，解得，
；
综上所述，存在，点的坐标为或或或．
24．(1)
(2)①，证明见解析；②证明见解析
(3)
【分析】（1）求出直线与两坐标轴的交点，易得是等腰直角三角形，由折叠的性质可得是等腰直角三角形，进而得，则由勾股定理建立方程即可求得a的值；
（2）①由折叠性质得，；由则可得；由E是中点，则得，从而可证，则，最后可得；
②连接，证明，则这两个三角形面积相等，从而可求证；
（3）过点D作y轴的垂线，垂足为H，证明，则其面积相等，设，由面积关系求得m与n的关系，再设解析式，即可求得解析式．
【详解】（1）解：在中，令，得；令，得；
∴，
∴，
∵
∴是等腰直角三角形，
∴；
由折叠的性质：，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴；
在中，由勾股定理得：，
解得：或（舍去）,
故答案为：；
（2）解：①猜想；
理由如下：
由折叠性质得，；
∵，
∴，，
∴；
∵E是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②如图，连接，
∵E是的中点，
∴，，；
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵
；
（3）解：如图，过点D作y轴的垂线，垂足为H，
由折叠知，，由（2）知，，
∴，
∵，
∴,
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，
则，即，
即；
设直线解析式为，则，
∴，
∴直线解析式为．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，求函数解析式等知识，证明三角形全等是解题的关键．
答案第1页，共2页
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