资源简介

2024年中考数学模拟卷广州专用
【本试卷共25小题，满分120分。考试用时120分钟】
注意事项:
1．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
3．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上
1．（3分）a的相反数为﹣3，则a等于（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
2．（3分）如图，是由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
3．（3分）2021年7月24日，杨倩以251.8环的成绩获得2020年东京奥运会射击女子10米气步枪项目金牌，为中国队收获东京奥运会的首枚金牌．她的其中5个成绩（单位：环）分别是：9、8、9、9、10；关于这组数据，以下结论错误的是（　　）
A．众数为9 B．中位数为9 C．平均数为9 D．方差为2
4．（3分）下列式子中计算结果与（﹣m）2相同的是（　　）
A．（m﹣1）2 B．m2×m﹣4 C．m2÷m4 D．m﹣2÷m﹣4
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（3分）下列说法中不正确的是（　　）
A．函数y＝5x的图象经过原点
B．函数的图象位于第一、三象限
C．函数y＝3x﹣2的图象不经过第二象限
D．函数的值随x值增大而增大
7．（3分）如图，在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（　　）km．
A． B． C． D．2
8．（3分）“最是书香能致远，读书之乐乐无穷．”为了传承和发扬中华民族优秀传统文化，丰富校园文化生活，提高全校师生的文化情操和艺术修养，让书香飘逸校园，某校推出“建设书香校园”的活动计划，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费30000元，购买文学类图书花费40000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵10元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书的数量少1000本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则下列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．（3分）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）
A．35° B．55° C．70° D．125°
10．（3分）定义一种新运算“m※n”，对于任意实数m，n，则有m※n＝m2﹣2mn﹣1，如3※4＝32﹣2×3×4﹣1＝﹣16，若x※k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上）
11．（3分）2022年4月16日神舟十三号载人飞船在东风着陆场成功着陆，返回舱在进入大气层时，速度达到15000米/秒．其中15000用科学记数法表示为 　 　．
12．（3分）已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），c（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2+b的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　（用“＜”连接）．
13．（3分）如图是某足球队全年比赛情况统计图：
根据图中信息，该队全年胜了 　 　场；在扇形图中，表示“胜”的扇形圆心角的度数为 　 　．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，点E，F分别是对角线AC的三等分点，点P是边AB上一动点，则PE+PF的最小值是 　 　．
15．（3分）如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为 　 　m2．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝12，CD＝10，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC的中点，则EF的长为 　 　．
解答题：本大题共9小题，共72分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
（4分）解方程：x2﹣7x+6＝0．
18．（4分）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE．
（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数．
19．（6分）某兴趣小组通过探究圆的基本知识，找到了借助圆作“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法，如图，过点C作直线[的平行线．作图过程如下：
第一步：在直线l上任意取两点A，B，连接AC，BC，且AC＞BC；
第二步：作△ABC的外接圆O；
第三步：以点A为圆心，CB长为半径作弧，交于点D，连接AD；
第四步：作直线CD，则直线CD即为所求作的平行线．
（1）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，D为AC上一点，且满足　 　．求证：　 　．
（2）聪聪认为，在△ABC中，若AC＝BC，过点C作直线l的平行线l'，则l'为⊙O的切线，你认为聪聪的想法正确吗？请说明理由．
20．（8分）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．
（1）a2﹣1，ab﹣b，b+ab
x2﹣4xy+4y2，x2﹣4y2，x﹣2y．
21．（10分）如图，有大小质地相同仅颜色不同的两双拖鞋（分左．右脚）共四只，放置于地板上．【可表示为（A1．A2），（B1．B2）】注：本题采用“长方形”表示拖鞋．
（1）若先从两只左脚拖鞋中取一只，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
（2）若从这四只拖鞋中随机取出两只，利用“树形图”或“表格”列举出所有可能出现的情况，并求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
22．（10分）受气候的影响，某超市蔬菜供应紧张，需每天从外地调运蔬菜1000斤．超市决定从甲、乙两大型蔬菜棚调运蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可调出800斤，乙蔬菜棚每天最多可调运600斤，从两蔬菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米） 运费（元/斤 千米）
甲蔬菜棚 120 0.03
乙蔬菜棚 80 0.05
（1）若某天调运蔬菜的总运费为3840元，则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜？
（2）设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？
23．（10分）如图1，在等边△ABC中，D，E分别是射线BC、AB上的点，∠ADE＝60°
（1）求证：△ADE∽△ABD；
（2）点D在BC延长线上，延长AC交DE于M，
①如图2，若，求；
②如图3，点N在DE上，AD＝DN，且AN交BD于点H，若，直接写出的值．
24．（10分）综合与探究：
如图，抛物线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，当OE＝4DF时，求四边形DOBF的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（10分）综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一；如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF＝　 　°；
②线段EF，BE，DF之间的数量关系为 　 　．
【深入探究】
操作二：如图2、将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出这样两个结论：①AP＝BE+DF；②∠BAE＝30°．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE或AF上时，请直接写出线段BE的长．
第22页（共22页）2024年中考数学模拟卷广州专用
【本试卷共25小题，满分120分。考试用时120分钟】
注意事项:
1．在试卷和草稿纸上准确填写姓名、准考证号、考场号和座位号。
2．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
3．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
4．考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
第一部分 选择题（共30分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卷相应位置上
1．（3分）a的相反数为﹣3，则a等于（　　）
A．﹣3 B．3 C．±3 D．
解：因为3的相反数是﹣3，所以a＝3．
故选：B．
2．（3分）如图，是由若干个相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最多是（　　）
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
解：综合主视图和俯视图，这个几何体的右边一列最多有4个正方体，中间一列有4个正方体，左边一列最多有1个正方体，
所以组成这个几何体的小正方块的个数最多是9个．
故选：D．
3．（3分）2021年7月24日，杨倩以251.8环的成绩获得2020年东京奥运会射击女子10米气步枪项目金牌，为中国队收获东京奥运会的首枚金牌．她的其中5个成绩（单位：环）分别是：9、8、9、9、10；关于这组数据，以下结论错误的是（　　）
A．众数为9 B．中位数为9 C．平均数为9 D．方差为2
解：五次中9出现了三次，出现的次数最多，即众数为9，故选项A不符合题意；
将五个数按从小到大的顺序排列得到第三个数为9，即中位数为9，故选项B不符合题意；
由平均数的公式得平均数＝（9+8+9+9+10）÷5＝9，故选项C不符合题意；
方差[3×（9﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2]＝0.4，故选项D符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列式子中计算结果与（﹣m）2相同的是（　　）
A．（m﹣1）2 B．m2×m﹣4 C．m2÷m4 D．m﹣2÷m﹣4
解：（﹣m）2＝m2，
A、（m﹣1）2＝m﹣2≠m2，故本选项不符合题意；
B、m2×m﹣4＝m﹣2≠m2，故本选项不符合题意；
C、m2÷m4＝m﹣2≠m2，故本选项不符合题意；
D、m﹣2÷m﹣4＝m2，故本选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
解：，
由①得：x≥1，
由②得：x＞2，
则不等式组的解集为x＞2，
故选：A．
6．（3分）下列说法中不正确的是（　　）
A．函数y＝5x的图象经过原点
B．函数的图象位于第一、三象限
C．函数y＝3x﹣2的图象不经过第二象限
D．函数的值随x值增大而增大
解：A、∵函数y＝5x是正比例函数，
∴函数y＝5x的图象经过原点，
故A正确，不符合题意；
B、∵3＞0，
∴函数y的图象位于第一、三象限，
故B正确，不符合题意；
C、∵3＞0，﹣2＜0，
∴函数y＝3x﹣2的图象经过第一、三、四象限，
故C正确，不符合题意；
D、∵﹣2＜0，
∴当x＜0或x＞0时，函数y的值随x值增大而增大，
故D错误，符合题意．
故选：D．
7．（3分）如图，在一笔直的海岸线l上有相距3km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是（　　）km．
A． B． C． D．2
解：过点C作CD⊥AB于点D，
根据题意得：∠CAD＝90°﹣60°＝30°，
∠CBD＝90°﹣30°＝60°，
∴∠ACB＝∠CBD﹣∠CAD＝30°，
∴∠CAB＝∠ACB，
∴BC＝AB＝3km，
在Rt△CBD中，
∴CD＝BC sin60°＝3（km）．
∴船C到海岸线l的距离是km．
故选：C．
8．（3分）“最是书香能致远，读书之乐乐无穷．”为了传承和发扬中华民族优秀传统文化，丰富校园文化生活，提高全校师生的文化情操和艺术修养，让书香飘逸校园，某校推出“建设书香校园”的活动计划，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费30000元，购买文学类图书花费40000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵10元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书的数量少1000本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则下列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
解：∵科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵10元，且科普类图书平均每本的价格是x元，
∴文学类图书平均每本的价格是（x﹣10）元．
根据题意得：1000．
故选：B．
9．（3分）如图所示，△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，若∠DEF＝55°，则∠A的度数是（　　）
A．35° B．55° C．70° D．125°
解：连接OD，OF，OA，如图所示，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、AC分别相切于点D、E、F，
∵∠DEF＝55°，
∴∠DOF＝2∠DEF＝2×55°＝110°（圆心角是圆周角的2倍），
∵在三角形AOD与三角形AOF中，
∵∠A+∠ADO+∠AFO+∠DOF＝360°，
∵AD，AF是圆的切线，
∴∠ADO＝∠AFO＝90°，
∴∠A＝360°﹣90°﹣90°﹣110°＝70°，
故选：C．
10．（3分）定义一种新运算“m※n”，对于任意实数m，n，则有m※n＝m2﹣2mn﹣1，如3※4＝32﹣2×3×4﹣1＝﹣16，若x※k＝0（k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（　　）
A．只有一个实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．没有实数根
解：∵x※k＝0，
∴x2﹣2kx﹣1＝0，
∴Δ＝（﹣2k）2﹣4×（﹣1）＝4k2+4，
∵k为实数，
∴4k2≥0，
∴Δ＝4k2+4＞0，
∴关于x的方程有两个不相等的实数根，
故选：C．
第二部分 非选择题（共120分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答
题卡相应位置上）
11．（3分）2022年4月16日神舟十三号载人飞船在东风着陆场成功着陆，返回舱在进入大气层时，速度达到15000米/秒．其中15000用科学记数法表示为 　1.5×104　．
解：15000＝1.5×104，
故答案为：1.5×104．
12．（3分）已知A（﹣4，y1），B（﹣3，y2），c（3，y3）三点都在二次函数y＝﹣2（x+2）2+b的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　y3＜y1＜y2　（用“＜”连接）．
解：∵y＝﹣2（x+2）2+b，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，开口向下，
而点B（﹣3，y2）离对称轴最近，点C（3，y3）离对称轴最远，
∴y3＜y1＜y2，
故答案为y3＜y1＜y2．
13．（3分）如图是某足球队全年比赛情况统计图：
根据图中信息，该队全年胜了 　22　场；在扇形图中，表示“胜”的扇形圆心角的度数为 　198°　．
解：全年比赛场次＝10÷25%＝40，
胜的场数为：40×（1﹣20%﹣25%）＝40×55%＝22（场）
360°×（1﹣20%﹣25%）＝360°×55%＝198°．
故答案：22，198°．
14．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，点E，F分别是对角线AC的三等分点，点P是边AB上一动点，则PE+PF的最小值是 　2　．
解：如图，作点E关于AB的对称点T，连接FT，PT．
∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB＝BC＝3，∠B＝∠BAD＝90°，∠BAC＝45°，
∴ACAB＝6，
∴AE＝EF＝CF＝2，
∵E，T关于AB对称，
∴AT＝AE＝2，∠PAT＝∠PAE＝45°，PE＝PT，
∴∠CAT＝90°，
∴FT2，
∵PE+PF＝PT+PF≥TF＝2，
∴PE+PF的最小值为2．
故答案为：．
15．（3分）如图，地块△ABC中，边AB＝40m，AC＝30m，其中绿化带AD是该三角形地块的角平分线．若地块△ABD的面积为320m2，则地块△ACD的面积为 　240　m2．
解：过D分别作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴DE＝DF，
∵AB＝40m，△ABD的面积为320m2，
∵DE＝DF16（m），
∴△ACD的面积AC DF30×16＝240（m2），
故答案为：240．
16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝12，CD＝10，∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，E，F分别是AD，BC的中点，则EF的长为 　　．
设BD的中点为H，连接EH、FH，如图：
∵E，F分别是AD，BC的中点，
∴EH，FH都是中位线，
∴EHAB＝6，FHDC＝5，
∴EH∥AB，FH∥CD，
∵∠ABD＝30°，∠BDC＝120°，
∴∠EHB＝150°，∠BHF＝120°，
∴∠EHF＝90°，
在Rt△EHF中，EF，
故答案为：．
解答题：本大题共9小题，共72分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。
17．（4分）解方程：x2﹣7x+6＝0．
解：分解因式得：（x﹣1）（x﹣6）＝0，
可得x﹣1＝0，或x﹣6＝0，
解得：x1＝1，或x2＝6．
18．（4分）如图，点B、C、D在同一条直线上，AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，AB＝CD．
（1）求证：△ABC≌△CDE．
（2）若∠ACB＝37°，求∠AED的度数．
（1）证明：∵AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE，
∴∠B＝∠D＝∠ACE＝90°．
∴∠BAC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠DCE＝90°．
∴∠BAC＝∠DCE．
在△ABC和△CDE中，
，
∴△ABC≌△CDE（ASA）．
（2）解：∵△ABC≌△CDE，
∴AC＝CE，∠ACB＝∠CED＝37°，
∴∠CAE＝∠AEC＝45°，
∴∠AED＝37°+45°＝82°．
19．（6分）某兴趣小组通过探究圆的基本知识，找到了借助圆作“过直线外一点作已知直线的平行线”的方法，如图，过点C作直线[的平行线．作图过程如下：
第一步：在直线l上任意取两点A，B，连接AC，BC，且AC＞BC；
第二步：作△ABC的外接圆O；
第三步：以点A为圆心，CB长为半径作弧，交于点D，连接AD；
第四步：作直线CD，则直线CD即为所求作的平行线．
（1）为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．
已知：如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，D为AC上一点，且满足　AD＝BC　．求证：　AB∥CD　．
（2）聪聪认为，在△ABC中，若AC＝BC，过点C作直线l的平行线l'，则l'为⊙O的切线，你认为聪聪的想法正确吗？请说明理由．
解：（1）如图，△ABC内接于⊙O，AC＞BC，D为AC上一点，且满足于AD＝BC，
求证：AB∥CD，
证明：在⊙O中，∵AD＝BC，
∴∠DCA＝∠CAB，
∴AB∥CD，
故答案为：AD＝BC，AB∥CD；
（2）聪聪的想法正确，理由：
连接OA、OB、OC，如图：
∵CA＝CB，OA＝OB，
∴直线CO垂直平分线段AB，即OC⊥AB，
∵AB∥l′，
∴CO⊥l′，
∵OC是圆O的半径，
∴l'为⊙O的切线．
20．（8分）请从下列三个代数式中任选两个构造一个分式，并化简该分式．
（1）a2﹣1，ab﹣b，b+ab
（2）x2﹣4xy+4y2，x2﹣4y2，x﹣2y．
解：（1）；
（2）x﹣2y．（答案不唯一）．
21．（10分）如图，有大小质地相同仅颜色不同的两双拖鞋（分左．右脚）共四只，放置于地板上．【可表示为（A1．A2），（B1．B2）】注：本题采用“长方形”表示拖鞋．
（1）若先从两只左脚拖鞋中取一只，再从两只右脚拖鞋中随机取一只，求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
（2）若从这四只拖鞋中随机取出两只，利用“树形图”或“表格”列举出所有可能出现的情况，并求恰好匹配成一双相同颜色的拖鞋的概率．
解：（1）用列表法表示所有可能的情况有：
共4种情况，其中配成一双相同颜色的有2种，
∴P配成一双相同颜色；
（2）用列表法表示所有可能的情况有：
共12种情况，其中配成一双相同颜色的有4种，
∴P配成一双相同颜色．
22．（10分）受气候的影响，某超市蔬菜供应紧张，需每天从外地调运蔬菜1000斤．超市决定从甲、乙两大型蔬菜棚调运蔬菜，已知甲蔬菜棚每天最多可调出800斤，乙蔬菜棚每天最多可调运600斤，从两蔬菜棚调运蔬菜到超市的路程和运费如表：
到超市的路程（千米） 运费（元/斤 千米）
甲蔬菜棚 120 0.03
乙蔬菜棚 80 0.05
（1）若某天调运蔬菜的总运费为3840元，则从甲、乙两蔬菜棚各调运了多少斤蔬菜？
（2）设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，总运费为W元，试写出W与x的函数关系式，怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省？
解：（1）设从甲蔬菜棚调运蔬菜x斤，则从乙蔬菜棚调运蔬菜（1000﹣x）斤，得
120×0.03x+80×0.05×（1000﹣x）＝3840，
解得x＝400，
乙蔬菜棚调运蔬菜：1000﹣400＝600（斤），
答：从甲蔬菜棚调运了400斤、从乙蔬菜棚调运了600斤蔬菜；
（2）W＝120×0.03x+80×0.05×（1000﹣x），
即W＝﹣0.4x+4000（400≤x≤800），
∵﹣0.4＜0，
∴W随x的增大而减小，
当x＝800时，W最小，W最小值＝3680（元），
答：从甲蔬菜棚调运蔬菜800斤，从乙蔬菜棚调运蔬菜200斤总费用最省．
23．（10分）如图1，在等边△ABC中，D，E分别是射线BC、AB上的点，∠ADE＝60°．
（1）求证：△ADE∽△ABD；
（2）点D在BC延长线上，延长AC交DE于M，
①如图2，若，求；
②如图3，点N在DE上，AD＝DN，且AN交BD于点H，若，直接写出的值．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
又∵∠ADE＝60°，
∴∠B＝∠ADE，
又∵∠BAD＝∠DAE，
∴△ADE∽△ABD．
（2）解：①∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠ADE＝60°，
∴∠ABC＝∠ADE，
∵∠ADE＝∠ADB+∠BDE＝60°，∠ABD＝∠BDE+∠E＝60°，
∴∠E＝∠ADB，
∴△ABD∽△ADE，
∴，
设AD＝4a，AB＝3a，
∴AEa，
∴，
∴；
②∵AD＝AN，∠ADM＝60°，
∴△ADN是等边三角形，
∴∠DAN＝60°，
∴∠BAH＝∠DAC，
∵∠ABH＝∠ADM＝60°，
∴△ABH∽△ADM，
∴，
由①知△ABD∽△ADE，
∴，
设AD＝3a，AB＝2a，
∴AEa，
∴，
∴．
24．（10分）综合与探究：
如图，抛物线，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C抛物线的对称轴为l．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）若点D是第一象限内抛物线上一点，过点D作DE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，当OE＝4DF时，求四边形DOBF的面积；
（3）在（2）的条件下，若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）当时，
解得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴A（﹣2，0），B（4，0）；
当x＝0时，，
∴C（0，﹣2）；
（2）∵点D是第一象限内抛物线上的点，
∴设点D坐标为，
∵DE⊥x轴于点E，
∴OE＝d，．
设直线BC解析式为y＝kx﹣2，把点B代入得：4k﹣2＝0，
解得：，
∴直线BC：，
∵DE交BC于点F，
∴，
∴，
∵OE＝4DF，
∴，
解得：d1＝0（舍去），d2＝5，
∴，，
∴，，BE＝OE﹣OB＝5﹣4＝1，
∴S四边形DOBF＝S△OED﹣S△BEF DE OE BE EF51；
（3）存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．
∵A（﹣2，0），B（4，0），
∴对称轴为直线：，
∴xN＝1；
①如图1，BD∥MN，四边形BMND是平行四边形．
∴DN∥BM，DN＝BM，
∴DN向下平移个单位，向左平移1个单位可得BM，
∴xM＝xN﹣1＝0，
∴M（0，﹣2）；
②如图2，BD∥MN，四边形BDMN是平行四边形．
∴DM∥BN，DM＝BN，
∴BN向上平移个单位，向右平移1个单位可得DM，
∴xM＝xN+1＝2，
∴M（2，﹣2）；
③由图可知，以BD为对角线时，点M的横坐标为8，
∴M（8，10）
综上所述，符合条件的点M的坐标为（0，﹣2）或（2，﹣2）或（8，10）．
25．（10分）综合与实践：
综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动．
【操作判断】
操作一；如图1，正方形纸片ABCD，将∠B沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，得到折痕AE，点B的对应点为M，连接AM；将∠D沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，得到折痕AF，将纸片展平，连接EF．
（1）根据以上操作，易得点E，M，F三点共线，且①∠EAF＝　45　°；
②线段EF，BE，DF之间的数量关系为 　EF＝BE+DF　．
【深入探究】
操作二：如图2、将∠C沿EF所在直线折叠，使点C落在正方形ABCD的内部，点C的对应点为N，将纸片展平，连接NE、NF．
同学们在折纸的过程中发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边上某一位置时（点E不与点B，C重合），点N恰好落在折痕AE上，此时AM交NF于点P，如图3所示．
（2）小明通过观察图形，得出这样两个结论：①AP＝BE+DF；②∠BAE＝30°．请任意选择其中一个结论判断其是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）若正方形纸片ABCD的边长为3，当点N落在折痕AE或AF上时，请直接写出线段BE的长．
解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C＝∠BAD＝90°，
由折叠的性质可知，∠BAE＝∠MAE，∠DAF＝∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF＝∠BAE+∠DAF∠BAD＝45°，
即∠EAF＝45．
故答案为：45．
②由折叠的性质可知，BE＝ME，DF＝MF，
∵EF＝ME+MF
∴EF＝BE+DF．
故答案为：EF＝BE+DF．
（2）选择结论①．
结论①是正确的，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°．
由折叠的性质可知，BE＝ME，DF＝MF，∠AME＝∠B＝∠C＝∠ENF＝90°，
∴∠ANF＝∠AMF＝90°，
又∵∠APN＝∠FPM，
∴∠NAP＝∠NFE．
由（1）得∠EAF＝45°，
∴△ANF是等腰直角三角形．
∴AN＝FN．
∴△ANP≌△FNE（ASA）．
∴AP＝EF．
∵EF＝EM+FM＝BE+DF，
∴AP＝BE+DF．
或选择结论②．
结论②是正确的，理由如下：
由折叠的性质可知，∠BAE＝∠MAE，∠CFE＝∠NFE，∠AFD＝∠AFM．
易得△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN＝45°，
∴∠AFD＝∠AFM＝∠AFN+∠NFE＝45°+∠NFE．
∵∠AFD+∠AFM+∠CFE＝180°，
∴2×（45°+∠NFE）+∠NFE＝180°．
∴∠NFE＝30°．
∵∠APN＝∠FPM，∠ANF＝∠AMF＝90°，
∴∠NAP＝∠NFE＝30°．
∴∠BAE＝30°．
（3）分两种情况讨论：
①当点N落在折痕AE上时，如图3所示，
易得∠BAE＝30°，
∴．
②当点N落在折痕AF上时，如图4所示，
设BE＝ME＝x，则EN＝EC＝3﹣x．
易得△ANE是等腰直角三角形，
∴．
在Rt△ABE中，由勾股定理，得，
解得或（舍去）．
∴．
综上所述，线段BE的长为或．
答：线段BE的长为或
第22页（共22页）

展开更多......

收起↑