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2023-2024学年度泉州市初中教学质量监测（二）
2024.05
初 三 数 学
（满分：150分；考试时间：120分钟）
友情提示：所有答案必须填写到答题卡相应的位置上。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1． 下列式子中，化简结果为负数的是
A． B． C． D．
2． 据报道，2024年春节期间，泉州文旅市场共接待旅游人数818.12万人次，实现旅游收入80.18亿元，游客接待量与旅游总收入均创历史新高. 用科学记数法可将数据表示为
A． B． C． D．
3． 如图，该几何体的左视图是
4． 的展开式是
A． B．
C． D．
5． 为了贯彻落实《教育部办公厅关于举办第八届全国学生“学宪法 讲宪法”活动的通知》精神，某校九年级1班开展宪法知识竞赛，现抽取7位同学的成绩(单位：分)，并制作了如图所示的统计图. 根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是
A．平均数为81分
B．众数为85分
C．中位数为88分
D．方差为0
6． 如图，点在直线外，请阅读以下作图步骤：
①以点为圆心，以大于点到直线的距离的长为半径作弧，交于点和点；
②分别以点和点为圆心，大于的同一长度为半径作弧，两弧相交于点，如图所示；
③作射线，连接, , , .
根据以上作图，下列结论正确的是
A．且∥ B．且∥
C．且 D．且
7． 我国古代数学著作《九章算术》卷七盈不足有题如下：“今有共买琎，人出半，盈四；人出
少半，不足三. 问人数、琎价各几何？” 其大意是：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多
出4钱；每人出钱，又差了3钱. 问人数、琎价各是多少？ 若设人数为，则根据题意可列方程
A． B． C． D．
8． 如图，在矩形中，，，将沿着射线的方向，平移线段的长度得到，则四边形的周长为
A． B．
C． D．
9． 在平面直角坐标系中，等边三角形的顶点在反比例函数的图象上，原点是边的中点.若点在反比例函数的图象上，则等于
A． B． C． D．
10．如图，等边三角形和正方形均内接于⊙，若，则的长为
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11．正九边形的外角和等于______度．
12．不等式组的解集是__________．
13．抛掷一枚质地均匀且六个面分别标有数字的普通正方体骰子一次，记“掷得的数字是3的倍数”为事件，则________．
14．如图，在正方形中，对角线与相交于点，以点为圆心，
以的长为半径作弧，交于点，连接，则______度．
15．已知，且，则的值为_______．
16．二次函数的图象与轴交于点(在的左侧)，将该函数图象向右平移
个单位后与轴交于点(在的左侧)，平移前后的函数图象相交于点，若，则的值为_______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（8分）
计算：．
18．（8分）
解方程组：
19．（8分）
先化简，再求值：，其中．
20．（8分）
如图，点在线段上，，，∥．
求证：．
21．（8分）
在学习《用频率估计概率》这一节课后，数学兴趣小组设计了摸球试验：在一个不透明的盒子里装有白球和红球共3个，这些球除了颜色以外没有任何其他区别. 将球搅匀后从盒子中随机摸出一个球，记下颜色后放回，再重复进行下一次试验. 下表是整理得到的试验数据：
摸球的次数 500 1000 2000 3000 4000 5000 6000
摸到红球的次数 372 613 1397 1961 2651 3337 3992
摸到红球的频率 0.74 0.61 0.70 0.65 0.66 0.67 0.67
(1)用频率估计概率，估计盒子中红球的个数为　　 ；
(2)小明认为，如果在原有的盒子中增加一个白球，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变．你同意小明的意见吗？请说明理由．
22．（10分）
如图，是⊙的直径，点在半径上，点在⊙上，，连接并延长至点，使得，与⊙的另一个交点为.
(1)求证：与⊙相切；
(2)若，，求的长．
23．（10分）
在初中物理学中，凸透镜成像原理与相似三角形有密切的联系. 请耐心阅读以下材料：
【光学模型】如图1，通过凸透镜光心的光线，其传播方向不变，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后通过焦点，凸透镜的两侧各有一个焦点和，焦点到光心的距离称为焦距，记为.
【模型验证】如图2，平行于主光轴的光线经凸透镜折射后与光线的交点为点，过点作主光轴的垂线，垂足为，即可得出物体所成的像．
已知，，，，，当时， 求证：．
证明：∵，，
∴∥，
∴∽，
∴，
即.
同理可得∽，
∴，即 ① ，
∴ ② ，∴，∴，即.
请结合上述材料，解决以下问题：
(1)在上述证明过程的虚框部分中，得到比例式所用到的几何知识是________________；
(2)请补充上述证明过程中①②所缺的内容(用含的代数式表示)；
(3)如图3，在中，，平分并交边于点，设，求的值(用含的代数式表示).
24．（13分）
如图1，点分别为的边上的点，，，作关于的轴对称图形，延长交于点，延长至点，使得，连接.
(1)若，求证：平分；
(2)在(1)的条件下，取的中点，求证：三点共线；
(3)如图2，当为锐角，且时， 求的长.
25．（13分）
已知点和点在抛物线上.
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)四边形的四个顶点均在该抛物线上，与交于点，直线为，直线为.
①求的值；
②记的面积为，四边形的面积为，若，，求的最小值.
2023-2024学年度泉州市初中教学质量监测（二）初三数学
参考答案及评分标准
说明：
（一）考生的正确解法与“参考答案”不同时，可参照“参考答案及评分标准”的精神进行评分．
（二）如解答的某一步出现错误，这一错误没有改变后续部分的考查目的，可酌情给分，但原则上不超过后面应得的分数的二分之一；如属严重的概念性错误，就不给分．
（三）以下解答各行右端所注分数表示正确做完该步应得的累计分数．
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.A 2.B 3.C 4. C 5.B 6. D 7. D 8.B 9.A 10.D
二、填空题（每小题4分，共24分）
11. 360 　 12.　　 13. 14. 15. 16. 2或6
三、解答题（共86分）
17.（8分）
解：原式 6分
. 8分
(其它解法，请参照以上评分标准)
18.（8分）
解方程组：
解：由①+②，得，解得， 4分
把代入②，得，解得，
∴. 8分
(其它解法，请参照以上评分标准)
19.（8分）
解：原式 2分
3分
4分
5分
. 6分
当时，原式 7分
. 8分
(其它解法，请参照以上评分标准)
20.（8分）
证明：∵∥，
∴. 2分
在和中， 6分
∴≌. 7分
∴. 8分
(其它解法，请参照以上评分标准)
21.（8分）
解：（1）2； 2分
（2）同意小明的意见，理由如下：
法一：记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下：
总共有6种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有2种，
所以； 4分
记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，画树状图如下：
总共有12种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有4种，
所以； 6分
所以， 7分
所以增加一个白球后，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变． 8分
法二：记“没有增加球前一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，列表如下：
白
白
总共有6种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有2种，
所以； 4分
记“增加一个白球后一次性摸出的两个球恰好都是相同颜色”为事件，列表如下：
总共有12种等可能出现的结果，其中一次性摸出两个球是相同颜色的有4种，
所以； 6分
所以， 7分
所以增加一个白球后，则一次性摸出两个球恰好都是相同颜色的概率不变． 8分
(其它解法，请参照以上评分标准)
22.（10分）
证明：(1)∵，
∴，
又∵，
∴. 1分
∵，
∴. 2分
∵是⊙的直径，
∴.
∴，
∴，
∴， 3分
∴，又是⊙的半径，
∴与⊙相切. 4分
(2)∵与都是所对的圆周角，
∴.
在中，. 5分
设，则，. 6分
，解得，经检验，是原方程的解， 7分
∴，. 8分
在中，由勾股定理，得. 9分
∴. 10分
(其它解法，请参照以上评分标准)
23.（10分）
解：(1)相似三角形的性质； 2分
(2)①，②； 6分
(3)法一：如图1，作∥，交的延长线于点，作∥，交于点，
过点作，垂足为.
∵平分，，
∴.
又∵∥，
∴，
∴，同理可得.
∵∥，∥，
∴∥，
∴， 7分
∴，
同理可得，
∴，
又∵，
∴，. 8分
∵，，
∴. 9分
在中，，，，，
∴，
∴. 10分
法二：如图2，过点作，垂足为，
过点作，垂足为，过点作，垂足为.
∵平分，，
∴，. 7分
在中，，. 8分
∵，
∴， 9分
∴，
∴，
∴. 10分
(其它解法，请参照以上评分标准)
24.（13分）
解：(1)如图1，∵与关于对称，
∴，. 1分
在和中，
∴≌. 2分
∴，
∴平分. 3分
(2)法一：如图2，连接.
由(1)证得，，，. 4分
设，
∵，，
∴，.
5分
在中，是的中点，
∴，
∴，
∴. 7分
∵，
∴，
∴三点共线. 8分
法二：如图3，连接.
∵，为的中点，
∴，， 4分
由(1)知，
∴在以为直径的圆上. 5分
∴.
同理可得， 6分
由(1)知，，
∴.
在中，， 7分
∴，
∴三点共线. 8分
(3)法一：如图4，过点B作BP⊥CE于点P，BQ⊥AC于点Q，
同(1)可证得≌，
∴.
又∵，
∴∽.
∴，. 9分
设，
∴，，
∴，
又∵，∴，
∴，
∴. 10分
过点作的平分线交EC于点R，
∴，
∴，
∴.
∵，，
∴∽. 11分
∴，设，则，，
∴，解得，
∵，，，
∴，
∴.
由，得， 12分
即，解得（舍负），
∴. 13分
法二：
如图5，过点B作BP⊥CE于点P，BQ⊥AC于点Q，
同(1)可证得≌，
∴.
又∵，
∴∽.
∴，. 9分
过点作于点，设，则，
∵，，
∴∽.
∴，. 10分
设，则，
∵，，
∴. 11分
∵，，
∴，
又∵，
∴∽，，
∴， 12分
即，解得（舍负），
∴. 13分
(其它解法，请参照以上评分标准)
25.（13分）
解：(1)将点和点代入，得
，解得， 2分
所以抛物线的表达式为. 3分
(2)①法一：如图所示，依题意，联立，得，
所以，. 4分
设直线的表达式为，又直线过点，
所以，解得，
所以直线的表达式为，
联立，得，
5分
所以，所以，
所以，同理，. 6分
联立，得，
所以， 7分
所以，即. 8分
法二：联立，得，
所以，. 4分
同理，. 5分
设直线的表达式为，
又直线过点，
所以，
联立，得，
所以，
同理. 6分
故
8分
②法一：设与轴交于点，与轴交于点.
当，时，由(2)①得，解得，
(或，解得)
所以直线的表达式为.
所以. 9分
记的面积为，的面积为，的面积为，，
所以. 10分
又因为，
所以，，，
所以，
所以. 11分
记，则，即，
因为存在，故关于的一元二次方程有实数根，
所以， 12分
所以≤或≥，
解得≥ 或≤(不符合题意，舍去)，
所以当时，取得最小值，且的最小值为. 13分
法二：以上同法一，
因为，
又因为， 12分
所以，当且仅当时，即当时，取得等号，
所以的最小值为. 13分
(其它解法，请参照以上评分标准)
C.
B.
D.
A.
主视方向
学生编号
分数(分)
A
P
B
Q
1
3
2
l
A
B
C
D
O
E
A
B
C
E
D
F
G
O
A
B
C
D
O
E
A
C
E
D
B
O
C
A
B
E
D
F
图1
图2
C
A
B
D
图3
B
图2
A
C
D
E
N
M
B
图1
A
C
D
E
N
M
Q
O
C
A
B
E
D
F
(第22题图)
C
A
B
D
(第23题图1)
E
F
G
C
A
B
D
(第23题图2)
N
E
M
B
(第24题图1)
A
C
D
E
N
M
Q
B
(第24题图2)
A
C
D
E
N
M
Q
B
(第24题图3)
A
C
D
E
N
M
Q
B
(第24题图4)
A
C
D
E
N
M
R
Q
P
B
(第24题图5)
A
C
D
E
N
M
Q
P
F
(第25题图)

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