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重难点03 平面向量与复数
考点一 平面向量的概念及线性运算
考点二 平面向量基本定理及坐标表示
考点三 平面向量的数量积
考点四 平面向量的综合应用
考点五 复数的运算
考点六 复数的几何意义
考点一：平面向量
一、平面向量的线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的模(或长度)．
(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
(3)单位向量：模等于1的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等的向量：大小相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：大小相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量基本定理
如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}．
2．平面向量的正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
三、平面向量的数量积
1.向量的夹角
给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.
2.平面向量的数量积
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
3.平面向量数量积的几何意义
(1)设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′(如图)，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影.
(2)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为.一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，它们的方向既有可能相同，也有可能相反.
(3)一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量，投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.a·b等于a在b上的投影的数量与b的模的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.特别地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
题型1 平面向量的概念及线性运算
1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A． B． C． D．
2．（23-24高三上·天津·期中）已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最大值为
3．（22-23高一下·天津和平·期末）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法不正确的是（ ）

A． B．
C． D．在上的投影向量为
4．（2023·天津南开·二模）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
5．（21-22高三上·天津北辰·期中）在中，点满足，若存在点，使得，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
1、平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等的向量． (4)是与a同方向的单位向量． 2、平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
题型2 平面向量基本定理及坐标运算
6．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A．10 B．4 C．7 D．13
7．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是的重心，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
8．（2023·天津和平·一模）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
9．（20-21高三上·天津河北·阶段练习）已知是边长的等边三角形，点D，E分别是，上的点，且，，连接DE并延长到点F，使，则的值为（ ）
A．6 B．18 C． D．
10．（19-20高三下·天津滨海新·阶段练习）如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（ ）
A． B． C． D．
一、(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 二、(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解． (2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算． 二、
题型3 平面向量的数量积
11．（23-24高三上·天津·期末）已知，，m为实数，若，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
12．（23-24高三上·天津河北·期末）如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（ ）

A． B． C． D．
13．（23-24高三上·天津东丽·阶段练习）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）

A． B． C．6 D．10
14．（2014·河南开封·一模）若，且，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·天津河西·模拟预测）在中，，，，设，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
1、计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积． (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义． 2、(1)求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2； ②几何法：利用向量的几何意义． (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝； ②坐标法． (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
题型4 平面向量的综合应用
16．（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为 ；的最小值为 .
17．（2024·天津·一模）在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为 ；点是线段上一点，且，若，则的最大值为 .
18．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 .
19．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC边的中点，，，，则 ；设M为平面上一点，且，其中，则的最小值为 ．
20．（2024·天津·一模）在中，，则 ；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是 ．
21．（2024·天津河东·一模）已知，如图所示，点为中点，点满足，记，用表示 ；当时 ．

22．（2024·天津南开·一模）平面四边形ABCD中，，E为BC的中点，用和表示 ；若，则的最小值为
23．（23-24高三下·天津和平·开学考试）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值．
24．（23-24高三上·天津·期末）在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 .
25．（2023·天津红桥·一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
考点二：复数
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中i称为虚数单位，满足i2＝－1.
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
题型1 复数的运算
1．（2024·天津·一模）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高三下·天津·开学考试）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．3 B． C．5 D．
3．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
4．（19-20高三上·天津北辰·期中）是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
5．（22-23高二下·全国·阶段练习）若复数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024·天津·一模）已知是虚数单位，化简的结果为 .
7．（2024·天津南开·一模）i是虚数单位，复数，则的虚部为
8．（2024·天津和平·一模）i为虚数单位，复数则 .
9．（2024·天津河东·一模）是复数单位，化简的结果为 ．
10．（23-24高三上·天津·期末）设，则的共轭复数为 ．
1、对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0； 2、两个复数不能直接比大小，但如果成立，等价于。 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
题型2 复数的几何意义
11．（23-24高三上·天津红桥·阶段练习）已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
12．（19-20高三上·天津宁河·阶段练习）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．（2020·天津·一模）已知复数满足，则在复平面内与复数对应的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
14．（20-21高三上·天津南开·期中）已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
15．（2019·天津·一模）已知复数，且复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则
A． B． C． D．
16．（2023高三·天津·专题练习）已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第 象限．
17．（2022·天津和平·二模）复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为 .
18．（20-21高三上·天津静海·阶段练习）若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于第 象限．
19．（18-19高三·天津南开·阶段练习）若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为 ．
20．（2018·天津·一模）复数，，则在复平面内所对应的点位于第 象限．
复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离. 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．重难点03 平面向量与复数
考点一 平面向量的概念及线性运算
考点二 平面向量基本定理及坐标表示
考点三 平面向量的数量积
考点四 平面向量的综合应用
考点五 复数的运算
考点六 复数的几何意义
考点一：平面向量
一、平面向量的线性运算
1．向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的模(或长度)．
(2)零向量：始点和终点相同的向量称为零向量，记作0．
(3)单位向量：模等于1的向量．
(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量平行．
(5)相等的向量：大小相等且方向相同的向量．
(6)相反向量：大小相等且方向相反的向量．
2．向量的线性运算
向量运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 a－b＝a＋(－b)
数乘 |λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同； 当λ<0时，λa的方向与a的方向相反； 当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量基本定理
如果a≠0，且b∥a，则存在唯一的实数λ，使得b＝λa.
平面向量基本定理及坐标表示
1．平面向量基本定理
如果平面内两个向量a与b不共线，则对该平面内任意一个向量c，存在唯一的实数对(x，y)，使得c＝xa＋yb.平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底，记为{a，b}．
2．平面向量的正交分解
如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就称这组基底为正交基底；在正交基底下向量的分解称为向量的正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则a∥b x1y2－x2y1＝0.
三、平面向量的数量积
1.向量的夹角
给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与向量b的夹角，记作〈a，b〉.
2.平面向量的数量积
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|·cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉.
3.平面向量数量积的几何意义
(1)设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′(如图)，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影.
(2)给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为.一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，它们的方向既有可能相同，也有可能相反.
(3)一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|·cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量，投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数.a·b等于a在b上的投影的数量与b的模的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.特别地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量.
4．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a.
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
5．平面向量数量积的有关结论
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
几何表示 坐标表示
数量积 a·b＝|a||b|cos θ a·b＝x1x2＋y1y2
模 |a|＝ |a|＝
夹角 cos θ＝ cos θ＝
a⊥b的充要条件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0
|a·b|与|a||b|的关系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤
题型1 平面向量的概念及线性运算
1．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，若，，且，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由向量加减、数乘几何意义用表示出，即可得结果.
【详解】由题设
，
所以，即，
又，故.
故选：A
2．（23-24高三上·天津·期中）已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则（ ）
A．的最小值为
B．的最小值为
C．的最大值为
D．的最大值为
【答案】D
【分析】
利用向量的线性运算和数量积的公式，结合基本不等式求最值即可.
【详解】
，且为线段的中点，
所以,
则,,
设,
则，
且和共线，，
所以，.
故为线段的中点,且,
所以,
且,若，
则,
即,
故,当且仅当时，等号成立；
,当的最大时, 即最小时，
此时，
.
故选：D
3．（22-23高一下·天津和平·期末）蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物．巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成．巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜．如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法不正确的是（ ）

A． B．
C． D．在上的投影向量为
【答案】A
【分析】对A，利用向量的减法和相反向量即可判断；对B，根据向量的加法平行四边形法则即可判断；对C，利用平面向量的数量积运算即可判断；对D，利用向量的几何意义的知识即可判断．
【详解】连接，与交于点，如图所示，
对于A：，显然由图可得与为相反向量，故A错误；
对于B：由图易得，直线平分角，且为正三角形，根据平行四边形法则有，与共线且同方向，
易知，均为含角的直角三角形，
故，，即，
所以，
又因为，故，
故，故B正确；
对于C：设正六边形的边长为，
则，，
所以，故C正确；
对于D：易知，则在上的投影向量为，故D正确，
故选：A．

4．（2023·天津南开·二模）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最大值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】A
【分析】求出，由已知求出点的轨迹为圆，再由平面向量的平行四边形法则得出，的最大值即圆心到定点的距离加上半径，代入化简求值即可．
【详解】，，所以，则，
又因为，
所以，所以
由可得，点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，
取的中点，则，
所以，
故选：A
5．（21-22高三上·天津北辰·期中）在中，点满足，若存在点，使得，且，则（ ）
A． B．2 C．1 D．
【答案】A
【分析】由可得，又，结合已知得，从而可得结果.
【详解】，
∴，
，可得，
∵
∴则.
故选：A.
1、平行向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性． (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关． (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等的向量． (4)是与a同方向的单位向量． 2、平面向量线性运算的常见类型及解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义． (2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
题型2 平面向量基本定理及坐标运算
6．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）在中，，E是线段上的动点（与端点不重合），设，则的最小值是（ ）
A．10 B．4 C．7 D．13
【答案】D
【分析】由已知条件结合平面向量基本定理可得，，则，化简后利用基本不等式可得答案.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
因为三点共线，所以，，
，
当且仅当，即时取等.
故选：D.
7．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）已知是的重心，且，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】由重心条件与，将分别用基底表示两次，则由平面向量基本定理建立方程组求解即可.
【详解】由是的重心，
则，，
由，
；
已知构成，则向量不共线，
由平面向量基本定理得，
，解得，则.
故选：C.
8．（2023·天津和平·一模）如图，在中，，，P为CD上一点，且满足，若，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】设，可得出，可得出关于、的方程组，即可解得实数的值；利用数量积得出，利用平面向量数量积的运算性质结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】设，则
，
所以，，解得.
，，
，
当且仅当时，即当时，等号成立.
所以，的最小值为.
故选：A.
9．（20-21高三上·天津河北·阶段练习）已知是边长的等边三角形，点D，E分别是，上的点，且，，连接DE并延长到点F，使，则的值为（ ）
A．6 B．18 C． D．
【答案】A
【分析】以为基底，根据已知的关系，利用向量的线性运算表示出，再利用向量的数量积的运算律化简求值.
【详解】由，，得，
又，则，
又，，
则
故选：A
10．（19-20高三下·天津滨海新·阶段练习）如图，，点由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）.且，则实数对可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题可利用平面向量基本定理和平行四边形法则将四个答案一一代入，然后判断点的位置，排除错误答案，即可得出结果.
【详解】根据平面向量基本定理和平行四边形法则可知：
若取，则，点在阴影区域内，A正确；
若取，则，点在直线的上方，B错误；
若取，则，点在直线的下方，C错误；
若取，则，点在射线上，D错误，
故选：A.
【点睛】本题考查平面向量基本定理和平行四边形法则的应用，考查根据平行四边形法则判断向量的位置，考查数形结合思想，考查推理能力，是简单题.
一、(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算． (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决． 二、(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解． (2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算． 二、
题型3 平面向量的数量积
11．（23-24高三上·天津·期末）已知，，m为实数，若，则向量在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量加减法以及向量垂直的坐标表示可得，由投影向量定义可求得结果.
【详解】根据题意可知，
由可得，解得，所以；
所以向量在上的投影向量为.
故选：D
12．（23-24高三上·天津河北·期末）如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据两个三角形相似对应边成比例，得到，运用向量的加减运算和向量中点的表示，结合向量数量积的定义和性质，将向量用，表示，计算即可得到结果．
【详解】平行四边形，，，，，
可得，
是线段的中点，
可得，
；
，
则
．
故选：C
13．（23-24高三上·天津东丽·阶段练习）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（ ）

A． B． C．6 D．10
【答案】D
【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解.
【详解】根据题意可得，，
所以，
又因为，
所以,，
设,则，
所以，
，
所以
，
令，
当单调递增，单调递减，
当，取最大值为.
故选：D
14．（2014·河南开封·一模）若，且，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意即可得，得到，从而可得到与的夹角.
【详解】，，，，
，
，，
故选：B.
15．（2023·天津河西·模拟预测）在中，，，，设，，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用余弦定理及向量的数量积的定义，结合基本不等式即可求解.
【详解】在中，，，
由余弦定理，得，即，于是有.
由，得，即,于是有.
联立，得，
由，得,
将代入中，得.
由，，，知,
所以,
因为，
所以,
当且仅当即时，等号成立，
所以.
故当时，取得最大值为.
故选：B.
1、计算平面向量数量积的主要方法 (1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用基底法求数量积． (4)灵活运用平面向量数量积的几何意义． 2、(1)求平面向量的模的方法 ①公式法：利用|a|＝及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2； ②几何法：利用向量的几何意义． (2)求平面向量的夹角的方法 ①定义法：cos θ＝； ②坐标法． (3)两个向量垂直的充要条件 a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．
题型4 平面向量的综合应用
16．（2024·天津·一模）已知平行四边形的面积为，，且.若F为线段上的动点，且，则实数的值为 ；的最小值为 .
【答案】 /0.5 5
【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可求出第一空，建立平面直角坐标系，依据条件建立方程，结合基本不等式求解第二空即可.
【详解】
因为所以即
又所以，
由共线，则，解得
作，以为原点建立平面直角坐标系，
设且，则，而的面积为，
则，故，
则，
则，
当且仅当时取“=”，
故答案为：；5.
17．（2024·天津·一模）在平行四边形中，是线段的中点，点满足，若设，，则可用表示为 ；点是线段上一点，且，若，则的最大值为 .
【答案】
【分析】由向量的线性运算，可将可用，表示出来；再由，可得，从而得，代入向量夹角公式，利用基本不等式求得最值．
【详解】由，可得，
则
；
由，可得，
则，
由，可得，
即，
整理得，
故，
当且仅当时等号成立，
则的最大值为．
故答案为：；．
18．（2024·天津和平·一模）青花瓷，常简称青花，代表了我国古代劳动人民智慧的结晶，是中国瓷器的主流品种之一.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点在圆上运动且关于圆心对称.（i）请用表示 ；（ii）请写出的取值范围 .
【答案】
【分析】（i）根据向量线性运算可直接得到结果；
（ii）根据向量线性运算、数量积运算性质，可将所求数量积转化为；根据正六边形性质可求得的范围，由此可得结果.
【详解】（i）在圆上运动且关于圆心对称，为中点，；
（ii）；
当为正六边形顶点时，取得最大值；当与正六边形的边垂直时，取得最小值；
六边形为正六边形，为正三角形，；
作，则为中点，；
，即的取值范围为.
故答案为：；.
19．（2024·天津河西·一模）在中，D是AC边的中点，，，，则 ；设M为平面上一点，且，其中，则的最小值为 ．
【答案】 4
【分析】以为基底，由，求出；建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算把表示为关于的函数，由二次函数性质求最小值.
【详解】中，D是AC边的中点，，，
，
解得，即；
中，，，，
以为坐标原点，为轴，点在第一象限，建立如图所示为平面直角坐标系，

则有，设
由，得，
解得，，即，
则有，，
，
则有时，有最小值.
故答案为： 4；.
20．（2024·天津·一模）在中，，则 ；若点为所在平面内的动点，且满足，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】借助模长与数量积的关系即可得，取中点，借助向量的线性运算可得，逐项计算即可得其取值范围.
【详解】，
故，
，
取中点，则，
，，
故，
故.
故答案为：；.
21．（2024·天津河东·一模）已知，如图所示，点为中点，点满足，记，用表示 ；当时 ．

【答案】 3
【分析】
根据平面向量的线性运算计算即可得；利用转化法求.
【详解】,
由题意，为等腰三角形，则，，
所以
.
故答案为：；3
22．（2024·天津南开·一模）平面四边形ABCD中，，E为BC的中点，用和表示 ；若，则的最小值为
【答案】
【分析】
由向量的加减法运算求解第一个空，利用平面向量定理结合数量积运算律求解第二个空.
【详解】因为，故；
为等边三角形，
则
，
若，则D在以E为圆心的圆上且在直线AC的左侧部分运动，方可取到最小，
，易知时取得最小值，
故的最小值为.
故答案为：；.
23．（23-24高三下·天津和平·开学考试）在中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点．设，，记，则 ；若，的面积为，则当 时，取得最小值．
【答案】 /0.5 2
【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面积公式得到，结合和平面向量数量积公式，基本不等式得到的最小值，此时，由余弦定理得到.
【详解】由题意得
，
故，故；
由三角形面积公式得，
故，
其中，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
此时
，
故.
故答案为：，2
24．（23-24高三上·天津·期末）在矩形中，，，，，过M点作交于N点，若E，F分别是和上动点，且，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据题意建立平面直角坐标系，利用坐标表示向量，计算的最小值．
【详解】由题意，建立平面直角坐标系，如图所示：
过点作，垂足为，则，，
由，，可设，,，则,，由，
所以，,，
所以，
当时，取得最小值为．
故答案为：．
25．（2023·天津红桥·一模）如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（，交两点不重合）.若，则 ，若，，则的最小值为 .
【答案】
【分析】根据向量的加减运算，以为基底，表示出，和已知等式比较，即可得的值，求得的值；结合已知用表示，结合三点共线可得，将化为，展开后利用基本不等式，即可求得的最小值.
【详解】在中，，，则，
故
，
故；
又，而，，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：；
【点睛】结论点睛：若，则三点共线.
考点二：复数
1．复数的有关概念
(1)复数的定义：一般地，当a与b都是实数时，称a＋bi为复数．其中i称为虚数单位，满足i2＝－1.
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)
(3)复数相等：
a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(4)共轭复数：
a＋bi与c＋di互为共轭复数 a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(5)复数的模：
向量的长度称为复数z＝a＋bi的模(或绝对值)，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
3．复数的四则运算
(1)复数的加、减、乘、除运算法则：
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形法则或三角形法则进行．
如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即＝＋，＝－.
题型1 复数的运算
1．（2024·天津·一模）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数的除法运算法则以及复数的模的概念即可得到结果.
【详解】，
，
故选：B.
2．（23-24高三下·天津·开学考试）已知复数满足（为虚数单位），则（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】根据复数乘法的运算法则、虚数单位乘方的运算性质，结合复数的模定义进行求解即可.
【详解】由，
则，
所以.
故选：D
3．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）若复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】计算出复数后再计算模长即可得.
【详解】由，则，
则.
故选：A.
4．（19-20高三上·天津北辰·期中）是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用复数除法法则计算出答案.
【详解】.
故选：A
5．（22-23高二下·全国·阶段练习）若复数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用复数的除法运算化简复数，然后利用共轭复数的概念求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：B.
6．（2024·天津·一模）已知是虚数单位，化简的结果为 .
【答案】
【分析】根据复数的除法运算计算即可.
【详解】.
故答案为：.
7．（2024·天津南开·一模）i是虚数单位，复数，则的虚部为
【答案】
【分析】首先将题中所给的式子进行化简，求得复数得代数形式，从而得到其虚部.
【详解】.
所以复数的虚部为.
故答案为：.
8．（2024·天津和平·一模）i为虚数单位，复数则 .
【答案】
【分析】根据复数的运算及模的定义求解即可.
【详解】，
故答案为：
9．（2024·天津河东·一模）是复数单位，化简的结果为 ．
【答案】
【分析】
根据复数的除法运算即可求解.
【详解】，
故答案为：
10．（23-24高三上·天津·期末）设，则的共轭复数为 ．
【答案】
【分析】
由复数的运算化简z,再求共轭复数.
【详解】因为
故.
故答案为：.
1、对复数为纯虚数理解不透彻，对于复数为纯虚数，往往容易忽略虚部不等于0； 2、两个复数不能直接比大小，但如果成立，等价于。 (1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算． (2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数．
题型2 复数的几何意义
11．（23-24高三上·天津红桥·阶段练习）已知为虚数单位，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】根据题意得到，即可得到答案.
【详解】令，
则在复平面对应的点为，在第四象限.
故选：D
12．（19-20高三上·天津宁河·阶段练习）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数运算法则计算得 ，根据点所在象限列不等式组求解即可．
【详解】由题得 ，
在复平面内所对应的点在第二象限，
所以 ，解得： ，
所以．
故选：B．
13．（2020·天津·一模）已知复数满足，则在复平面内与复数对应的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用复数的除法化简复数z，再利用复数的几何意义判断.
【详解】因为复数满足，
所以，
所以在复平面内与复数对应的点的坐标为，
故选：B
14．（20-21高三上·天津南开·期中）已知i为虚数单位，复数，则z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】根据三角函数的诱导公式，求得复数，结合复数的几何意义，即可求解.
【详解】由
即复数，
所以复数对应的点为位于第二象限.
故选：B
15．（2019·天津·一模）已知复数，且复数在复平面内对应的点关于实轴对称，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据对称性求出，再利用复数除法的运算法则求解即可.
【详解】因为复数，且复数在复平面内对应的点关于实轴对称，
，
，故选B.
【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
16．（2023高三·天津·专题练习）已知复数（是虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于第 象限．
【答案】一
【分析】利用复数除法法则计算出，得到其在复平面内对应的点所在象限.
【详解】，复数在复平面内对应的点的坐标为，
故复数在复平面内对应的点位于第一象限．
故答案为：一．
17．（2022·天津和平·二模）复数：满足（是虚数单位），则复数z在复平面内所表示的点的坐标为 .
【答案】
【分析】先求解出，从而得到对应点的坐标.
【详解】由题意得：，
对应的点的坐标为.
故答案为：
18．（20-21高三上·天津静海·阶段练习）若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于第 象限．
【答案】第三象限
【解析】先针对原式进行变形，求解出复数z，然后判断其所对应的点在第几象限.
【详解】由得，
则复数在复平面内所对应的点位于第三象限.
故答案为：第三象限.
【点睛】判断复数所对应的点在复平面内在第几象限，只需判断点所确定的点位于第几象限即可.
19．（18-19高三·天津南开·阶段练习）若复数满足，其中为虚数单位，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为 ．
【答案】
【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出得答案．
【详解】，，
则，的共轭复数在复平面内对应点的坐标为，
故答案为
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义准确计算是关键，是基础题．
20．（2018·天津·一模）复数，，则在复平面内所对应的点位于第 象限．
【答案】一
【分析】把，代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面内所对应的点的坐标即可得到答案．
【详解】解：，，
，
在复平面内所对应的点的坐标为，位于第一象限．
故答案为一．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
复数与复平面内的点、平面向量存在一一对应关系，两个复数差的模可以理解为两点之间的距离. 由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．

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