资源简介

重难点05 导数及其应用
考点一 导数的概念及几何意义
导数的概念
导数的几何意义
公切线问题
考点二 导数与函数的单调性
导数与函数的单调性
导数与函数的极值、最值
考点三 导数与函数的极值、最值
函数中的构造问题
利用导数研究恒成立问题
利用导数证明不等式
利用导数研究函数的零点
考点一：导数的概念及几何意义
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0).
f′(x0)＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝y′x＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型1 导数的概念
1．（22-23高二下·天津·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用基本初等函数求导公式判断即可.
【详解】对于A项：常值函数求导，，所以A错；
对于B项：指数函数求导，，所以B错；
对于C项：幂函数求导，，所以C错；
对于D项：对数函数求导，，所以D正确.
故选：D.
2．（22-23高三上·天津·期中）若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求导，再解不等式即可.
【详解】由得，，
令且，
解得
即的解集为
故选：C.
3．（22-23高三上·天津东丽·期中）若函数，则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．10 D．4
【答案】D
【分析】由已知，根据已知函数，先求导，然后赋值，计算出，代入原函数，即可直接求解的值.
【详解】由已知，，
所以，所以，
所以，所以函数，
所以.
故选：D.
4．（19-20高三上·天津红桥·期末）已知函数，为的导函数，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求得，再去求即可解决.
【详解】
则
故选：D
5．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可.
【详解】当时，，且，
则二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点，
所以在上有唯一零点，
因为有3个零点，所以在上有2个零点，
即与的图象有2个交点，
如图当直线与曲线相切时设切点为，所以解得，

由图可知，时，与的图象有2个交点，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
题型2 导数的几何意义
6．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程.
【详解】，所求切线斜率，
所求切线方程为：，即.
故选：A.
7．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导，可得，再求解，结合直线方程的点斜式即得解.
【详解】由题意，
故，且，
故切线方程为：，即.
故选：D
8．（21-22高三上·天津·期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程.
【详解】设，则，则，，
因此，曲线在点处的切线方程为.
故选：D.
9．（2020·天津·二模）已知函数 函数.若关于的方程有个互异的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意作出函数图象，转化条件为要使直线与函数的图象有三个交点，分别考虑直线与函数在y轴右侧、左侧的图象的交点个数，即可得解.
【详解】由题意作出函数的图象，如图：
要使关于的方程有个互异的实数根，
则要使直线与函数的图象有三个交点，
易知点，，
由图象可知，当时，不合题意；
当时，若直线与函数在y轴右侧的图象相切，设切点为，
由可得，解得，，切点恰为点，
所以当时，直线与函数在y轴右侧的图象只有一个交点；
若直线与函数在y轴左侧的图象相切，设切点为，
由，所以，
解得（舍去）或，，
当直线过点时，，
所以当时，直线与函数在y轴左侧的图象有两个交点；
综上，要使直线与函数的图象有三个交点，则.
即实数的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查了函数与方程的关系，考查了导数几何意义的应用、导数的计算与数形结合思想，属于中档题.
10．（2020·天津·一模）已知函数若关于的方程恰有1个实根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】分别求出和在点外的切线斜率，结合函数图象可得结论．
【详解】由得，，
由得，．
作出函数的图象，和直线，直线恒过点，知时，关于的方程恰有1个实根，
故选：A．
【点睛】本题考查方程根的分布，解题方法把方程的根据转化为函数图象交点个数，即函数的图象与直线的交点个数，从而由数形结合思想易求解．
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
题型3 公切线问题
11．（2018·广西桂林·二模）若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到，则有解．再利用导数进一步求得的取值范围．
【详解】在点的切线斜率为，
在点的切线斜率为，
如果两个曲线存在公共切线，那么：．
又由斜率公式得到，， 由此得到，
则有解，
由，的图象有公共点即可．
当直线与曲线相切时，设切点为，则
，且，可得
即有切点，，故的取值范围是：．
故选:.
【点睛】本题利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．
12．（13-14高三·全国·课时练习）若曲线，在点处的切线分别为，且，则的值为
A． B．2 C． D．
【答案】A
【详解】试题分析：因为，则f′（1）=，g′（1）=a，又曲线a在点P（1，1）处的切线相互垂直，所以f′（1） g′（1）=-1，即，所以a=-2．故选A．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．
13．（2019·天津和平·三模）已知函数的图象在点处的切线与曲线相切，则 ．
【答案】-2．
【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义写出切线方程，再利用切线的斜率的不同表示方法列出关于a，t的方程，求解即可得到结论．
【详解】函数f（x）＝ex+ax，函数的导数f′（x）＝ex+a，f′（0）＝1+a，f（0）＝1，
∴切线方程为y=(1+a)x+1，
又的导函数y′=，令切点坐标为（t，-lnt），
则有，解得t=1，
a=
故答案为．
【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及直线的斜率表示，属于基础题．
14．（2017·重庆·一模）函数和有相同的公切线，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲线方程，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到a的范围．
【详解】解：两曲线y＝x2﹣1与y＝alnx﹣1存在公切线，
y＝x2﹣1的导数y′＝2x，y＝alnx﹣1的导数为y′，
设y＝x2﹣1相切的切点为（n，n2﹣1）与曲线y＝alnx﹣1相切的切点为（m，alnm﹣1），
y﹣（n2﹣1）＝2n（x﹣n），即y＝2nx﹣n2﹣1，
y﹣（alnm﹣1）（x﹣m），即：y
∴
∴，
∴
即有解即可，
令g（x）＝x2（1﹣lnx），
y′＝2x（1﹣lnx）x（1﹣2lnx）＝0，可得x，
∴g（x）在（0，）是增函数；（，+∞）是减函数，
g（x）的最大值为：g（），
又g（0）＝0，
∴，∴a≤2e．
故答案为（﹣∞，2e]．
【点睛】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于中档题．
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
考点二：导数与函数的单调性
导数与函数的单调性
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上是增函数
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上是减函数
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
题型1 不含参函数的单调性
1．（22-23高二下·山东临沂·期中）若函数，则函数的单调递减区间为（ ）．
A．， B．，
C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域，由，求函数的单调递减区间.
【详解】，函数定义域为，
，
令，解得，
则函数的单调递减区间为.
故选：C.
2．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题可得函数在上为增函数，又，即得.
【详解】∵，，
由得，，∴，函数为增函数，
当时，，又，
故的零点所在的区间是.
故选：B
3．（16-17高二上·江西南昌·期末）函数的单调减区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）
【答案】A
【分析】求得函数的定义域与导数，结合导数的符号，即可求得函数的递减区间，得到答案.
【详解】由题意，函数的定义域为，且，
因为，可得，令，即，解得，
所以函数的递减区间为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数与函数的单调性的关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.
4．（2016·山东·二模）设函数，则下列结论正确的是
A．函数上单调递增
B．函数上单调递减
C．若，则函数的图象在点处的切线方程为y=10
D．若b=0，则函数的图象与直线y=10只有一个公共点
【答案】C
【详解】试题分析：∵，∴，
令，即，∴ 或，∴函数在和上为增函数，
令，即，∴ ，∴函数在上为减函数，
∴排除A、B答案；
当时，，，∴曲线的切点为，
∵，∴，∴，故C正确；
当时，，∴，∴，
∴函数在和上为增函数，在上为减函数，且，，
∴函数的极大值为16，极小值为-16，∴函数的图象与直线y=10有三个公共点，故D错；
综上可得，答案选C．
考点：利用导数求曲线的切线、函数的单调性、函数的极值和最值．
【方法点睛】1．导数的几何意义：函数在在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率，即斜率为，过点P的切线方程为．
2．函数单调性的判断：函数在某个区间内可导，如果，那么在这个区间内单调递增；如果，那么在这个区间内单调递减．
5．（19-20高二下·浙江宁波·期中）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求导，令求解.
【详解】解：因为，
所以，
令，得，
所以的单调递减区间为，
故选：B
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
题型2 含参函数的单调性
6．（22-23高二下·福建龙岩·期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得.
【详解】函数定义域为，且，
依题意在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递减，
且当时，所以，即实数的取值范围是.
故选：D
7．（17-18高三上·云南昆明·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用导数研究函数的单调性，f(x)在内存在单调增区间，等价于在上有有解，然后参变分离即可求解﹒
【详解】∵函数在区间内存在单调递增区间，
∴在区间上有解(成立)，
即在区间上成立，
又函数在上单调递增，
∴函数在上单调递增，
故当时，取最小值，即，
即，得．
故选：D﹒
8．（21-22高三上·广东·阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出导函数，由在上有解得的范围．转化为求函数的最最小值．
【详解】因为在上存在单调递减区间，所以在上有解，所以当时有解，而当时，，（此时），所以，所以的取值范围是.
故选：B.
9．（20-21高二下·吉林长春·期末）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，参变分离，构造函数，求出的最小值即可.
【详解】因为，所以，
因为在区间上单调递增，所以在上恒成立，
即在上恒成立，所以，令，则，当时，所以在上单调递增，又因为，且，所以，
故选：D.
10．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令 ，先讨论 求出单调区间，进而判断函数 的极小值，再由 有两个零点，
所以方程有2个根，而 ，所以且，即可得到 的取值范围．
【详解】令 ,
,
①当 , 时， ，则 ,
则函数在上单调递增，
时， ，所以 ,
则函数 在上单调递减；
②当时，, ，所以 ,
则函数在上单调递增，
当时，，所以 ,
则函数在上单调递减．
故当且时， 在时递减；在时递增，
则 为 的极小值点，且为最小值点，且最小值.
又函数 有两个零点，所以方程有两个不相等的实根，
而，所以 且 ，解得 ,
故选：A .
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
考点三：导数与函数的极值、最值
1．函数的极值
(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
①f(x)②f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点就是在其附近函数值最大的点，极小值点就是在其附近函数值最小的点．
(2)一般地，如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝0.
(3)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义域，求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
题型1 利用导数求函数的极值
1．（23-24高三上·天津红桥·期中）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．有两个极值点 B．有两个极小值
C．为函数的极小值 D．为的极小值
【答案】B
【分析】根据题意，由函数的图形，对分类讨论，得出函数的单调区间，结合极值点的定义，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数的图象，可得：
当时，可得，所以，单调递减；
当时，可得，所以，单调递增；
当时，可得，所以，单调递减；
当时，可得，所以，单调递增，
所以，当时，函数极小值；当时，函数极大值；
当时，，函数极小值，所以A错误，B正确，C错误，D错误.
故选：B.
2．（22-23高二下·天津·期中）已知在区间上有极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极小值点，从而得到不等式组，解得即可.
【详解】函数定义域为，，
所以时，当或时，
所以在上单调递增，在，上单调递减，
所以在处取得极小值，
因为在区间上有极小值，
所以，解得，即实数的取值范围是.
故选：D
3．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题，将问题转化为在上无解，进而研究函数性质可得，再求得.
【详解】解：求导有，
因为函数有唯一的极值点，
所以，有唯一正实数根，
因为，
所以在上无解，
所以，在上无解，
记，则有，
所以，当时，，在上递减，
当时，，在上递增．
此时时，有最小值，
所以， ，即，
所以，即的取值范围是
故选：A
4．（19-20高三·天津·周测）已知是函数的一个极值点，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导并根据得，再代入并解即可得，进而得.
【详解】解：，
因为是函数的一个极值点，
所以，即，
所以，
令，所以得或，所以，即，
所以，
故选：C
【点睛】本题考查根据极值点求参数的范围，考查运算求解能力，是中档题.本题解题的关键在于根据极值点得，进而代入得，即可得答案.
5．（20-21高三上·天津河西·阶段练习）若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先对函数求导，然后结合极值存在的条件转化为函数图象交点问题，分离参数后结合导数即可求解.
【详解】由题意可得，没有零点，
或者有唯一解（但导数在点的两侧符号相同），
即没有交点，或者只有一个交点但交点的两侧符号相同.
令，，
则，
令则在上单调递减且，
所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
故当时，取得最大值，
又时，，时，，
结合图象可知，即.
故选：C.
【点睛】方法点睛：已知函数没有极值点，求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）分离参数法：先求导然后将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（2）数形结合法：先求导然后对导函数变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性．
题型2 导数与函数的最值
6．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）若函数在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设为函数的零点，则，转化为在直线上，根据表示点到原点的距离的平方，得到，构造新函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】因为，
设为函数在上的零点，则，
即，即点在直线上，
又因为表示点到原点的距离的平方，
则，即，
令，则，
因为，所以，在单调递增.
所以最小值为.
故选：B.
【点睛】关键点睛：设零点有，换主元化为点在直线上，结合的几何意义及点线距离公式得为关键.
7．（22-23高三·全国·对口高考）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由函数的极大值与最大值的关系即可求解.
【详解】，令，得，
因为在区间上的最大值就是函数的极大值，
则必有，所以.
故选：C.
8．（22-23高三上·天津红桥·期中）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】根据题意可知，，可解得，即可求得答案
【详解】由可得，
因为当时，函数取得最大值，
所以，解得，
所以，
因此当，，单调递增；当，，单调递减，
故当时取最大值，满足题意，
所以
故选：B
9．（22-23高三上·天津红桥·期中）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】A
【分析】由得，再由在处取得最大值，分析得，得.
【详解】当时，函数取得最大值-2，
所以，即，，定义域为，
又因为在处取得最大值，所以在上单调递增，在上单调递减，， 则，所以.
故选：A.
10．（2016高三·天津红桥·学业考试）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先求出函数的导函数，根据代入求出的值，即可得到函数解析式，从而求出函数的导函数，得到函数的单调区间与极值，再计算出区间端点函数值，即可得解；
【详解】解：，
，
，
，
，
，
令，则或，
当或时，，即函数在和上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
所以在处取得极大值，在处取得极小值，又，，
故函数在区间上的最大值为，
故选：A．
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．重难点05 导数及其应用
考点一 导数的概念及几何意义
导数的概念
导数的几何意义
公切线问题
考点二 导数与函数的单调性
导数与函数的单调性
导数与函数的极值、最值
考点三 导数与函数的极值、最值
函数中的构造问题
利用导数研究恒成立问题
利用导数证明不等式
利用导数研究函数的零点
考点一：导数的概念及几何意义
1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0).
f′(x0)＝ .
(2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)
f′(x)＝y′＝y′x＝ .
2．导数的几何意义
函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函数的导数公式
基本初等函数 导函数
f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0
f(x)＝xα f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cos x
f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x
f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
4.导数的运算法则
若f′(x)，g′(x)存在，则有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
′＝(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．复合函数的定义及其导数
复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
题型1 导数的概念
1．（22-23高二下·天津·期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（22-23高三上·天津·期中）若，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·天津东丽·期中）若函数，则的值为（ ）
A．1 B．－1 C．10 D．4
4．（19-20高三上·天津红桥·期末）已知函数，为的导函数，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
5．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．
题型2 导数的几何意义
6．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三上·天津红桥·期中）已知，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
8．（21-22高三上·天津·期中）曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020·天津·二模）已知函数 函数.若关于的方程有个互异的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
10．（2020·天津·一模）已知函数若关于的方程恰有1个实根，则实数的取值范围是
A． B．
C． D．
(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”．
题型3 公切线问题
11．（2018·广西桂林·二模）若曲线与曲线存在公切线，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
12．（13-14高三·全国·课时练习）若曲线，在点处的切线分别为，且，则的值为
A． B．2 C． D．
13．（2019·天津和平·三模）已知函数的图象在点处的切线与曲线相切，则 ．
14．（2017·重庆·一模）函数和有相同的公切线，则实数a的取值范围为 ．
公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．
考点二：导数与函数的单调性
导数与函数的单调性
1．函数的单调性与导数的关系
条件 恒有 结论
函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上是增函数
f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上是减函数
f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数
2.利用导数判断函数单调性的步骤
第1步，确定函数的定义域；
第2步，求出导数f′(x)的零点；
第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性．
题型1 不含参函数的单调性
1．（22-23高二下·山东临沂·期中）若函数，则函数的单调递减区间为（ ）．
A．， B．，
C． D．
2．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函数，则的零点所在的区间是（ ）
A． B．
C． D．
3．（16-17高二上·江西南昌·期末）函数的单调减区间是（　　）
A．（0，1） B．（1，+∞） C．（﹣∞，1） D．（﹣1，1）
4．（2016·山东·二模）设函数，则下列结论正确的是
A．函数上单调递增
B．函数上单调递减
C．若，则函数的图象在点处的切线方程为y=10
D．若b=0，则函数的图象与直线y=10只有一个公共点
5．（19-20高二下·浙江宁波·期中）函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开．
题型2 含参函数的单调性
6．（22-23高二下·福建龙岩·期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（17-18高三上·云南昆明·阶段练习）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
8．（21-22高三上·广东·阶段练习）若函数在上存在单调递减区间，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（20-21高二下·吉林长春·期末）已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）若函数，（且）有两个零点，则m的取值范围（ ）
A． B． C． D．
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点．
考点三：导数与函数的极值、最值
1．函数的极值
(1)一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x，都有
①f(x)②f(x)>f(x0)，则称x0为函数f(x)的一个极小值点，且f(x)在x0处取极小值．
极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点就是在其附近函数值最大的点，极小值点就是在其附近函数值最小的点．
(2)一般地，如果x0是y＝f(x)的极值点，且f(x)在x0处可导，则必有f′(x0)＝0.
(3)求可导函数f(x)的极值的步骤
①确定函数的定义域，求导数f′(x)；
②求方程f′(x)＝0的根；
③列表；
④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值．
2．函数的最大(小)值
(1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件：
一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．
(2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
题型1 利用导数求函数的极值
1．（23-24高三上·天津红桥·期中）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）

A．有两个极值点 B．有两个极小值
C．为函数的极小值 D．为的极小值
2．（22-23高二下·天津·期中）已知在区间上有极小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（22-23高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数有唯一的极值点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（19-20高三·天津·周测）已知是函数的一个极值点，则一定有（ ）
A． B． C． D．
5．（20-21高三上·天津河西·阶段练习）若函数没有极值点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
根据函数的极值(点)求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)验证：求解后验证根的合理性．
题型2 导数与函数的最值
6．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）若函数在区间上有零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（22-23高三·全国·对口高考）已知在区间上的最大值就是函数的极大值，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（22-23高三上·天津红桥·期中）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C．2 D．4
9．（22-23高三上·天津红桥·期中）当时，函数取得最大值，则（ ）
A． B． C．2 D．4
10．（2016高三·天津红桥·学业考试）已知函数，a为实数，，则在上的最大值是（ ）
A． B．1 C． D．
求含有参数的函数的最值，需先求函数的定义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数f(x)的最值．

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