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重难点04 函数
考点一 函数的概念与性质
函数定义域、解析式
函数的单调性、最值
函数的奇偶性、周期性
函数的对称性
考点二 基本初等函数
二次函数
指数函数
对数函数
幂函数
考点三 函数的应用
函数的图像
函数的零点
函数模型的应用
考点一：函数的概念和性质
一、函数的概念及其表示
1．函数的概念
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，且x0∈D
条件 x∈D，都有f(x)≤f(x0) x∈D，都有f(x)≥f(x0)
结论 f(x0)为f(x)的最大值 f(x0)为f(x)的最小值
三、函数的奇偶性、周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
四、函数的对称性
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
题型1 函数的概念及其表示
1．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知，若在上恒成立，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：分和，结合函数单调性和函数值的正负得到不等式，求出实数a的范围范围；
法二：画出与的图象，数形结合求出实数a的范围.
【详解】法一：当时，，
由于在上单调递减，
故，
则，所以，
即在恒成立，
令
由于，，
故只需，即，解得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时，
由得，即在恒成立，
令，由于，
故只需，解得，
当时，，此时，
由得，即在恒成立，
令，
只需，解得，
综上，与取交集得，；
法二：画出在上的图象与的图象，
其中，要想在上恒成立，
则.
故选：B
2．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根据图象过和逐项分析判断.
【详解】因为图象过，
对于选项A：，故A错误；
对于选项C：，故C错误；
又因为图象过，但的定义域为，故B错误；
故选：D.
3．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数为偶函数，则（ ）
A．22 B． C． D．21
【答案】A
【分析】根据给定的函数，利用偶函数的性质求出函数值即可.
【详解】因为函数为偶函数，
所以.
故选：A
4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据对数函数的定义域求出，根据二次函数的性质求出，再根据集合的运算法则计算可得.
【详解】因为，，
所以，则.
故选：A
5．（19-20高二下·天津宁河·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由对数真数大于零、分式分母不等于零可构造不等式组求得结果.
【详解】由得：且，的定义域为.
故选：A.
定义域：(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 函数解析式的求法 (1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
题型2 函数的单调性与最值
6．（2023·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.
【详解】函数的对称轴为，
由函数在上单调递增可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
7．（19-20高三上·天津·期中）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据条件判断的奇偶性与单调性，进而比较的大小关系.
【详解】根据题意，设，
因为为奇函数，则，即函数为偶函数.
当时，，
则函数在上为减函数.
，，，
且，则有.
故选：B．
8．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设命题“函数为递减函数”，命题“”，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出为真时，的取值范围，与命题中的取值范围比较，即可得出答案.
【详解】由为真，即函数为递减函数，
则应有，所以.
又所表示的范围大于不等式所表示的范围，
所以，P是Q的必要不充分条件.
故选：B.
9．（19-20高三上·天津和平·期末）奇函数f（x）在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为－1，则f（6）＋f（－3）的值为（ ）
A．10 B．－10 C．9 D．15
【答案】C
【分析】根据函数在区间上是增函数，可求得，再根据函数的奇偶性可得，从而可得出答案.
【详解】解：因为f（x）在区间上是增函数，
所以在区间上，，
又因为函数为奇函数，
所以，
所以f（6）＋f（－3）的值为9.
故选：C.
10．（19-20高三上·天津静海·阶段练习）已知恒成立，其中为实数，有最大值和最小值，则下列说法正确的有（ ）个
①大于的最大值；
②大于的所有函数值；
③的图象在以下；
④函数无零点
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由题意可知若满足恒成立，其中为实数，并且函数有最大值和最小值，即，即可判断所有选项.
【详解】由题意可知若满足恒成立，其中为实数，并且函数有最大值和最小值，即,那么①正确；
也等价于大于的所有的函数值，所以②正确；
也等价于的图象在以下，所以③正确；
也等价于和无交点，即无实数根，即无零点，所以④正确.
故正确个数有4个.
故选：D
【点睛】本题考查恒成立的等价性，意在考查概念理解，属于基础题型.
确定函数单调性的四种方法 定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法． 比较大小：(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．二、
题型3 函数的奇偶性、周期性
11．（2023·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③的最大值为，最小值为，则；
④最小正周期是.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①由偶函数的概念可判断；②先整理当时，，根据的单调性可得；③先去绝对值，分别根据单调性求函数的最值即可；④根据周期函数的概念可得.
【详解】函数的定义域为，因为，
故是偶函数；
当时，，此时，
对于，令，得，
令，得，
又，故在上单调递增，在上单调递减，故②错误；
当时，，
由②可知，在上单调递增，在上单调递减，
此时的最大值为，最小值为，
当时，，，
令，得，
令，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时的最大值为，最小值为，
故，，，故③正确；
由③可知，
又，
故④正确；
故选 ：C
12．（2023·天津河北·一模）函数的导数为，则的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对函数求导可得，再由函数奇偶性可排除BD选项，再由余弦函数图象性质可知C选项符合题意.
【详解】根据题意可得，
易知的定义域为，且满足，
即可得为奇函数，图象应关于原点对称，可排除BD；
利用余弦函数图象性质可知，当时，，该部分图象在轴的上方，可排除A，
C选项符合题意.
故选：C
13．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除C，根据在原点附近的函数值的正负可排除BA，即可求解.
【详解】由图可知：的图象关于轴对称，则为偶函数，
对于A，，为偶函数，
但当取一个很小的正数，例如，选项中的，而原图象中值为负数，故A不符合，舍去，
对于B, ,为偶函数，但是处有意义，但是原函数在处无意义，故B不符合，
对于C，，为奇函数，故C不符合，
故选：D
14．（22-23高二下·天津河西·期末）设是定义域为R的奇函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据奇函数的性质，结合已知等式判断函数的周期，利用周期进行求解即可
【详解】
解：因为是定义域为R的奇函数，
由，得，
该函数的周期为2，
所以.
故选：A
15．（2005·天津·高考真题）设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由函数的周期为6，从而有，所以有，，又因为，且函数在内单调递减，从而判断大小.
【详解】解：因为在上以为周期，对称轴为，且在内单调递减，
所以，，
，
，即.
故选：B．
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 利用奇偶性秋参：(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． 利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 函数的周期：(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
题型4 函数的对称性
16．（2023·天津·二模）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051 B．4049 C．2025 D．2023
【答案】B
【分析】判断两函数的对称性或周期，作出函数图象，数形结合，确定交点个数，进而求得答案.
【详解】函数的最小正周期为2，直线为其一条对称轴，
，其图象关于直线对称，
故可作出函数函数，得图象如图：
由图像可知，在直线的右侧，包含的1012个周期，
在每个周期内和的图象都有2个交点，
则共有2024个交点，
根据对称性可知，在直线的左侧，和的图象也有2024个交点，
且在直线的两侧的交点是关于直线两两对称的，
故这4048个交点的横坐标之和为，
而也是这两函数图象的一个交点的横坐标，
故与的图象所有交点的横坐标之和为，
故选：B
【点睛】方法点睛：解决此类函数图象的交点个数问题，首先要明确函数的性质，比如周期性对称性等，然后采用数形结合的方法，即作出函数图象，解决问题，关键在于要能正确的作出函数图象.
17．（2022·天津河西·二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】由函数的性质作出其图象，再观察交点个数即可得解．
【详解】由知的图象关于对称，
由知的图象关于对称，
作出与在,上的图象：

由图可知函数与函数的图象在区间上的交点个数为4．
故选：B．
18．（21-22高三上·天津南开·期末）函数的所有零点之和为（ ）.
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【分析】函数的零点可以转化为图像的交点来解决，在同一坐标系下画出，的图像，看它们交点的个数.
【详解】记，，而
，
，于是这两个函数都关于对称，在同一坐标系下画出它们图像如下，可知它们有8个交点，这8个交点可以分成4组，每一组的两个点都关于对称，这样的两个点横坐标之和是3，于是这些交点的横坐标之和为.
故选：C.
19．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在其定义域上单调递增
C．的值域为
D．函数有且只有一个零点
【答案】A
【分析】根据的图象上的点关于对称的点不在的图象上，可知A不正确；利用的奇偶性以及在上的单调性，可知在其定义域上单调递增，故B正确；求出函数的值域，可知C正确；求出函数的零点，可知D正确.
【详解】的定义域为，因为，所以为奇函数， 的图象关于原点对称，
在的图象上取点，它关于对称的点不在的图象上，故A不正确；
当时，为增函数，又为奇函数，且，所以在其定义域上单调递增，故B正确；
当时，，又为奇函数，所以当时，，又，所以的值域为，故C正确；
令，得，得，所以函数有且只有一个零点，故D正确.
故选：A
20．（19-20高三下·天津南开·阶段练习）已知定义在上的函数满足（），且当时为增函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先比较，，0的大小，然后由函数的单调性得出结论．
【详解】∵数满足（），
∴的图象关于直线对称，
又时，单调 递增，所以时，单调 递减，
，
由指数函数性质得，
所以，即．
故选：D．
【点睛】本题考查函数的对称性、单调性，考查指数函数的性质与对数的运算，掌握指数函数的性质与函数的对称性是解题关键．
对称轴：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 对称中心：函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称．
考点二：基本初等函数
二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
指数与指数函数
1．根式
(1)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，那么x称为a的n次方根．
(2)当有意义的时候，称为根式，其中n称为根指数，a称为被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N＋，且为既约分数)．
正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N＋，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
对数与对数函数
1．对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R).
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性 质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．
常用结论
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
题型1 二次函数
1．（22-23高三上·天津武清·阶段练习）已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出二次函数图像的对称轴，由题意可得对称轴小于等于，或大于等于，从而可求出的取值范围.
【详解】的图像的对称轴为，
因为函数在区间上时单调函数，
所以或，
得或，
即的取值范围是，
故选：D
2．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知，若在上恒成立，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】法一：分和，结合函数单调性和函数值的正负得到不等式，求出实数a的范围范围；
法二：画出与的图象，数形结合求出实数a的范围.
【详解】法一：当时，，
由于在上单调递减，
故，
则，所以，
即在恒成立，
令
由于，，
故只需，即，解得，
当时，，此时函数单调递增，
当时，，此时，
由得，即在恒成立，
令，由于，
故只需，解得，
当时，，此时，
由得，即在恒成立，
令，
只需，解得，
综上，与取交集得，；
法二：画出在上的图象与的图象，
其中，要想在上恒成立，
则.
故选：B
3．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函数，则函数不同的零点个数最多为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【分析】由已知得，利用韦达定理分别研究两段的零点情况即可.
【详解】解：由已知得，
令①，
②，
⑴若①和②均有两个不等根，则得，此不等式组无解；
⑵若①有两个不等根，②有一个根，则，得，此不等式组有解，如
故函数不同的零点个数最多为3个.
故选：C.
4．（2019高三·天津·学业考试）已知函数在上有最小值-1，则的值为（ ）
A．-1或1 B．
C．或1 D．或1或-1
【答案】A
【分析】对对称轴分三种情况、、讨论，即得解.
【详解】，对称轴是，
当即时，，所以，
当即时，，所以，舍去；
当即时，，所以，舍去.
综上，.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次函数在区间上的最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
5．（2020高三·天津·专题练习）已知a是常数，函数的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝|ax－2|的图像可能是（ ）
A．. B． C． D．
【答案】D
【分析】先求导函数，再根据对称轴求a的取值范围，再根据指数函数图象及其变换得结果.
【详解】∵
∴f′(x)＝x2＋(1－a)x－a，
由函数y＝f′(x)的图像可知
∴a＞1，
则函数g(x)＝|ax－2|的图像是由函数y＝ax的图像向下平移2个单位，然后将x轴下方的图像翻折到x轴上方得到的，所以与x轴交点为，其中，
故选:D
【点睛】本题考查函数导数、二次函数对称轴、指数函数图象与变换，考查综合分析求解与判断能力，属中档题.
求二次函数解析式的三个策略： (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
题型2 指数与指数函数
6．（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据条件，得到，利用函数的单调性，即可得到，而，即可求出结果.
【详解】因为，得到，又，函数是减函数，
所以，又，得到，
所以，
故选：A.
7．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
判断出函数的单调性，再结合指数函数以及对数函数的单调性得出，利用函数的单调性即可得答案.
【详解】由于函数在R上均为增函数，
故在R上单调递增，
由于，
故，故，即，
故选：D
8．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】结合指数函数的单调性即可得.
【详解】由，即，则，即，
则，即.
故选：B.
9．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用即可排除选项A和C，再利用复合函数的单调性即可求出结果.
【详解】因为，易知，故选项A和C错误；
令，，因为是定义域上的增函数，
又在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以选项B正确，选项D错误，
故选：B.
10．（2023·吉林·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.
【详解】由单调递减可知：，即；
由单调递增可知：，即
所以.
故选：D.
指数运算：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 指数函数的图像：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
题型3 对数与对数函数
11．（2024·天津河东·一模）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据对数的单调性以及指数的单调性即可利用中间值求解.
【详解】，
故,
故选：A
12．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由对数的换底公式及对数的运算性质即可求出结果.
【详解】由换底公式得，，，
所以.
故选：D.
13．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知函数，则函数的图象是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用函数的定义域和值域，排除法选择正确选项.
【详解】因为的定义域为，所以的定义域为，所以排除A，C．
因为，所以，所以排除B．
故选：D
14．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知数列满足：，若，则（ ）
A．48 B．24 C．16 D．12
【答案】A
【分析】先根据条件得到数列为公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式及对数的运算性质计算即可.
【详解】由得，
所以数列为公差为1的等差数列，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
15．（23-24高三上·天津和平·期末）计算的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】直接由指数、对数的运算性质运算即可.
【详解】由题意
.
故选：C.
解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
题型4 幂函数
16．（22-23高一下·云南昆明·期末）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据偶函数的定义和幂函数的性质逐个分析判断即可
【详解】对于A，的定义域为，因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数，所以A错误，
对于B，的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为在上递增，所以B错误，
对于C，的定义域为，因为，所以函数为偶函数，
因为在上单调递减，所以C正确，
对于D，的定义域为，因为，所以函数为奇函数，所以D错误，
故选：C
17．（2023·天津和平·三模）已知满足，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据方程的根、函数的零点与函数图象的交点之间的等价关系，画出相应函数图象即可求解.
【详解】由题意知：把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
因为，，易知；
把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
，易知；
把的值看成函数与图像的交点的横坐标，
，与，易知.
所以.
故选：B.
18．（2022·天津·一模）已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设幂函数，依次将点，点坐标代入，可得，结合指数函数和对数函数性质即可得到答案.
【详解】设幂函数，因为点在的图象上，
所以，，即，
又点在的图象上，所以，则，
所以，，，
所以，
故选：B
19．（2016高三·天津红桥·学业考试）下列函数在R上是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据基本初等函数的单调性即可判断.
【详解】在R上单调递减，故A符合题意；
在R上单调递增，故B不符题意；
在单调递减，故C不符题意；
在R上单调递增，故D不符题意.
故选：A.
20．（2019·天津·一模）已知点在幂函数的图象上，设 则的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先根据幂函数定义求，再代入点坐标得，最后根据幂函数奇偶性与单调性判断大小.
【详解】由为幂函数得,
因为点在幂函数上，所以,即，
因为又,
所以，选A.
【点睛】本题考查幂函数定义以及奇偶性与单调性，考查基本分析判断与求解能力，属基础题.
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点三：函数的综合应用
函数的图像
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
函数的零点与方程
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
函数模型的应用
1．三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同
2．常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
题型1 函数的图像
1．（2023·天津河北·一模）函数的导数为，则的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】对函数求导可得，再由函数奇偶性可排除BD选项，再由余弦函数图象性质可知C选项符合题意.
【详解】根据题意可得，
易知的定义域为，且满足，
即可得为奇函数，图象应关于原点对称，可排除BD；
利用余弦函数图象性质可知，当时，，该部分图象在轴的上方，可排除A，
C选项符合题意.
故选：C
2．（2024·天津和平·一模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇偶性可排除C；利用导数可求得单调性，由此可排除AD.
【详解】定义域为，，
为定义在上的奇函数，图象关于坐标原点对称，C错误；
当时，，，
在上单调递增，AD错误，B正确.
故选：B.
3．（2024·天津河西·一模）已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】结合函数图像，根据函数的奇偶性及特殊点的函数值可判断结果.
【详解】当时，，所以，由图可知A错误；
由偶函数定义，得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，故B错误；
当时，，由图可知D错误；
由奇函数定义可知函数为奇函数，当时，
当时，，选项C均符合图像特征，故C正确；
故选：C.
4．（2024·天津河东·一模）如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数的奇偶性可排除A，根据有界性可排除C，根据4处的函数值不超过5，可判断B.
【详解】由图象可知函数关于原点对称，故为奇函数，
对于A，，故函数为偶函数，不符合，
对于B, ，
根据图象可知，4处的函数值不超过5，故B不符合，
对于C，由于，显然不符合，
故选：D
5．（23-24高三上·天津·期末）如图为函数的大致图象，其解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】用排除法，利用特值法以及函数的奇偶性，零点即可排除其他选项，从而可得答案.
【详解】对A，因为，与图象不符，故A错误；
对B，，，所以函数是奇函数，这与图象不符，
故B错误；
对D，当时，，，所以此时无零点，与图象不符，故D错误.
故选：C.
函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图． (2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． (4)画函数的图象一定要注意定义域． 识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． (2)利用函数的零点、极值点等判断． (3)利用特殊函数值判断． 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
题型2 函数的零点
6．（23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知函数，函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．（5，） B．
C． D．
【答案】B
【分析】由题意，易知当时与有1个交点，则当时与需有两个交点.易知不符合题意，则，分类讨论函数的图象在、上的交点个数，利用数形结合的思想，结合一元二次方程在区间有解问题建立不等式组，解之即可.
【详解】如图，当时，函数与图象有1个交点.
要使有3个零点，则当时，与有两个交点即可，
若，，两函数没有交点，所以，
画出图象，如下图所示，
由图象可知，函数的图象在内至多有一个交点.
当函数的图象在上有两交点，则在上没有交点.
即直线与曲线在有两交点，且函数的图象在上没有交点.
即方程在有两个解，且在上没有解.
设，需，且，
解得或（舍去），且，得；
若在上函数的图象有1个交点，则在上函数的图象有1个交点，
即在有1个解，且在上有1个解.
则且，此时无解.
综上，要使函数图象在只有两交点，则.
故选：B
【点睛】此题考查函数与方程，考查由函数的零点个数求参数的取值范围，考查转化思想和计算能力，属于难题.
7．（23-24高三上·天津南开·期中）对于任意的实数，总存在三个不同的实数y，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分离，构造关于的函数，然后画出图像，根据图像有三个交点，求出参数的取值范围.
【详解】
，
令，则，
令，解得或者，
令，解得，
所以在和单调递增，在单调递减，如图所示，

要使得直线与函数有3个交点，则直线要在点上方，
而，
当且仅当时取到等号，所以，
所以只需满足即可，
故选：A
【点睛】方法点睛：分离参数后再构造函数，由解的问题转化为两个函数交点问题是处理含参导数问题的常用方法.
8．（23-24高三上·天津东丽·期中）若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定0是一个零点，在非0零点中，根据的正负分类讨论化简方程，然后转化为函数与函数的图象有三个不同的交点，作出函数图象进行分析可得，注意对讨论作出的图象．
【详解】显然是的一个零点，
因此除0以外还有3个解，
时，方程化为，时方程化为，
时，显然不合题意，
所以函数与函数的图象有三个不同的交点，
作出函数和的图象，
时图象为图1，时，图象为图2，
时，时的图象与的图象没有公共点，时，的图象是一条射线，图象与的图象不可能是三个交点，
，时的图象是一条射线与的图象没有公共点，
所以时，的图象与的图象应有三个公共点，
时，的图象是一条线段，与有一个公共点，时，是一条射线，与应有两个交点，
由得，，或(舍去)，
经检验，满足要求，
综上，．
故选：A．

【点睛】方法点睛：对含有参数的零点问题一般先化为方程的解，然后转化为函数图象交点个数问题，这里变化最多的是一般的函数图象与直线的交点，然后利用直线与曲线的关系进行求解．
9．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．(
C． D．
【答案】A
【分析】根据分段函数的解析式，作出函数的图象，根据图象可得当取不同值时，的交点个数，即可结合二次函数零点的分布求解.
【详解】根据，作出的大致图象如下：
由图可知：当时，此时由两个根，分别为，
当时，此时有4个交点，
当时，此时有3个交点，
当时，此时有2个交点，
故要使得由6个不同的零点，则令，有6个不同的实数根，
显然不是的根，
设的两个零点分别为，且，
故当时，此时有4个交点，有2个交点，满足题意，
故需要满足，解得，
当时，此时有3个交点，有3个交点，满足题意，
故需要满足，解得，
综上可得或
故选：A

10．（23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知，函数，关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分段函数的意义将方程恰有两个互异的实数解，转化为各段上根的个数问题分类推理求解.
【详解】因为关于的方程恰有两个互异的实数解，则有：
有两个不同的实根，且无实根，
或与各有一个实根，
或无实根，且有两个不同的实根，
当时，，
令，则为增函数，
所以在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立，
当函数在上有一个零点时，必有，即，
此时，，
因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根，
当，时，，
设函数，
而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点，
因此，方程必有一个实根，
于是得当时，与各有一个实根，
若方程无实根，必有，
此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点，
当且仅当，解得，
于是得当时，有两个不同的实根，且无实根，
综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解，
所以实数a的取值范围是.
故选：C.
【点睛】思路点睛：涉及分段函数零点个数求参数范围问题，可以按各段零点个数和等于总的零点个数分类分段讨论解决.
确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
题型3 函数模型应用
11．（23-24高三上·天津河北·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为，环境温度为，经过一段时间（单位：分钟）后物体的温度是，满足.将85℃的热水放到21℃的房间中，如果热水降到37℃需要16分钟，那么从37℃降到29℃还需要多少分钟？（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】由题设，将代入并应用指数运算求得，再将代入公式求从37℃降到29℃需要的时间.
【详解】由题设，可得，
所以，则，可得.
故选：D
12．（2020·天津·一模）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意结合平均增长率的概念列出方程即可得解.
【详解】设最初总生产值为，则第一年的总产值为，第二年的总产值为，
设平均增长率为，则，
解得（负值舍去），
故两年平均增长率为.
故选：D.
【点睛】本题考查了平均增长率的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.
13．（2015·北京·高考真题）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
年月日
年月日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】B
【详解】因为第一次邮箱加满，所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量，故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内，该车每100千米平均耗油量为升，故选B.
考点：平均变化率.
14．（2018高三·全国·专题练习）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将，；，代入函数关系可得，则可求出时的函数值.
【详解】由题可知当时，；当时，，
，解得，
则当时，.
故选：C.
15．（21-22高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一种放射性元素最初的质量是，按每年10%衰减.（已知，），则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（结果精确到0.1）
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年
【答案】D
【分析】列出指数方程，两边取对数，进行求解.
【详解】设这种元素的半衰期为t，则，两边取常用对数得：.
故选：D
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型； (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．重难点04 函数
考点一 函数的概念与性质
函数定义域、解析式
函数的单调性、最值
函数的奇偶性、周期性
函数的对称性
考点二 基本初等函数
二次函数
指数函数
对数函数
幂函数
考点三 函数的应用
函数的图像
函数的零点
函数模型的应用
考点一：函数的概念和性质
一、函数的概念及其表示
1．函数的概念
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
函数的单调性与最值
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I D，如果 x1，x2∈I
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为D，且x0∈D
条件 x∈D，都有f(x)≤f(x0) x∈D，都有f(x)≥f(x0)
结论 f(x0)为f(x)的最大值 f(x0)为f(x)的最小值
三、函数的奇偶性、周期性
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果 x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.周期性
(1)周期函数：对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
(2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期．
四、函数的对称性
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
题型1 函数的概念及其表示
1．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知，若在上恒成立，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）函数的部分图象如图所示，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数为偶函数，则（ ）
A．22 B． C． D．21
4．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（19-20高二下·天津宁河·期末）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
定义域：(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域． 函数解析式的求法 (1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法． 分段函数求值问题的解题思路 (1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值． (2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
题型2 函数的单调性与最值
6．（2023·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．（19-20高三上·天津·期中）已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设命题“函数为递减函数”，命题“”，则P是Q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．（19-20高三上·天津和平·期末）奇函数f（x）在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为－1，则f（6）＋f（－3）的值为（ ）
A．10 B．－10 C．9 D．15
10．（19-20高三上·天津静海·阶段练习）已知恒成立，其中为实数，有最大值和最小值，则下列说法正确的有（ ）个
①大于的最大值；
②大于的所有函数值；
③的图象在以下；
④函数无零点
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
确定函数单调性的四种方法 定义法；(2)导数法；(3)图象法；(4)性质法． 比较大小：(1)比较函数值的大小时，先转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)求解函数不等式时，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．二、
题型3 函数的奇偶性、周期性
11．（2023·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③的最大值为，最小值为，则；
④最小正周期是.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（2023·天津河北·一模）函数的导数为，则的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
13．（2024·天津·一模）如图是函数的部分图象，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
14．（22-23高二下·天津河西·期末）设是定义域为R的奇函数，且，若，则（ ）
A． B． C． D．
15．（2005·天津·高考真题）设是定义在上以为周期的函数，在内单调递减，且的图象关于直线对称，则下面正确的结论是（ ）
A． B．
C． D．
判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件 (1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数． (2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立． 利用奇偶性秋参：(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值． 利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题． 函数的周期：(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期． (2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．
题型4 函数的对称性
16．（2023·天津·二模）设函数，.当时，与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A．4051 B．4049 C．2025 D．2023
17．（2022·天津河西·二模）已知定义在R上的函数满足：①；②；③在上的解析式为，则函数与函数的图象在区间上的交点个数为( )
A．3 B．4 C．5 D．6
18．（21-22高三上·天津南开·期末）函数的所有零点之和为（ ）.
A．10 B．11 C．12 D．13
19．（21-22高三上·天津南开·阶段练习）函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的图象关于点对称
B．在其定义域上单调递增
C．的值域为
D．函数有且只有一个零点
20．（19-20高三下·天津南开·阶段练习）已知定义在上的函数满足（），且当时为增函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
对称轴：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)； 若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称． 对称中心：函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称．
考点二：基本初等函数
二次函数与幂函数
1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象
(3)幂函数的性质
①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；
②当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；
③当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减；
④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数．
2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象和性质
函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象(抛物线)
定义域 R
值域
对称轴 x＝－
顶点坐标
奇偶性 当b＝0时是偶函数，当b≠0时是非奇非偶函数
单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减
指数与指数函数
1．根式
(1)一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，那么x称为a的n次方根．
(2)当有意义的时候，称为根式，其中n称为根指数，a称为被开方数．
(3)()n＝a.
当n为奇数时，＝a，
当n为偶数时，＝|a|＝
2．分数指数幂
正数的正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N＋，且为既约分数)．
正数的负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N＋，n>1)．
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．
3．指数幂的运算性质
aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈Q)．
4．指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)称为指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R.
(2)指数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
当x>0时，y>1； 当x<0时，01； 当x>0时，0在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数
常用结论
1．指数函数图象的关键点(0,1)，(1，a)，.
2.如图所示是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，则c>d>1>a>b>0，即在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象越高，底数越大．
对数与对数函数
1．对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数．
以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.
以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.
2．对数的性质与运算性质
(1)对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，＝N(a>0，且a≠1，N>0)．
(2)对数的运算性质
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
①loga(MN)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM (n∈R).
(3)对数换底公式：logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．
3．对数函数的图象与性质
a>1 0图象
定义域 (0，＋∞)
值域 R
性 质 过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0
当x>1时，y>0； 当01时，y<0； 当00
在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
一般地，如果在函数y＝f(x)中，给定值域中任意一个y的值，只有唯一的x与之对应，那么x是y的函数，这个函数称为y＝f(x)的反函数．
常用结论
1．logab·logba＝1，＝logab.
2．如图给出4个对数函数的图象
则b>a>1>d>c>0，即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大．
3．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，(a,1)，.
题型1 二次函数
1．（22-23高三上·天津武清·阶段练习）已知函数在区间上是单调函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知，若在上恒成立，则实数a的范围是（ ）
A． B．
C． D．
3．（21-22高三上·天津河北·期中）已知函数，则函数不同的零点个数最多为（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
4．（2019高三·天津·学业考试）已知函数在上有最小值-1，则的值为（ ）
A．-1或1 B．
C．或1 D．或1或-1
5．（2020高三·天津·专题练习）已知a是常数，函数的导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则函数g(x)＝|ax－2|的图像可能是（ ）
. B．
C.． D．
求二次函数解析式的三个策略： (1)已知三个点的坐标，宜选用一般式； (2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式； (3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式．
题型2 指数与指数函数
6．（2024·天津·一模）已知实数a，b，c满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（23-24高一上·陕西渭南·期末）已知函数，若，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·吉林·一模）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
指数运算：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序． 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． 指数函数的图像：对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
题型3 对数与对数函数
11．（2024·天津河东·一模）设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
12．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知函数，则函数的图象是（ ）
A． B．
C． D．
14．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知数列满足：，若，则（ ）
A．48 B．24 C．16 D．12
15．（23-24高三上·天津和平·期末）计算的值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
解决对数运算问题的常用方法 (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并． (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用． 对数函数图象的识别及应用方法 (1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．
题型4 幂函数
16．（22-23高一下·云南昆明·期末）已知幂函数为偶函数，且在上单调递减，则的解析式可以是（ ）
A． B．
C． D．
17．（2023·天津和平·三模）已知满足，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
18．（2022·天津·一模）已知幂函数的图象经过点与点，，，，则（ ）
A． B． C． D．
19．（2016高三·天津红桥·学业考试）下列函数在R上是减函数的为（ ）
A． B． C． D．
20．（2019·天津·一模）已知点在幂函数的图象上，设 则的大小关系为
A． B． C． D．
(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
考点三：函数的综合应用
函数的图像
1．利用描点法作函数图象的方法步骤：列表、描点、连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换
(2)对称变换
①y＝f(x)y＝－f(x)．
②y＝f(x)y＝f(－x)．
③y＝f(x)y＝－f(－x)．
④y＝ax (a>0，且a≠1)y＝logax(a>0，且a≠1)．
(3)翻折变换
①y＝f(x)y＝|f(x)|.
②y＝f(x)y＝f(|x|)．
函数的零点与方程
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且f(a)f(b)<0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间(a，b)中至少有一个零点，即 x0∈(a，b)，f(x0)＝0.
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
函数模型的应用
1．三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值的变化而各有不同
2．常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数，k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
题型1 函数的图像
1．（2023·天津河北·一模）函数的导数为，则的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津和平·一模）函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·天津河西·一模）已知函数在区间的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B． C． D．
4．（2024·天津河东·一模）如图中，图象对应的函数解析式为（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24高三上·天津·期末）如图为函数的大致图象，其解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
函数图象的常见画法及注意事项 (1)直接法：对于熟悉的基本函数，根据函数的特征描出图象的关键点，直接作图． (2)转化法：含有绝对值符号的，去掉绝对值符号，转化为分段函数来画． (3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称得到，则可利用图象变换作图． (4)画函数的图象一定要注意定义域． 识别函数的图象的主要方法 (1)利用函数的性质，如奇偶性、单调性、定义域等判断． (2)利用函数的零点、极值点等判断． (3)利用特殊函数值判断． 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解．
题型2 函数的零点
6．（23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知函数，函数，若函数有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．（5，） B．
C． D．
7．（23-24高三上·天津南开·期中）对于任意的实数，总存在三个不同的实数y，使得成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B．
C． D．
8．（23-24高三上·天津东丽·期中）若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是（ ）
A． B．(
C． D．
10．（23-24高三上·天津蓟州·阶段练习）已知，函数，关于的方程恰有两个互异的实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点； (2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等； (3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数． 根据函数零点的情况求参数的三种常用方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.
题型3 函数模型应用
11．（23-24高三上·天津河北·期末）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却方程来描述：设物体的初始温度为，环境温度为，经过一段时间（单位：分钟）后物体的温度是，满足.将85℃的热水放到21℃的房间中，如果热水降到37℃需要16分钟，那么从37℃降到29℃还需要多少分钟？（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
12．（2020·天津·一模）某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为（ ）．
A． B．
C． D．
13．（2015·北京·高考真题）某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．
加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米）
年月日
年月日
注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程
在这段时间内，该车每千米平均耗油量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
14．（2018高三·全国·专题练习）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在的保鲜时间是，在的保鲜时间是，则该食品在的保鲜时间是（ ）
A． B． C． D．
15．（21-22高一上·内蒙古呼和浩特·期末）已知一种放射性元素最初的质量是，按每年10%衰减.（已知，），则可求得这种元素的半衰期（质量变到原有质量一半所需的时间）为（ ）（结果精确到0.1）
A．7.6年 B．7.8年 C．6.2年 D．6.6年
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法 (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象． (2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案． 已知函数模型解决实际问题的关键 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 构建函数模型解决实际问题的步骤 (1)建模：抽象出实际问题的数学模型； (2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解； (3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．

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