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重难点07 三角函数与解三角形
考点一 三角函数的概念
任意角和弧度制、三角函数的概念
同角三角函数基本关系式及诱导公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角恒等变换
考点二 三角函数的图像与性质
三角函数的定义域、值域
三角函数的周期性和对称性
三角函数的单调性
考点三 解三角形
正弦定理与余弦定理
解三角形的综合应用
解三角形的实际应用
考点一：三角函数的概念
一、任意角和弧度制、三角函数的概念
1．角的概念
(1)定义：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 α＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝αr
扇形面积公式 S＝lr＝αr2
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
同角三角函数关系式及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 角 正弦 余弦 正切 口诀
① 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 奇变偶不变，符号看象限
② －α －sin α cos α －tan α
③ π－α sin α －cos α －tan α
④ π＋α －sin α －cos α tan α
⑤ －α cos α sin α
⑥ ＋α cos α －sin α
⑦ π＋α sin α －cos α
⑧ π－α －sin α －cos α
三、两角和与差的正弦、余弦和正切
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式Sα－β：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式Sα＋β：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式Tα－β：tan(α－β)＝；
(6)公式Tα＋β：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
四、三角恒等变换
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
题型1 任意角和弧度制、三角函数的概念
1．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）若角的终边过点，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】直接根据正切函数值的定义求解.
【详解】依题.
故选：D
2．（2023高一下·天津南开·学业考试）的值为（ ）．
A．1 B．0 C． D．不存在
【答案】C
【分析】利用诱导公式求出答案.
【详解】.
故选：C
3．（2020·天津·一模）若点在函数的图象上，则
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】将点代入函数解析式可求得，根据特殊角三角函数值可求得结果.
【详解】由题意知：，解得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查三角函数值的求解问题，关键是能够利用点在函数上求得参数的取值，属于基础题.
4．（2014·天津·一模）已知是第三象限角，，则sin2=
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由已知，所以，故选.
考点：任意角的三角函数，二倍角公式.
5．（9-10高三·天津·阶段练习）设函数，则的值为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】此题考查分段函数求值
解:因为<0,所以,又因为,所以=而,故.
答案：D
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
题型2 同角三角函数关系式及诱导公式
6．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知，则等于（ ）
A． B．0 C． D．2
【答案】C
【分析】利用两角和的正切公式求出，再由诱导公式即可得解.
【详解】，
，
故选：C
7．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知，则的值为（ ）
A． B．18 C． D．15
【答案】A
【分析】根据诱导公式化简，再根据平方关系及商数关系化弦为切即可得解.
【详解】
.
故选：A.
8．（22-23高三上·天津·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合，利用诱导公式和二倍角公式即可求解
【详解】因为，
所以，
所以，
故选：D
9．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由平方得到，再利用平方关系求解.
【详解】解：因为，，
所以，
由两边平方得，
即，
所以，.
故选：B.
10．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据同角三角函数平方关系和角的范围可构造方程求得，进而得到，由同角三角函数商数关系可求得结果.
【详解】由得：，
，
解得：或，
又，，即，，
.
故选：C.
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 二、诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
题型3 两角和与差的正弦、余弦和正切
11．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知、，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由、，可计算出、、的值，利用计算即可得.
【详解】由，，则，
则，，
由，则，
又、，则，
故，
.
故选：A.
12．（22-23高三上·天津滨海新·期中）若是第三象限角，且，则等于（ ）
A． B． C． D．5
【答案】C
【分析】根据两角差的正弦公式求出，然后由同角三角函数的关系结合是第三象限角即可求出
【详解】由题意，，
由于是第三象限角，则，于是，
则.
故选：C
13．（22-23高三上·天津·期中）已知，，则等于（ ）
A． B．7 C． D．－7
【答案】D
【分析】先根据同角三角函数的关系求出角的余弦值，进而求出该角的正切值，然后再利用两角和的正切公式求值即可.
【详解】因为，且，所以，
所以，
故，
故选：D.
14．（20-21高三上·天津红桥·期中）已知， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】利用同角三角函数的基本关系求得的值，再利用两角和的余弦公式可求得的值.
【详解】，，所以，，
因此，.
故选：A.
15．（20-21高三上·天津南开·阶段练习）已知tan(α﹣β)=，tan(α+)=，则tan(β+)等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题可分析得到,由差角公式,将值代入求解即可.
【详解】解:由题可得,
,
故选：C
【点睛】本题考查正切的差角公式的应用,考查已知三角函数值求三角函数值问题.
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
题型4 三角恒等变换
16．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数
的图象，则φ的可能值为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式，结合正弦型函数的图象变换性质进行判断即可.
【详解】，
函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象解析式为：
，
所以有，
显然只有选项A符合，
故选：A
17．（22-23高三上·山东泰安·期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】据二倍角公式，两角和的正弦公式以及同角三角函数的基本关系求解.
【详解】，
,
，
又，则，即
所以，
因为，所以，.
由平方可得，即，符合题意.
综上，.
故选：B.
18．（22-23高三上·天津滨海新·阶段练习）要得到的图像，只需将的图像（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向左平移
【答案】D
【分析】化简，然后结合三角函数图像变换的知识求得正确答案.
【详解】，
将向左平移得.
故选：D
19．（22-23高三上·湖南长沙·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.
【详解】，
，
.
.
故选：A
20．（2022·四川成都·模拟预测）函数的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期.
【详解】
，
所以，函数的最小正周期为.
故选：A.
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点． (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． (2)给值(角)求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值．
考点二：三角函数的图像与性质
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ＋}
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2kπ－π，2kπ]
单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
题型1 三角函数的定义域、值域
1．（20-21高一下·全国·课后作业）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由且可求出函数的定义域
【详解】由题意得且，
由，得，
由，得，
所以或，
所以函数的定义域为，
故选：D
2．（21-22高三上·天津河东·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由对数和正弦函数的性质化简集合，再求交集.
【详解】，
即
故选：C
3．（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）函数在区间上的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【解析】由时，，则可得答案.
【详解】当时，
，所以
所以函数在区间上的最小值为1
故选：A
4．（17-18高三·全国·课后作业）若函数的图象关于对称，则函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用辅助角公式化简，根据对称性求得参数，再求函数在区间上的值域即可.
【详解】由辅助角公式可得：，
函数图像关于对称，
则当时，，
即，
由于，故令可得，
函数的解析式为，
，则，故函数在定义域内单调递减，
函数的最小值为：.
故选：C.
【点睛】本题考查三角恒等变化化简解析式，以及由对称性求正弦型三角函数参数，以及正弦型三角函数值域的求解，属综合基础题.
5．（2019·安徽蚌埠·三模）已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像.若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，可以求出周期，进而可以求出的值，函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，因此，函数为偶函数，有
，结合已知，求出，再利用正弦函数的性质，求出函数在区间上的值域.
【详解】因为函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，所以,而，，又因为函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像，所以，由函数为偶函数，可得，而，所以，因此，
，所以函数在区间上的值域是，故本题选D.
【点睛】本题综合考查了正弦型函数的图象和单调性.解决本题的关键是对函数为偶函数的理解，写出等式.
三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
题型2 三角函数的周期性与对称性
6．（18-19高三上·北京·期中）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用最小正周期公式求出，再利用平移变换得到平移后的函数结合正弦函数图像和性质求解即可.
【详解】因为最小正周期为，所以，解得，所以；
将图像向左平移个单位长度得，
因为图像关于轴对称，所以，
解得，则当时，，其他选项不满足题意，
故选：D.
7．（20-21高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当取最小值时，函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先利用三角函数的图象变换求出平移后的函数，然后利用对称轴列出关于的等式，求出的最小值，再利用周期公式求解即可．
【详解】将函数的图象向左平移个单位后
所得函数为，
因为的图象关于直线对称，
则有，解得，
因为，所以的最小值为，
故函数的最小正周期为．
故选：A
8．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数，若是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正弦函数的对称性，列式求解即得.
【详解】因为是函数图象的一条对称轴，
于是，解得，而，则，
所以当时，.
故选：A
9．（21-22高三上·天津河北·阶段练习）将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据曲线变化得到变换后的曲线对应的函数解析式，进而根据正弦函数图象的对称性确定对称轴方程.
【详解】将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到的曲线对应的函数解析式为，
令Z得 Z，
令k=0得曲线的一条对称轴方程为.
故选：A.
10．（2022·四川成都·模拟预测）函数的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期.
【详解】
，
所以，函数的最小正周期为.
故选：A.
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式． (2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
题型3 三角函数的单调性
11．（23-24高三上·天津·期中）若函数在区间上单调，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】求出，然后由正弦函数性质得，从而可得最大值．
【详解】时，由于，则，显然，
因此由单调得，，最大值为2，
故选：B．
12．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列区间中单调递增的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求出最小正周期，进而得到，利用整体法求解单调递增区间，得到答案.
【详解】设的最小正周期为，
由题意得：，解得，
因为，所以，
所以，
令，解得：，
当时，，B正确；
当时，，当时，，
故其他选项，均不满足要求.
故选：B
13．（23-24高三上·天津河西·期中）定义在上的偶函数在上是增函数，若，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先比较出，结合函数奇偶性得到在上单调递减，从而得到，进而由函数奇偶性得到答案.
【详解】，，，
因为定义在上的偶函数在上是增函数，
所以在上单调递减，
因为，所以，
又，
故.
故选：D
14．（2019·广东佛山·一模）将偶函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的一个单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据辅助角公式，结合偶函数的性质求出值，再根据余弦函数图象的变换规律求出函数的解析式，最后根据余弦型函数的单调性进行求解即可.
【详解】.
因为函数是偶函数，所以，
因为，所以，所以，
因为函数的图象向右平移个单位，得到的图象，
所以，
当时，函数单调递增，
即当时，函数单调递增，
当时，函数在时单调递增.
故选：A
【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了偶函数的性质，考查了余弦函数图象的变换规律，考查了余弦型函数单调性，考查了数学运算能力.
15．（2019·天津南开·三模）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意可得函数y＝sin（2x+φ）在[0，]上的单调递减，故2φ≤2kπ，且φ≥2kπ，k∈Z，由此求得φ 的范围．
【详解】由于函数y＝cos2x与函数y＝sin（2x+φ）在[0，]上的单调性相同，
函数y＝cos2x在[0，]上的单调递减，
故函数y＝sin（2x+φ）在[0，]上的单调递减，
故2φ≤2kπ，且φ≥2kπ，k∈Z，由此求得φ≤π，
故选A．
【点睛】本题主要考查正弦函数、余弦函数的单调性，考查了分析解决问题的能力，属于基础题．
(1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
考点三：解三角形
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c ＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝
2．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
题型1 正弦定理、余弦定理
1．（23-24高三上·天津东丽·阶段练习）在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出底面三角形的外接球半径，再根据直三棱柱求出外接球半径，最后计算圆的面积.
【详解】在中，由余弦定理可得，
设外接圆半径为r，再由正弦定理，
因为三棱柱是直三棱柱，设外接球半径为R，
所以，
所以外接球表面积为，
故选：C
2．（2013·天津·一模）在中，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据求得，直接利用三角形的面积公式即可求得结果.
【详解】因为为三角形的内角，所以，
所以三角形的面积.
即的面积为.
故选：D．
3．（20-21高三上·天津红桥·阶段练习）在中，若，，，则最大内角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据余弦定理求解出的值，根据的大小结合余弦定理即可求解出最大内角的余弦值.
【详解】因为，所以，
所以最大内角为，
所以，
故选：D.
4．（20-21高一下·天津滨海新·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【分析】由已知可得，由余弦定理可得，化简变形可得，则有或，从而可判断三角形的形状
【详解】解：由，得，
所以由余弦定理得，，
所以，
所以，，
所以或，
所以或，
所以为等腰或直角三角形，
故选：D
5．（20-21高三上·天津静海·开学考试）在中，，，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据正弦定理，代入相关数据，即可求解出的值.
【详解】因为，所以，
故选：A.
三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
题型2 解三角形的综合
6．（2022·河南·模拟预测）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，，，则蜚英塔的高度是（ ）
A．30米 B．米 C．35米 D．米
【答案】C
【分析】设塔高x，用x表示出AD、BD，然后在中由余弦定理求解可得.
【详解】设，在中，，则，
在中，，则，
因为，所以由余弦定理得：
整理得：，解得.
故选：C
7．（2022·云南·模拟预测）如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（ ）米
（参考数据：，，）
A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8
【答案】C
【分析】易得，在中，求出，在中，利用正弦定理求得，在解直角三角形即可得出答案.
【详解】解：由题意可得，
则，
在中，，
在中，因为，
所以，
所以，
又，
所以（米）.
故选：C.
8．（2018·广东惠州·一模）如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为尺.
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
如图，已知，，
∴，解得 ，
∴，解得 .
∴折断后的竹干高为4.55尺
故选B.
9．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排点和最后一排点的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为 米．

【答案】27
【分析】根据已知可得，在中由正弦定理可得，再利用中计算可得答案.
【详解】由图可得，
在中，由正弦定理可得，
即，
在中，，可得米.
故答案为：.
10．（2015·湖北·高考真题）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m.
【答案】
【详解】试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由正弦定理可得,解之得,又因为,所以,应填.
考点：正弦定理及运用．
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．
题型3 解三角形的实际应用
11．（2024·天津河东·一模）在三角形中，角所对的边分别为．已知，．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求边的值．
【详解】（1）因为，，，解得，
由已知，，
又，故，
故，解得；
（2）
，，
；
（3）
由得，
整理为，解得或（舍）.
12．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值.
【详解】（1）因为，根据正弦定理可得
在中，，所以有，
则有，即，
又，所以.
（2）根据余弦定理，，所以.
根据正弦定理，，则有，
所以.
13．（23-24高三上·天津河东·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，，求的周长．
【详解】（1）．
由正弦定理可得，
则，
所以，
所以，
为三角形内角，，解得，，
．
（2）由已知，，所以，
，，
.
（3），
，
由余弦定理得，
即，解得，
的周长为．
14．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求的值；
(2)若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
【详解】（1）由，且C是三角形的内角，
则，
因为，所以，即，
由正弦定理得，
所以；
（2）（i）由余弦定理得，
即，解得或（舍去），故；
（ⅱ）由（1）知，由知A为锐角，得，
所以，
，
所以.
15．（22-23高一下·天津武清·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，．
(1)求b的值；
(2)求的值．
【详解】（1）在中，由可得，又由，
可得，
，.
又，故，
根据余弦定理可得，可得.
（2），，
，，
所以.
解三角形的应用问题的要点 (1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素． (2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．重难点07 三角函数与解三角形
考点一 三角函数的概念
任意角和弧度制、三角函数的概念
同角三角函数基本关系式及诱导公式
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
三角恒等变换
考点二 三角函数的图像与性质
三角函数的定义域、值域
三角函数的周期性和对称性
三角函数的单调性
考点三 解三角形
正弦定理与余弦定理
解三角形的综合应用
解三角形的实际应用
考点一：三角函数的概念
一、任意角和弧度制、三角函数的概念
1．角的概念
(1)定义：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示．
(2)公式
角α的弧度数公式 α＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝°
弧长公式 弧长l＝αr
扇形面积公式 S＝lr＝αr2
3．任意角的三角函数
(1)任意角的三角函数的定义：
设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦，如图．
同角三角函数关系式及诱导公式
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.
(2)商数关系：＝tan α.
2．三角函数的诱导公式
公式 角 正弦 余弦 正切 口诀
① 2kπ＋α(k∈Z) sin α cos α tan α 奇变偶不变，符号看象限
② －α －sin α cos α －tan α
③ π－α sin α －cos α －tan α
④ π＋α －sin α －cos α tan α
⑤ －α cos α sin α
⑥ ＋α cos α －sin α
⑦ π＋α sin α －cos α
⑧ π－α －sin α －cos α
三、两角和与差的正弦、余弦和正切
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β；
(2)公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；
(3)公式Sα－β：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β；
(4)公式Sα＋β：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；
(5)公式Tα－β：tan(α－β)＝；
(6)公式Tα＋β：tan(α＋β)＝.
2．辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
四、三角恒等变换
1．二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin αcos α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
2．常用的部分三角公式
(1)1－cos α＝2sin2,1＋cos α＝2cos2.(升幂公式)
(2)1±sin α＝2.(升幂公式)
(3)sin2α＝，cos2α＝，tan2α＝.(降幂公式)
题型1 任意角和弧度制、三角函数的概念
1．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）若角的终边过点，则的值是（ ）
A． B．2 C． D．
2．（2023高一下·天津南开·学业考试）的值为（ ）．
A．1 B．0 C． D．不存在
3．（2020·天津·一模）若点在函数的图象上，则
A． B． C． D．
4．（2014·天津·一模）已知是第三象限角，，则sin2=
A． B． C． D．
5．（9-10高三·天津·阶段练习）设函数，则的值为
A． B． C． D．
(1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标，可以求出α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标． (2)利用角所在的象限判定角的三角函数值的符号时，特别要注意不要忽略角的终边在坐标轴上的情况．
题型2 同角三角函数关系式及诱导公式
6．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知，则等于（ ）
A． B．0 C． D．2
7．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知，则的值为（ ）
A． B．18 C． D．15
8．（22-23高三上·天津·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·天津河西·阶段练习）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）若，，则（ ）
A． B． C． D．
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 二、诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．
题型3 两角和与差的正弦、余弦和正切
11．（23-24高三上·天津武清·阶段练习）已知、，且，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．（22-23高三上·天津滨海新·期中）若是第三象限角，且，则等于（ ）
A． B． C． D．5
13．（22-23高三上·天津·期中）已知，，则等于（ ）
A． B．7 C． D．－7
14．（20-21高三上·天津红桥·期中）已知， ，则等于（ ）
A． B． C． D．
15．（20-21高三上·天津南开·阶段练习）已知tan(α﹣β)=，tan(α+)=，则tan(β+)等于（ ）
A． B． C． D．
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，增强从正向思维向逆向思维转化的能力． 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝－＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；＋α＝－等．
题型4 三角恒等变换
16．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数的图象向左平移个单位长度后得到函数
的图象，则φ的可能值为（　　）
A．0 B． C． D．
17．（22-23高三上·山东泰安·期中）已知，且，则（ ）
A． B． C． D．1
18．（22-23高三上·天津滨海新·阶段练习）要得到的图像，只需将的图像（ ）
A．向左平移 B．向右平移
C．向左平移 D．向左平移
19．（22-23高三上·湖南长沙·期中）已知，则（ ）
A． B． C． D．
20．（2022·四川成都·模拟预测）函数的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则： 一看角，二看名，三看式子结构与特征． (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的联系点． (1)给值(角)求值问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法． (2)给值(角)求值问题的一般步骤 ①化简条件式子或待求式子； ②观察条件与所求式子之间的联系，从函数名称及角入手； ③将已知条件代入所求式子，化简求值．
考点二：三角函数的图像与性质
1．用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x≠kπ＋}
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
单调递增区间 [2kπ－π，2kπ]
单调递减区间 [2kπ，2kπ＋π]
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ
题型1 三角函数的定义域、值域
1．（20-21高一下·全国·课后作业）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
2．（21-22高三上·天津河东·阶段练习）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（20-21高三上·天津滨海新·阶段练习）函数在区间上的最小值为（　　）
A．1 B． C． D．2
4．（17-18高三·全国·课后作业）若函数的图象关于对称，则函数在上的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·安徽蚌埠·三模）已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图像向左平移个单位长度后，得到函数的图像.若函数为偶函数，则函数在区间上的值域是（ ）
A． B． C． D．
三角函数值域的不同求法 (1)把所给的三角函数式变换成y＝Asin(ωx＋φ)的形式求值域． (2)把sin x或cos x看作一个整体，转换成二次函数求值域． (3)利用sin x±cos x和sin xcos x的关系转换成二次函数求值域．
题型2 三角函数的周期性与对称性
6．（18-19高三上·北京·期中）已知函数的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的一个值是（ ）
A． B． C． D．
7．（20-21高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）将函数的图象向左平移个单位后所得函数的图象关于直线对称，则当取最小值时，函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
8．（23-24高三上·天津河东·阶段练习）设函数，若是函数图象的一条对称轴，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（21-22高三上·天津河北·阶段练习）将曲线上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到的曲线的一条对称轴方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（2022·四川成都·模拟预测）函数的最小正周期为（ ）
A． B．
C． D．
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx的形式． (2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω>0)的周期为求解．
题型3 三角函数的单调性
11．（23-24高三上·天津·期中）若函数在区间上单调，则的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
12．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）已知函数图象的一条对称轴和一个对称中心的最小距离为，则下列区间中单调递增的是（ ）．
A． B． C． D．
13．（23-24高三上·天津河西·期中）定义在上的偶函数在上是增函数，若，，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
14．（2019·广东佛山·一模）将偶函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则的一个单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
15．（2019·天津南开·三模）若函数与函数在上的单调性相同，则的一个值为（ ）
A． B． C． D．
(1)已知三角函数解析式求单调区间 求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(其中ω>0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω<0，可先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． (2)已知三角函数的单调区间求参数 先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解．
考点三：解三角形
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝， sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c ＝sin A∶sin B∶sin C cos A＝； cos B＝； cos C＝
2．三角形解的判断
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A< ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3．三角形中常用的面积公式
(1)S＝aha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
测量中的几个有关术语
术语名称 术语意义 图形表示
仰角与俯角 在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角
方位角 从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角．方位角θ的范围是0°≤θ<360°
方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α 例：(1)北偏东α： (2)南偏西α：
坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫坡角(θ为坡角)；坡面的垂直高度与水平长度之比叫坡比(坡度)，即i＝＝tan θ
题型1 正弦定理、余弦定理
1．（23-24高三上·天津东丽·阶段练习）在直三棱柱中，，，，，该直三棱柱的外接球表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．（2013·天津·一模）在中，，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（20-21高三上·天津红桥·阶段练习）在中，若，，，则最大内角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．（20-21高一下·天津滨海新·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a、b、c，已知，则是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5．（20-21高三上·天津静海·开学考试）在中，，，，那么的值为（ ）
A． B． C． D．
三角形面积公式的应用原则 (1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
题型2 解三角形的综合
6．（2022·河南·模拟预测）蜚英塔俗称宝塔，地处江西省南昌市，建于明朝天启元年（1621年），为中国传统的楼阁式建筑．蜚英塔坐北朝南，砖石结构，平面呈六边形，是江西省省级重点保护文物，已被列为革命传统教育基地．某学生为测量蜚英塔的高度，如图，选取了与蜚英塔底部D在同一水平面上的A，B两点，测得米， ，，，则蜚英塔的高度是（ ）
A．30米 B．米 C．35米 D．米
7．（2022·云南·模拟预测）如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度（与地面垂直），在赛道一侧找到一座建筑物，测得的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得约为60米，则的高h约为（ ）米
（参考数据：，，）
A．11 B．20.8 C．25.4 D．31.8
8．（2018·广东惠州·一模）如图1，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺，问折者高几何 意思是:有一根竹子, 原高一丈（1丈=10尺）, 现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为尺.
A． B． C． D．
9．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）在亚运会女子十米跳台决赛颁奖礼上，五星红旗冉冉升起，在坡度的看台上，同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为和，第一排点和最后一排点的距离为米（如图所示），则旗杆的高度为 米．

10．（2015·湖北·高考真题）如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度 m.
在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想．
题型3 解三角形的实际应用
11．（2024·天津河东·一模）在三角形中，角所对的边分别为．已知，．
(1)求角的大小；
(2)求的值；
(3)求边的值．
12．（23-24高三上·天津滨海新·阶段练习）在中，角，，所对的边分别是，，，已知.
(1)求角的大小；
(2)若，，求的值.
13．（23-24高三上·天津河东·期中）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若的面积为，，求的周长．
14．（23-24高三上·天津静海·阶段练习）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.
(1)求的值；
(2)若，
（i）求的值；
（ⅱ）求的值.
15．（22-23高一下·天津武清·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，．
(1)求b的值；
(2)求的值．
解三角形的应用问题的要点 (1)从实际问题抽象出已知的角度、距离、高度等条件，作为某个三角形的元素． (2)利用正弦、余弦定理解三角形，得实际问题的解．

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