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重难点08 数列
考点一 数列的概念
由an与Sn的关系求通项公式
由数列的递推关系求通项公式
数列的性质
考点二 等差数列
等差数列基本量的运算
等差数列的判定与证明
3、等差数列的性质
考点三 等比数列
1、等差数列基本量的运算
2、等差数列的判定与证明
3、等差数列的性质
考点四 数列求和
1、分组求和与并项求和
2、错位相减法求和
3、解三角形的实际应用
考点一：数列的概念
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定次序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
通项公式 如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的关系式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式
递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系.
数列{an}的前n项和 一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N+
递减数列 an＋1常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
题型1 由an与Sn的关系求通项公式
1．（23-24高三上·天津西青·期末）已知是等比数列，是数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
【答案】C
【分析】当时，，两式相减可得，因为是等比数列，所以，令时，，由此解出，再由等比数列的通项公式求出的值.
【详解】当时，，
两式相减可得：，即，即，
因为是等比数列，所以，
又令时，，所以，解得：，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以.
故选：C.
2．（23-24高三上·天津和平·期末）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．9 B．21 C．45 D．93
【答案】C
【分析】利用将条件转化为关于数列的递推式，然后构造等比数列求出数列的通项公式，进而可得的值.
【详解】由得，
整理得，
又得，
故数列是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即
所以.
故选：C.
3．（23-24高三上·天津·期中）设是数列的前项和，已知且，则（ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
【答案】B
【分析】时，，作差得数列从第二项起成等比数列，即可求解.
【详解】时，，
时，，
作差得，即,
所以数列从第二项起成等比数列，
所以.
故选：B.
4．（23-24高三上·天津北辰·期中）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．16 D．32
【答案】B
【分析】先利用和与项的关系，将和转化为项，判断出数列为等比数列，即可求解.
【详解】∵①，
∴②，
②减去①得：，即，
又∵，即，
∴数列是以为首项，公比为的等比数列，
∴.
故选：B.
5．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）等差数列，前n项和分别为与，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据等差数列前项和的特点，由已知设出，分别求出其通项公式，代入计算可得答案.
【详解】设等差数列，的首项和公差分别为，则，
因为，由等差数列前项和的特点，
故可设，其中为非零常数，
由，
当时，，
当时，，
当时上式仍旧适合，故，
同理可得，当时，，
所以.
故选：A.
Sn与an的关系问题的求解思路 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
题型2 由数列的递推关系求通项公式
6．（2024·天津·二模）在数列中，若（），则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
【答案】D
【分析】由数列的递推式，分别求出的值即可得出结果.
【详解】当时，，
当时，，所以，
当时，，所以.
故选：D.
7．（19-20高三上·天津和平·阶段练习）数列满足，对，都有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意知，利用累加法可求得，所以，根据列项相消法求得和.
【详解】因为对，都有且，所以，则，
，
所以
.
故选：D
【点睛】本题考查累加法求数列通项公式，列项相消法求数列前n项和，属于中档题.
8．（20-21高三上·辽宁沈阳·期末）已知数列满足：，则
A．16 B．25 C．28 D．33
【答案】C
【解析】依次递推求出得解.
【详解】n=1时，，
n=2时，，
n=3时，，
n=4时，，
n=5时，.
故选：C
【点睛】本题主要考查递推公式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
9．（2017·湖南湘潭·一模）已知数列{an}满足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据递推关系式求出数列的第2、3项，即可求出.
【详解】因为数列{an}满足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，
所以a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝.
那么a5＝a3·a2＝.
故选：A
【点睛】本题主要考查了数列的递推关系，由递推关系求数列的项，属于中档题.
10．（2023·吉林长春·一模）已知数列，，，且，则数列的前30项之和为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．120
【答案】B
【分析】由题意，数列的奇数项和偶数项分别构成等差数列，分组求和即可.
【详解】已知数列，，，且,
则为奇数时，，则为偶数时，，
所以数列的奇数项构成首项为2公差为的等差数列，偶数项构成首项为0公差为的等差数列，
则.
故选：B
(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法． (2)形如＝f(n)的数列，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
题型3 数列的性质
11．（23-24高三上·天津滨海新·开学考试）已知数列满足，，则以下结论正确的个数是（ ）
①为等比数列；②的通项公式为；③为递增数列；④的前n项和.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】根据等比数列的定义即可判断①；由①选项结合等比数列的通项即可判断②；作差判断的符号即可判断③；利用分组求和法即可判断④.
【详解】因为，且，可知，所以，
所以，
又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故①正确；
则，所以，故②错误；
因为，
因为，所以，
所以，
所以为递减数列，故③错误；
由上得，
所以，故④正确.
故选：C.
【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：
（1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解；
（2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和；
（3）对于结构，利用分组求和法；
（4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和.
12．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）设命题P：已知定义在的可导函数，其导函数，存在，使得，恒成立.命题Q：存在，使得为递增数列.则Q是P的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据给定条件，分别求出k的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】依题意，，不妨令，，
令，即有，而不可能恒为0，
所以函数在上递增，故，即恒成立，
令，，求导得，
当时，，当时，，
即在上递减，在上递增，，故，
于是命题P为真：，
数列是递增数列，则，，即，
故在n属于正整数集上恒成立，于是有，因此命题Q为真：，
显然当时，成立，反之当时，不一定成立，则Q是P的必要不充分条件，B正确.
故选：B
13．（21-22高三上·天津河西·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
【答案】C
【分析】求出数列在n的不同取值范围的正负，判断出的单调性，分析即可求出.
【详解】令，解得或，
当时，，故当时递增，且
当时，，当时递减，
当时，，当时递增，
且
故
所以取得最小值时的值为8.
故选：C.
14．（22-23高三上·天津·期中）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】A
【分析】根据以及充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可
【详解】由题意得数列为递增数列等价于对任意恒成立，
即对任意恒成立，故，
所以“”是“为递增数列”的充分不必要条件，
故选：A
15．（15-16高三上·浙江嘉兴·阶段练习）已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由数列递推式得到是首项为2，公比为2的等比数列，求出其通项公式后代入，当时，，且求得实数的取值范围.
【详解】解：由得，
则
由，得，
∴数列是首项为2，公比为2的等比数列，
∴，
由，
得，
因为数列是单调递增数列，
所以时，，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
综上：实数的取值范围是.
故选：C.
【点睛】解决数列的单调性问题的3种方法：
（1）作差比较法根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列；
（2）作商比较法根据(或)与1的大小关系进行判断；
（3）数形结合法结合相应函数的图象直观判断.
(1)解决数列的单调性问题的方法 用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
考点二：等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．
(2)等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
题型1 等差数列基本量的运算
16．（2010·北京东城·二模）函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据题意可知分段函数为增函数，且，列出不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】由题意可知分段函数为增函数，且，
即，解得，
故实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】本题考查了分段函数的单调性、数列的单调性，考查了基本运算求解能力，属于基础题.
17．（2024·天津·一模）已知为等差数列，前项和为，且，，则（ ）
A．54 B．45 C．23 D．18
【答案】C
【分析】设等差数列的公差为，依题意由等差数列求和公式及通项公式求出，从而得解.
【详解】设等差数列的公差为，
因为，，
所以，解得，
所以.
故选：C
18．（2024·天津·一模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．6 B．9 C．11 D．14
【答案】B
【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式，依据题意列方程组，解方程组解出和，从而得出通项公式，进而即可得到．
【详解】设等差数列的首项为，公差为，
由，
则有，解得，
所以等差数列的通项公式为，
故．
故选：B．
19．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知数列满足：，若，则（ ）
A．48 B．24 C．16 D．12
【答案】A
【分析】先根据条件得到数列为公差为1的等差数列，再利用等差数列的通项公式及对数的运算性质计算即可.
【详解】由得，
所以数列为公差为1的等差数列，
所以，
所以，
所以.
故选：A.
20．（23-24高三上·天津河西·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ）
A．第30项 B．第36项 C．第48项 D．第60项
【答案】B
【分析】根据题意求出数列的首项与公差，从而求出数列的通项，即可得解.
【详解】设公差为，
则，解得，
所以，
则，
令，则，
所以是中的第36项.
故选：B.
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型2 等差数列的判定与证明
21．（2017·天津·二模）已知等差数列的前项和为，且，若记，则数列（ ）
A．是等差数列但不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
【答案】C
【分析】利用等差中项的性质可求得的值，可求得数列的通项公式，再利用等差数列和等比数列的定义判断可得出结论.
【详解】因为，可得.
由等差中项的性质可得，因此，，
所以，，且，故数列既是等差数列，又是等比数列.
故选：C.
22．（18-19高三上·天津静海·期中）已知数列的各项均为正数，则数列的前15项和为
A．3 B．4 C．127 D．128
【答案】A
【分析】由题得是一个等差数列，求出，再求出，再利用裂项相消法求和.
【详解】由题得是一个以1为首项，以1为公差的等差数列，所以，
所以，
所以数列的前15项和为.
故答案为A
【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等差数列的通项和裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
23．（20-21高三上·天津和平·期中）设数列的前项和. 则的值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】利用得出数列的通项公差，然后求解.
【详解】由得，，，
所以，
所以，故.
故选：C.
【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用求解即可.
24．（16-17高三上·湖南·阶段练习）已知是数列的前项和，且，则．
A．72 B．88 C．92 D．98
【答案】C
【详解】试题分析：为等差数列，公差为3，所以由得，选C.
考点：等差数列定义
25．（2016·浙江·高考真题）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）
若

A．是等差数列
B．是等差数列
C．是等差数列
D．是等差数列
【答案】A
【详解】表示点到对面直线的距离（设为）乘以长度的一半，
即，由题目中条件可知的长度为定值，
那么我们需要知道的关系式，
由于和两个垂足构成了直角梯形，
那么，
其中为两条线的夹角，即为定值，
那么，
，
作差后：，都为定值，所以为定值．故选A．
判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法． (2)等差中项法． (3)通项公式法． (4)前n项和公式法．
题型3 等差数列的性质
26．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知等比数列的前项和为，．在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，的值为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．560
【答案】A
【分析】先求得，然后利用等差数列的性质求得.
【详解】设等比数列的公比为，
依题意，，
则，即，所以，
所以，则，则，
所以，所以，
，所以.
故选：A
27．（23-24高二上·天津和平·期末）若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据等差数列的前n项和公式可得，再结合等差数列的性质判断处的符号，即可得出答案.
【详解】因为，
所以，
因为，所以，
所以公差，
故当时，，当时，，
所以当时，取得最小值，
即中最小的项是.
故选：B.
28．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知是等差数列的前n项和，，则的值是（ ）
A．60 B．30 C．15 D．8
【答案】A
【分析】利用等差数列的性质求解.
【详解】因为数列为等差数列，
所以.
故选：A
29．（21-22高三下·天津西青·阶段练习）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，…，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ）
A．189 B．252
C．324 D．405
【答案】D
【分析】设等差数列的公差为，由题意和等差数列的通项公式得出，解方程得出，最后根据等差数列的求和公式得出.
【详解】设等差数列的公差为，
由，，
得，解得：，
所以.
故选：D.
30．（20-21高三上·天津红桥·期末）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根据等差数列的前项和公式以及等差数列的下标性质可求得结果.
【详解】因为为等差数列，
所以.
故选：D
【点睛】关键点点睛：利用等差数列的前项和公式以及等差数列的下标性质求解是解题关键.
等差数列项的性质的关注点 (1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质． (2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合．
考点三：等比数列
1．等比数列有关的概念
(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.
(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项，即G2＝xy.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1.
(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列性质
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N+.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N+.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N+)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)．
(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
题型1 等比数列基本量的运算
31．（2024·天津和平·一模）已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设等比数列的公比为q，且，由等差数列的中项性质列方程计算可得q，再由等比数列的通项公式计算可得
【详解】因为等比数列中的各项都是正数，设公比为q，得，
又成等差数列，
可得，
又，所以，解得或，
又，所以
则，
故选：A
32．（2024高三·天津·专题练习）已知正项等比数列中，，，成等差数列．若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
【答案】B
【分析】先根据题意求出首项及公比，再根据等比中项的定义求出，再根据基本不等式中“1”的整体代换即可得解.
【详解】设正项等比数列公比为，由，，成等差数列，
有，即，得，
由，解得，
若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，
则，即，得，则，
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为3．
故选：B
33．（23-24高三上·天津·期末）已知等比数列的前n项和是，且，，则（ ）
A．30 B．80 C．240 D．242
【答案】D
【分析】由题意得，解出公比，由等比数列求和公式即可得解.
【详解】由题意设公比为，所以，解得，所以.
故选：D.
34．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）在等比数列中，成等差数列，则（ ）
A．3 B． C．9 D．
【答案】C
【分析】利用等差数列及等比数列的相关概念计算即可.
【详解】设的公比为，
则由题意可知或，
显然时，，无意义舍去；
所以.
故选：C
35．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知等比数列的前3项和为，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
【答案】B
【分析】根据等比数列的通项公式列方程得到，，然后求即可.
【详解】由题意得①，②，
联立得，
因为，所以，解得，
将代入①中得，
所以.
故选：B.
等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
题型2 等比数列的判定与证明
36．（2015·广东广州·一模）已知数列满足，且，则数列的通项公式为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】试题分析：因为，所以，即，所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即，所以数列的通项公式是，故选D．
考点：数列的通项公式．
37．（2017·天津红桥·一模）已知等比数列的首项为1，若，，成等差数列，则数列的前5项和为（ ）
A． B．2
C． D．
【答案】C
【分析】设的公比为，由，，成等差数列求出，再由等比数列前和公式得的前5项和．
【详解】解：设的公比为，
因为，，成等差数列，所以，即，
所以，
所以．
所以，
因为，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以．
故选：C．
38．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
根据关系求出，最后再根据等比数列前项和公式计算求解即可.
【详解】
因为，所以当时，，两式相减，得，
因为数列是等比数列，所以．
由，解得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，
所以，即，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，
所以数列的前项和为．
故选：A．
39．（13-14高二下·湖北荆门·期末）若数列满足（为常数，，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）．
A．甲是乙的充分非必要条件 B．甲是乙的必要非充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既非充分也非必要条件
【答案】B
【分析】利用等比数列的性质以及正负进行判断即可.
【详解】若为等比数列，设其公比为，则，为常数，所以成等比数列，即是等方比数列，故必要性满足.
若是等方比数列，即成等比数列，则不一定为等比数列，例如，有，满足是等方比数列，但不是等比数列，充分性不满足.
故选：B
40．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，．
设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．均构成等比数列 D．
【答案】B
【分析】根据已知写出、、的通项公式且时，应用累加法求通项，进而判断各选项的正误.
【详解】据题意知：，
∴，A错误；
，
当时，，D错误；
∴，
由也满足上式，则，
所以不构成等比数列，C错误；
由上，，则，B正确.
故选：B．
等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N+)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N+)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N+)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
题型3 等比数列的性质
41．（2020·天津和平·一模）设等比数列中，每项均是正数，，则（ ）
A．20 B． C． D．
【答案】B
【分析】，再利用等比数列的性质化简即可得答案.
【详解】.
故选：B.
【点睛】本题考查了等比数列的性质，对数的运算，属于基础题.
42．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，结合等比数列的通项公式，分别验证充分性以及必要性，即可得到结果.
【详解】由等比数列的通项公式可得，，
当且时，则，且单调递减，则是递减数列，故充分性满足；
当是递减数列，可得或，故必要性不满足；
所以“且”是“是递减数列”的充分不必要条件.
故选：A
43．（19-20高三下·天津静海·期中）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据等比数列通项公式分别讨论充分性与必要性即可得答案.
【详解】解：设公比为，若，则，即，则有或，
所以当时，数列为摆动数列，故充分性不成立；
若数列为递增数列，则，由于，∴，故必要性成立.
所以“”是“数列为递增数列”的必要而不充分条件.
故选：B.
【点睛】本题考查必要不充分条件，等比数列的单调性，是中档题.
44．（19-20高三上·天津南开·阶段练习）已知q是等比数列的公比，则“”是“数列是递增数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由等比数列的性质，举特例可得出选项．
【详解】已知q是等比数列{an}的公比，当a1＝1，q＝﹣1，则数列为摆动数列，即数列{an}不是递增数列，
当数列{an}是递增数列，不妨取：an＝2n，则a1＝2，q＝2，不满足a1（1﹣q）＞0，
故“a1（1﹣q）＞0”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件，
故选D．
【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，涉及等比数列的性质，属于简单题．
45．（2014·全国·高考真题）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=
A．31 B．32 C．63 D．64
【答案】C
【详解】试题分析：由等比数列的性质可得S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，代入数据计算可得．
解：S2=a1+a2，S4﹣S2=a3+a4=（a1+a2）q2，S6﹣S4=a5+a6=（a1+a2）q4，
所以S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，
即3，12，S6﹣15成等比数列，
可得122=3（S6﹣15），
解得S6=63
故选C
考点：等比数列的前n项和．
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
考点四：数列求和
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝.
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝.
(4)＝－.
(5)＝.
题型1 分组求和与并项求和
46．（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．
【详解】（1）由，
当时，，所以，
当时，，所以，
所以数列是以为公比的等比数列，
所以；
（2）由（1）得，
则，
故，
，
而随的增大而减小，
所以，
随的增大而增大，
所以，
因为对任意的，都有，
所以.
47．（23-24高三下·天津和平·开学考试）在数列中，．在等差数列中，前n项和为，，．
(1)求证是等比数列，并求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，的前n项和为，求．
【详解】（1）当时，故，又，
故是等比数列，且公比为2，首项为
所以，故，
设的公差为，则由，，解得，，
故，
（2）
故，
而，故，其中，
当为偶数时，，
当为奇数时，，
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． (2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．
题型2 错位相减法求和
48．（2024·天津河西·一模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求证：；
(3)求的值．
【详解】（1）由，得①，则②，
②①得，整理得，
由，得，
又时，，解得，
所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则，
即数列的通项公式为；
设等比数列公比为，由，有，，
则，
，解得，则，
即数列的通项公式为.
（2）由，得，
则，
所以.
（3）设，
，
，
设，，
则，
，
两式相减，得
，
则有，得，
所以.
49．（2024·天津河东·一模）设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)数列的前项和分别为；
（ⅰ）证明；
（ⅱ）求．
【详解】（1）
解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
则，，
因为，可得，解得，
又因为，可得，
又由且，可得，解得（负值舍去），
所以.
（2）
（ⅰ）证明：由，可得，
所以，
则.
（ⅰⅰ）解：由，可得，
则
，
可得，
则，
两式相减得，
，
所以，即
【点睛】
关键点点睛：本题第2问（ⅱ）解决的关键是，通过观察计算发现的结果满足错位相减法的要求，从而得解.
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法． (2)错位相减法求和时，应注意： ①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． ②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
题型3 裂项相消法求和
50．（2024·天津滨海新·二模）已知数列满足，其中.
(1)若，求数列的前n项的和；
(2)若，且数列满足：，证明：.
(3)当，时，令，判断对任意，，是否为正整数，请说明理由.
【详解】（1）因为，，所以当时，，时，，
即为奇数时，；为偶数时，.
记数列的前n项的和为，当为偶数时，，当为奇数时，，
综上，其中.
当时，，时，，此时是等比数列，
当时，；
当时，，故.
（2）由（1）知，，时，，
，
（3）对任意，，是正整数.理由如下：
当，时，，此时；
，此时；
由，平方可得，，
又，所以，
整理可得，
当时，，所以
，
所以，由，所以，以此类推，可知对任意，，是正整数.
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是把的通项公式化成裂项相消的结构求和；二是通过递推关系得到，根据前几项为自然数，递推可得结论.
51．（2024·天津和平·一模）若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
【详解】（1）（ⅰ）由，可得，
所以数列是首项为公差为1的等差数列，
所以，
又因为，所以.
（ⅱ），
设，，
，，
所以，
.
（2）若是M数列，有，
故，且，
即
，
则
，
由随的增大而增大，
若，可得，
因为，故对任意的，总存在正整数使，
即总存在正整数n，使得.
【点睛】关键点点睛：本题解题中，对求和要求较高，裂项相消法求和是解决问题的关键，其次利用放缩法适当放缩，继续利用裂项相消法是证明的关键.
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．重难点08 数列
考点一 数列的概念
由an与Sn的关系求通项公式
由数列的递推关系求通项公式
数列的性质
考点二 等差数列
等差数列基本量的运算
等差数列的判定与证明
3、等差数列的性质
考点三 等比数列
1、等差数列基本量的运算
2、等差数列的判定与证明
3、等差数列的性质
考点四 数列求和
1、分组求和与并项求和
2、错位相减法求和
3、解三角形的实际应用
考点一：数列的概念
1．数列的有关概念
概念 含义
数列 按照一定次序排列的一列数
数列的项 数列中的每一个数
通项公式 如果数列的第n项an与n之间的关系可以用an＝f(n)来表示，其中f(n)是关于n的不含其他未知数的关系式，则称上述关系式为这个数列的一个通项公式
递推公式 如果已知数列的首项(或前几项)，且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系.
数列{an}的前n项和 一般地，给定数列{an}，称Sn＝a1＋a2＋…＋an为数列{an}的前n项和
2.数列的分类
分类标准 类型 满足条件
项数 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
项与项间的大小关系 递增数列 an＋1>an 其中n∈N+
递减数列 an＋1常数列 an＋1＝an
摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列
3.数列与函数的关系
数列{an}可以看成定义域为正整数集的子集的函数，数列中的数就是自变量从小到大依次取正整数值时对应的函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．
题型1 由an与Sn的关系求通项公式
1．（23-24高三上·天津西青·期末）已知是等比数列，是数列的前项和，，则的值为（ ）
A．3 B．18 C．54 D．152
2．（23-24高三上·天津和平·期末）已知数列为等比数列，为数列的前项和，，则的值为（ ）
A．9 B．21 C．45 D．93
3．（23-24高三上·天津·期中）设是数列的前项和，已知且，则（ ）
A．9 B．27 C．81 D．101
4．（23-24高三上·天津北辰·期中）已知数列的前项和为，且，则（ ）
A． B． C．16 D．32
5．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）等差数列，前n项和分别为与，且，则（ ）
A． B． C． D．
Sn与an的关系问题的求解思路 (1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． (2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
题型2 由数列的递推关系求通项公式
6．（2024·天津·二模）在数列中，若（），则的值为（ ）
A．1 B．3 C．9 D．27
7．（19-20高三上·天津和平·阶段练习）数列满足，对，都有，则（ ）
A． B． C． D．
8．（20-21高三上·辽宁沈阳·期末）已知数列满足：，则
A．16 B．25 C．28 D．33
9．（2017·湖南湘潭·一模）已知数列{an}满足： m，n∈N*，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·吉林长春·一模）已知数列，，，且，则数列的前30项之和为（ ）
A．15 B．30 C．60 D．120
(1)形如an＋1－an＝f(n)的数列，利用累加法． (2)形如＝f(n)的数列，利用an＝a1···…·(n≥2)即可求数列{an}的通项公式．
题型3 数列的性质
11．（23-24高三上·天津滨海新·开学考试）已知数列满足，，则以下结论正确的个数是（ ）
①为等比数列；②的通项公式为；③为递增数列；④的前n项和.
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
12．（22-23高三上·天津静海·阶段练习）设命题P：已知定义在的可导函数，其导函数，存在，使得，恒成立.命题Q：存在，使得为递增数列.则Q是P的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（21-22高三上·天津河西·期末）已知数列的通项公式为，前项和为，则取得最小值时，的值等于（ ）
A．10 B．9 C．8 D．4
14．（22-23高三上·天津·期中）数列的通项公式为，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
15．（15-16高三上·浙江嘉兴·阶段练习）已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
(1)解决数列的单调性问题的方法 用作差比较法，根据an＋1－an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列还是常数列． (2)解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
考点二：等差数列
1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an＋1－an＝d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差．
(2)等差中项
如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且有A＝.
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d或Sn＝.
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，为等差数列．
题型1 等差数列基本量的运算
16．（2010·北京东城·二模）函数，若数列满足，，且是递增数列，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（2024·天津·一模）已知为等差数列，前项和为，且，，则（ ）
A．54 B．45 C．23 D．18
18．（2024·天津·一模）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）
A．6 B．9 C．11 D．14
19．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知数列满足：，若，则（ ）
A．48 B．24 C．16 D．12
20．（23-24高三上·天津河西·期末）已知等差数列的前项和为，且，，则是中的（ ）
A．第30项 B．第36项 C．第48项 D．第60项
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”)． (2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型2 等差数列的判定与证明
21．（2017·天津·二模）已知等差数列的前项和为，且，若记，则数列（ ）
A．是等差数列但不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
22．（18-19高三上·天津静海·期中）已知数列的各项均为正数，则数列的前15项和为
A．3 B．4 C．127 D．128
23．（20-21高三上·天津和平·期中）设数列的前项和. 则的值为（ ）．
A． B． C． D．
24．（16-17高三上·湖南·阶段练习）已知是数列的前项和，且，则．
A．72 B．88 C．92 D．98
25．（2016·浙江·高考真题）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，.（）
若

A．是等差数列
B．是等差数列
C．是等差数列
D．是等差数列
判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法． (2)等差中项法． (3)通项公式法． (4)前n项和公式法．
题型3 等差数列的性质
26．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知等比数列的前项和为，．在与之间插入个数，使这个数组成一个等差数列，记插入的这个数之和为，的值为（ ）
A．240 B．360 C．480 D．560
27．（23-24高二上·天津和平·期末）若是等差数列，表示的前n项和，，则中最小的项是（ ）
A． B． C． D．
28．（19-20高三上·天津北辰·期中）已知是等差数列的前n项和，，则的值是（ ）
A．60 B．30 C．15 D．8
29．（21-22高三下·天津西青·阶段练习）北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间的是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为，，，…，，设数列为等差数列，它的前n项和为，且，，则（ ）
A．189 B．252
C．324 D．405
30．（20-21高三上·天津红桥·期末）设是等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．
C． D．
等差数列项的性质的关注点 (1)在等差数列题目中，只要出现项的和问题，一般先考虑应用项的性质． (2)项的性质常与等差数列的前n项和公式Sn＝相结合．
考点三：等比数列
1．等比数列有关的概念
(1)定义：一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之比都等于同一个常数q，即＝q恒成立，则称{an}为等比数列，其中q称为等比数列的公比.
(2)等比中项：如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项，即G2＝xy.
2．等比数列的通项公式及前n项和公式
(1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1.
(2)等比数列通项公式的推广：an＝amqn－m.
(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝＝.
3．等比数列性质
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N+.特别地，若2w＝m＋n，则aman＝a，其中m，n，w∈N+.
(2)ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N+)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{an·bn}，{pan·qbn}和也是等比数列(b，p，q≠0)．
(4)等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.(n为偶数且q＝－1除外)
(5)若或则等比数列{an}递增．
若或则等比数列{an}递减．
题型1 等比数列基本量的运算
31．（2024·天津和平·一模）已知等比数列的各项均为正数，若成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
32．（2024高三·天津·专题练习）已知正项等比数列中，，，成等差数列．若数列中存在两项，，使得为它们的等比中项，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
33．（23-24高三上·天津·期末）已知等比数列的前n项和是，且，，则（ ）
A．30 B．80 C．240 D．242
34．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）在等比数列中，成等差数列，则（ ）
A．3 B． C．9 D．
35．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）已知等比数列的前3项和为，则（ ）
A．14 B．12 C．6 D．3
等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解．
题型2 等比数列的判定与证明
36．（2015·广东广州·一模）已知数列满足，且，则数列的通项公式为
A． B． C． D．
37．（2017·天津红桥·一模）已知等比数列的首项为1，若，，成等差数列，则数列的前5项和为（ ）
A． B．2
C． D．
38．（2024·陕西安康·模拟预测）已知等比数列的前项和为，且，则数列的前项和为（ ）
A． B．
C． D．
39．（13-14高二下·湖北荆门·期末）若数列满足（为常数，，），则称为“等方比数列”．甲：数列是等方比数列；乙：数列是等比数列，则（ ）．
A．甲是乙的充分非必要条件 B．甲是乙的必要非充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既非充分也非必要条件
40．（2022·浙江嘉兴·模拟预测）2022年第二十四届北京冬奥会开幕式上由96片小雪花组成的大雪花惊艳了全世界，数学中也有一朵美丽的雪花一“科赫雪花”．它可以这样画，任意画一个正三角形，并把每一边三等分：取三等分后的一边中间一段为边向外作正三角形，并把这“中间一段”擦掉，形成雪花曲线；重复上述两步，画出更小的三角形．一直重复，直到无穷，形成雪花曲线，．
设雪花曲线的边长为，边数为，周长为，面积为，若，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．均构成等比数列 D．
等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N+)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N+)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N+)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
题型3 等比数列的性质
41．（2020·天津和平·一模）设等比数列中，每项均是正数，，则（ ）
A．20 B． C． D．
42．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）设数列的公比为，则“且”是“是递减数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
43．（19-20高三下·天津静海·期中）设是首项大于零的等比数列，则“”是“数列为递增数列”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
44．（19-20高三上·天津南开·阶段练习）已知q是等比数列的公比，则“”是“数列是递增数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
45．（2014·全国·高考真题）设等比数列{an}的前n项和为Sn．若S2=3，S4=15，则S6=
A．31 B．32 C．63 D．64
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．
考点四：数列求和
数列求和的几种常用方法
1．公式法
直接利用等差数列、等比数列的前n项和公式求和．
(1)等差数列的前n项和公式：
Sn＝＝na1＋d.
(2)等比数列的前n项和公式：
Sn＝.
2．分组求和法与并项求和法
(1)分组求和法
若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减．
(2)并项求和法
一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和公式就是用此法推导的．
4．裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
常见的裂项技巧
(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝.
(4)＝－.
(5)＝.
题型1 分组求和与并项求和
46．（2024·天津红桥·一模）已知为数列的前n项和，且满足，其中，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，若对任意的，都有，求实数m的取值范围．
47．（23-24高三下·天津和平·开学考试）在数列中，．在等差数列中，前n项和为，，．
(1)求证是等比数列，并求数列和的通项公式；
(2)设数列满足，的前n项和为，求．
(1)若数列{cn}的通项公式为cn＝an±bn，且{an}，{bn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{cn}的前n项和． (2)若数列{cn}的通项公式为cn＝其中数列{an}，{bn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求{cn}的前n项和．
题型2 错位相减法求和
48．（2024·天津河西·一模）已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，．
(1)求数列和的通项公式；
(2)求证：；
(3)求的值．
49．（2024·天津河东·一模）设是等差数列，是各项均为正数的等比数列，，．
(1)求数列与的通项公式；
(2)数列的前项和分别为；
（ⅰ）证明；
（ⅱ）求．
(1)如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，常采用错位相减法． (2)错位相减法求和时，应注意： ①在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确地写出“Sn－qSn”的表达式． ②应用等比数列求和公式时必须注意公比q是否等于1，如果q＝1，应用公式Sn＝na1.
题型3 裂项相消法求和
50．（2024·天津滨海新·二模）已知数列满足，其中.
(1)若，求数列的前n项的和；
(2)若，且数列满足：，证明：.
(3)当，时，令，判断对任意，，是否为正整数，请说明理由.
51．（2024·天津和平·一模）若数列满足，其中，则称数列为M数列.
(1)已知数列为M数列，当时.
（ⅰ）求证：数列是等差数列，并写出数列的通项公式；
（ⅱ），求.
(2)若是M数列，且，证明：存在正整数n.使得.
(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口． (2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要．

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