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重难点10 平面解析几何
考点一 直线的方程
直线的方程
两条直线的位置关系
考点二 圆的方程
圆的方程
直线与圆的位置关系
3、圆与圆的位置关系
考点三 圆锥曲线
1、椭圆
2、双曲线
3、抛物线
4、直线与圆锥曲线的位置关系
考点四 综合应用
1、圆锥曲线中求值与证明问题
2、圆锥曲线中范围与最值问题
3、圆锥曲线中定点与定值问题
4、圆锥曲线中探索性与综合性问题
考点一：直线的方程
直线的方程
1．直线的方向向量
一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
2．直线的倾斜角
(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
直线与直线的位置关系
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
题型1 直线的方程
1．（20-21高二上·天津北辰·期末）直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
2．（20-21高二上·天津北辰·期末）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（ ）
A． B．
C． D．
4．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．（23-24高二上·天津北辰·期中）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
题型2 直线与直线的位置关系
6．（23-24高二上·天津·期末）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．不存在
7．（20-21高二上·天津北辰·期末）若直线与直线垂直，则实数的取值为（ ）
A． B．2 C． D．10
8．（20-21高二上·天津北辰·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
9．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．（23-24高二上·天津和平·期末）已知直线：，直线：，若，则实数（ ）
A．－4或0 B．0或1 C．－4 D．0
对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
考点二：圆的方程
圆的方程
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形 量的关系
外离 d>r1＋r2
外切 d＝r1＋r2
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|
内含 d<|r1－r2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
题型1 圆的方程
11．（23-24高二上·天津·期末）为圆（）内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相离
12．（23-24高二上·天津和平·阶段练习）曲线 的长度是（ ）
A． B． C． D．
13．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）圆心为，半径为2的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
14．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“”是“方程表示圆的方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（23-24高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．6
求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
题型2 直线与圆的位置关系
16．（23-24高二上·天津·期末）已知圆：（）截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
17．（21-22高二上·天津滨海新·期中）直线与圆交于A，两点，则当弦最短时直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
18．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
19．（23-24高二上·天津·期末）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A． B．9 C．10 D．
20．（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
题型3 圆与圆的位置关系
21．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）．
A． B． C．4 D．2
22．（23-24高二上·天津·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
23．（23-24高二上·天津宁河·期末）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．内含
24．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①两圆的圆心距；
②直线AB的方程为；
③；
④圆上的点到直线的最大距离为．
A．1 B．2
C．3 D．4
25．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
考点三：圆锥曲线
椭圆
1．椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝(0a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
双曲线
1．双曲线的定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，半实轴长：a，半虚轴长：b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
抛物线
1．抛物线的概念
一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ>0；直线与圆锥曲线相切 Δ＝0；直线与圆锥曲线相离 Δ<0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
题型1 椭圆
26．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
27．（23-24高二上·天津·期末）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
28．（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
29．（23-24高二上·天津和平·期末）椭圆的两个焦点为，，点M是椭圆上一点，且满足．则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
30．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是均值不等式．
题型2 双曲线
31．（2023·天津河北·一模）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
32．（2024·天津河西·一模）已知双曲线C：（，）的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
33．（2024·天津和平·一模）设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
34．（2024·天津南开·一模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（ ）
A． B． C．2 D．4
35．（2024·天津·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
题型3 抛物线
36．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
37．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
38．（23-24高二上·天津·期末）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
39．（22-23高二上·天津北辰·期末）若抛物线的焦点坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
40．（23-24高二上·天津河东·期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
考点四：综合应用
题型1 圆锥曲线中求值与证明问题
41．（2024·天津和平·一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.
圆锥曲线证明问题的类型及求解策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． (2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
题型2 圆锥曲线中范围与最值问题
42．（23-24高三上·天津·期末）已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，点为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过椭圆C的右焦点，与椭圆C交于P，O两点（点P在第一象限）．且面积的最大值为，
①求椭圆C的方程；
②若直线，分别与直线交于，两点，求证：以为直径的圆恒过右焦点．
圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
题型3 圆锥曲线中定点与定值问题
43．（23-24高三上·天津河北·期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值.
求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
题型4 圆锥曲线中探索性与综合性问题
44．（2024·天津南开·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点F重合，抛物线的准线被C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F作直线l交C于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.
存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．重难点10 平面解析几何
考点一 直线的方程
直线的方程
两条直线的位置关系
考点二 圆的方程
圆的方程
直线与圆的位置关系
3、圆与圆的位置关系
考点三 圆锥曲线
1、椭圆
2、双曲线
3、抛物线
4、直线与圆锥曲线的位置关系
考点四 综合应用
1、圆锥曲线中求值与证明问题
2、圆锥曲线中范围与最值问题
3、圆锥曲线中定点与定值问题
4、圆锥曲线中探索性与综合性问题
考点一：直线的方程
直线的方程
1．直线的方向向量
一般地，如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，则称向量a为直线l的一个方向向量，记作a∥l.
2．直线的倾斜角
(1)定义：一般地，给定平面直角坐标系中的一条直线，如果这条直线与x轴相交，将x轴绕着它们的交点按逆时针方向旋转到与直线重合时所转的最小正角记为θ，则称θ为这条直线的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
3．直线的斜率
(1)定义：一般地，如果直线l的倾斜角为θ，则当θ≠90°时，称k＝tan θ为直线l的斜率；当θ＝90°时，直线l的斜率不存在．
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝.
4．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝(x1≠x2，y1≠y2) 不含直线x＝x1 和直线y＝y1
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
直线与直线的位置关系
1.两条直线的位置关系
直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，l3：A1x＋B1y＋C1＝0，l4：A2x＋B2y＋C2＝0(其中l1与l3是同一直线，l2与l4是同一直线，l3的法向量v1＝(A1，B1)，l4的法向量v2＝(A2，B2)的位置关系如下表：
位置关系 法向量满足的条件 l1，l2满足的条件 l3，l4满足的条件
平行 v1∥v2 k1＝k2且b1≠b2 A1B2－A2B1＝0且 A1C2－A2C1≠0
垂直 v1⊥v2 k1·k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0
相交 v1与v2不共线 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0
2.三种距离公式
(1)两点间的距离公式
①条件：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．
②结论：|P1P2|＝.
③特例：点P(x，y)到原点O(0,0)的距离|OP|＝.
(2)点到直线的距离
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行直线间的距离
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝.
题型1 直线的方程
1．（20-21高二上·天津北辰·期末）直线的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．135°
【答案】D
【分析】将直线化为斜截式方程，然后求出直线的斜率，再确定直线的倾斜角.
【详解】由，因此该直线的斜率为，
因为直线的倾斜角的范围为，
所以该直线的倾斜角为，
故选：D
2．（20-21高二上·天津北辰·期末）过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据互相平行直线方程的特点，结合代入法进行求解即可.
【详解】与直线平行的直线方程可设为，
因为点在直线上，
所以，
即过点且与直线平行的直线方程是，
故选：A
3．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）已知直线，当k变化时，所有直线都恒过点（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】把直线方程化为点斜式，即可求解.
【详解】直线可化为：
，
故直线过定点，
故选：D.
4．（23-24高二上·天津南开·阶段练习）过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【分析】分直线过原点和不过原点两种情况讨论，结合直线的截距式即可得解.
【详解】当直线过原点时在两坐标轴上的截距都为，满足题意，
又因为直线过点，所以直线的斜率为，
所以直线方程为，即，
当直线不过原点时，设直线方程为，
因为点在直线上，
所以，解得，
所以直线方程为，
故所求直线方程为或.故C项正确.
故选：C.
5．（23-24高二上·天津北辰·期中）过点且与直线垂直的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直关系设出直线方程为，代入点的坐标，求出答案.
【详解】与直线垂直的直线方程可设为，
将代入可得，解得，
故过点且与直线垂直的直线方程为.
故选：B
求直线方程的两种方法 (1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式． (2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数．
题型2 直线与直线的位置关系
6．（23-24高二上·天津·期末）已知直线：与直线：平行，则实数的值为（ ）
A．1 B． C．1或 D．不存在
【答案】A
【分析】求出直线与不相交时的值，再验证即可得解.
【详解】当直线与不相交时，，解得或，
当时，直线：与直线：平行，因此；
当时，直线：与直线：重合，不符合题意，
所以实数的值为1.
故选：A
7．（20-21高二上·天津北辰·期末）若直线与直线垂直，则实数的取值为（ ）
A． B．2 C． D．10
【答案】D
【分析】根据两条直线的位置关系，列出方程，即可求解.
【详解】由直线与直线垂直，
可得，解得，所以实数的取值为.
故选：D.
8．（20-21高二上·天津北辰·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（ ）
A． B．0 C．1 D．
【答案】B
【分析】根据平行直线的性质，结合平行线间的距离公式进行求解即可.
【详解】因为直线与直线平行，
所以有，所以有，
又因为这两条平行线间距离为，
所以有，或舍去，
所以，
故选：B
9．（23-24高二上·天津和平·期末）设点P，Q分别为直线与直线上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】因为直线与直线平行，所以的最小值为直线与直线距离，求解即可.
【详解】由直线可得，
所以直线与直线平行，
所以的最小值为直线与直线距离，
所以.
故选：C.
10．（23-24高二上·天津和平·期末）已知直线：，直线：，若，则实数（ ）
A．－4或0 B．0或1 C．－4 D．0
【答案】A
【分析】由直线垂直的充要条件列方程即可求解.
【详解】由题意直线：，直线：，且，
所以，解得或.
故选：A.
对称问题的求解策略 (1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解． (2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．
考点二：圆的方程
圆的方程
1．圆的定义和圆的方程
定义 平面内到一定点的距离等于定长的点的集合是圆
方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C(a，b)
半径为r
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在圆外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
几何观点 d>r d＝r d2.圆与圆的位置关系(⊙O1，⊙O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
图形 量的关系
外离 d>r1＋r2
外切 d＝r1＋r2
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|
内含 d<|r1－r2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝·.
题型1 圆的方程
11．（23-24高二上·天津·期末）为圆（）内异于圆心的一点，则直线与该圆的位置关系为（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相切或相离
【答案】A
【分析】由题意得，结合点到直线的距离公式判断圆心到直线的距离与半径的大小即可.
【详解】由题意圆心，而圆心到直线的距离，
所以直线与该圆的位置关系为相离.
故选：A.
12．（23-24高二上·天津和平·阶段练习）曲线 的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，化简得到曲线表示的轨迹为弧，所在圆的半径为，且，结合弧长公式，即可求解.
【详解】由曲线，可得，其中，
如图所示，曲线表示的轨迹为弧，且扇形所在圆的半径为，且，
所以曲线表示的长度为.
故选：A.
13．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）圆心为，半径为2的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】利用圆的标准方程进行判断即可.
【详解】因为圆的圆心为，半径为2，
所以圆的方程为.
故选：A.
14．（23-24高二上·湖北武汉·期中）“”是“方程表示圆的方程”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据表示圆得到或，然后判断充分性和必要性即可.
【详解】若表示圆，则，解得或，
可以推出表示圆，满足充分性，
表示圆不能推出，不满足必要性，
所以是表示圆的充分不必要条件.
故选：A.
15．（23-24高二上·天津·期中）已知点，，点C为圆上一点，则的面积的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．6
【答案】D
【分析】先求解出直线的方程，然后将圆心到直线的距离再加上半径作为的高的最大值，由此求解出的面积的最大值.
【详解】因为，，所以，
又因为圆的方程为，所以圆心为，半径为，
所以圆上点到直线的最大距离为，
所以的面积的最大值为，
故选：D.
求与圆有关的轨迹问题的常用方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
题型2 直线与圆的位置关系
16．（23-24高二上·天津·期末）已知圆：（）截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．外离
【答案】A
【分析】根据圆的弦长公式，结合点到直线的距离公式可得，即可根据圆心距与半径的关系求解.
【详解】圆：（）的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
所以，解得，
故圆的圆心为，半径为，
，故两圆内切，
故选：A
17．（21-22高二上·天津滨海新·期中）直线与圆交于A，两点，则当弦最短时直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先求直线所过定点，结合图形分析，由直线l与CP垂直时弦最短可解.
【详解】由得，
则令，解得，故直线过定点，
由，则圆心，半径，
当时，弦最短，直线的斜率，则直线的斜率，
故直线为，则．
故选：D
18．（23-24高二上·天津·期末）过点且与圆相切的直线方程为（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.
【详解】圆， 即圆的圆心坐标，半径分别为，
显然过点且斜率不存在的直线为，与圆相切，满足题意；
设然过点且斜率存在的直线为，与圆相切，
所以，所以解得，
所以满足题意的直线方程为或.
故选：D.
19．（23-24高二上·天津·期末）直线：与圆：交于、两点，点为中点，直线：与两坐标轴分别交于、两点，则面积的最大值为（ ）
A． B．9 C．10 D．
【答案】D
【分析】，过定点，，，由垂径定理易知，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，计算出点到的最大距离为，据此即可求出面积的最大值.
【详解】因为圆：，所以，
因为：，即，所以过定点，
直线：，令，则；令，则，
则，，，作出图象如图所示：
因为为中点，所以，所以点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，
所以点到的最大距离为，
所以面积的最大值为.
故选：D.
【点睛】关键点睛：本题的关键是得到点的轨迹，再求出该圆上的点到定直线距离的最大值，从而得到面积最大值.
20．（23-24高二上·天津滨海新·阶段练习）直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
【答案】A
【分析】根据圆心到直线的距离判断即可.
【详解】圆：的圆心，半径，
故圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，
故选：A
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长度表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果．
题型3 圆与圆的位置关系
21．（23-24高二上·江苏盐城·期末）已知圆和圆相交于A，B两点，则弦AB的长为（ ）．
A． B． C．4 D．2
【答案】A
【分析】判断两圆相交，求出两圆的公共弦方程，根据圆的弦长的几何求法，即可求得答案.
【详解】由题意知圆，即圆，
圆心为，半径，
圆，即圆，
圆心为，半径，
则，即两圆相交，
将圆和圆的方程相减，
可得直线的方程为，
则到直线的距离为，
故弦的长为，
故选：A
22．（23-24高二上·天津·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先分别求出两圆的圆心的坐标及半径，再根据两圆相交可得，即可得解.
【详解】圆化为标准方程得，
则其圆心，半径，
圆化为标准方程得，
则其圆心，半径，
因为两圆相交，所以，
即，解得，
所以的取值范围为.
故选：A.
23．（23-24高二上·天津宁河·期末）圆：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．内切 D．内含
【答案】A
【分析】由圆的方程确定圆心和半径，比较圆心距和半径和差的大小即可判断.
【详解】由题设，，则，
所以两圆相交.
故选：A
24．（23-24高二上·天津滨海新·期末）已知圆：和圆：交于A，B两点，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①两圆的圆心距；
②直线AB的方程为；
③；
④圆上的点到直线的最大距离为．
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【分析】求出圆的圆心与半径，求解圆心距判断①；求出相交弦数值的直线方程判断②；求解弦长判断③；利用点到直线的距离求解判断④即可．
【详解】圆的圆心，半径为：2；圆的圆心，半径为；
对于①，两圆的圆心距，所以①不正确；
对于②，两圆相交，两个圆的方程作差可得，即，所以②正确；
对于③，圆到直线的距离为：，所以，所以③不正确；
对于④，圆上的点到直线的最大距离为：，所以④正确；
故选：B．
25．（23-24高二上·天津和平·期末）已知圆：和圆：，则圆与圆的公共弦所在的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接将两圆方程作差即可得公共弦方程.
【详解】由题意圆：和圆：，
将两式作差得，圆与圆的公共弦所在的直线方程为，整理得.
故选：B.
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法． (2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
考点三：圆锥曲线
椭圆
1．椭圆的定义
如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中，两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．
2．椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0)， B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a)， B1(－b,0)，B2(b,0)
轴长 短轴长为2b，长轴长为2a
焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
对称性 对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点
离心率 e＝(0a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
双曲线
1．双曲线的定义
一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．
2．双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c)
焦距 |F1F2|＝2c
范围 x≤－a或x≥a，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a)
轴 实轴：线段A1A2，长：2a；虚轴：线段B1B2，长：2b，半实轴长：a，半虚轴长：b
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝∈(1，＋∞)
a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
抛物线
1．抛物线的概念
一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和简单几何性质
标准 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝
对称轴 x轴 y轴
顶点 (0,0)
离心率 e＝1
直线与圆锥曲线的位置关系
1．直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ>0；直线与圆锥曲线相切 Δ＝0；直线与圆锥曲线相离 Δ<0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点．
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点．
2．弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝
或|AB|＝|y1－y2|
＝.
题型1 椭圆
26．（23-24高二上·天津宁河·期末）设椭圆的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，其中一个焦点在抛物线的准线上，且椭圆上的任意一点到两个焦点的距离的和等于10，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线方程有准线为，由题意可得、，进而写出椭圆方程.
【详解】由抛物线的准线为，故椭圆的一个焦点为，则，
由椭圆定义知，故，
所以椭圆方程为.
故选：C
27．（23-24高二上·天津·期末）设，分别是椭圆（）的左右焦点，过的直线与椭圆交于、两点，若的周长为16，且的最小值为2，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义及椭圆的通径求出，即可得出椭圆方程.
【详解】如图，

由椭圆定义知，
所以的周长为，
所以，
又最小时，轴，即为椭圆的通径，所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为：，
故选：B
28．（23-24高二下·天津·阶段练习）设是椭圆的两个焦点，是椭圆上的点，且，则的面积为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】B
【分析】由题意结合椭圆定义推导出△是直角三角形，再求面积即可.
【详解】由可得：，
则椭圆得长轴长为，
，
可设，，
由题意可知，，
，，，
△是直角三角形，
其面积．
故选：B．
29．（23-24高二上·天津和平·期末）椭圆的两个焦点为，，点M是椭圆上一点，且满足．则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】将问题转化为当为短轴端点时，，即，进而可以求离心率的取值范围.
【详解】点M是椭圆上一点，且满足，
设为短轴端点，当时，必存在点，使，如图：
此时，
所以，
所以，即，即，
所以椭圆离心率的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：求离心率的取值范围关键是要根据题目条件构造关于的不等式，然后解不等式即可.
30．（23-24高二上·天津武清·阶段练习）设椭圆的两个焦点分别为、，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用等腰直角三角形的性质得到三条边的长度关于的表达式，再利用椭圆的定义求得的关系式，进而得到离心率.
【详解】依题意，设椭圆的长轴为，半焦距为，
则，则，，
于是，
.
故选：C.
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法 (1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质． (2)利用函数，尤其是二次函数． (3)利用不等式，尤其是均值不等式．
题型2 双曲线
31．（2023·天津河北·一模）过双曲线的右焦点作渐近线的垂线，垂足为交另一条渐近线于点，且点在点之间，若，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设渐近线的倾斜角为，则，由点到直线的距离和双曲线的性质得到，再由题中几何关系得到，解方程即可求出.
【详解】
设渐近线的倾斜角为，则，
又到渐近线的距离为，
又，所以，
所以，所以，
所以，
即，解得，
所以双曲线的渐近线方程为，
故选：B.
32．（2024·天津河西·一模）已知双曲线C：（，）的焦距为，左、右焦点分别为、，过的直线分别交双曲线左、右两支于A、B两点，点C在x轴上，，平分，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据可知，再根据角平分线定理及双曲线定义得是等边三角形，根据边的关系利用余弦定理即可得结果.
【详解】因为，所以，所以，
所以，又，
所以，
又平分，由角平分线定理可知，，
所以，所以，
由双曲线定义知，
所以，，
所以，，，故是等边三角形，
所以，在中，
，
化简得：，所以，
双曲线C的方程为，
故选：A.

【点睛】方法点睛：根据向量共线，角平分线定理及双曲线定义，结合余弦定理可解此题.
33．（2024·天津和平·一模）设双曲线的左、右焦点分别为点，过坐标原点的直线与C交于A，B两点，，的面积为，且，若双曲线C的实轴长为4，则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据双曲线的定义及对称性求出，，由余弦定理解三角形可得，即可得解.
【详解】如图，

由及双曲线、直线的对称性可知，，
则由双曲线定义可知，
所以，，
所以，
解得，
因为，所以，
所以，
由余弦定理可知，
所以，，
所以双曲线方程为：
故选：C
34．（2024·天津南开·一模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【分析】延长，交于点,由已知是的平分线，且，所以得到等腰三角形，所以,且点是中点，结合原点是中点，由中位线结合双曲线定义得到，进而求出；最后距离之积利用点到直线距离公式计算即可.
【详解】如图，延长，交于点,由已知是的平分线，且，
所以,且点是中点.
由原点是中点，可得，又，
所以，又离心率为，，.
设点，所以，即，
所以点P到两条渐近线距离之积为： .
故选：B.

【点睛】结论点睛：本题利用三线合一结合中位线、双曲线定义得出是关键，这个具有一般性，可以作为相应的二级结论，最后双曲线上点到两条渐近线距离之积也具有一般性.
35．（2024·天津·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】取右焦点，连接、，作于点，由题意结合几何性质可得相应的边长及角度间的关系，借助余弦定理列出与、、有关齐次式，计算即可得.
【详解】取右焦点，连接、，作于点，
由为圆的切线，故，又，
为中点，故为中点，又，故为中点，
，则，
，则，
，由直线为双曲线的渐近线，
故有，则，
在中，由余弦定理可得，
则，即，
即，化简得，即，
故.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线离心率的求法，关键点在于借助题目所给条件，从几何的角度构造辅助线，得到新的长度关系与角度关系，从而结合题意构造相应与、、有关齐次式，得到离心率.
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)．
题型3 抛物线
36．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，为抛物线的焦点，若为直角三角形，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出抛物线的准线为，焦点为,．根据对称性可得是等腰直角三角形，从而算出、的坐标，将其代入双曲线方程，解关于的等式即可得到实数的值．
【详解】抛物线的方程为，
抛物线的准线为，焦点为,．
又直线交双曲线于、两点，为直角三角形．
故是等腰直角三角形，边上的高为，
由此可得,、,，如图所示．
将点或点的坐标代入双曲线方程，得，解得（负值舍去）．
故选：A．
37．（23-24高二上·天津宁河·期末）已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线定义可得，写出抛物线方程，进而可得焦点坐标.
【详解】由抛物线定义，知，故，则焦点为.
故选：B
38．（23-24高二上·天津·期末）抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标，利用双曲线方程求出渐近线方程，再由点到直线距离求解.
【详解】由抛物线可知焦点，
双曲线的渐近线方程为，
所以焦点到直线的距离，
故选：A
39．（22-23高二上·天津北辰·期末）若抛物线的焦点坐标为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由抛物线方程与焦点坐标的关系，求的值.
【详解】若抛物线的焦点坐标为，则，.
故选：D
40．（23-24高二上·天津河东·期末）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由抛物线的标准方程求解即可.
【详解】抛物线的焦点在x的正半轴上，，所以焦点坐标为.
故选：B.
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．
考点四：综合应用
题型1 圆锥曲线中求值与证明问题
41．（2024·天津和平·一模）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左焦点为点F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆C交于不同的两点P，Q，线段PQ的中点为T，直线OT与椭圆C交于两点M，N，证明：.
【详解】（1）解：由椭圆的离心率为，且过点F且与x轴垂直的直线截得的线段长为，
可得 ，解得，所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：设直线所在的直线方程为，
联立方程组，整理得，
所以，解得，
设，则，
所以，则，即，
所以的方程为，
联立，解得或，所以，
则，
又由
，
又因为的中点，
可得，
所以.

圆锥曲线证明问题的类型及求解策略 (1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． (2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．
题型2 圆锥曲线中范围与最值问题
42．（23-24高三上·天津·期末）已知椭圆，，分别是椭圆C的左、右焦点，点为左顶点，椭圆上的点到左焦点距离的最小值是焦距的．
(1)求椭圆的离心率；
(2)直线过椭圆C的右焦点，与椭圆C交于P，O两点（点P在第一象限）．且面积的最大值为，
①求椭圆C的方程；
②若直线，分别与直线交于，两点，求证：以为直径的圆恒过右焦点．
【详解】（1）先求椭圆上任意一点到左焦点的距离的最小值：
设是椭圆上任意一点，是左焦点，
则，
所以
，
二次函数的开口向上，对称轴，
所以二次函数在上单调递增，
所以的最小值为.
由题意可得，∴，
椭圆的离心率为.
（2）①由（1）可知，，∴，
设椭圆方程为，
法一：
由题意可知直线的斜率显然不为0，
设直线方程为：，，，
联立，
消去x整理得，
由题意知恒成立，
则，，
则，
令，则，
∴，
因为在上单调递增，
当时，有最大值，
，
∴，∴，，，
椭圆方程为：．
法二：当直线PQ的斜率存在时，由题知，，
此时，设PQ：，
联立，得，
设，，由题意知恒成立，
，，
，
令，∴，
因为在上单调递增，
∴， ∴，
当直线的斜率不存在时，此时，代入中，
得，∴，
∴面积的最大值为，∴，椭圆方程为.
②法一：由（i）知，，
∴， ，
∴直线的方程为：，直线的方程为：，
∴，，
∴，，
由，得，，，
∴
，
∴，
∴以为直径的圆恒过右焦点．
法二：由（i）知，，
当直线的斜率不存在时，有，，
直线，令，得，同理，
此时，
当直线的斜率存在时，，
∴，，
∴直线的方程为：，直线的方程为：，
∴，，
∴，，
由，，，
∴
，
∴，
∴以为直径的圆恒过右焦点．

圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．
题型3 圆锥曲线中定点与定值问题
43．（23-24高三上·天津河北·期末）设椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个端点为，且四边形是边长为2的正方形.分别是椭圆的左右顶点，动点满足，连接，交椭圆于点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：为定值.
【详解】（1）由题设，，得，
椭圆的方程为.
（2）
由（1）知，由题意知，直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，联立，
消去得，其中是直线与椭圆一个交点，
所以，则，代入直线得，故.
又，将代入，得，则.
所以，为定值.
求解直线或曲线过定点问题的基本思路 (1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．
题型4 圆锥曲线中探索性与综合性问题
44．（2024·天津南开·一模）已知椭圆C：的一个焦点与抛物线的焦点F重合，抛物线的准线被C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F作直线l交C于A，B两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由.
【详解】（1）抛物线的焦点，准线方程为，由题意得，
解得，所以椭圆C的方程为.
（2）假设存在符合条件的点，设，
则，，
①当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为，
由，得，则，
所以，
因此，若对于任意的t值，上式为定值，
则，解得，此时，为定值.
②当直线l的斜率为0时，
综合①②知，符合条件的点M存在，其坐标为.

存在性问题的解题策略 存在性的问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论． (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． (3)当要讨论的量能够确定时，可先确定，再证明结论符合题意．

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