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培优专题01 集合与常用逻辑用语、不等式
题型1 集合的运算
题型2 充分条件、必要条件
题型3 均值不等式
题型4 不等式恒成立
题型一：集合的运算
1．（2023·天津河北·一模）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·天津和平·一模）已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2024·天津·一模）设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·天津河东·一模）已知集合，则为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·天津红桥·一模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·天津滨海新·三模）若，，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·天津北辰·三模）设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·天津和平·三模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·天津南开·二模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·天津红桥·二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
题型2：充分条件、必要条件
11．（2023·天津·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2023·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
13．（2024·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
14．（2024·天津河西·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
15．（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
16．（2024·天津和平·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
17．（2022·天津河西·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
18．（2023·天津武清·模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．（2023·天津河西·模拟预测）已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2022·天津河西·模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型3：均值不等式
21．（2023·天津武清·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．21 C．25 D．
22．（2023·天津河西·模拟预测）已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
23．（2023·天津滨海新·三模）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
二、填空题
24．（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 ．
25．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知，则的最小值为 ．
26．（2023·天津滨海新·三模）已知正实数m，n，满足，则的最小值为 .
27．（2023·天津津南·模拟预测）已知，，且，则ab的最小值为 ．
28．（2023·天津·二模）若，且，则的最小值为 .
29．（2023·天津·一模）在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为 ．
30．（2023·天津·二模）已知实数、满足，则的最小值为 .
题型4：不等式恒成立
31．（2018·天津·二模）已知，关于的不等式对于一切实数恒成立，又存在实数，使得成立，则的最小值为 .
32．（2017·天津·一模）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为 ．
33．（2020·天津·一模）已知函数.若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是 .
34．（2019·天津·一模）定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数t的取值范围是 .
35．（2018·天津·一模）已知函数f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），设f（x）的导函数为f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为 ．
36．（2018·天津河西·一模）定义在上的函数满足，且当
若任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是
37．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ．
1、对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 2、解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内. 3、不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.培优专题01 集合与常用逻辑用语、不等式
题型1 集合的运算
题型2 充分条件、必要条件
题型3 均值不等式
题型4 不等式恒成立
题型一：集合的运算
1．（2023·天津河北·一模）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先化简集合A、B，再求交集，即可得出结果
【详解】由，
或，
所以，
故选：D
2．（2024·天津和平·一模）已知集合，集合，则集合C的子集个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据集合的交集运算求得集合C，然后可解.
【详解】因为，
所以，
所以集合C的子集个数为.
故选：D
3．（2024·天津·一模）设全集，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由交集和补集的定义求解即可.
【详解】因为全集，，
所以，所以.
故选：C.
4．（2024·天津河东·一模）已知集合，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
解出绝对值方程，得到，再根据交集和补集的含义即可.
【详解】令，解得；令，解得；令，解得.
则，
则，则.
故选：B.
5．（2024·天津红桥·一模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
又，所以，
故选：B.
6．（2023·天津滨海新·三模）若，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出并化简集合B，利用集合的补集和交集运算即可得出答案.
【详解】由已知得，，所以，从而A正确；
故选：A
7．（2023·天津北辰·三模）设集合，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次不等式化简,进而由集合的交并补运算即可求解.
【详解】或，由得,所以，
故选：D
8．（2023·天津和平·三模）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求和，再求补集即可.
【详解】因为，所以，，所以.
故选：D.
9．（2023·天津南开·二模）已知全集，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据集合运算的定义计算．
【详解】由已知，，
所以，
故选：B．
10．（2023·天津红桥·二模）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用一元二次不等式的解法及并集的定义即可求解.
【详解】由，即，解得，
所以.
所以.
故选：B.
题型2：充分条件、必要条件
11．（2023·天津·二模）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次不等式化简，由集合的交并补运算即可求解.
【详解】由得，由得，所以，
故选：B
12．（2023·天津河北·一模）设，则“”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据题意，由二次函数的对称轴和函数的单调性的关系以及充分性与必要性的应用，即可得到结果.
【详解】函数的对称轴为，
由函数在上单调递增可得，即，
所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件.
故选：A
13．（2024·天津·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解出不等式后，结合充分条件与必要条件的定义即可得.
【详解】由，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
14．（2024·天津河西·一模）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据分式不等式和一元二次不等式的解法，结合充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】由得，解得，
由得，所以，解得，
所以“”是“”成立的必要不充分条件.
故选：B
15．（2024·天津·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件和必要条件的定义分析判断即可.
【详解】因为，当时，有，则成立，即充分性成立；
当时，，即成立，而，即不成立，进而必要性不成立.
所以，“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
16．（2024·天津和平·一模）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【答案】B
【分析】根据题意，利用特例可判定充分性不成立，结合直线与圆的位置关系，可判定必要性成立，即可得到答案.
【详解】例如：，此时，但，所以充分性不成立；
设直线，圆，则圆心为，半径为，
可得圆心到的距离为，
此时直线与圆相切，所以与圆没有公共点，
即满足不等式的点，使得恒成立，即必要性成立，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
17．（2022·天津河西·一模）设，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据题意解出不等式比较两范围大小即可得出结果.
【详解】解不等式可得或；
显然是或的真子集，
所以可得“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
18．（2023·天津武清·模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】解不等式求出不等式的解集，根据为的真子集，得到答案.
【详解】解不等式得，
不等式化为，所以，
因为为的真子集，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B
19．（2023·天津河西·模拟预测）已知条件，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】化简两个条件，即可得出结论.
【详解】由题意，
在中，解得：或，
在中，解得：，
∵可以推出，不可以推出，
∴是的必要不充分条件，
故选：B.
20．（2022·天津河西·模拟预测）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】首先解出不等式和，根据两个不等式的解集即可得出答案．
【详解】由，得，
解得；
由，得，得
因为当时，一定可以推出，
而当时，不能推出。
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选：A．
题型3：均值不等式
21．（2023·天津武清·模拟预测）已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B．21 C．25 D．
【答案】C
【分析】变换得到，再利用均值不等式计算得到答案.
【详解】，，因为，，故，，
，
当且仅当时，即时等号成立．
所以的最小值为．
故选：C.
22．（2023·天津河西·模拟预测）已知，若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由对数的概念和运算性质可得，再由基本不等式可求解.
【详解】由，可得，，
代入，得，即，
由对数运算性质，，解得，
则，
，
当且仅当时，等号成立.
故选：C.
23．（2023·天津滨海新·三模）已知，，，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
【分析】由换底公式和基本不等式即可求解.
【详解】由知,
结合，以及换底公式可知，
，
当且仅当，，
即时等号成立，
即时等号成立，
故的最小值为，
故选：B.
24．（2024·天津河东·一模）若，则的最小值为 ．
【答案】4
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】由，
故
，当且仅当时等号成立，
故最小值为4，
故答案为：4
25．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】根据题意，化简，结合基本不等式，即可求解.
【详解】由，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：.
26．（2023·天津滨海新·三模）已知正实数m，n，满足，则的最小值为 .
【答案】
【分析】，利用函数单调性可得，又注意到，后由基本不等式可得答案.
【详解】，构造函数，则，即在上单调递增，
则.则，
当且仅当，即时取等号.
故答案为：.
27．（2023·天津津南·模拟预测）已知，，且，则ab的最小值为 ．
【答案】16
【分析】根据给定条件，利用换底公式变形，再利用均值不等式求解作答.
【详解】因为，，则，由，得，
则有，当且仅当，即时取等号，
于是，，
所以当时，ab取得最小值16.
故答案为：16
28．（2023·天津·二模）若，且，则的最小值为 .
【答案】5
【分析】根据对数的换底公式得到，解得，即，然后代入中，利用基本不等式求最小值即可.
【详解】因为，所以，解得或，
因为，所以，则，即，
因为，所以，，
当且仅当，即时，等号成立.
故答案为：5.
29．（2023·天津·一模）在中，已知，，，为线段上的点，且，则的最小值为 ．
【答案】
【分析】首先由及得出，再由得出，由得出，设，，结合已知得出，根据基本不等式求解即可．
【详解】因为，且，
所以，即，
所以，
因为，
所以，
所以，由得，
由得，
因为，
所以，即，
由及得，
设，，
因为，
所以，，
所以
将，代入得，，即，
所以，
因为，当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故答案为：．
30．（2023·天津·二模）已知实数、满足，则的最小值为 .
【答案】/
【分析】由已知可得出，再结合基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，即，
所以，，
所以，，当且仅当或时，等号成立，
故的最小值为.
故答案为：.
题型4：不等式恒成立
31．（2018·天津·二模）已知，关于的不等式对于一切实数恒成立，又存在实数，使得成立，则的最小值为 .
【答案】
【分析】首先由不等式恒成立得到，再由存在成立问题，得到，从而确定，然后将原问题转化为单变量最值问题，利用整体代换和基本不等式得到最值即可.
【详解】由不等式对于一切实数恒成立可得，解得，
又存在实数，使得成立，则，得，所以.
∴
∵
∴
∴（当且仅当，，即或取等号）
故答案为：.
【点睛】本题的考查点较多，首先是对于能成立和恒成立问题的转化确定，然后运用了我们常用的一种处理最值的方法，多变量变单变量，最后在化解的过程中还需要整体代换，最后再利用基本不等式的方法求取最值，所以平时对于恒成立与能成立的问题要十分熟悉，最值问题的常见处理方法，如多变量多变单量法，整体代换法，构造一元二次不等式法，判别式法等，平时要熟练运用.
32．（2017·天津·一模）已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为 ．
【答案】
【分析】由对于一切实数恒成立，可得，且；再由，使成立，可得，进而可得的值为1，将可化为，利用基本不等式可得结果.
【详解】因为对于一切实数恒成立，
所以，且，所以；
再由，使成立，
可得，所以，
所以，
因为，即，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为，
故答案为：
33．（2020·天津·一模）已知函数.若存在使得关于x的不等式成立，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【分析】对的取值进行分类讨论，将问题转化为求函数的最大值以及最小值的问题，即可求得参数的取值范围.
【详解】由题意，当时，不等式可化为显然不成立；
当时，不等式可化为，所以，
又当时，，
当且仅当，即时，等号成立；
当时，不等式可化为，
即；
因为存在使得关于x的不等式成立，
所以，只需或.
故答案为：.
34．（2019·天津·一模）定义域为R的函数满足，当时，，若时，恒成立，则实数t的取值范围是 .
【答案】
【分析】本题首先可以求出时函数的最小值，然后根据求出当时函数的最小值以及时函数的最小值，再然后根据恒成立得出，最后通过运算即可得出结果.
【详解】当时，，
当时，，
所以当时，的最小值为.
因为函数满足，
所以当时，的最小值为，
所以当时，的最小值为，
因为时，恒成立，
所以，即，
解得，
故答案为：.
35．（2018·天津·一模）已知函数f1（x）=﹣ax2，f2（x）=x3+x2，f（x）=f1（x）+f2（x），设f（x）的导函数为f′（x），若不等式f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，则a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】在区间上恒成立，即恒成立，可化为，由一次函数的性质可求的范围；可化为，由二次函数的性质求出函数的最值，可得的范围，综合两种情况可得结果．
【详解】f（x）=﹣ax2+x3+x2=x3+（1﹣a）x2，f′（x）=3x2+2（1﹣a）x，
f1（x）＜f′（x）＜f2（x）在区间（1，+∞）上恒成立，
即﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2恒成立，
﹣ax2＜3x2+2（1﹣a）x，可化为（a+3）x+2（1﹣a）＞0，
，解得﹣3≤a≤5①；
3x2+2（1﹣a）x＜x3+x2可化为2a＞﹣x2+2x+2，
而﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3＜3，
∴2a≥3，即②，
由①②可得，
∴实数a的取值范围是，故答案为．
36．（2018·天津河西·一模）定义在上的函数满足，且当
若任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是
【答案】
【分析】先根据解析式以及偶函数性质确定函数单调性，再化简不等式，分类讨论分离不等式，最后根据函数最值求m取值范围，即得结果.
【详解】因为当时 为单调递减函数，又，所以函数为偶函数，因此不等式恒成立，等价于不等式恒成立，即，平方化简得，
当时，；
当时，对恒成立，；
当时，对恒成立，（舍）；
综上，因此实数的最大值是.
37．（2018·天津·高考真题）已知，函数若对任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】由题意分类讨论和两种情况，结合恒成立的条件整理计算即可求得最终结果.
【详解】分类讨论：①当时，即：，
整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当时，，则；
②当时，即：，整理可得：，
由恒成立的条件可知：，
结合二次函数的性质可知：
当或时，，则；
综合①②可得的取值范围是，故答案为.
1、对于恒成立问题，常用到以下两个结论：(1)a≥f(x)恒成立 a≥f(x)max；(2)a≤f(x)恒成立 a≤f(x)min.有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析． 2、解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内. 3、不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立.

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