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培优专题02 函数的性质及其应用
题型1 函数的概念与性质
题型2 指对幂函数及应用
题型3 函数的图像
题型4 函数的零点与方程
题型5 函数模型的应用
题型一：函数的概念与性质
1．（2023·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③的最大值为，最小值为，则；
④最小正周期是.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】①由偶函数的概念可判断；②先整理当时，，根据的单调性可得；③先去绝对值，分别根据单调性求函数的最值即可；④根据周期函数的概念可得.
【详解】函数的定义域为，因为，
故是偶函数；
当时，，此时，
对于，令，得，
令，得，
又，故在上单调递增，在上单调递减，故②错误；
当时，，
由②可知，在上单调递增，在上单调递减，
此时的最大值为，最小值为，
当时，，，
令，得，
令，得，
故在上单调递增，在上单调递减，
此时的最大值为，最小值为，
故，，，故③正确；
由③可知，
又，
故④正确；
故选 ：C
2．（2024·天津河东·一模）已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（ ）
①；②在上是单调函数；
③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】
由偶函数的性质分析求出,根据复合函数的单调性，即可判断①，结合导数判断函数单调性即可判断②，根据函数的单调性即可求解最值判断③,根据函数的最值即可判断④.
【详解】
函数是偶函数，
则有，
即，
，①正确；
则，
设，由于，易知在上单调递增，则，
所以在上为增函数，
而为增函数，则在上是单调函数，②正确；
，当且仅当时，等号成立，
则的最小值为，③正确；
为偶函数且在上为增函数，其最小值为，
由于，所以，故方程没有实数根；④错误．
故选：C．
3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据“”与“为奇函数”互相推出的情况判断属于何种条件.
【详解】当时，，定义域为且关于原点对称，
所以，
所以为奇函数；
当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以，
所以，
所以，
由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件，
故选：C.
4．（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据所给函数性质求出函数周期，利用周期化简即可得解.
【详解】由为奇函数，得，
得的图象关于点对称，所以.
又因为是定义域为的偶函数，所以，，
所以的周期为4，
所以.
故选：A.
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】利用函数中心对称的性质，代入化简解方程即可求得.
【详解】由对称中心性质可知函数满足，
即，
整理可得，即，
解得.
故选：C
(1)函数周期性与奇偶性的综合多是求值或比较大小 问题 , 常利用奇偶性及周期性进行变换 , 将所求函数值 的 自变量转化到已知函数解析式的定义域内求解. (2)解决函数奇偶性与图 象的对称性的综合问题时 , 要注意把已知函数的奇偶性按定义转化 , 再判断 函数图 象 的对 称 轴 或对 称 中 心 ; 也 可 利 用 图 象 变换关 系得 出 函数图象的对称性 . 总之 , 要 充 分 利 用 已知条件进行适当转化 .
题型二：指对幂函数及应用
6．（2023·天津河北·一模）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】首先化简，，，再根据即可得解.
【详解】，即，
，
，
又，所以，
所以，
故选：D
7．（2024高三·全国·专题练习）记在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为，当时，求出，当或时得到，代入即可求出实数的范围.
【详解】由题意如图：在区间（为正数）上的最大值为，转化为，
当时，则有：，
那么①；
当或时，或，
所以只需要，即，
得②，
把①式带入②，得：，
故选：D．

8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.
【详解】，定义域为，又，故为偶函数；
又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数；
又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数；
，即，则，即，，
也即，解得.
故选：A.
9．（2024·浙江·二模）若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
【答案】A
【分析】根据偶函数满足的关系即可化简求解.
【详解】的定义域为，，
由于为偶函数，故，即，
故，解得
故选：A
10．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据奇函数的性质得到，，再比较，，的大小关系，最后结合函数的单调性判断即可.
【详解】奇函数在上是减函数，则，
所以，
，
因为，，
又，所以，
所以，则，
故.
故选：B
题型三：函数的图像
11．（23-24高三上·天津和平·期末）函数的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据函数图象关于原点对称，可知函数为奇函数，结合函数零点情况，逐项验证即可.
【详解】函数图象关于原点对称，可知函数为奇函数，且函数在有唯一零点，
对于A，函数的定义域为，且，函数为偶函数，故A错误；
对于B，函数的定义域为，，函数为奇函数，
但当时，恒成立，无零点，故B错误；
对于C，函数的定义域为，且，函数为偶函数，故C错误；
对于D，函数的定义域为，且，函数为奇函数，经验证，符合题意，故D正确，
故选：D.
12．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据奇偶性可排除CD，当时，，排除B.
【详解】因为，，
所以，
故函数为奇函数，故排除CD，
当时知，可排除B.
故选：A.
13．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，且的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由奇偶性定义判断A、B的奇偶性，在，趋向于0时的符号，结合排除法即得答案.
【详解】由且定义域为，
所以为偶函数，排除A；
由且定义域为，
所以为偶函数，排除B；
对于，当，趋向于0时，趋向正无穷，趋向于1，故趋向于正无穷，排除C.
故选：D
14．（23-24高三上·天津·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示．则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由图可知，函数是上的奇函数，且，利用排除法求解.
【详解】由图可知，函数是上的奇函数，且，
若，则，不合题意，故A错误；
若，由得，不合题意，故B错误；
若，则，不合题意，故D错误；
故排除ABD，得C正确.
故选：C.
15．（23-24高三上·天津南开·期中）已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（ ）.

A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由奇偶性可排除BC，由特殊点可排除D，即可求解
【详解】由于图像关于原点对称，所以为奇函数，
对于B：由，
得：，为偶函数，故可排除B；
对于C：由，
得：，为偶函数，故可排除C；
由图知图象不经过点，
而对于D：，故可排除D；
故选：A
题型四：函数的零点与方程
16．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先分析时二次函数零点的情况，而时可将零点的问题转化为两个函数图象交点的问题，利用导数求解即可.
【详解】当时，，且，
则二次函数开口向下且在内抛物线与轴只有一个交点，
所以在上有唯一零点，
因为有3个零点，所以在上有2个零点，
即与的图象有2个交点，
如图当直线与曲线相切时设切点为，所以解得，

由图可知，时，与的图象有2个交点，
所以实数的取值范围是.
故选：C.
17．（22-23高三下·天津和平·阶段练习）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
应用辅助角公式化简得到分段函数形式，根据对数函数、正弦型函数性质画出图象，数形结合确定的范围或对称性，进而求的范围.
【详解】，
所以如下图示，要使恰有四个不同的实数解，则，
不妨设，由图知：，且，即，
令，可得或，令，可得或，
所以，而在上递减，故，
综上，.
故选：A
18．（22-23高三下·天津滨海新·开学考试）已知函数，关于x的方程在上有四个不同的解，且，若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分析得出无解，从而得到有四个解，结合图像分析这四个解满足的条件，然后代入进行化简计算.
【详解】整理可得：，故或，由于，故无解，由基本不等式，时，，故无解，依题意，于是在上有四个解，由余弦函数，对勾函数的图像，可作出的图像如下：
结合图像可知，当时，在上有四个解如图所示，由于是的一条对称轴，根据对称性，，由，即，整理可得，由于，故，即.
于是可以整理为，又，解得，结合图像可知，，即，故，当时取得等号，为使得恒成立，只需，即，解得.
故选：B
19．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）定义已知函数．若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据新定义确定函数的解析式，作出其图象，结合条件，观察图象列不等式求出的取值范围.
【详解】因为，
所以，
由，可得，
又，所以，即，
所以，，
作出函数的图象如下图所示：
因为方程有四个不同的实根，
则或或，解得，
所以a的取值范围是.
故选：B.
20．（22-23高三上·天津河西·期末）已知函数，若关于的方程有四个不等实根．则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出函数的图象，利用换元法，并构造函数，通过讨论的取值范围即可求解.
【详解】当，
令解得，
令解得，
所以函数在单调递增，单调递减，
，当时，，
作出函数的图象如下，
关于的方程有四个不等实根，
令，，则有两个不相等的实数根，
（i），，此时各有2个根，满足题意，
所以解得
（ii），
由，
则函数的一个根在，另一个根在，
所以解得，
综上，.
故选:C.
题型五：函数模型的应用
21．（2024·河南新乡·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系式为，其中是正的常数，若在前消除了的污染物，则常数k所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先由题意列式，再利用指对互化，求解方程，再确定范围.
【详解】由条件可知，当时，，由题意可知，，
得，即，
因为，，所以，
所以.
故选：B
22．（2024·陕西商洛·三模）近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初的污染物数量）．如果前3小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A．2.6小时 B．6小时 C．3小时 D．4小时
【答案】C
【分析】由题意可得，再令，即可得解.
【详解】由题意可得，可得，
设，
，解得，
因此，污染物消除至最初的还需要3小时．
故选：C.
23．（2024·四川·模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级：
声源 与声源的距离（单位：） 声强级范围
内燃列车 20
电力列车 20
高速列车 20
设在离内燃列车 电力列车 高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据声强、声强级之间的关系确定基准声强级，即可判断A；计算可得大小关系，即可判断B，D；计算可得大小关系，即可判断.
【详解】对于：因为声强时，声强级，
所以，解得，故错误；
对于B：因为，
所以，即，故B正确；
对于C：，
所以，即，故C不正确；
对于D，，
所以，即，故D不正确．
故选：B．
24．（2024·北京怀柔·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是（参考数据：，）（ ）
A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年
【答案】B
【分析】
由题意可知，，利用指数与对数的运算性质进行化简求解，即可得到答案．
【详解】
由题意可知，，故，
则，即，
所以，则要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是90天，即三个月．
故选：B．
25．（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
A．14：30 B．14：00 C．13：30 D．13：00
【答案】A
【分析】利用函数模型求出需要记忆的时间，即可推断出考前复习背诵的时间在几点开始.
【详解】令，，，
∵，
∴他在考试前半小时复习即可，
∴他复习背诵时间需大约在14：30，
故选：A.培优专题02 函数的性质及其应用
题型1 函数的概念与性质
题型2 指对幂函数及应用
题型3 函数的图像
题型4 函数的零点与方程
题型5 函数模型的应用
题型一：函数的概念与性质
1．（2023·天津河北·一模）关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间上单调；
③的最大值为，最小值为，则；
④最小正周期是.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2024·天津河东·一模）已知偶函数，则下列结论中正确的个数为（ ）
①；②在上是单调函数；
③的最小值为；④方程有两个不相等的实数根
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（23-24高一上·北京海淀·期末）已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024·全国·模拟预测）设是定义域为的偶函数，且为奇函数.若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的图象关于点对称，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
(1)函数周期性与奇偶性的综合多是求值或比较大小 问题 , 常利用奇偶性及周期性进行变换 , 将所求函数值 的 自变量转化到已知函数解析式的定义域内求解. (2)解决函数奇偶性与图 象的对称性的综合问题时 , 要注意把已知函数的奇偶性按定义转化 , 再判断 函数图 象 的对 称 轴 或对 称 中 心 ; 也 可 利 用 图 象 变换关 系得 出 函数图象的对称性 . 总之 , 要 充 分 利 用 已知条件进行适当转化 .
题型二：指对幂函数及应用
6．（2023·天津河北·一模）若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高三·全国·专题练习）记在区间（为正数）上的最大值为，若，则实数的最大值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为 （ ）
A． B． C． D．
9．（2024·浙江·二模）若函数为偶函数，则实数a的值为（ ）
A． B．0 C． D．1
10．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知奇函数在上是减函数，若，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：函数的图像
11．（23-24高三上·天津和平·期末）函数的大致图象如图所示，则它的解析式可能是（ ）

A． B．
C． D．
12．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）函数的大致图像为（ ）
A． B．
C． D．
13．（23-24高三上·天津·期中）已知函数，且的图象如下图所示，则的解析式可能为（ ）

A． B．
C． D．
14．（23-24高三上·天津·期中）我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分图象如图所示．则的解析式可能是（ ）
A． B．
C． D．
15．（23-24高三上·天津南开·期中）已知函数的部分图象如图，则函数的解析式可能为（ ）.

A． B．
C． D．
题型四：函数的零点与方程
16．（22-23高二下·天津河西·期末）已知函数有3个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
17．（22-23高三下·天津和平·阶段练习）已知函数，若方程恰有四个不同的实数解，分别记为，，，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
18．（22-23高三下·天津滨海新·开学考试）已知函数，关于x的方程在上有四个不同的解，且，若恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
19．（22-23高三上·天津南开·阶段练习）定义已知函数．若方程有四个不同的实数解，则实数a的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
20．（22-23高三上·天津河西·期末）已知函数，若关于的方程有四个不等实根．则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型五：函数模型的应用
21．（2024·河南新乡·二模）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）之间的关系式为，其中是正的常数，若在前消除了的污染物，则常数k所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
22．（2024·陕西商洛·三模）近年来商洛为了打造康养之都，引进了先进的污水、雨水过滤系统．已知过滤过程中废水的污染物数量与时间（小时）的关系为（为最初的污染物数量）．如果前3小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还需要（ ）
A．2.6小时 B．6小时 C．3小时 D．4小时
23．（2024·四川·模拟预测）2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级：
声源 与声源的距离（单位：） 声强级范围
内燃列车 20
电力列车 20
高速列车 20
设在离内燃列车 电力列车 高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
24．（2024·北京怀柔·模拟预测）“绿水青山就是金山银山”的理念已经提出18年，我国城乡深化河道生态环境治理，科学治污.现有某乡村一条污染河道的蓄水量为v立方米，每天的进出水量为k立方米，已知污染源以每天r个单位污染河水，某一时段t（单位：天）河水污染质量指数（每立方米河水所含的污染物）满足（为初始质量指数），经测算，河道蓄水量是每天进出水量的50倍.若从现在开始停止污染源，要使河水的污染水平下降到初始时的，需要的时间大约是（参考数据：，）（ ）
A．1个月 B．3个月 C．半年 D．1年
25．（2024·全国·模拟预测）遗忘曲线（又称作“艾宾浩斯记忆曲线”）由德国心理学家艾·宾浩斯（H. Ebbinghaus）研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律．人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．陈同学利用信息技术拟合了“艾宾浩斯遗忘曲线”，得到记忆率与初次记忆经过的时间（小时）的大致关系：若陈同学需要在明天15时考语文考试时拥有复习背诵记忆的50%，则他复习背诵时间需大约在（ ）
A．14
(1)函数周期性与奇偶性的综合多是求值或比较大小 问题, 常利用奇偶性及周期性进行变换 , 将所求函数值 的 自变量转化到已知函数解析式的定义域内求解.
(2)解决函数奇偶性与图 象的对称性的综合问题时 , 要注意把已知函数的奇偶性按定义转化 , 再判断 函数图 象 的对 称 轴 或对 称 中 心 ; 也 可 利 用 图 象 变换关 系得 出 函数图象的对称性 . 总之 , 要 充 分 利 用 已知条件进行适当转化 .

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