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培优专题03 导数及其应用
题型1 导数的概念及几何意义
题型2 导数与函数的单调性
题型3 导数与函数的极值
题型4 导数与函数的最值
题型5 导数的综合应用
题型一：导数的概念及几何意义
1．已知直线与函数的图象在处的切线没有交点，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
2．若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（ ）
A．2或 B． C． D．或
4．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．函数与直线相切于点，则点的横坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．
题型二、导数与函数的单调性
6．已知实数，分别满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
8．设函数则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．设，则（ ）
A． B．
C． D．
10．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型三：导数与函数的极值
11．已知函数，若是的一个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．函数的极小值点为（ ）
A．2 B． C． D．
13．设是函数的两个极值点，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
14．已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
15．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
题型四：导数与函数的最值
16．函数在区间上的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
17．已知函数，当时，记的最大值为，有，则实数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
18．已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．记函数的导函数为，的导函数为，则曲线的曲率．若函数为，则其曲率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
20．已知函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．1
题型五：导数的综合应用
21．已知函数.
(1)求的单调区间与极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
22．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的单调区间、最值．
(3)设在上有两个零点，求的范围.
23．设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求的极大值点与极小值点；
(3)求在区间上的最大值与最小值．
24．已知函数，记f（x）的导数为f′（x）．若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x＝2时y＝f（x）有极值，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．
25．已知三次函数，a，，若函数的图象在处的切线方程为
（I）求函数的解析式；
（II）求函数的极小值；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.培优专题03 导数及其应用
题型1 导数的概念及几何意义
题型2 导数与函数的单调性
题型3 导数与函数的极值
题型4 导数与函数的最值
题型5 导数的综合应用
题型一：导数的概念及几何意义
1．已知直线与函数的图象在处的切线没有交点，则（ ）
A．6 B．7 C．8 D．12
【答案】C
【分析】求，再求出，，由点斜式方程可求出函数的图象在处的切线方程，再由直线与直线平行，即可得出答案.
【详解】，，
，
所以函数的图象在处的切线方程为：
，则，
因为直线与直线没有交点，
所以直线与直线平行，
则.
故选：C.
2．若直线与曲线相切，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】借助导数的几何意义计算可得，借助导数得到函数的值域即可得解.
【详解】对于，有，令切点为，则切线方程为，
即，即有，
令，则，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
故，
又当趋向于正无穷大时，趋向于负无穷，
故，即.
故选：A.
3．若直线是指数函数且图象的一条切线，则底数（ ）
A．2或 B． C． D．或
【答案】D
【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义，列式运算求得的值.
【详解】设切点坐标为，对函数，求导得，
切线方程化成斜截式为，
由题设知，显然，即，
由，得，即，
即，
即，化简得，
令，即，利用指数函数与一次函数的性质，可知或，
即或，解得或.
故选：D.
4．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】设出切点，写出切线方程，利用对应系数相等建立方程，解出即可.
【详解】设直线与曲线的切点为且，
与曲线的切点为且，
又，，
则直线与曲线的切线方程为，即，
直线与曲线的切线方程为，即，
则，解得，故，
故选：A.
5．函数与直线相切于点，则点的横坐标为（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】设出，求导，直线的斜率为，根据导数的几何意义得到方程，求出横坐标
【详解】设函数与直线相切于点，
直线的斜率为，
，所以，所以．
故选：B．
题型二、导数与函数的单调性
6．已知实数，分别满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数，先求证，得，再构造函数，利用导数求得，即可比较大小.
【详解】由，，得，，
设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，所以，即，
同理可证，所以，
当时，可得，即，
设，则，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，即，整理得，即，
所以.
故选：C
7．下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用奇函数的定义，即可判断四个选项的奇偶性，只有是奇函数，又正切函数在上不是单调递增函数，而函数的导函数恒大于零，所以只有C正确.
【详解】对于A，，为偶函数，故A错误；
对于B，，为奇函数，又在不满足单调递增定义，所以B错误；
对于C，，为奇函数，， 在区间上单调递增，故C正确；
对于D，是非奇非偶函数，所以D错误.
故选：C.
8．设函数则满足的x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】观察题设条件与所求不等式，构造函数，利用奇偶性的定义与导数说明其奇偶性和单调性，从而将所求转化为，进而得解.
【详解】因为，
所以
，
设，显然定义域为，，
又，
所以为上的奇函数，
又，
所以在上单调递增，
又，则，
所以，即，
所以，解得，
则满足的的取值范围是．
故选：C．
9．设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】构造函数，利用函数单调性确定大小，通过作差，判断正负即可确定大小即可.
【详解】设，则，得，
则在上单调递增，在上单调递减，
，则，
又，得，
所以，
故选：A
10．函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，分段去绝对值符号，借助导数探讨单调性求出最小值即可.
【详解】当时，，单调递增，则，
当时，，求导得，单调递减，
因此，
所以的最小值为.
故选：B
题型三：导数与函数的极值
11．已知函数，若是的一个极大值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出函数的导函数，令，根据根的判定式得到有两个不相等的实根，不妨设，是的两实根，且，根据是函数的一个极大值点，即可得到，从而求出参数的取值范围．
【详解】因为，
所以，
设，则，
所以有两个不相等的实根．
于是可设，是的两实根，且，
当时，，
所以当时，当或时，又，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即不是的极值点，此时不合题意；
当且时，由于是的极大值点，故，即，
所以，即的取值范围是．
故选：D．
12．函数的极小值点为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数判断单调性，进而可得极小值点.
【详解】因为，
所以在，上单调递增，在上单调递减，故极小值点为2．
故选：A
13．设是函数的两个极值点，若，则（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】先求导，再结合已知条件与韦达定理即可求出结果.
【详解】由题意得，又是函数的两个极值点，
则是方程的两个根，
故，
又，则，即，则，
则，所以，解得，
此时.
故选：C．
14．已知函数，若是函数的唯一极小值点，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导后令，再求，分及讨论的正负，从而得到的单调性与对应极值点即可得解.
【详解】，令，则，
当时，，故单调递增，
又，故当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故是函数的唯一极小值点，符合题意，
当时，，
故一定存在，使在上单调递减，
此时不是函数的极小值点，故时不符合题意，
综上所述，的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是对这一种情况的处理，利用推得不是函数的极小值点，从而得解.
15．若函数有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出的范围．
【详解】函数，
可得，
若，此时单调递增，无极值点，
故，令，解得，
当时，，当时，，
故是的极值点
由于函数有大于零的极值点，
，解得．
故选：C．
题型四：导数与函数的最值
16．函数在区间上的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用导数求得的单调区间，从而判断出在区间上的最小值和最大值.
【详解】，
所以在区间上，即单调递增；
在区间上，即单调递减，
又，，
所以在区间上的最小值为，最大值为.
故选：A
17．已知函数，当时，记的最大值为，有，则实数的最大值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】解法一：求导，利用导数可知在区间为减区间，进而可得的最值，结合绝对值的性质可得，分析求解即可；解法二：分析可知对称中心在，根据平口理论可得，，进而可求，结合恒成立问题分析求解即可.
【详解】解法一：函数的导数为，
由，可得，，
可知，则在区间为减区间，
可得的最大值为，最小值为，
对任意的恒成立，可得，
可得，
由，可得，即，
则的最大值为2；
解法二：因为，
可知三次函数对称中心在，
根据平口函数理论，即①，
且，且②，
由①②解得，与题意不符合；
故只能选择，此时，
则，可知，
则在区间为减区间，
可得的最小值为，最大值为，
可知的最大值2，可得，则的最大值为2.
故选：B．
18．已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对函数进行求导，判断其单调性和最值，根据最大值为求出，进而根据单调性可得其最小值.
【详解】由得，
故当时，，在区间上单调递增，
当时，，在区间上单调递减，
故当时，取得最大值，即，此时，
当，，当时，
故最小值为，
故选：C
19．记函数的导函数为，的导函数为，则曲线的曲率．若函数为，则其曲率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据定义求解和，由曲率的定义求出曲率，利用导数判断单调性求出最大值.
【详解】函数的定义域为，，，
所以曲线的曲率，
，，
当时，，当时，，
所以当时，曲率取得最大值.
故选：C.
20．已知函数的最小值为，则的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【分析】由二次函数的性质可知，令，运用导数可求得的最小值，进而可得结果.
【详解】因为，
令，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，
，
故选：B．
题型五：导数的综合应用
21．已知函数.
(1)求的单调区间与极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值.
【详解】（1）由题设，令，得或，
当时，即，解得或，单调递增区间为和.
当时，即，解得，单调递减区间为.
函数的极大值为，极小值为.
（2）由，，，则
且在区间上连续，函数在区间内的最大值为54，最小值为.
22．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求函数在上的单调区间、最值．
(3)设在上有两个零点，求的范围.
【详解】（1）由题意知，，，所以曲线在点处的切线方程为，即.
（2）由得，当时，，所以函数在上的单调递增；当时，，所以函数在上的单调递减.
所以函数在上的单调增区间为，单调减区间为.
所以，又，，
所以.
（3）在上有两个零点，即有两个不等根，
由（2）知.
23．设函数．
(1)求在处的切线方程；
(2)求的极大值点与极小值点；
(3)求在区间上的最大值与最小值．
【详解】（1）由题意得：，则，
又，
在处的切线方程为，即；
（2）令，解得：或，
则变化情况如下表：
极小值 极大值
的极小值点为，极大值点为；
（3）由（2）知：在上单调递减，在上单调递增；
又，，，
，.
24．已知函数，记f（x）的导数为f′（x）．若曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣3，且x＝2时y＝f（x）有极值，
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣1，1]上的最大值和最小值．
【详解】（Ⅰ）由题意得：f′（x）＝3x2+2ax+b，
所以k=f′（1）＝3+2a+b＝﹣3，f′（2）＝12+4a+b＝0，
解得a＝﹣3，b＝0，
所以f（x）＝x3﹣3x2+1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令f′（x）＝3x2﹣6x＝0，解得x＝0或x＝2，
当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（﹣1，0）是增函数，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）是减函数，
所以f（x）的极大值为f（0）＝1，又f（1）＝﹣1，f（﹣1）＝﹣3，
所以f（x）在[﹣1，1]上的最大值为1，最小值为﹣3．
25．已知三次函数，a，，若函数的图象在处的切线方程为
（I）求函数的解析式；
（II）求函数的极小值；
（Ⅲ）若存在，使得成立，求实数m的取值范围.
【详解】（1）因为，直线的斜率为
所以，
当切点坐标为，，
（2），由可得或
由可得
所以在、上单调递增，在上单调递减
所以的极小值为
（3）令，则
令，则或
当时，，函数单调递减
当时，，函数单调递增
所以函数在内取得最大值
存在，使得成立
即使得成立

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