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培优冲刺03 导数压轴小题归类
目录
题型一：切线条数 1
题型二：公切线 2
题型三：切线逼近型 2
题型四：“切线法”数学思想 3
题型五：多参：双变量“恒成立”转“存在”型 4
题型六：多参：构造单变量型 4
题型七：同构求参 5
题型八：极值型求参 5
题型九：零点型求参 6
题型十：三个零点型求参 6
题型十一：多参：凸凹反转型 7
题型十二：三角函数型 7
题型一：切线条数
应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 己知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
1.（2023·全国·模拟预测）已知函数，点为平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．当，时，过点可作曲线的三条切线
B．当，时，过点可作曲线的三条切线
C．若过点不能作曲线的切线，则，
D．若过点可作曲线的两条切线，则，
2.（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
3.已知函数，过点作函数的两条切线，切点分别为，下列关于直线斜率的正负，说法正确的是（ ）
A． B． C． D．不确定
4.若过点可作函数图象的两条切线，则必有（ ）
A． B．
C． D．
题型二：公切线
1.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B．1 C．e D．
2.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.已知两条不同的直线与曲线都相切，则这两直线在y轴上的截距之和为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4.若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
题型三：切线逼近型
1.已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2.已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
3.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型四：“切线法”数学思想
式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，常用方法有： （1）换元法； （2）函数单调性法； （3）复合函数法； （4）数形结合； （5）导数法； （6）基本不等式.
1.已知为函数图象上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
2.已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
3.若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（ ）
A． B．
C． D．e4＋5e2＋5
4.已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型五：多参：双变量“恒成立”转“存在”型
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1.已知函数，若恒成立，则的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
2.已知正数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
3.已知，为实数，，，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
题型六：多参：构造单变量型
1.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3.若实数满足，则（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
4.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型七：同构求参
1.已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
3.已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4.已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（ ）
A．既有最小值，也有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．有最大值，没有最小值 D．既没有最小值，也没有最大值
题型八：极值型求参
可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同。函数的极值点通常转化为其导数的零点问题，进而可转化为两个函数的焦点个数问题，可进一步求导结合单调性画出大致图像，数形结合分析参数范围。
1.已知函数存在极小值点，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．的范围是
C． D．
3.已知函数有两个极值点、，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数，若存在两个极值点，，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
题型九：零点型求参
解决函数零点问题时通常可以采用参变分离，将问题转化为两个简单函数的交点问题，借助导数确定函数的单调性，进而得到函数图象，数形结合即可解决；有时也可借助单调性及函数零点存在定理加以解决. 利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
1.已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2.函数有两个零点，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
3.在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4.若函数存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
题型十：三个零点型求参
处理多变量函数值域问题的方法有： 消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元. 基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.
1.已知方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2.已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（）
A． B．
C． D．
3.已知函数的三个零点分别为，其中，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十一：多参：凸凹反转型
1.已知正数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
2.已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
3.已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．
4.）已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．
题型十二：三角函数型
1.已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
2.函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.
3.已知函数，则_____；若直线（）与函数的图象有交点，则的取值范围为______.
4..函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．培优冲刺03 导数压轴小题归类
目录
题型一：切线条数 1
题型二：公切线 5
题型三：切线逼近型 7
题型四：“切线法”数学思想 10
题型五：多参：双变量“恒成立”转“存在”型 14
题型六：多参：构造单变量型 16
题型七：同构求参 18
题型八：极值型求参 20
题型九：零点型求参 24
题型十：三个零点型求参 28
题型十一：多参：凸凹反转型 31
题型十二：三角函数型 34
题型一：切线条数
应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 己知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.
1.（2023·全国·模拟预测）已知函数，点为平面内一点，则下列说法错误的是（ ）
A．当，时，过点可作曲线的三条切线
B．当，时，过点可作曲线的三条切线
C．若过点不能作曲线的切线，则，
D．若过点可作曲线的两条切线，则，
【答案】D
【分析】设出切点，借助导数的几何意义可得切线方程，将代入切线方程后构造相应函数，对进行分类讨论后结合导数求取方程的解的个数即可得切线条数.
【详解】令点在函数上，且其切线过点，
，，，故点的切线方程为，
由点在该直线上，故有，即，
令，，则
，由，故，
令，则或，
①当时，时，，时，，
（Ⅰ）当，时，，
时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
有，，
故当，时，有三个不同的解，
即过点可作曲线的三条切线，即A正确；
当或时，有两个不同的解，
即过点可作曲线的两条切线，故D错误；
（Ⅱ）当，时，，时，，
故在、上单调递减，在上单调递增，
亦有，，
故当，时，有三个不同的解，
即过点可作曲线的三条切线，
即B正确；
（Ⅲ）当，恒成立，即在上单调递减，即有且仅有唯一解，
故此时可作的切线且只能作唯一一条，当时，对任意的，恒有解，
即过点恒能作曲线的切线，②当，时，，时，，
故在上单调递增，在上单调递增减，有，时，，
故当，时，无解，
即过点不能作曲线的切线，故C正确.
故选：D.
2.（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）已知函数，过点作的切线，若（），则直线的条数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得到在处的切线方程为，点一定不在上，一定为过的一条切线，再设切点坐标为，，得到切线方程，将代入，化简得到，，构造函数，求导，得到其单调性，从而得到除外，过点作的切线还有一条，得到答案.
【详解】，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
，故在R上单调递增，又，，故在处的切线方程为，点在上，故上只有点满足，
又因为，所以，故点一定不在上，且一定为过的一条切线，
设切点为，，则切线的斜率为，故切线方程为，
因为在切线上，故整理得，
由可知，恒成立，故，，令，，
则，令，则在上恒成立，故在上单调递增，
又，当时，，当时，，又时，，时，，
故恒成立，在上单调递增，故，只有1个根，即除外，过点作的切线还有一条，共2条.故选：C
3.已知函数，过点作函数的两条切线，切点分别为，下列关于直线斜率的正负，说法正确的是（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】A
【分析】求导，写出切线方程，代入点，得到两方程与，
结合斜率公式得到，构造函数判定的符号，求出答案.
【详解】因为，所以，设切点分别为，
则在处的切线方程为，即，
因为该切线过点，所以，即，
且，即，同理，，
且，即，
则，
下面判定的符号：令，则，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，，
若，则，
令，
，即在上单调递减，且，
则，即，因为在上单调递增，则，即，
即.故选：A.
4.若过点可作函数图象的两条切线，则必有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设切点为，，求导，根据导数的几何意义可得有两个正根，利用判别式及根与系数关系列不等式可得解.
【详解】设切点为，，又，所以切线斜率，
所以切线方程为，又切线过点，则，，
即，由过点可作两条切线，所以有两个正根，
即，整理可得，故选：C.
题型二：公切线
1.若直线与曲线相切，直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B．1 C．e D．
【答案】B
【分析】设出切点，求出，，根据斜率列出方程，得到，，构造，利用函数单调性和图象特征，求出，从而求出答案.
【详解】设直线与曲线相切于点，直线与曲线相切于点，
则，且，所以，，且，所以，
令，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，且，，所以当时，，
因为，，即，
所以，所以，故故选：B
2.已知函数，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设函数，的切点坐标分别为，，根据导数几何意义可得，结合题意可知方程有两个不同的实根，则设，求导确定其单调性与最值情况，即可得实数的取值范围.
【详解】由题意可知：，
设函数上的切点坐标为，函数上的切点坐标为，
且，，则公切线的斜率，可得，则公切线方程为，
代入得，代入可得，整理得，
令，则，若总存在两条不同的直线与函数，图象均相切，则方程有两个不同的实根，设，则，令，解得；令，解得；
则在内单调递增，在单调递减，可得，
且当x趋近于时，趋近于；当x趋近于时，趋近于，
可得，解得，故实数的取值范围为.故选：A.
3.已知两条不同的直线与曲线都相切，则这两直线在y轴上的截距之和为（ ）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】A
【分析】设曲线上切点为，曲线上切点为，由切线斜率得，消去得，设，利用导数证明其有两解，并且两解的积为1，从而得出曲线上两个切点的横坐标积为1，写出切线方程得出纵截距并求和即得．
【详解】设曲线上切点为，曲线上切点为，
，，因此有，消去得，设，
，易知在上是增函数，，，
因此在也即在上有唯一解，时，，递减，时，，递增，
，，，而，
，因此在和上各有一解．
设的解分别为，即，又，所以也是的解，即，，
所以方程有两解且，于是切线方程为，在轴上截距为，同理另一条切线在轴上截距是，两截距和为．故选：A．
4.若曲线与曲线有公切线，则实数a的取值范围（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分别求出两曲线的切线方程，则两切线方程相同，据此求出a关于切点x的解析式，根据解析式的值域确定a的范围.
【详解】设是曲线的切点，设是曲线的切点，
对于曲线 ，其导数为 ，对于曲线 ，其导数为 ，
所以切线方程分别为：，，两切线重合，
对照斜率和纵截距可得：，解得（），令 （），
，得：，
当 时， ，是减函数，
当 时， ，是增函数，
∴且当x趋于 时，， 趋于 ；当 趋于 时， 趋于；
∴，∴；故选：D．
题型三：切线逼近型
1.已知函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】令，，，可将问题转化为方程组有且只有一组实数根.后通过研究曲线，及曲线过原点与的切线，可得答案.
【详解】令，则
，令，则
，令，则.
令在上单调递增；
在上单调递减；
又，，则有且只有两根，分别为.
则函数的图象与函数的图象有且仅有两个不同的交点，
等价于方程组有且只有一组实数根.
令，则，
当时，，则此时在上递增，又.
即，则有且只有一组实数根.当时，方程组有且只有一组实数根，
等价于函数图象与直线图象有两个交点，
临界情况为两条直线与图象相切.
当与相切，设对应切点为，因
，则相应切线方程为；
当与相切，设对应切点为，则相应切线方程为，则.
综上，.故选：A
2.已知函数，若函数有4个零点，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，利用导数求过原点的切线，结合图象分析求解.
【详解】作出的图象，如图所示令，可得，
由题意可知：函数的零点个数即为与的交点个数，若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，则切线方程为，
代入点，可得，解得，此时切线斜率为；
若，则，可得，
设切点坐标为，切线斜率为，
则切线方程为，代入点，可得，解得，此时切线斜率为；
结合图象可知的取值范围为.故选：D.
3.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将问题转化为函数与的图象有2个交点，则利用导数的几何意义求出直线与曲线相切时的直线的斜率，再结合图形可求出实数的取值范围.
【详解】有两个零点，即有两个正实根，
即函数与的图象有2个交点．
直线过定点，当该直线与曲线相切时，设切点为，
又，则，即，
令，则，所以在上单调递增，
又，故有唯一零点，故，
所以当直线与曲线相切时，切点为，则切线斜率为1．
要使函数与的图象有2个交点，则需满足，
所以．
故选：B．

4.已知函数，对于定义域内的任意恒有，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将不等式进行等价转化为恒成立，，原不等式等价于：，进而得到当且仅当直线与曲线相切时取得最值，利用导数的几何意义进而求解,.
【详解】不等式可化为，
因为，将不等式两边同时除以得，
令，原不等式等价于：，
设，，对求导可得，
则函数单调递减且下凸，要使恒成立，
则直线与曲线相切时取最值，如图，
当直线与曲线相切时，设切点为，
则，且，整理可得，，
解得：，此时，故选：A.
题型四：“切线法”数学思想
式子较为复杂的最值问题需要经过适当的变形求解，常用方法有： （1）换元法； （2）函数单调性法； （3）复合函数法； （4）数形结合； （5）导数法； （6）基本不等式.
1.已知为函数图象上一动点，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】先观察出函数关于对称，在根据所求的式子可以判断时比的值要大，所以只需研究的情况即可，把所求的式子经过换元，适当的变形转化为复合函数问题，其中一个内层函数又是两点斜率问题，借助数形结合思想和导数的几何意义即可求出最值.
【详解】由函数解析式可知函数关于对称，设，不妨设
则，当，，
即当时的值要大于时的值，所以只需研究的情况即可，
当时，，设，
则，
根据复合函数单调性可知：时，递增，当，递减.
，所以的几何意义是函数上一点与点的斜率，
设过点的切线与函数的交点坐标（即切点）为，，
所以切线的斜率，切线方程为，把点代入切线方程整理得：
，所以或，设，，
所以在单调递增，所以，
即不合题意，所以，此时切线的斜率，
如图：

根据数形结合思想可知的范围为，所以当时，最大，
此时.故选：A
2.已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由已知得点在直线上，点在曲线上，的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，由此能求出的最小值.
【详解】实数满足，，
点在直线上，点在曲线上，
的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，
考查曲线平行于直线的切线，，令，
解得，切点为，
该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为.故选：D
3.若＝＝1，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为（ ）
A． B．
C． D．e4＋5e2＋5
【答案】C
【分析】问题转化为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，由曲线的单调性及同一平面直角坐标系中画出两解析式图象，得到曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离的平方即为所求，求出切点坐标，利用点到直线距离公式求得答案.
【详解】由得：（），，则表示曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的平方，（），当时，，此时单调递减，当时，，此时单调递增，且，在同一平面直角坐标系中画出两解析式，如图所示：
当曲线的切线与直线平行时，此时切点到直线的距离即为曲线（）上的点与直线上的点之间的距离的最小值，令，解得：，其中，所以切点为，其中，则即为答案.
故选：C
4.已知点是曲线上任意一点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
判断直线与曲线的位置关系，利用式子表示的几何意义，转化为点与点确定的直线同直线夹角正弦最值求解即可.
【详解】依题意，，令直线，显然过点，
由，得，显然，
即直线与曲线相离，且，则曲线上的点在直线上方，
过作于，则，而，
因此，
令过点的直线与曲线相切的切点为，由，求导得，
则此切线斜率，解得，即切点为，
而点在曲线的对称轴上，曲线在过点的两条切线所夹含原点的区域及内部，
当点的坐标为时，锐角最大，最大，最大，
此时，，
所以的最大值为.
故先：D
题型五：多参：双变量“恒成立”转“存在”型
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略： 1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． 3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
1.已知函数，若恒成立，则的最大值是（ ）
A． B．1 C．2 D．
【答案】B
【分析】根据题意，转化为恒成立，令，求得，得出函数的单调性与最小值，转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】因为函数，当时，函数为单调递减函数，为单调递增函数，显然不能恒成立，所以，
由恒成立，即恒成立，即恒成立，
令，可得，
令，即，可得，即，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得最小值，
所以，
则，
令，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，所以，
即的最大值为.故选：B.
2.已知正数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解.
【详解】由，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
当且仅当，即时取等号；
设，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
当且仅当时取等号，
又，则，
此时，则.
故选：A
3.已知，为实数，，，若恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，结合恒成立不等式可得函数有相同零点，并用a表示出ab，再构造函数，求出最小值作答.
【详解】依题意，函数与在上都单调递增，且函数的值域是R，
，不等式恒成立，当且仅当函数与有相同的零点，
因此，由得，由得，于是得，
则，令，，求导得，
当时，，当时，，因此函数在上递减，在上递增，
当时，，从而得，
所以的取值范围为.
故选：D
4.已知m，n为实数，，若对恒成立，则的最小值是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用导数的性质，结合构造函数法进行求解即可.
【详解】，
当时，恒成立，则单调递增，，显然不恒成立，
当时，时，，函数单调递减；时，，函数单调递增，
∴，
∵恒成立，∴，∴，
∴，令，
在区间上单调递减，在区间上单调递增，
∴．故选：B
题型六：多参：构造单变量型
1.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】构造，，求导研究其单调性，判断出D选项，利用同角三角函数关系得到AB选项，构造差函数，得到，从而判断出C选项.
【详解】构造，，则恒成立，则，
当时，，，当时，，
所以在单调递增，在单调递减，因为，所以，，
又，所以，D错误，
因为，所以，，
所以，所以，A错误，B正确.
令，则，
当时，恒成立，所以在上单调递增，
当时，，即，因为，所以
因为，所以，因为在单调递减，所以，即
因为在上单调递减，所以，C错误
故选：B
2.已知正实数，满足，则的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由已知得，构造，结合的单调性知，故将化为，利用导数求的最大值即可.
【详解】∵，∴即，
设，则，且，所以在上，单调递增，
正实数，，∴，即，所以等价于，即，
∴，设，∴，∴，
设，，所以单调递减，且，
所以在上，，，单调递增，在上，，，单调递减，
所以，即最大值为0，故选：A.
3.若实数满足，则（ ）
A．-4 B．-3 C．-2 D．-1
【答案】A
【分析】根据给定等式构造函数，探讨函数的对称性及单调性，由此计算得解.
【详解】令函数，求导得，
则函数在R上单调递增，
又
，因此函数的图象关于点对称，
由，得，即，
所以.
故选：A
4.已知，且，其中e为自然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】通过构造函数，利用函数的单调性以及式子的结构特征进行分析.
【详解】因为，所以，令，所以，对函数求导：
， 由有：，
由有：，所以在单调递增，在
单调递减，因为，由有：，故A错误；
因为，所以，由有：，故D错误；
因为，所以，
因为，所以，所以，故C正确；
令 有：=，当，.所以在单调递增，当时，，
即，又，所以，因为，所以，因为在内单调递减，所以，即，故B错误.
故选：C.
题型七：同构求参
1.已知，对任意的，不等式恒成立，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.
【详解】由题意，不等式即，进而转化为，
令，则，
当时，，所以在上单调递增.
则不等式等价于恒成立.
因为，所以，
所以对任意恒成立，即恒成立.
设，可得，
当单调递增,当单调递减．
所以有最大值，于是，解得．
故选：B
2.已知关于x的不等式在上恒成立，则正数m的最大值为（ ）
A． B．0 C．e D．1
【答案】C
【分析】将不等式变形得到，构造，研究其单调性得到，取对数后参变分离得到，构造，求导后得到，从而得到，求出，得到答案.
【详解】变形为，
即，
其中，，故，
令，则有，
因为在上恒成立，故在上单调递增，
故，两边取对数得：，则，
令，则，故当时，，
当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
在处取得极大值，也是最大值，，
所以，解得：，故正数m的最大值为.
故选：C
3.已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】因为，所以，
即，构造函数，所以，
令，解得：，令，解得：，故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，故，两边取对数得：，
令，则，令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，所以故a的最小值是．故选：C
4.已知关于的不等式恒成立，其中为自然对数的底数，，则（ ）
A．既有最小值，也有最大值 B．有最小值，没有最大值
C．有最大值，没有最小值 D．既没有最小值，也没有最大值
【答案】B
【分析】对不等式进行变形，构造新函数，结合单调性与同构得到，从而利用导函数研究，求出最大值，从而求出，得到答案.
【详解】变形为：，
即，
令（）则上式可化为：，
其中，所以（）单调递增，
故，即，令，
则，当时，，当时，，
所以在处取得极大值，也是最大值，
故，所以，解得：，
综上：有最小值，无最大值.
故选：B
题型八：极值型求参
可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同。函数的极值点通常转化为其导数的零点问题，进而可转化为两个函数的焦点个数问题，可进一步求导结合单调性画出大致图像，数形结合分析参数范围。
1.已知函数存在极小值点，且，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据给定条件，利用导数结合零点存在性定理探讨极小值点，并求出极小值，利用导数求出的解集，再利用导数求出的范围.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，函数在上单调递减，，
，则存在，使得，
当时，，递增，当时，，递减，
函数在取得极大值，无极小值，不符合题意；
当时，令，求导得，显然在上单调递增，
当时，，函数递减，当时，，函数递增，
于是，
当，即时，，函数在上单调递增，函数无极值，
当时，，而，
存在，使得，当时，，函数递增，
当时，，函数递减，函数在取得极大值，
又，令，求导得，
函数在上单调递减，，则，
存在，使得，当时，，函数递减，
当时，，函数递增，函数在取得极小值，因此，
由，得，，
即有，令，求导得，
函数在上单调递减，而，即有，于是，
显然，令，求导得，即函数在上单调递减
因此，即，又，则，
所以实数的取值范围为.
故选：D
2.若函数有两个极值点，且，则下列结论中不正确的是（ ）
A． B．的范围是
C． D．
【答案】B
【分析】原函数的极值点即为导函数的零点，求导后等价于与有两个交点，结合单调性等函数特征画出图像判断出，且；利用推导，则可得；而等价于，构造合适的函数进行分析.
【详解】，有两个极值点且，
∴，有两个零点，且在各自两边异号，
∴与有两个交点，，
记，则，易知：时，时，
∴在上递增，在上递减，
∴有最大值，且时，时，
又当趋向于正无穷时，趋向于正无穷的速率远远超过趋向于正无穷的速率，所以趋向于0，且，由上可得的图像如下，
∴当且仅当时与有两个交点，
且，故A正确，B不正确.
又，
∴，故 C正确.
令，则,∴，则，，
∴要证，只需证，
只需证，
令，则，
∴在上单调递减，即时，不等式得证，故D正确.
故选：B
3.已知函数有两个极值点、，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函数的定义域与导函数，令，依题意可得 在区间上有两个不相等实数根，求出函数的导函数，对分类讨论，解得即可．
【详解】解：因为定义域为，，令，
函数有两个极值点，则在区间上有两个不相等的实数根，，
当时，，则函数在区间单调递增，因此在区间上不可能有两个不相等的实数根，应舍去；当时，令，解得，令，解得，即在上单调递增；
令，解得，即在上单调递减．当时，函数取得极大值即最大值．
而当时，，当时，，要使在区间上有两个不相等实数根，
则，解得，实数的取值范围是.故选：A
4.已知函数，若存在两个极值点，，当取得最小值时，实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【分析】结合已知条件，分析出，然后转化为，通过求在上的最小值来确定的最小值，进而即可求解.
【详解】由题意可知，有两个变号零点，即有两个不同的正根，，
不妨令，则，当时，，故在上单调递减，
此时最多只有一个零点，不合题意；
当时，；，故在上单调递增，在单调递减，
因为，，且由对数函数性质可知，当足够大时，，所以由零点存在基本定理可知，，因为，，
所以，不妨令，由，从而，
因为，令，则，从而在单调递增，且，
故对于，，即在单调递增，从而当取得最小值是，也取得最小值，即取得最小值，不妨令，，则，令，则对于恒成立，故在上单调递增，因为，，
所以存在唯一的，使得，
故；，从而在上单调递减，在单调递增，
故，此时也取得最小值，即，故.
故选：D.
题型九：零点型求参
解决函数零点问题时通常可以采用参变分离，将问题转化为两个简单函数的交点问题，借助导数确定函数的单调性，进而得到函数图象，数形结合即可解决；有时也可借助单调性及函数零点存在定理加以解决. 利用导数研究零点问题： （1）确定零点的个数问题：可利用数形结合的办法判断交点个数，如果函数较为复杂，可用导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象； （2）方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题，可参变分离，转化为求函数的值域问题处理.可以通过构造函数的方法，把问题转化为研究构造的函数的零点问题； （3）利用导数研究函数零点或方程根，通常有三种思路：①利用最值或极值研究；②利用数形结合思想研究；③构造辅助函数研究.
1.已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题设，求分段函数的解析式并画出图象，将方程有三个不同实根转化为和有三个不同的交点问题，由数形结合思想结合导数研究函数的交点情况，进而求参数的范围.
【详解】∵当时，，∴当时，，综上，，
当时，，则在上单调递减，
当时，，则在上单调递增，∵有三个不同的实数根，
∴的图象和直线有三个不同的交点，作的大致图象如图所示，
当直线和的图象相切时，设切点为，∴，可得，，
代入，可得，当过点时，.
由图知，实数的取值范围为.故选：D.
2.函数有两个零点，下列说法错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将问题转化为与有两个交点，数形结合即可判断A选项，并求出的取值范围；利用极值点偏移构造新函数，结合，即可判断D选项；对进行变形，利用表示，结合原不等式构造新函数，再求导确定最值即可判断B选项；由，结合的取值范围，即可判断C选项.
【详解】对于A，因为函数有两个零点，所以方程有两个根，
即，即与有两个交点，设，所以，
当时，解得：，此时函数单调递增，当时，解得：，此时函数单调递减，
所以是函数定义域内的唯一极大值点，则，
当时，恒成立，此时，当时，，此时，当时，，此时，画出函数图象如下图所示：
结合图象可得当时，与有两个交点，即函数有两个零点，故A选项正确；
对于D，因为，结合图像可知，因为，由可得，由可得，所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，则必有，则由得，，令，其中
则，则函数在上单调递减，所以，即，又，可得：，因为函数的单调递减区间为，所以，即
，故D选项错误；
对于B，，两式相减有，要证，即证，
又，即证：，又，考虑函数和函数的图象，如下图：
将的图象沿作对称变换，得，
令，且
设，则，
，当时，有；当时，有，
即在时单调递增，在时单调递减，，则在上恒成立，
在上单调递减，又，当时，，时，，
即当时，，即，，
当时，，即，，
又，即，，即，故B选项正确；
对于C，因为，所以，又因为，则，所以，又，可得，故C选项正确.故选：D.
3.在关于的不等式（其中为自然对数的底数）的解集中，有且仅有两个大于2的整数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将不等式转化为，分别研究两个函数的性质，确定的取值范围，构造函数，利用放缩法进一步缩小的取值范围，列出不等式组，求出结果.
【详解】由，化简得：，
设，，则原不等式即为.若，则当时，，，
原不等式的解集中有无数个大于2的整数，∴.∵，，∴.
当，即时，设，则.
设，则在单调递减，所以，所以在单调递减，∴，
∴当时，，∴在上为减函数，即，
∴当时，不等式恒成立，原不等式的解集中没有大于2的整数.
要使原不等式的解集中有且仅有两个大于2的整数，则，即，解得.
则实数的取值范围为.故选：D
4.若函数存在零点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数存在零点，转化为方程在内有解，设函数，则有解，得到在内有解，问题转化为求在上的最小值，利用导数分析函数的单调性，可求函数的最小值.
【详解】由得，
设，则，∴在上单调递增，
∴，∴，，，即．
所以存在零点等价于方程有解，令，则，
当时，；当时，，所以在上为减函数，在上为增函数，
所以．故选：B
题型十：三个零点型求参
处理多变量函数值域问题的方法有： 消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元. 基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.
1.已知方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】将问题转化为，进而构造函数，求导确定函数的单调性，结合二次方程根的分布可得，进而可求解.
【详解】易知不是方程的根，故当时，可化为，
令，得．设，则，令，可得或，令，可得，故在和上单调递减，在上单调递增，，
作出的大致图象，如图，数形结合可得方程有两个不相等的实数根，设为，，
则，且，则，解得，不妨设，
则，
由，可得.故选：A．
2.已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】构造，结合零点个数及单调性求出，求出且，利用基本不等式得到，从而得到答案.
【详解】∵，令，即，（）
令，（），则，则，（），
令，（），要想除1外再有两个零点，则在上不单调，
则，解得：或，当时，在恒成立，
则在单调递增，不可能有两个零点，当时，设，即的两根为，且，
则有，故，令，解得：或，令，解得：，
所以在，上单调递增，在上单调递减，因为，所以，
又因为，若，则，因为，所以，
所以，
因为，故.
检验：当时，（），，此时在上单调递增，又，即，此时为临界情况，；
综上：的取值范围为.故选：D.
3.已知函数的三个零点分别为，其中，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】对函数进行整理，构造，结合零点个数及单调性求出，求出且，利用基本不等式得到，从而得到答案.
【详解】，显然，令，（），即，（）令，（），则
，（），
令，（），
要想除1外再有两个零点，则在上不单调，则，解得：或，
当时，在恒成立，则在单调递增，不可能有两个零点，舍去
当时，设即的两根为，且，则有，故，
令，解得：或，令，解得：，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
又因为，若，则，因为，所以，
所以
，因为，所以，故.
检验：当时，（），，此时在上单调递增，又，即，此时为临界情况，
综上：的取值范围为.故选：C
4.已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】令，将原函数的零点转化为方程的根，令，转化为，再令，得到使时的根的个数，再分类讨论的范围与根的关系，结合函数与方程性质及零点的关系即可得.
【详解】令，得，整理得，
令，原方程化为，设， 则，令，解得，且，当时，，则单调递增，当时，，则单调递减，
则在时，有最大值为，则当时，有一个解，当时，有两个解，
当时，有一个解，当时，无解，因为原方程为，
由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根、，设，则有，，
若，则，故舍去，若，则，，
有，即有，，代入得，矛盾，故舍去，若则，，
，设，则，得到，
所以.故选：D.
题型十一：多参：凸凹反转型
1.已知正数满足，则（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【分析】不等式可化为，分别构造函数，利用导数求出函数的最大、最小值，由不等式左边最小值等于右边的最大值，建立方程即可得解.
【详解】由，
设，则，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
则，故，
当且仅当，即时取等号；
设，则，
当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，故，
当且仅当时取等号，又，则，
此时，则.故选：A
2.已知大于1的正数，满足，则正整数的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
【答案】C
【分析】等价于，令，，分别求，的导数，判断函数的单调性，可求得有最大值，有最小值，根据题意，即求，代入为，等价于，令，即求的最大的正整数.对求导求单调性，可知单调递减，代入数值计算即可求出结果.
解：由题干条件可知：等价于，
令，，则 ， ，
当时，，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，则有最大值.
令，，则，当时，此题无解，所以，
则，当，当，
所以在上单调递减，在上单调递增，则有最小值.
若成立，只需，即，即，
两边取对数可得：.时，等式成立，当时，有，
令，本题即求的最大的正整数.
恒成立，则在上单调递减，
，，，
所以的最大正整数为9.。故选：C.
3.已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可
【详解】
设，，则
，
令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，
令，则单调递减，单调递增
由题意，，，，,故x+y=2。故选A
4.）已知实数，满足，则的值为
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，，得，变形为，令，，求导求最值得,结合取等条件求出x,y即可
【详解】设，，则
，
令，(m)=m<1,(m)>0,m>1,(m)<0,则在单调递增单调递减，
令，则单调递减，单调递增
由题意，，，，,故x+y=2
故选A
题型十二：三角函数型
1.已知，，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以,
令是增函数.
综上所述，故选C.
2.函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为___________.
【答案】-7
【分析】
由函数解析式可得两函数图象均关于点（﹣1，0）对称，进而探讨函数的单调性，然后画出图象的大致形状，即可求得两图象所有交点的横坐标之和.
【详解】
易知函数的图象关于点（﹣1，0）对称，
设函数图象上任意一点为，则它关于（-1,0）的对称点为，将其代入的解析式得：，
即，于是函数关于点（-1,0）对称.
又，
所以时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减.
于是x=-2时，的极小值为，
而，
x=0时，的极大值为，
而.
现作出两个函数的大致图象，如图：
于是得到图象交点横坐标之和为：﹣1+（﹣2）×3=﹣7.故答案为：-7.
3.已知函数，则_____；若直线（）与函数的图象有交点，则的取值范围为______.
【答案】
【分析】
构造、，利用导数证明、，应用放缩法有、，即可确定，注意等号成立条件，由解析式求，并构造，应用导数研究单调性，进而判断的单调性，即可确定的取值范围.
【详解】
令，则，
∴时，，单调递增；时，，单调递减.
∴，即.
若，则，易知：时，，单调递增；时，，单调递减.
∴，即.
∵，当时等号成立.
∴.
由，若，
∴，
当时，，递减，故，有，单调递增；当时，且大于0.
∵，；，，且，∴的取值范围为.故答案为：，
4..函数的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
，
则，
.
令，为减函数，且，所以当时，，从而；当时，，从而.故.故选：A

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