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培优冲刺10直线、圆与圆锥曲线压轴小题归类
目录
题型一：含参双动直线 1
题型二：直线系与方程 2
题型三：圆：定角 3
题型四：圆：切点弦 3
题型五：圆综合 4
题型六：离心率：第一定义型 4
题型七：离心率：焦半径型 5
题型八：离心率：第三定义型 6
题型九：离心率：双三角形双余弦定理型 7
题型十：离心率：重心型 8
题型十一：离心率：内心型（角平分线） 8
题型十二：离心率：共焦点椭圆双曲线型 9
题型十三：离心率：双曲线渐近线型 10
题型十四：离心率：求参数 10
题型十五：抛物线：定义型最值转化 11
题型十六：抛物线焦点弦：梯形转化型 12
题型十七：抛物线焦点弦极坐标公式应用 12
题型十八：抛物线切线型 13
题型一：含参双动直线
直线含参。 一般情况下，过定点 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算
1.（2024上·河北承德·高三统考）已知直线与交于点，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
2.（2024上·北京·高按清华附中校考）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
3.（2024·全国·高三专题练习）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
题型二：直线系与方程
直线系： 过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如，不含想 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如，不含 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如与平行
1.（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，设．有下列三个说法：
①存在实数，使点N在直线l上；
②若，则过MN两点的直线与直线l平行；
③若，则直线l经过线段MN的中点．
上述所有正确说法的序号是 ．
2.（2023上·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考）已知点，直线，且点不在直线上，则点到直线的距离；类比有：当点在函数图像上时，距离公式变为，根据该公式可求的最小值是
3.（2022·四川绵阳·统考一模）设为两个不同的点,直线l:ax+by+c=0,.有下列命题：
①不论为何值,点N都不在直线l上；
②若直线l垂直平分线段MN,则=1；
③若=-1,则直线l经过线段MN的中点；
④若>1,则点M、N在直线l的同侧且l与线段MN的延长线相交.
其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）.
题型三：圆：定角
1.在平面直角坐标系中，为直线：上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标的取值范围为______________.
2.（2023·四川省通江中学高三阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆：上存在两点、满足：，则实数的最大值是______.
3.（2023·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆C满足：圆心在轴上，且与圆相外切.设圆C与轴的交点为M，N，若圆心C在轴上运动时，在轴正半轴上总存在定点，使得为定值，则点的纵坐标为_________.
题型四：圆：切点弦
切点弦方程求解，可以有如下两种思路 1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． 2二级结论法：外一点做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：
1.（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023春·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线与圆相切，与圆相交于两点，分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为，则的最小值为（ ）
A．9 B．7 C． D．
3．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．2
题型五：圆综合
1.（2023·黑龙江·一模）设，则的最小值为
A．4 B．16 C．5 D．25
2.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，，则面积的最大值为______.
3.（2022山东·薛城区教育局教学研究室高三模拟）已知圆，为圆外的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，使取得最小值的点称为圆的萌点，则圆的萌点的轨迹方程为_______.
4.（2022·江苏·高三专题练习）已知圆与轴交于点、，过圆上动点(不与、重合)作圆的切线，过点、分别作轴的垂线，与切线分别交于点，直线与交于点，关于的对称点为，则点的轨迹方程为_______
题型六：离心率：第一定义型
求解圆锥曲线的离心率的常见方法： 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解； 3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
1.椭圆的左右焦点分别为 ，直线与交于A 两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023春·山西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
3.（江苏省常州市第一中学2022-2023年高三上学期数学试题）设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4.（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支分别交于两点，且，若点为的中点，，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
题型七：离心率：焦半径型
椭圆焦半径 焦半径范围： (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点) 双曲线焦半径 动点到同侧焦点的距离最小值为：
1.（江苏省启东中学2023学年高三数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是________．
2.（2022-2023学年江西省上饶中学高三下学期第一次月）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3.（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2021-2022学年高三上学期考试数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
4.（2023秋·广东深圳·高三校考）设，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型八：离心率：第三定义型
（1）椭圆 1.是椭圆上两点，为中点，则（可用点差法快速证明） 结论拓展 已知直线：与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则. 如果是焦点在y轴上，则是 2.是双曲线上两点，为中点，则（可用点差法快速证明） 结论拓展 已知直线：与双曲线相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则. 如果是焦点在y轴上，则是
1.（陕西省渭南市富平县2023届高三下学期二模理科数学试题）已知点在椭圆上，是椭圆的左焦点，线段的中点在圆上．记直线的斜率为，若，则椭圆离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·新疆喀什·高十三新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考开学考试）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，且FM的中点A在双曲线上，则双曲线离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
3.（山西省临汾市2022届高三二模数学试题）已知点是椭圆上一点，与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为，则的离心率为_________.
4.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
题型九：离心率：双三角形双余弦定理型
焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图： 可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率
1.（广东省佛山市2022-2023学年高三教学质量检测数学试题）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2.（东北三省三校2023届高三联合模拟考试数学试题）椭圆的左焦点为点，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3.已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)
4.如图，椭圆M：的左、右焦点分别为，，两平行直线，分别过，交M于A，B、C，D四点，且，，则M的离心率为___．
题型十：离心率：重心型
1.（2023春·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知点为双曲线的虚轴的上顶点，为双曲线的右焦点，存在斜率为的直线交双曲线于点两点，且的重心为点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
2.已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
3.（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
题型十一：离心率：内心型（角平分线）
1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为的内心，且，若椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2023秋·河南郑州·高三郑州市第一〇六高级中学校考）已知点P是双曲线（a0，b0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，M是△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
3..已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.
题型十二：离心率：共焦点椭圆双曲线型
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
1.（2023·高三课时练习）椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2.（2023秋·高三联考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（ ）
A． B．2 C． D．3
3.（2023·全国·高三模拟）已知椭圆：与双曲线：（，）具有共同的焦点，，离心率分别为，，且.点是椭圆和双曲线的一个交点，且，则（ ）
A． B． C． D．
.4.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
题型十三：离心率：双曲线渐近线型
与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为． 焦点到渐近线的距离为：； 渐近线求法结论：可直接令方程等号右边的常数为0，化简解得
1.（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）若双曲线 的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
2.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
3.（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线：的左 右焦点分别为，，平面内一点满足，的面积为，点为线段的中点，直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．2
4.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A、B两点，A是的中点，且，则双曲线C的离心率（ ）
A． B．2 C． D．
题型十四：离心率：求参数
1.（2023秋·高三专题练习）已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则的度数为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．30°或120°
2.（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中阶段练习）已知方程的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是
A． B． C． D．
3.（2023·甘肃·统考二模）若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4.（2023全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线的倾斜角的取值范围是，其斜率为，则的取值范围是
A． B．
C． D．
题型十五：抛物线：定义型最值转化
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. 焦半径问题： ①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角) ③＋＝； 焦半径公式得：，， (2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (随焦点动而变)； 图4 (3)其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．
1.已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2.是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
3.设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．
4.点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于______.
题型十六：抛物线焦点弦：梯形转化型
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p， 若不过焦点，则必须用一般弦长公式. （2）本题还运用到点差法，设而不求，利用抛物线方程作差有效地简化了计算量，从而到达所需的变量等式，此方法在椭圆和双曲线中也广泛运用.
1.过抛物线的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M，若，则线段FM的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.（河南省创新发展联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底考试）已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
3.（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
4.（湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年考试数学试题）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．
5.（内蒙古赤峰二中2023届高三上学期第三次月考数学试题）抛物线的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N，则 的最大值为__________．
题型十七：抛物线焦点弦极坐标公式应用
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则： 若点在第一象限，点在第四象限，则，， 弦长，（为直线的倾斜角）；
1.如图，过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为___________．
2.若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．
3.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________.
题型十八：抛物线切线型
（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：； （2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．
1.（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三学期联考理科数学试题）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______．
2.（四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期第三次质量检测数学试题）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.
3..（上海市控江中学2022-2023学年高三数学试题）已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B．1 C．16 D．培优冲刺10直线、圆与圆锥曲线压轴小题归类
目录
题型一：含参双动直线 1
题型二：直线系与方程 4
题型三：圆：定角 6
题型四：圆：切点弦 8
题型五：圆综合 10
题型六：离心率：第一定义型 12
题型七：离心率：焦半径型 15
题型八：离心率：第三定义型 16
题型九：离心率：双三角形双余弦定理型 19
题型十：离心率：重心型 22
题型十一：离心率：内心型（角平分线） 24
题型十二：离心率：共焦点椭圆双曲线型 26
题型十三：离心率：双曲线渐近线型 28
题型十四：离心率：求参数 30
题型十五：抛物线：定义型最值转化 32
题型十六：抛物线焦点弦：梯形转化型 35
题型十七：抛物线焦点弦极坐标公式应用 37
题型十八：抛物线切线型 40
题型一：含参双动直线
直线含参。 一般情况下，过定点 如果两条直线都有参数，则两条直线可能存在“动态”垂直。则直线交点必在定点线段为直径的圆上。 每一条直线都可以通过“直线系”得到直线过定点。 两条动直线如果所含参数字母是一致的，则可以分别求出各自斜率，通过斜率之积是否是-1，确定两条直线是否互相“动态垂直”。 如果两条动直线“动态垂直”，则两直线交点必在两条直线所过定点为直径的圆上。 如果两条动直线交点在对应的两直线所过定点为直径的圆上，则可以通过设角，三角代换，进行线段的最值求解计算
1.（2024上·河北承德·高三统考）已知直线与交于点，则的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据得点为圆上动点，用三角换元求的最大值.
【详解】由题意可得直线恒过坐标原点，直线恒过定点，
且，所以，
所以与的交点在以为直径的圆上，
则点的坐标满足（不含点）．
可设，且，
则，
所以当时，的最大值为．
故选：D
2.（2024上·北京·高按清华附中校考）已知直线恒过定点A，直线恒过定点B，且直线与交于点P，则点P到点的距离的最大值为（ ）
A．4 B． C．3 D．2
【答案】A
【分析】首先求点的坐标，并判断两条直线的位置关系，则点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和
【详解】设
由直线，可得
由直线，可得，
因为直线与直线满足，
所以，
所以点P在以AB为直径的圆上，所以点P到点的距离的最大值等于点P到圆心的距离与半径之和即点P到线段AB中点距离与半径之和，
由，，得AB中点为，半径为1，
所以点P到点的距离的最大值为，
故选：A

3.（2024·全国·高三专题练习）已知直线与直线相交于点，则到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解法一：求出两直线所过定点，确定动点P的轨迹方程，结合圆上的点到定直线的距离的最值，即可求得答案；
解法二：求出两直线的交点坐标，利用点到直线的距离公式求出P到直线的距离的表达式，结合不等式知识，即可求得答案.
【详解】解法一：直线整理可得，，
即直线恒过，同理可得恒过，又，直线和互相垂直，
两条直线的交点在以，为直径的圆上，即的轨迹方程为，（去掉，
（这是因为不能表示直线，不能表示直线，）
设该圆心为，则，则，
由于垂直于直线，故M到的距离即为，而，
即，而当时，点的坐标为，不符合题意。故的取值范围是，故选：A．
解法二：联立两条直线的方程，
解得交点的坐标为，
∴，
由，故得的取值范围是,故选：A．
4.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy(O为坐标原点)中，不过原点的两直线，的交点为P，过点O分别向直线，引垂线，垂足分别为M，N，则四边形OMPN面积的最大值为（ ）
A．3 B． C．5 D．
【答案】D
【分析】由、的方程可得它们都过定点，，然后可得四边形OMPN为矩形，且，然后可求出答案.
【详解】将直线的方程变形得，由，得，则直线过定点，同理可知，直线过定点， 所以，直线和直线的交点P的坐标为，易知，直线，如图所示，
易知，四边形OMPN为矩形，且，设，，则，
四边形OMPN的面积为，
当且仅当，即当时，等号成立，因此，四边形OMPN面积的最大值为，故选：D
题型二：直线系与方程
直线系： 过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线可设：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0. 若直线含参，参数在x系数出，则不包含竖直，如，不含想 若直线含参，参数在y的系数出，则不含水平，如，不含 若直线参数在常数位置，则为一系列平行线，如与平行
1.（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，设．有下列三个说法：
①存在实数，使点N在直线l上；
②若，则过MN两点的直线与直线l平行；
③若，则直线l经过线段MN的中点．
上述所有正确说法的序号是 ．
【答案】②③
【分析】根据点的坐标是否适合直线方程可判断①，③；判断两直线的斜率是否相等，并判断直线是否重合可判断②；
【详解】对于①，因为，所以，
所以点不可能在直线l上，错误．
对于②，因为，所以，所以，
若，则，不合题意，故，
所以，所以直线MN的方程为，即，
又，所以过M、N两点的直线与直线l平行，正确．
对于③，因为，所以，
所以，即在直线上，
所以直线l经过线段MN的中点，正确．
综上所述，正确的有②③，
故答案为：②③
2.（2023上·浙江绍兴·高三浙江省上虞中学校考）已知点，直线，且点不在直线上，则点到直线的距离；类比有：当点在函数图像上时，距离公式变为，根据该公式可求的最小值是
【答案】4
【分析】依题意可得，，令，则表示半圆上的点到直线和的距离之和，设为d，则，再结合图象进行求解.
【详解】解：依题意可得，
，
令，则，
该方程表示以为圆心，以1为半径的半圆，
依题意表示该半圆上的点到直线的距离，
表示该半圆上的点到直线的距离，
则表示半圆上的点到直线和的距离之和，设为d，
则，
如图所示：
结合图象，当点P运动到点时，此时d取得取小值，
则，
则的最小值为.
故答案为：4.
3.（2022·四川绵阳·统考一模）设为两个不同的点,直线l:ax+by+c=0,.有下列命题：
①不论为何值,点N都不在直线l上；
②若直线l垂直平分线段MN,则=1；
③若=-1,则直线l经过线段MN的中点；
④若>1,则点M、N在直线l的同侧且l与线段MN的延长线相交.
其中正确命题的序号是 （写出所有正确命题的序号）.
【答案】①③④
【详解】试题分析：①因为中，，所以点不在直线上，本选项正确；
②当时，根据，得到，化简得，即直线的斜率为，又直线的斜率为，①知点不在直线上，得到直线与直线平行，
当时，根据，得到，化简得：，直线与直线的斜率不存在，都与轴平行，①知点不在直线上，得到直线与直线平行，综上，当时，直线与直线平行，本选项错误；
③当时，，化简得：，而线段的中点坐标为，所以直线经过线段的中点，本选项正确；
④当时，，即，所以点在直线的同侧，且，得到点到直线的距离不等，所以延长线于直线相交，本选项正确，所以命题正确的是①③④，故填：①③④.
题型三：圆：定角
1.在平面直角坐标系中，为直线：上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标的取值范围为______________.
【答案】．
【解析】由直径所对的圆周角为可求得直线的方程，进而解得点的坐标，设出点的坐标，再利用向量的数量积即可求出点的横坐标的取值范围.
【详解】解：如图所示：
点在以为直径的圆上，，即，
，又均在直线，，，又，：，
联立：， 解得：，；设，则，，
，又，，
即，解得：或（舍去），
故点的横坐标取值范围为：.故答案为：.
2.（2023·四川省通江中学高三阶段练习）在平面直角坐标系中，若圆：上存在两点、满足：，则实数的最大值是______.
【答案】
【解析】根据题意，圆C的圆心为，在直线上，当圆心距离x轴的距离越远，越小，结合图像可知当时，圆心C在x轴上方，若、为圆的切线且，此时a取得最大值，可得，即，解可得a的值，即可得答案.
【详解】由题得，圆C的圆心为，在直线上，当圆心距离x轴的距离越远，越小，
如图所示：当时，圆心C在x轴上方，若、为圆的切线且，此时a取得最大值，此时，有，即，解可得，
故答案为：.
3.（2023·江苏·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知圆C满足：圆心在轴上，且与圆相外切.设圆C与轴的交点为M，N，若圆心C在轴上运动时，在轴正半轴上总存在定点，使得为定值，则点的纵坐标为_________.
【答案】
【分析】设C（c，0），P（0，p），（p＞0），圆C半径为r，用c、p、r表示∠OPM，∠OPN的正切值，再利用两角差的正切公式表示∠MPN的正切值，分析该值为定值的条件可确定P的坐标．
【详解】解：如图，设C（c，0），P（0，p），（p＞0）圆C半径为r，则OM＝c﹣r，ON＝c+r，OP＝p，∴tan∠OPM＝，tan∠OPN＝，∴tan∠MPN＝tan（∠OPN﹣∠OPM）＝＝，
由两圆外切可知，r+1＝，得c2＝r2+2r﹣3，∴tan∠MPN＝＝，
∵上式为与无关的定值，∴p2﹣3＝0，∴p＝．故答案为：
题型四：圆：切点弦
切点弦方程求解，可以有如下两种思路 1.公共弦法：过圆外一点作圆的切线，则切点与四点共圆，线段就是圆的一条直径．两圆方程相减可得公共弦所在直线方程． 2二级结论法：外一点做切线，切点所在直线方程（切点弦方程）为：
1.（2022秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）已知圆M：，直线l：，P为直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA、PB，切点为A、B，当最小时，直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由已知结合四边形面积公式及三角形面积公式可得，说明要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直．写出PM所在直线方程，与直线l的方程联立，求得P点坐标，然后写出以PM为直径的圆的方程，再与圆M的方程联立可得AB所在直线方程．
【详解】解：因为圆，即为，
所以圆心，半径．．
要使最小，则需最小，此时PM与直线l垂直．直线PM的方程为，即，
联立，解得，即．则以PM为直径的圆O的方程为．
直线AB为圆M与圆O公共弦所在直线，联立
相减可得直线AB的方程为．故选：A．
2.（2023春·辽宁沈阳·高三东北育才学校校考开学考试）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线与圆相切，与圆相交于两点，分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为，则的最小值为（ ）
A．9 B．7 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得切点弦的方程为，进而根据其与圆相切得，即，进而根据二次函数性质得最小值.
【详解】解：设点，，，，因为分别以点为切点作圆的切线．设直线的交点为，所以，则，即，
所以，因为，
所以，即是方程的解，
所以点在直线上，同理可得在直线上，
所以切点弦的方程为，因为直线与圆相切，
所以，解得，即
所以，
所以当时，直线方程为，此时所以的最小值为.故选：D
3．（2023春·福建莆田·高三莆田一中校考阶段练习）若是直线上一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为（ ）
A． B．3 C． D．2
【答案】A
【分析】由题意可得当取最小值时，的值最小，求得圆心到直线的距离即得，即可得.
【详解】如下图所示，
易知且垂直平分，所以，
且，由勾股定理可得，
所以，
即取最小值时，取得最小值；
易知为圆心到直线的距离，
即，所以.
故选：A
题型五：圆综合
1.（2023·黑龙江·一模）设，则的最小值为
A．4 B．16 C．5 D．25
【答案】B
【分析】将原问题转化为两点之间的距离问题，然后数形结合求解最小值即可.
【详解】表示点P(3-4y，4+3y)、Q(cosx，-sinx)两点距离的平方，
由得点P的轨迹方程为，由得点Q的轨迹方程为，
则，，即的最小值为16.
2.（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知为圆上两点，点，且，，则面积的最大值为______.
【答案】
【解析】由，可得，在圆中可得，从而有，即可求出点的轨迹，然后就可得出面积的最大值.
【详解】因为，所以，且是的中点所以
因为所以，即
设点，则有化简得：
即点的轨迹是圆心为，半径为的圆。因为，且直线经过点
所以点到直线的距离的最大值就为半径。所以面积的最大值为
故答案为：
3.（2022山东·薛城区教育局教学研究室高三模拟）已知圆，为圆外的动点，过点作圆的两条切线，切点分别为、，使取得最小值的点称为圆的萌点，则圆的萌点的轨迹方程为_______.
【答案】.
【分析】根据圆外一点引圆的两条切线，切线长相等可得，再利用切线长公式、同角三角函数基本关系、结合基本不等式，即可得到答案；
【详解】
当且仅当时等号成立.
由在圆外知的取值范围是，所以能成立，
故的最小值为.
由知，萌点的轨迹为圆，方程为.
故答案为：
4.（2022·江苏·高三专题练习）已知圆与轴交于点、，过圆上动点(不与、重合)作圆的切线，过点、分别作轴的垂线，与切线分别交于点，直线与交于点，关于的对称点为，则点的轨迹方程为_______
【答案】
【分析】相关点法求轨迹方程：设，先根据条件，求出，两点的坐标，再联立直线和求出交点，根据，两点关于对称，确定用，表示点的坐标，再由点在圆上，列方程整理即可.
【详解】
依题意作图，有，，设()，.
过点的圆的切线的方程为，
所以，.联立解得，所以点.
又点，关于点对称，所以，即，
又点在圆上，所以，
把代入整理得，，又，所以点的轨迹方程().
故答案为：().
题型六：离心率：第一定义型
求解圆锥曲线的离心率的常见方法： 1、定义法：通过已知条件列出方程组，求得得值，根据离心率的定义求解离心率； 2、齐次式法：由已知条件得出关于的二元齐次方程或不等式，然后转化为关于的一元二次方程或不等式，结合离心率的定义求解； 3、特殊值法：根据特殊点与圆锥曲线的位置关系，利用取特殊值或特殊位置，求出离心率问题.
1.椭圆的左右焦点分别为 ，直线与交于A 两点，若，，当时，的离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】结合题干条件得到，表达出，，利用椭圆定义得到关系，结合的范围求出离心率的最小值.
【详解】连接，由题知点A 关于原点对称，，，，则，，又，即，，由得，所以，D正确.
故选：D
2.（2023春·山西·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左 右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，过点作，垂足分别为，且为线段的中点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件证明为线段的中点，由此可得，结合双曲线的定义可得，由勾股定理可得的关系，由此可求曲线的离心率.
【详解】因为，为双曲线的左 右焦点，所以，因为
所以，又为线段的中点，所以为线段的中点，且，
又为线段的中点，所以，在中，，，
所以，所以，因为点在双曲线的右支上，
所以，故，在中，，，，
由勾股定理可得：，所以，即，
所以，又，故，
所以，故选：D.
3.（江苏省常州市第一中学2022-2023年高三上学期数学试题）设椭圆的左右焦点分别为，，焦距为，点在椭圆的内部，点P是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用点在椭圆的内部，以及列不等式，化简后求得椭圆的离心率的取值范围.
【详解】因为点在椭圆的内部，所以①，而②，，由①②得，即.所以.
因为，而，所以，即，由三角形的性质可得，因为是椭圆上的动点，且恒成立，所以，所以，即，所以椭圆离心率的取值范围是.
故选：A
4.（2023春·陕西西安·高三校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支分别交于两点，且，若点为的中点，，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【分析】由条件结合双曲线定义列出关于的齐次方程，由此可求的离心率.
【详解】设双曲线的半焦距为， 则，因为，所以，
由双曲线定义可得，所以
因为点为的中点，，所以，即
所以，所以，所以离心率，故选：A.
题型七：离心率：焦半径型
椭圆焦半径 焦半径范围： (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点) 双曲线焦半径 动点到同侧焦点的距离最小值为：
1.（江苏省启东中学2023学年高三数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是________．
【答案】.
由题意可得：|PF1|=e|PF2|，又|PF1|+|PF2|=2a，所以|PF2|(1+e)=2a ，
由于a-c≤|PF2|≤a+c，所以(a+c)(1+e)≥2a ①，且(a-c)(1+e)≤2a ②，
①式两边除以a，得(1+e)(1+e)≥2，解得e≥②式两边除以a，得(1-e)(1+e)≤2，恒成立，
所以离心率e的取值范围是.
2.（2022-2023学年江西省上饶中学高三下学期第一次月）已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，则，根据双曲线的定义，再利用基本不等式求出的最小值，从而得到，即可求出离心率的取值范围.
【详解】解：设，则，由双曲线的定义知，
∴，，当且仅当，即时，等号成立，
∴当的最小值为时，，，此时，解得，又，∴．
故选：C．
3.（辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校2021-2022学年高三上学期考试数学试题）已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【详解】根据焦半径公式，化简得，解得，根据椭圆横坐标的取值范围，得，不等式同时除以化为.解得.即离心率的取值范围为.
4.（2023秋·广东深圳·高三校考）设，是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在点P满足，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，设，先由双曲线的定义，再利用余弦定理，由题意可得，最后再用可得、的不等关系，可得离心率.
【详解】由题，取点为右支上的点，设，
根据双曲线的定义知：，
在三角形中，由余弦定理可得：，
又因为 可得，即，
又因为， 所以
即，.
故选：.
题型八：离心率：第三定义型
（1）椭圆 1.是椭圆上两点，为中点，则（可用点差法快速证明） 结论拓展 已知直线：与椭圆相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则. 如果是焦点在y轴上，则是 2.是双曲线上两点，为中点，则（可用点差法快速证明） 结论拓展 已知直线：与双曲线相交于，两点，为的中点，为坐标原点，则. 如果是焦点在y轴上，则是
1.（陕西省渭南市富平县2023届高三下学期二模理科数学试题）已知点在椭圆上，是椭圆的左焦点，线段的中点在圆上．记直线的斜率为，若，则椭圆离心率的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设的中点为，由题意得，设，则，在中，利用余弦定理，即可求得椭圆离心率的取值范围.
【详解】
设的中点为，连接，因为点在上， ，所以，，
设，则，所以，，在中，由余弦定理得
，所以，所以，
离心率，故选：D.
2.（2022·新疆喀什·高十三新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考开学考试）过双曲线的右焦点F作一条渐近线的垂线，垂足为M，且FM的中点A在双曲线上，则双曲线离心率e等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知的斜率，表示出直线方程，求出的坐标进而求得A点坐标，代入双曲线方程整理求得和的关系式，进而求得离心率．
【详解】：
由题意设相应的渐近线：，
则根据直线的斜率为，则的方程为 ，
联立双曲线渐近线方程求出，
则，，则的中点，
把中点坐标代入双曲线方程中，即，
整理得 ，即 ，求得，即离心率为，
故答案为：．
3.（山西省临汾市2022届高三二模数学试题）已知点是椭圆上一点，与椭圆上、下顶点连线的斜率之积为，则的离心率为_________.
【答案】
【分析】设点，则，可得出，利用斜率公式结合已知条件可得出，再利用离心率公式可求得椭圆的离心率的值.
【详解】设点，则，则，则，
椭圆的上、下顶点坐标分别为、，
所以，由已知可得，可得，
所以，.故答案为：.
4.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，直线与双曲线的左支交于点 ，且恰为线段的中点，则双曲线的离心率为 （ ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【分析】利用中位线关系求得，再利用双曲线的定义，表示的三边，最后根据勾股定理求双曲线的离心率.
【详解】连结，因为点分别为和的中点，所以，且
设点到一条渐近线的距离，所以
，又，所以，中，满足，整理为：，
双曲线的离心率.故选：D
题型九：离心率：双三角形双余弦定理型
焦点弦型双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图： 可分别在俩三角形中各自用余弦定理，联立解离心率
1.（广东省佛山市2022-2023学年高三教学质量检测数学试题）已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根据，得到方程，解得.
【详解】解：，，
在和中利用余弦定理可得
。
即
化简可得同除得：解得或（舍去）故选：
2.（东北三省三校2023届高三联合模拟考试数学试题）椭圆的左焦点为点，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，，，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性，得到，分别在和，利用余弦定理列出方程组，求得，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】解：设为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，令，在中，，
则，即
在中，，则，
即，联立方程组，解得，
因为，所以椭圆的离心率为.故选：B.
3.已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，] B．（0，] C．，1) D．，1)
【答案】B
【分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，
利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.
【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，
因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，，
在中，，所以，
由，得，整理，得，又，
所以.故选：B
4.如图，椭圆M：的左、右焦点分别为，，两平行直线，分别过，交M于A，B、C，D四点，且，，则M的离心率为___．
【答案】
【分析】设，根据椭圆定义、对称性得到、、、，再利用勾股定理得到参数的齐次方程，进而求离心率.
【详解】设，则，故．
由椭圆的对称性知：，连接，则．
又，，所以，
在Rt中，即，解得，则，．
在中，即＋，得，所以M的离心率．
故答案为：
题型十：离心率：重心型
1.（2023春·四川广安·高三四川省广安友谊中学校考阶段练习）已知点为双曲线的虚轴的上顶点，为双曲线的右焦点，存在斜率为的直线交双曲线于点两点，且的重心为点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】联立直线与双曲线方程，得和，根据三角形重心坐标公式列式，得到，结合，可求出离心率.
【详解】，设，
设斜率为的直线为，
联立，消去并整理得，
，，即，
设，，则，
，
因为的重心为点，所以，，
所以，，所以，，
消去得，得，得，
得，得，得，得，.故选：A
2.已知椭圆的右焦点和上顶点分别为点和点，直线交椭圆于两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由题设，利用为的重心，求出线段的中点为，将B代入直线方程得，再利用点差法可得，结合，可求出，进而求出离心率.
【详解】由题设，则线段的中点为，
由三角形重心的性质知，即，解得：
即代入直线，得①.
又B为线段的中点，则，
又为椭圆上两点，，
以上两式相减得，
所以，化简得②
由①②及，解得：，即离心率. 故选：C.
3.（2023·全国·高三专题练习）设双曲线的右焦点为，，若直线与的右支交于两点，且为的重心，则的离心率的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设点为的中点，根据为的重心，求得，由直线与的右支交于两点，得到，求得，再由时，证得四点共线不满足题意，即可求得双曲线 的离心率的取值范围.
【详解】由题意，双曲线的右焦点为，且，
设点为的中点，因为为的重心，所以，
即，解得，即，
因为直线与的右支交于两点，则满足，
整理得，解得或（舍去），
当离心率为时，即时，可得，此时，
设，可得，
又由，两式相减可得，即直线的斜率为，
又因为，所以，此时四点共线，此时不满足题意，
综上可得，双曲线 的离心率的取值范围为.故选：A.
题型十一：离心率：内心型（角平分线）
1.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，为的内心，且，若椭圆的离心率为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设内切圆的半径为，根据题意化简得到，代入数据计算得到答案.
【详解】设内切圆的半径为
则，，·
∵，∴
整理得.∵为椭圆上的点，∴，解得.
故选：
2.（2023秋·河南郑州·高三郑州市第一〇六高级中学校考）已知点P是双曲线（a0，b0）右支上一点，F1、F2是双曲线的左、右焦点，M是△PF1F2的内心，若成立，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】D
【分析】设圆与的三边，，分别相切于点E，F，G，连接ME，MF，MG，易得，，，设r为圆M的半径，分别计算、和，由可得，再结合双曲线的定义，可得出，最后求得离心率即可.
【详解】
如图，设圆M与的三边分别相切于点E，F，G，连接ME，MF，MG，则，设r为内切圆M的半径，
，
，化简得：，
由双曲线的定义可得：，∴离心率故选：D.
3..已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.
【答案】
【解析】首先找到特殊位置，即取P在上顶点时，内心和重心都在y轴上，由于内心和重心连线的斜率不随着点P的运动而变化，可得：GI始终垂直于x轴，可得内切圆半径为y0，再利用等面积法列式解方程可得：.
【详解】当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，取P特殊情况在上顶点时，
内切圆的圆心在y轴上，重心也在y轴上，
由此可得不论P在何处，GI始终垂直于x轴，
设内切圆与边的切点分别为Q，N，A，如图所示：
设P在第一象限，坐标为：（x0，y0）连接PO，则重心G在PO上，
连接PI并延长交x轴于M点，连接GI并延长交x轴于N，则GN⊥x轴，作PE垂直于x轴交于E，
可得重心G（，）所以I的横坐标也为，|ON|，由内切圆的性质可得，PG=PA，F1Q=F1N，NF2=AF2，
所以PF1﹣PF2=（PG+QF1）﹣（PA+AF2）=F1N﹣NF2
=（F1O+ON）﹣（OF2﹣ON）=2ON，而PF1+PF2=2a，所以PF1=a，PF2=a，
由角平分线的性质可得，所以可得OM，所以可得MN=ON﹣OM，所以ME=OE﹣OM=x0，所以，即INPEy0，（PF1+F1F2+PF2）IN，即（2a+2c），
所以整理为：，故答案为：.
题型十二：离心率：共焦点椭圆双曲线型
椭圆与双曲线共焦点、，它们的交点对两公共焦点、的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为、，则．
1.（2023·高三课时练习）椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据椭圆和双曲线的定义以及焦点三角形中用余弦定理、离心率公式即可求解.
【详解】不妨设P为第一象限的点，
在椭圆中： ① ,在双曲线中: ②,
联立①②解得, ,在中由余弦定理得：
即即
椭圆的离心率，双曲线的离心率，故选：B
2.（2023秋·高三联考）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，其中为右焦点，两曲线在第一象限的交点为，离心率分别为，．若线段的中垂线经过点，则（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】B
【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，利用中垂线可得到，利用椭圆和双曲线的定义可得到，即可求得答案
【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距为，
因为线段的中垂线经过点，所以是以为底边的等腰三角形，
则，
由椭圆和双曲线的定义可得，
两式相加得，两边同时除以得，
所以，故选：B
3.（2023·全国·高三模拟）已知椭圆：与双曲线：（，）具有共同的焦点，，离心率分别为，，且.点是椭圆和双曲线的一个交点，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，.根据圆锥曲线定义与勾股定理可得，从而可得，结合，可得结果.
【详解】设，.在椭圆中，，
所以.在双曲线中，，
所以，所以，即，得，即.
因为，所以，解得.故选：C
.4.（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆与双曲线的焦点相同，离心率分别为，，且满足，，是它们的公共焦点，P是椭圆和双曲线在第一象限的交点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】设 ， ，利用余弦定理可得，再分别利用椭圆与双曲线的定义可得，可得，结合，解方程即可得答案.
【详解】设 ， ，在椭圆：中，，
， 在双曲线：中，
， 即，则
所以，又因为，所以，
解得，故选：C.
题型十三：离心率：双曲线渐近线型
与双曲线有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为． 焦点到渐近线的距离为：； 渐近线求法结论：可直接令方程等号右边的常数为0，化简解得
1.（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）若双曲线 的一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，则该双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】求出两渐近线的倾斜角，得到渐近线方程，得到，求出离心率.
【详解】因为一条渐近线的倾斜角是另一条渐近线倾斜角的3倍，且这两条渐近线倾斜角的和等于，
所以渐近线的倾斜角分别为，故渐近线方程为，
故，，故离心率为.
故选：B.
2.（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线（，）与直线无公共点，则双曲线的离心率的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的几何性质可知：双曲线与没有公共点，则，即可求解.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，若双曲线（，）与直线无公共点，则应有，所以离心率，
故选：D
3.（2023·山西晋中·统考二模）已知双曲线：的左 右焦点分别为，，平面内一点满足，的面积为，点为线段的中点，直线为双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．或 C． D．2
【答案】B
【分析】先求边长，然后根据相似三角形求边长，再由面积得a、b、c的齐次式，然后可求.
【详解】由题意，可得图象如图所示，因为，为的中点，为的中点，
所以，所以，因为焦点到渐近线的距离，所以，又因为，，
所以，所以，，所以，所以，
所以，解得或，
故或.故选：B.
4.（2023·全国·高三专题练习）如图所示，双曲线：的左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线 C 的两条渐近线分别交于A、B两点，A是的中点，且，则双曲线C的离心率（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【分析】由已知可得，设，，，，由点在渐近线上，求得点坐标，再由为的中点，得到点坐标，把代入渐近线，即可求得的离心率．
【详解】 A是的中点，为△的中位线， ，所以，所以．
设，，，，点在渐近线上，，得．
又为的中点，，在渐近线上，，得，则双曲线的离心率．故选：B
题型十四：离心率：求参数
1.（2023秋·高三专题练习）已知分别为双曲线的左、右顶点，为双曲线上一点，且为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则的度数为（　　）
A．30° B．60° C．120° D．30°或120°
【答案】D
【分析】根据题意可得，再设，分与两种情况分别列式求解即可.
【详解】双曲线的离心率为 ,则，双曲线方程为 ，
若，设，则 ，两式相加有，即，由图，故，
∴，所以∠PBx=60°,∴∠ABP=120°；
若，设，则 ，两式相加有，即，由图，故，
∴，所以∠PAB=120°,∴∠ABP=30°.
故选：D
2.（2023秋·湖南长沙·高三湖南师大附中阶段练习）已知方程的三个实根可分别作为一椭圆、一双曲线、一抛物线的离心率，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的离心率为，可得，所以，根据方程另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，故有两个分别属于和的零点，故有且，即且，运用线性规划知识可求得.
【详解】令，由于抛物线的离心率为，可得，故，
所以，令，
因为方程另外两根分别是一椭圆、一双曲线的离心率，
所以有两个分别属于和的零点，故有且，即且，则问题转化为在条件下，求的取值范围，作出可行域如图：
联立，解得，所以，
因为表示点与原点之间的距离的平方，由图可知，点为最优解，所以，
所以的取值范围是.故选：D
3.（2023·甘肃·统考二模）若直线和直线相交于一点，将直线绕该点依逆时针旋转到与第一次重合时所转的角为，则角就叫做到的角，，其中分别是的斜率，已知双曲线：的右焦点为，是右顶点，是直线上的一点，是双曲线的离心率，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设的斜率为，故，由对称性可设，令，结合基本不等式可求解.
【详解】解：设的斜率为，由题意可知： ，
不妨设，当时由对称性可知结果一致，则：，
令，则，当取得最小值时满足题意，
很明显，则，当且仅当时等号成立，
此时：.故选:C.
4.（2023全国·高三校联考阶段练习）已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线的倾斜角的取值范围是，其斜率为，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，可得，即，转化，分析单调性，即得解
【详解】双曲线渐近线方程为，所以，即，所以，
则，记，
则在单调递增，在单调递减，且，.
所以，故选：D
题型十五：抛物线：定义型最值转化
抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点E，准线为l. 焦半径问题： ①焦半径：|AF|＝|AD|＝x1＋，|BF|＝|BC|＝x2＋ (随焦点位置变动而改变)； ②焦点弦：|AB|＝x1＋x2＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角) ③＋＝； 焦半径公式得：，， (2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2 (随焦点动而变)； 图4 (3)其他结论：①S△OAB＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．
1.已知点为抛物线上的动点，设点到的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，此时最小，再根据点到直线距离公式即可求解.
【详解】直线为抛物线的准线，点到准线的距离等于点到焦点的距离，过焦点作直线的垂线，
如下图所示，此时最小，为点到直线的距离.
，则．故选：B．
2.是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________．
【答案】##
【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案.
【详解】圆的圆心为，半径，
抛物线的焦点，
因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，
所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小，
连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离，
即，所以的最小值为，故答案为：
3.设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．
【答案】##
【分析】当P、A、F三点共线时，点P到点A的距离与到直线的距离之和最小，由两点间的距离公式可得M，当P、B、F三点共线时，最小，由点到直线距离公式可得.
【详解】如图所示，过点作垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，所以点到直线的距离为，所以
当且仅当三点共线时，取到最小值，即．
如图所示，过点作直线垂直于直线，垂足为点，由抛物线的定义可得
点到直线的距离为，所以，
当且仅当三点共线时，等号成立，即，因此．故答案为：
4.点，抛物线的焦点为，若对于抛物线上的任意点，的最小值为41，则的值等于______.
【答案】42或22
【分析】当点在抛物线的内部时，得到当三点共线时，此时的距离最小，即可求解；当点在抛物线的外部时，当三点共线时，的距离最小，即可求解.
【详解】由题意，（1）当点在抛物线的内部或曲线上时，则满足，解得，
过点点作抛物线的准线的垂线，垂足为，根据抛物线的定义，可得，
所以,
当三点共线时，此时的距离最小，且最小值为，
可得，解得；
（2）当点在抛物线的外部时，则满足，解得，
如图所示，
当三点共线时，的距离最小，且最小值为，
即，解得或（舍去），
综上所述，实数的值等于42或22.
故答案为42或22.
题型十六：抛物线焦点弦：梯形转化型
有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p， 若不过焦点，则必须用一般弦长公式. （2）本题还运用到点差法，设而不求，利用抛物线方程作差有效地简化了计算量，从而到达所需的变量等式，此方法在椭圆和双曲线中也广泛运用.
1.过抛物线的焦点F的直线l（不平行于y轴）交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交x轴于点M，若，则线段FM的长度为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】先设点，点，则，再把的中点坐标和斜率表示出来，
进一步可以求出线段AB的中垂线的方程，只需令，则的横坐标，故可计算出线段FM的长度为.
【详解】设，，由抛物线性质可知.
，由题可知.，即设线段AB的中垂线的斜率为，则.所以AB的中垂线方程为：
令，则的横坐标则
所以线段FM的长度为2.故选：B.
2.（河南省创新发展联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底考试）已知是抛物线上的两点，且，则线段的中点到轴的距离的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】过作准线的垂线，设的中点为，过作轴的垂线，根据梯形中位线和抛物线的定义可知，由此可求得最小值.
【详解】由抛物线方程知其焦点为，准线为；
分别过作准线的垂线，垂足分别为，与分别交轴于，
则，．
设的中点为，过作轴的垂线，垂足为，
（当且仅当三点共线时，等号成立）线段的中点到轴的距离的最小值为．故选：B.
3.（多选）已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线过点且与抛物线交于，两点，若是线段的中点，则（ ）
A． B．抛物线的方程为
C．直线的方程为 D．
【答案】ACD
【分析】由焦点到准线的距离可求得，则可判断A正确，B错误；利用斜率坐标计算公式几何中点坐标计算公式可求得直线的斜率，从而求得的方程，可判断C正确；，所以从而判断D正确.
【详解】因为焦点到准线的距离为4，根据抛物线的定义可知，故A正确
故抛物线的方程为，焦点，故B错误
则，．
又是的中点，则，所以，
即，所以直线的方程为．故C正确
由，
得．故D正确
故选：ACD．
4.（湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年考试数学试题）设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．
【答案】
【详解】分析：求出抛物线焦点为，准线为，设，直线方程为，由与抛物线方程消去得关于的一元二次方程，利用根与系数的关系算出的坐标，根据，利用两点间的距离公式解出，进而得到结论.
详解：抛物线方程为，抛物线焦点为，准线为，
设，因为在第一象限，所以直线的斜率，设直线方程为，
代入抛物线方程消去，得，，
过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设点的坐标为，可得，
，，
得到，可得，，，解之得，
所以，直线方程为，即,，故答案为.
5.（内蒙古赤峰二中2023届高三上学期第三次月考数学试题）抛物线的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N，则 的最大值为__________．
【答案】1
【分析】设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=
（a+b）2﹣3ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．
【详解】设|AF|=a，|BF|=b，由抛物线定义，得AF|=|AQ|，|BF|=|BP|。在梯形ABPQ中，∴2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos60°=a2+b2﹣ab。配方得，|AB|2=（a+b）2﹣3ab，
又∵ab≤（） 2，∴（a+b）2﹣3ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2
得到|AB|≥（a+b）．∴≤1，即的最大值为1．故答案为：1．
题型十七：抛物线焦点弦极坐标公式应用
设是过抛物线的焦点的弦，若，，则： 若点在第一象限，点在第四象限，则，， 弦长，（为直线的倾斜角）；
1.如图，过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若与面积之和的最小值为32，则抛物线的方程为___________．
【答案】
【分析】设直线AB的倾斜角为锐角，则直线CD的倾斜角为，利用焦半径公式分别求出、、、，并求出与面积之和的表达式，通过不断换元，并利用双勾函数的单调性求出两个三角形面积之和的最小值，求出p的值，于是得出抛物线的方程．
【详解】解：设直线AB的倾斜角为锐角，则直线CD的倾斜角为，
由焦半径公式得：，，，，
的面积为：
，
同理可得的面积为：，令，
则与面积之和为：，
再令，则与面积之和为：，
由双勾函数的单调性可知，当时，与面积之和取到最小值，
即，由于，得，因此，抛物线的方程为．故答案为：．
2.若过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于A、B两点，且直线l的倾斜角，点A在x轴上方，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据给定条件，利用点A的横坐标及表示，再利用抛物线定义结合的范围求解作答.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为，，如图，
设点A的横坐标是，则有，由抛物线定义知，
于是得，而函数在上单调递减，即，
因此，即有，所以的取值范围是.
故答案为：
3.已知抛物线的焦点为，过焦点的直线交抛物线与两点，且，则拋物线的准线方程为________.
【答案】
【分析】根据题意作出图形，设直线与轴的夹角为，不妨设，设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为，进一步可以得到，进而求出，同理求出，最后解得答案.
【详解】设直线与轴的夹角为，根据抛物线的对称性，不妨设，如图所示.设抛物线的准线与轴的交点为，过点作准线与轴的垂线，垂足分别为，
过点分别作准线和轴的垂线，垂足分别为.
由抛物线的定义可知，，
同理：,
于是，，则抛物线的准线方程为：.
故答案为：.
题型十八：抛物线切线型
（1）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：； （2）点是抛物线上一点，则抛物线过点P的切线方程是：．
1.（四川省成都市蓉城名校联盟2022-2023学年高三学期联考理科数学试题）已知F为抛物线C：的焦点，过点F的直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，抛物线在点A，B处的切线分别为和，若和交于点P，则的最小值为______．
【答案】4
【分析】设直线：，利用韦达定理求得，设，利用判别式求得直线的方程，进而得到的坐标，从而可得，再利用基本不等式即得.
【详解】由题可知，设直线：，直线:与联立消，得，
设，，则，，∴，设，由，可得，
∴，又，∴，∴，即，
同理可得，所以可得，即，∴，
∴，当且仅当，即取等号.
故答案为：4.
2.（四川省成都市第七中学2022-2023学年高三上学期第三次质量检测数学试题）过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，又直线经过抛物线的焦点，那么=______.
【答案】4
【分析】由题意，利用两种方法化简所求代数式，
方法一：设出过与抛物线的切线的点斜式方程，联立方程，由切点性质，则，可得方程，根据题意，结合韦达定理，可得，同样的思路，设出过焦点的直线，联立方程，结合韦达定理，可得，故可得第一种所求代数式的表示；
方法二：利用导数的几何意义，求切线斜率，可得，结合方法一中，可得第二种所求代数式的表示；
综上建立方程，求得的值，进而求得答案.
【详解】由题意，显然过点作抛物线的切线的斜率存在，设该斜率为，
则该切线方程为，即，
联立，消去可得，
由于切线与抛物线只有唯一交点，则，
整理可得，
由题意，可知为方程的两个根，则，
由题意，设直线的方程为，联立可得，消去可得，由题意可知为该方程的两个根，则，故，由抛物线方程，可得函数与函数，则与不妨设在第一象限，则，即，且，由设在第一象限，则在第四象限，即，可得，且，故，由，则，综上可得，解得，故.故答案为：.
3..（上海市控江中学2022-2023学年高三数学试题）已知是抛物线：上一点，且位于第一象限，点到抛物线的焦点的距离为4，过点向抛物线作两条切线，切点分别为，，则（ ）
A． B．1 C．16 D．
【答案】B
【分析】先通过抛物线的定义求出抛物线的方程，再设，然后求出并化简，然后求出直线AB的方程并代入抛物线方程，最后结合根与系数的关系求得答案.
【详解】如示意图，由抛物线的定义可知点M到抛物线准线的距离为4，则，即抛物线，则.
设，则.
由，则，所以，，
因为点在这两条直线上，所以，于是点A,B都在直线上，即，代入抛物线方程并化简得：，由根与系数的关系可知.
于是.
故选：B.

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