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培优冲刺11圆锥曲线综合大题归类
目录
题型一：韦达定理基础版 1
题型二：面积最值型 4
题型三：面积比值型求范围 6
题型四：四边形面积范围型 10
题型五：“三定”型：直线定点 14
题型六：“三定”型：定值 17
题型七：“三定”型：定直线 19
题型八：斜率型：斜率和定 23
题型九：斜率型：斜率积型 26
题型十：斜率型：斜率比型 29
题型十一：斜率型：三斜率型 32
题型十二：切线型 34
题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点型 37
题型十四：韦达定理不能直接用：点代入型 40
题型十五：韦达定理不能直接用：坐标运算型 42
题型十六：韦达定理不能直接用：非对称型代入 45
题型十七：19题卷型圆锥新定义题 48
题型一：韦达定理基础版
基本模板实战模板 1、设点， 2、方程1：设直线：-----此处还有千言万语，在后边分类细说。 3、方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他（很少出现），注意一个计算技巧，方程要事先去分母 4、方程3:联立方程，整理成为关于x(或者y）的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线联立后方程 的二次项能否为零-----这就是实战经验。 5、（1）； （2）二次项系数是否为0；------这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必须考虑。 6、方程4、5：韦达定理 7、寻找第六个方程，第六个方程其实就是题目中最后一句话
1.已知圆:，一动圆与直线相切且与圆外切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若经过定点的直线与曲线交于两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
2.（安徽省合肥市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题）已知曲线C：，从曲线C上的任意点作压缩变换得到点．
(1)求点所在的曲线E的方程；
(2)设过点的直线交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线的位置关系，并写出分析过程．
3.（2024年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学）已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程．
【答案】(1)(2)或
【分析】（1）根据平面向量数量积坐标运算和点在双曲线上，可构造方程组求得的值，由此可得双曲线方程；
（2）由三点共线可设，与双曲线方程联立可得韦达定理的结论，利用向量垂直的坐标表示，代入韦达定理结论可解方程求得的值，由此可得直线方程.
【详解】（1）设，，则，，
，解得：，；又在双曲线上，则，，，
双曲线的方程为：.
（2）由（1）得：，，，三点共线，
直线斜率显然存在，可设，，，
由得：，，即且，
，，
，，又，，
，
解得：，满足且，直线方程为：或.
题型二：面积最值型
求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意 注意变量的范围。 式子转化为求值域或者求最值的专题复习 一些常见的思维： 1.可以借助均值不等式求最值。 2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。 分式型：以下几种求最值的基本方法 （1）反比例函数型：，可以分离常数，利用“左加右减上加下减”画图 （2）与型，可以设，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解。 （3）型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解
1.已知双曲线 ，抛物线的顶点在原点，的焦点是的左焦点 .
（1）求证：与总有两个不同的交点；
（2）是否存在过的焦点的弦，使的面积有最大值或最小值 如果存在，求出所在的直线方程与最值的大小；如果不在在，说明理由.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【详解】（l），.由消去，得.
， ①
方程①有实根 、.
又，则两根异号.不妨设，.
当时， 无实根.
当时， 有两个不同实根，从而，和有两个不同的交点.
（2）假设符合条件的弦存在.
（i）当直线斜率存在时，易知.设直线的方程为.
由方程组消去，得.
.
又原点到直线的距离..
（i i）当直线斜率不存在，即轴时，有.，
的最小值为，此时直线的方程为.当时，.因此，无最大值.
2.（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考数学试题）已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于A，B两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）将点代入椭圆方程，结合离心率、得出方程；
（2）当直线的斜率不存在时，由对称性得出；当直线斜率存在且不等于零时，联立直线和椭圆方程，由韦达定理以及三角形面积公式得，再由基本不等式求解即可；
【详解】（1）由椭圆的离心率为，且过点得
椭圆的方程为
（2）当直线的斜率不存在时，，则；
当直线斜率存在且不等于零时，设直线：，
联立可得，
设，，则，，
，，
显然，在轴两侧，，异号，
所以
，
当且仅当，时，取等号.
所以的最大值为.
3.（新疆乌鲁木齐市第八十中学2022-2023学年高三联考数学试题）设P为椭圆上任一点，为椭圆的焦点，，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．求的面积S的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意，利用椭圆的定义和离心率公式计算出的值即可；
（2）将直线代入椭圆的方程可得，，利用弦长公式求，再利用点到直线的距离求得高，然后用面积公式和二次函数的性质即可求解
【详解】（1）根据题意，可得，所以a=2，
又，所以，
所以椭圆的方程为：；
（2）设，
将直线代入方程，
得，
，解得，
由韦达定理可知，
所以，
则底边的高，所以，
由二次函数的性质可得当（满足）时，的面积S取最大值，该值为
题型三：面积比值型求范围
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
1.（2023上·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考）已知O为坐标原点，点皆为曲线上点，为曲线上异于的任意一点，且满足直线的斜率与直线的斜率之积为.
(1)求曲线的方程：
(2)设直线与曲线相交于两点，直线的斜率分别为（其中），的面积为，以为直径的圆的面积分别为、，若恰好构成等比数列，求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1) 设，由题意可知，化简即可；
(2) 设直线的方程为：，联立直线和椭圆方程得，由可得，设，
结合韦达定理、点到线的距离公式及三角形的面积公、圆的面积公式可得，，，由成等比数列，可得，进而可得，再根据，即可求得答案.
【详解】（1）解：设，则有
所以，所以，化简得：，
所以曲线的方程为：；
（2）解：设直线的方程为：，则由，可得，
则，所以，即，设，
则有，，所以，
又因为原点到直线的距离，所以，又因为，
所以，同理可得，又因为以，，
又因为成等比数列，所以，所以，所以，
即，即有，又因为，，所以，，解得，
所以，所以
，当时取等号.又因为，
即，所以，即.
2.（2023上·四川成都·高三成都外国语学校校考）已知，为椭圆C：的左、右顶点，且椭圆C过点．
(1)求C的方程；
(2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），试求的取值范围．（其中与分别表示和的面积）
【答案】(1)(2)
【分析】（1）先直接得到，再把带入椭圆方程可得，则椭圆方程可求；
（2）设l：，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理以及求出的范围，然后带入求解即可.
【详解】（1）由题意得，把代入，解得，所以C的方程为；
（2）由（1）知：，，
明显直线l的斜率不为零，设l：，，，
由，得，显然，所以，，
因为，，所以，
因为，当时，，
解得，此时，当时，，所以．
又，设，则，，解得且，
所以，综上所述可得的取值范围为．
3.（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知，为椭圆C：的左、右顶点，且椭圆C过点.
(1)求C的方程；
(2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），求的取值范围.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由题意得，把代入椭圆方程可得答案；
（2）①当l斜率不存在时，易知；②当l斜率存在时，设l，，，与椭圆方程联立，求出、，由利用韦达定理可得，设，转化为，可得答案.
【详解】（1）由题意得，把代入，解得，所以C的方程为；.
（2）由（1）知：，，
①当l斜率不存在时，易知；
②当l斜率存在时，设l：，，，
由，得，显然，所以，，
因为，，所以，
因为，所以.又，设，则，，解得且，
所以，因为，可得的取值范围为.

题型四：四边形面积范围型
圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域）， 常用方法： 配方法； 基本不等式法； 单调性法； 三角换元法； （5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
1.（2024·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．
(1)求E的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据题意得到，结合，求得的值即可；
（2）设直线，，求得，联立方程组，利用弦长公式，求得，，得到，令，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）由题意，得的渐近线方程为，
因为双曲线的渐近线方程为，所以，即，
又因为，所以，则，
故的方程为．
（2）根据题意，直线，的斜率都存在且不为0，
设直线，，其中，
因为，均与的右支有两个交点，所以，，所以，
将的方程与联立，可得，
设，则，，
所以
，用替换，可得，
所以．令，所以，
则，
当，即时，等号成立，故四边形面积的最小值为．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）设直线，与抛物线联立可得韦达定理，根据重心的性质求出的坐标，代入曲线即可求解；
（2）先证明四边形为梯形，求出点到直线的距离，和，代入梯形的面积公式，利用基本不等式即可求解．
【详解】（1）由题知，焦点，显然直线的斜率存在，
设直线，，，，
联立消去得，则△，
则，所以，
所以且，故，即，
整理得对任意的恒成立，故故所求抛物线的方程为．
（2）由题知，，，，，，则.
又弦AB的中点为M，的重心为G，则，故，所以.

点D到直线AB的距离，
，
所以四边形DEMG的面积
当且仅当，即时取等号，此时四边形DEMG面积的最小值为.
3.（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，M为椭圆E的上顶点，，点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过焦点的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积的最小值.
【答案】(1)(2)
【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的标准方程.
（2）根据直线的斜率进行分类讨论，结合根与系数关系求得，进而求得四边形面积的表达式，并利用基本不等式求得面积的最小值.
【详解】（1）设，由，有.
又由，有（O为坐标原点），可得，，
可得椭圆E的方程为，
代入点N的坐标，有，解得，，
故椭圆E的标准方程为；
（2）①当直线AB的斜率不存在或为0时，为长轴长或，
不妨设，，
故；
②当直线AB的斜率存在且不为0时，设直线AB：，，，
联立方程，消去y得，
则，，
所以
，同理可得，
所以，因为，
当且仅当，即时等号成立，所以，而，
综上：四边形ACBD的面积的最小值为.
题型五：“三定”型：直线定点
当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论是否存在情况 当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 （1）设成，此时直线包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论 （2）设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 （3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。如第1题。 （4）重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律： 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。
1.（2023春·山东聊城·高三统考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
(1)求C的方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意求出，即可得解；
（2）设，，，直线l的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，，再根据，求出的关系，即可得出结论.
【详解】（1）设C的焦距为2c，则，即，，，
由双曲线的定义，得，
即，所以，
故C的方程为；
（2）设，，，直线l的方程为，
联立，整理得，
由题意，得，则，
则，，
，
设MN的中点为，则，，
所以线段MN的垂直平分线的方程为，
令，得，即，所以，
由题意，得，即，从而，
当，即时，解得或；
当，即时，解得或，
所以直线l的方程为，或，或，或，
故直线l过四个定点中的一个．
2.（四川省部分重点中学2022-2023学年高三上学期9月联考数学试题）已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
【答案】(1)(2)是，定点
【分析】（1）由离心率的值和右顶点坐标，得出椭圆的方程；
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，与椭圆方程联立，设，，，，，利用韦达定理求出直线的方程，得到与轴交点为定值，从而得出直线过定点．
（1）
由右顶点是M（2，0），得a＝2，又离心率，所以，
所以，所以椭圆C的标准方程为．
（2）
设，，显然直线l的斜率存在．
直线l的方程为，联立方程组
消去y得，由，得，所以，．
因为点，所以直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为，
即，所以直线AD恒过点（1，0）．
（方法二）设，，直线l的方程为，
联立方程组消去x得，
由，得或，所以，．
因为点，则直线AD的方程为．
又，
所以直线AD的方程可化为
，此时直线AD恒过点（1,0），
当直线l的斜率为0时，直线l的方程为y＝0，也过点（1，0）．综上，直线AD恒过点（1，0）．
3.（江苏省盐城市伍佑中学2023-2024学年高三第一次阶段考试数学试题）在平面直角坐标系中，抛物线C的准线为，对称轴为坐标轴，焦点在直线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若动直线与抛物线C交于A，B两点.在x轴上是否存在定点P，使得对任意实数m，总有成立？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据题意可得抛物线的焦点在x轴上，求得焦点坐标，从而可得出答案；
（2）假设存在满足条件的点P，不妨设，，，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理求得，，由，直线AP与直线BP的斜率，满足，整理分析从而可得出结论.
(1)解：因为抛物线C的准线为，对称轴为坐标轴，则C的对称轴为x轴，且焦点在x轴上，
又焦点在直线上，则焦点坐标为，所以C的顶点为原点，
所以抛物线C的方程为；
(2)解：假设存在满足条件的点P，由得，不妨设，，，
则，
①，②，由，直线AP与直线BP的斜率，满足，
即，
即③，
将①②代入③得：对任意m成立，则，
即存在满足条件的定点.
题型六：“三定”型：定值
求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
1.（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高三10月月考数学试题）已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的两个动点．
(1)若M点坐标为（0，3），求AM的最小值：
(2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)存在定点，使得RH为定值
【分析】（1）设，求出后结合函数性质得最小值；
（2）设AB方程为，，，直线方程与抛物线方程联立方程组消元后应用韦达定理，结论代入可求得，得定点，由得在以为直径的圆上，圆心为所求点坐标．
（1）
设，，则，时，等号成立；
（2）
由题意可设AB方程为，，
由，得．
由得，，，
∴（舍去）或
则直线AB过定点
又，则H在以ON为直径的圆上（不含y轴交点）
令ON的中点为，则，
所以，存在定点，使得RH为定值。
2.已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）待定系数法列方程组求得的值，即可得到双曲线C的方程；
（2）设出直线AB的方程并与双曲线C的方程联立，利用设而不求的方法得到M、N的坐标，利用题给条件＋求得直线AB的过定点，再由＝0可得使|QT|为定值的定点T.
（1）设双曲线C的方程为，由题意知，
∴双曲线C的方程为
（2）设直线AB的方程为，A（、），B（，），P（2，－1）
，则，，
∴直线PA方程为，令，则，同理N（0，），
由，可得∴
∴
∴∴
∴
∴，
当时，，
此时直线AB方程为恒过定点P（2，－1），显然不可能
∴，直线AB方程为恒过定点E（0，－3）
∵，∴，取PE中点T，∴T（1，－2）
∴为定值，∴存在T（1，－2）使|QT|为定值．
3.（重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考数学试题）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
【答案】(1)(2)证明见解析，定值为
【分析】（1）结合两点的坐标，利用待定系数法求得椭圆的方程.
（2）设直线，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，利用求得的关系式，从而判断出直线过左焦点，由此求得的周长为定值.
（1）
由已知设椭圆方程为：，
代入，得，故椭圆方程为.
（2）设直线，由得，
，，又，
故
，由，得，
故或，
①当时，直线，过定点，与已知不符，舍去；
②当时，直线，过定点，即直线过左焦点，
此时，符合题意.
所以的周长为定值.
题型七：“三定”型：定直线
求定直线是圆锥曲线求定点定值定直线的一个较难的题型。一般有两种思维： 利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 2.相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。
1（河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题）.已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：
①为定值；
②点M在定直线上.
【答案】(1)
(2)①证明见解析，；②证明见解析，点M在定直线上．
【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；
（2）①设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，带入的表达式，即可得出为定值；
②根据①中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上．
【详解】（1）依题可得，解得：，所以，
即椭圆的方程为．
（2）①设，，因为直线过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，其判别式，所以，.
两式相除得，即．
因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，．
从而．
②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.
2.已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
【答案】(1)1(2)是在定直线上，定直线
【分析】（1）根据题意列出方程组得到，设，，，利用点差法即可求解；
（2）根据（1）的结论得出，，设直线l：，，设，，联立直线与曲线方程，利用韦达定理联立直线与直线的方程得出，进而得证.
【详解】（1）由题意得，所以，设，，，
则，作差得，又MN的斜率，，
所以.
（2）∵，∴，，，直线l：，，设，，
联立得，所以，所以，
设直线AN：，BM：，
所以，
所以．故存在定直线，使直线AN与直线BM的交点G在定直线上．
3.如图，已知双曲线的右焦点为，O为坐标原点，过点F作直线与双曲线的渐近线交于P，Q两.点，且点P在线段FQ上，，.
(1)求C的方程；
(2)设是C的左 右顶点，过点的直线l与C交于M，N两点，试探究直线与的交点S是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由.
【答案】(1)(2)是，在定直线上
【分析】（1）计算得到，，得到，解得，，得到答案.
（2）直线的方程为，，联立方程得到根与系数的关系，确定直线方程，计算交点坐标，得到，得到答案.
【详解】（1）双曲线右焦点为，故，渐近线方程为，则，
，故，即，
，故，
解得，，故，故，
故，，，解得，.故双曲线方程为.
（2），，设直线的方程为，，
联立，得. 故，故，
直线，直线，
联立两直线方程，解得
，
故直线与直线的交点在定直线上.
题型八：斜率型：斜率和定
给定椭圆，与椭圆上定点，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为,若，则直线过定点 设抛物线，其上不同的三点：，，，当的斜率满足：时，过定点或者
1.设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切．
(1)求椭圆的方程．
(2)若直线与椭圆交于，（异于，）两点．
（i）求直线与的斜率之积；
（ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程．
【答案】(1)(2)（i）；（ii）
【分析】（1）由直线的两点式方程可得的方程，联立椭圆方程，利用直线与椭圆的位置关系求出b，即可求解；
（2）设，，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示，根据两点表示斜率公式化简计算可得、，则，由求得直线的方程，联立椭圆方程求出点Q的坐标即可求解.
【详解】（1）依题意可得，
当直线经过点时，的方程为，
代入，整理得，
，
解得，所以椭圆的方程为．
（2）（i）依题意可得直线的斜率不为0，设，，．由得，
则则
；
（ii）因为，所以，又因为，所以，
则直线的方程为，与联立得．所以的方程为，即．
2.（河北省石家庄市2023届高三质量检测（一）数学试题变式题17-22）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，为上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
【答案】(1)(2)恒过定点
【分析】（1）根据点在双曲线上，结合离心率列方程，解方程即可；
（2）分别计算点，的坐标，可得，即，又点在圆上，且圆与轴的另一个交点为，则，所以可得恒过定点.
【详解】（1）由双曲线离心率为，得，所以双曲线方程为，
又点在双曲线上，即，解得，，所以双曲线的方程为；
（2）由已知得，，设直线，点，由得，，则，即，，所以
由，得，所以设直线，联立直线与圆，
得，，则，即，，
所以，所以，即，所以，又点在圆上，
设圆与轴的另一个交点为，则，且，即直线与重合，
所以直线恒过点.
3.（四川省雅安市部分校2022-2023学年高三下学期4月联考数学试题）设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点，当直线l经过点时，直线l与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l与椭圆交于P，Q（异于A，B）两点，且直线与的斜率之和为，求直线l的方程.
【答案】(1)(2).
【分析】（1）由左右顶点得，再由直线与椭圆位置关系联立方程利用韦达定理得即可；
（2）联立直线与椭圆方程，由椭圆定义及斜率关系计算即可.
【详解】（1）依题意可得.
当直线l经过点时，l的方程为，
代入，整理得，
，
解得，所以椭圆的方程为.
（2）依题意可得直线l的斜率不为0，可设，，.
由，得，则
则.
因为，
所以.又因为，所以
则直线的方程为与联立得，
所以l的方程为，即.
题型九：斜率型：斜率积型
给定椭圆，与椭圆上定点，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为,若，则直线过定点 设抛物线，其上不同的三点：，，，当的斜率满足：时，过定点
1.（四川省凉山彝族自治州2022-2023学年高三阶段性检测数学试题）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）根据离心率和点在椭圆上建立方程组可求椭圆的方程；
（2）设出点，根据对称性得到点，表示出，，结合椭圆的方程可证为定值.
【详解】（1）由题意得：且，得，
所以椭圆的方程为.
（2）证明：由椭圆方程可知，，，设，则且；
则，，则，所以为定值.
2.（陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测（Ⅱ）理科数学试题）在直角坐标系中，已知椭圆的右顶点 下顶点 右焦点分别为A，B，F.
(1)若直线与椭圆E的另一个交点为C，求四边形的面积；
(2)设M，N是椭圆E上的两个动点，直线与的斜率之积为，若点P满足：.问：是否存在两个定点G，H，使得为定值？若存在，求出G，H的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)；(2)存在，G，H的坐标分别为，．
【分析】（1）写出直线方程，与椭圆方程联立求得点坐标后，可求得四边形面积；
（2）设，，，由向量的坐标运算得出，，利用点是已知椭圆上的点，计算出，得是一个椭圆上的点，从而两定点为该椭圆的焦点即满足题意．
【详解】（1）由题意，，，，
直线方程为，
由得或，所以，
；
（2）设，，，
由得，即，，
点在椭圆上，所以，，
所以，
直线斜率之积为，，
所以，
所以点在椭圆上，该椭圆的左右焦点为，则为定值，又，因此这两个定点坐标为，．
3.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左 右焦点分别是，以为圆心，6为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点的直线的斜率分别为，且，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，线段的中点分别为，直线与椭圆交于两点，是椭圆的左 右顶点，记与的面积分别为，证明：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析．
【分析】（1）根据离心率的定义和椭圆定义求得，再计算出后得椭圆方程；
（2）设，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求得中点的坐标，当直线斜率存在时，设直线，点在直线上，代入整理得是一个一元二次方程的根，由韦达定理得，从而得出关系，得出直线过定点，再确定直线斜率不存在时也过这个定点，然后结合该定点得出三角形面积比．
【详解】（1）依题意得，则
则，所以椭圆的方程为；
（2）直线，设，
由得，
所以，，且，
则中点，同理可算
①当直线斜率存在时，设直线，点在直线上，
点坐标代入整理得
易知为方程的两个根，
则，所以，
所以直线，则直线恒过点
②当直线的斜率不存在时，由对称性可知，由，
不妨设，所以，
直线过，根据①②可知，直线恒过点，因为的面积，
的面积，所以.
题型十：斜率型：斜率比型
1.（河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：
①为定值；
【答案】(1)(2)①证明见解析，；②证明见解析，点M在定直线上．
【分析】（1）根据椭圆的几何性质列出方程组求出，即可得出椭圆的方程；
（2）①设，，直线的方程为，与椭圆方程联立得到，带入的表达式，即可得出为定值；
②根据①中的结论，设，则，求出直线AP、BQ的方程，联立即可求出点M的坐标，从而可知其在定直线上．
【详解】（1）依题可得，解得：，所以，
即椭圆的方程为．
（2）①设，，因为直线过点且斜率不为0，所以可设的方程为，代入椭圆方程得，，其判别式，所以，.
两式相除得，即．
因为分别为椭圆的左、右顶点，所以点的坐标为，点的坐标为，所以，． 从而．
②由①知，设，则，所以直线的方程为：，直线的方程为，联立可得，所以直线与直线的交点的坐标为，所以点在定直线上.
2.（江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期数学试题）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆．
(1)若，，求椭圆的方程
(2)若直线与直线的斜率之比是，求与的面积之比．
【答案】(1)；(2).
【分析】（1）由和在椭圆上求出，即可.
（2）求出直线BF的方程，并与椭圆方程联立求得点坐标，再由给定条件结合面积公式求解即可．
【详解】（1）由，，得：，解得，
又点在椭圆上，则，解得，
所以椭圆的方程为．
（2）依题意，令，直线，由，得，
直线AB的斜率，直线AP的斜率，
则，即，有，得，，
于是得点，，，
所以与的面积之比是.
3.（河北省唐山市开滦第二中学2023届高三上学期第三次线上考试数学试题）已知椭圆的短轴长为2，点在上.
(1)求的方程；
(2)设是上不同于短轴端点（点在点上方）的两点，直线与直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点.
【答案】(1)(2)证明见解析
【分析】（1）易知，代入点即可求出方程；
（2）当直线的斜率不存在时，求出，利用可舍去，当直线的斜率存在时，可设直线：，与椭圆联立方程组，求出，分别表示斜率，代入到可求出的值，进而求出直线过的定点即可.
【详解】（1）由题意可知，，
把点代入中，可得，解得，
所以的方程为：；
（2）依题意，，，如果直线的斜率不存在，则直线垂直于轴，
设直线：，由题意可知，且，
把代入中，可得的坐标分别为，
所以，，因为，无解，故舍去，
从而可设直线：，代入中，得
，由题设可知，设，，
则有，，因为，所以
则，，
因为，所以，化简得，
即
解得（舍）或，所以直线：恒过顶点.
题型十一：斜率型：三斜率型
1.（海南省海南中学、海口一中、文昌中学、嘉积中学四校2023届高三下学期联合考试数学试题）
已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点
(1)求椭圆的方程；
(2)、是椭圆的左 右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点 ，直线与直线交于点.记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
【答案】(1)(2)存在，且
【分析】（1）根据题意求出、、的值，可得出椭圆的方程；
（2）设、，设直线的方程为，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，求出、、的表达式，进而可求得实数的值.
【详解】（1）解：因为椭圆的离心率为，椭圆的右焦点，
所以，，，则，故，
因此，椭圆的方程为.
（2）证明：设、，设直线的方程为，其中，
联立，得，，
由韦达定理可得，，所以，
易知点、，，所以，直线的方程为，
将代入直线的方程可得，即点，
，，所以，，
所以，.
2.（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三下学期3月月考数学试题）已知椭圆的离心率为，且过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)(2)存在，或．
【分析】（1）由离心率的值，可得，的关系，设椭圆的方程，将点的坐标代入椭圆的方程，可得的值，进而求出椭圆的方程；
（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程，与椭圆的方程联立，可得两根之和及两根之积，由四边形为平行四边形可得的坐标，将的坐标代入椭圆的方程，可得参数的关系，求出直线，的斜率之积，由直线，，的斜率依次成等比数列可得参数的关系，进而求出参数的值，即求出直线的方程．
【详解】（1）由离心率，可得，所以椭圆的方程为：，
将点，代入椭圆的方程可得：，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意可得直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为：，设，，，，
联立，整理可得：，，即，
且，，，
因为四边形为平行四边，与互相平分，所以，
因为在椭圆上，则，整理可得：，①
又因为直线，，的斜率依次成等比数列，即，即，
而，可得，②
由①②可得：，，符合△，可得，，
所以直线的方程为：或．
3.（山西省际名校2023届高三联考二（冲刺卷）数学试题（A））已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点.
(1)求的值；
(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+++=0，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1)(2)存在，或
【分析】（1）设 ，利用斜率公式求解；
（2）设，直线方程为，与双曲线方程联立，结合韦达定理得到，，结合求解.
【详解】（1）解：双曲线E：的左、右焦点分别为，，设，
，同理可得.∴；
（2）设，直线方程为，
代入双曲线方程可得：，所以，则，
则，，，.
同理，即， 即，∴或，
又， 若.无解，舍去.
∴，解得，，或，，若，，由A在直线上可得，，
∴.此时，若，，由A在直线上可得，，
∴此时∴存在点，或，满足.
题型十二：切线型
在利用椭圆（双曲线）的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解； （2）椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切. 双曲线的以为切点的切线方程为
1.（安徽省安庆市宿松中学2022-2023学年高三学期开学考试数学试题）已知椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为、，三角形的周长为6，面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形面积的最大值．
【答案】(1)(2)
【分析】（1）由已知列出关于的方程组，求解后可得椭圆方程；
（2）考虑切线斜率不存在时有，斜率存在时，设过的切线方程为，代入椭圆方程后，设两切线斜率为，由韦达定理得，由得点轨迹方程为圆，利用圆的性质可得到直线的距离的最大值，从而得面积最大值．
【详解】（1）由题意，可列方程，
解方程组得，，所以椭圆C的方程为；
（2）当两条切线中有一条斜率不存在时，即切点为椭圆的顶点，此时，
当两切线都有斜率时，设过的切线方程为，
联立，得，
由得，
化简得，
设两切线的斜率分别为，，则，
化简得，由此，M的轨迹方程为，
又因为满足此方程，所以M的轨迹为圆，
M在圆上运动，当M与A、不共线时，构成，其中，
直线的方程为，圆心到直线的距离为，
此时，点M到直线的最大距离为，
故此三角形面积的最大值为M离最远时，由此它的面积最大值为．
2.（2023年四省联考变试题17-22）双曲线C：的离心率为，圆O：与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；
(3)若将（2）中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，试探讨的值.
【答案】(1)；(2)是，定值为2；(3)是，定值为2.
【分析】（1）由离心率为，可得，由圆在点处的切线被双曲线截得的弦长确定过的点，即可求解作答.
（2）切线斜率存在时，设出其方程并与双曲线方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答.
（3）切线斜率存在时，设出其方程并与椭圆方程联立，利用韦达定理、直角三角形射影定理可得为定值，验证切线斜率不存在的情况作答.
【详解】（1）设双曲线的半焦距为，依题意，，即有，
圆交x轴于点，则圆O在点A处的切线被双曲线截得的弦长为，
由双曲线的对称性知被截弦的端点在双曲线上，
因此，而，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或，
由（1）及已知，得，则有，
当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为，
则有，即，由消去y得：
，显然，
，而，
则
，
因此，在中，于点P，则，
综上得为定值2.
（3）当圆在点处切线斜率不存在时，点或，切线方程为或，
把代入椭圆方程，得，即，则有，
当圆在点处切线斜率存在时，设切线方程为，
则有，即，由消去y得：
，显然，
，而，
则
，
因此，在中，于点P，则，
综上得为定值2.
3.（江苏省苏州市昆山中学2022届高三下学期2月阶段性调研测试数学试题）已知抛物线C：与双曲线有相同的焦点，点为抛物线C上一点．
(1)求证：点处的切线的方程为；
(2)若点P在双曲线的左支上，且PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)
【分析】（1）设切线方程为，联立方程组，由求得，结合抛物线的方程，求得，即可求解.
（2）设，由（1）可得到和，进而求得的方程，联立方程组，求得，利用点到直线的距离公式和弦长公式，求得，进而求得最小值.
(1)解：设过抛物线上一点的切线的斜率为，则由点斜式得切线方程为，
联立方程组，整理得，
整理得，所以，因为点在抛物线上，可得，所以，所以，代入切线方程得，整理得，
又因为，所以，代入上式得，即，即点处的切线的方程为.
(2)解：设，由（1）可得，切线方程分别为和，
因为切线过点，可得，所以过点的方程为，
其中，其中，联立方程组，可得，
可得，且，
所以，
点到直线的距离为，所以
，令，当，可得，
所以面积的最小值为.
题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点型
若有 1.利用公式，可消去参数 2.可以直接借助韦达定理反解消去两根 定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）可以利用公式，可消去
1.（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模数学试题）已知点M，N分别是椭圆的右顶点与上顶点，原点O到直线的距离为，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点，并且与椭圆交于A，B两点，若，求直线的方程．
【答案】(1)(2)或．
【分析】(1)结合点到直线距离公式和离心率的定义列方程求，可得椭圆方程.
(2) 设直线的方程为，联立方程组，利用设而不求法结合条件列方程求可得结论.
【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由已知点的坐标为，点的坐标为，
所以直线的方程为，因为原点O到直线的距离为所以，
则，因为离心率，所以，．故解得，
故椭圆方程为．
（2）设直线的方程为，联立，消x得，
方程的判别式，
设，
所以，因为，所以，
故得方程组解得，综上，直线方程为，或．
2.已知P是椭圆上的动点，P到坐标原点的距离的最值之比为，P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若D为椭圆C的弦AB的中点，，证明：的面积为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.
（2）设出直线的方程，计算出三角形的面积，由此证得结论成立.
【详解】（1）由P到坐标原点的距离的最值之比为，得，所以.
由P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2，得，所以.
又，所以.所以椭圆C的方程为.
（2）证明：当直线AB与x轴不垂直时，设其方程为y=kx+m，易知m≠0.
联立得方程组，消去y并整理，得.
由题意可知.设，则，
所以.由可知.
设，则有，.
因为点P在椭圆上，所以.
整理，得.所以，且符合.
点到直线y=kx+m的距离，所以△PAB的面积.由，即，得.
当直线AB与x轴垂直时，
由于，不妨设，则，
所以，,所以的面积.综上可知，△PAB的面积为定值.
3.（重庆市第八中学2024届高三下学期月考数学试题）在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点.
（Ⅰ）若， ，求；
（Ⅱ）曲线在点，处的切线相交于点，，分别交轴于点，两点是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，2.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）将直线方程与抛物线方程联立，写出韦达定理，利用弦长公式计算即可得到答案.
（Ⅱ）利于导数和点在抛物线上可写出切线的方程，设，可得直线MN的方程，又直线MN为，可得点在直线上，求出点和点的坐标，写出两个三角形的面积，即可得到所求的值.
【详解】
（Ⅰ）设，，，，
由，
，所以.
解得.
（Ⅱ）由和，可得
切线的方程: ，整理得，
同理可得切线的方程：.
设，则有，
即，N在直线上，，N又在直线上，
即和为同一直线，直线过点，
所以，即点在直线上，又交轴于点，
则，再由可得，同理可得.
所以，而，
所以，即.
题型十四：韦达定理不能直接用：点代入型
1.已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为
（I）求，的值；
（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？
若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
解 (I）设，直线，由坐标原点到的距离为
则，解得 .又.
（II）由(I）知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然。
由韦达定理有：．．．．．．．．①
.假设存在点P，使成立，则其充要条件为：
点，点P在椭圆上，即。
整理得。又在椭圆上，即.
故．．．②将及①代入②解得
,=,即.
当;
当.
2.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 ＝λ ＋ ，求λ的值．
解：(1)点P(x0，y0)(x≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1.由题意又有·＝，
可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.
(2)联立，得4x2－10cx＋35b2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①设 ＝(x3，y3)， ＝λ＋ ，即
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2.
化简得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2，又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，得：λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.
3.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线.
求椭圆的离心率；
设为椭圆上任意一点，且，证明为定值.
解析：（1）设椭圆方程为，，则直线的方程为，代 人，化简得.
令、，则，.……2分
由，，与共线，得.…………4分
又，，所以，所以，
即，所以.所以，故离心率.…6分
证明：由（1）知，所以椭圆可化为.
设，由已知得，所以………8分
因为在椭圆上，所以.
即. ①
由（1）知，.所以.…………10分
所以.
又，，又代入①得.……………12分
题型十五：韦达定理不能直接用：坐标运算型
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）．
（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
解：（I）设△AOB的重心为G(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则 …（1）
∵OA⊥OB ∴,即，……(2)
又点A，B在抛物线上，有，代入（2）化简得
∴
所以重心为G的轨迹方程为
（II）
由（I）得
当且仅当即时，等号成立。
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求最小值1；
2.（安徽省合肥市2023届高三调研性检测数学题）已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.
【答案】（Ⅰ）动点的轨迹的方程为 （Ⅱ）
【详解】【试题分析】（1）先设，进而求得点，再依据题设条件求得，然后借助为椭圆上的点，进而消去参数从而求得动点的轨迹的方程为；（2）先求出点，再设，进而依据求出，进而借助且，及在和都是单调减函数，求出的范围为：
解：（Ⅰ）设依题意，且，
∵,即,
则有.又∵为椭圆上的点，可得，即，
即动点的轨迹的方程为.
（Ⅱ）依题意，设∵为圆的直径，则有，故的斜率满足，
，∵点不同于两点且直线的斜率存在，故且，
在和都是单调减函数，的范围为，
故 .
3.（江苏省南京市高淳高级中学2022-2023学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，上顶点到右焦点的距离为.过点作不垂直于轴，轴的直线，交椭圆于，两点，为线段的中点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）延长交椭圆于点，记与的面积分别为，，若，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）；（3）或.
（1）由椭圆的离心率可得，由上顶点到右焦点的距离为可得a值，从而可求得椭圆方程；
（2）利用点差法及直线垂直的关系，即可求得y0＝2m﹣1，x02＝（1﹣2m）（2m﹣2），由x02＞0即可求得m的取值范围；
（3）设B点坐标，代入椭圆方程，根据直线的斜率公式即可求得，根据三角形的面积公式，即可求得m的值，从而可得直线AB的方程；
【详解】（1）由椭圆的离心率，则，由上顶点到右焦点的距离为，
即，则，则椭圆的标准方程：；
（2）由，设，，，且，由，在椭圆上，
∴，，，，
两式相减得：，由，则，整理得：，①
由，则，整理得：，②
由①②解得：，，解得：，∴的取值范围：；
（3）设，由在椭圆上，，由，则，即，
代入上式消去，得，所以，
由（2）可知：，，，
∴，由，即，解得：，
此时，，解得：，
此时点坐标为，，∴直线方程为或.
题型十六：韦达定理不能直接用：非对称型代入
1.（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考）已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
【答案】(1)(2)直线与圆相交，理由见解析
【分析】（1）由题意列出关于的方程，求解即可.
（2）设，由点在圆上，得出，由的坐标，得出直线方程，将直线方程与双曲线方程联立，得点坐标，同理可得点坐标.从而得到直线方程，通过直线过定点，，从而得出点在圆内，故直线与圆相交.
【详解】（1）因为的离心率为，所以，所以，渐近线方程，
因为点到一条渐近线距离为，所以，解得，所以的方程为.
（2）直线与圆相交，理由如下：设，则，
因为点在以为直径的圆上，所以，所以，
即，
由（1）得，直线方程为：与双曲线方程联立，
消去得，，因为直线与都有除以外的公共点，
所以，所以，即，
同理当，.，
所以直线方程为：，令得，，
即直线经过定点.因为，
所以点在圆内，故直线与圆相交.
2.（北京市丰台区2023届高三年级第二学期综合练习数学试题）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（Ⅰ） .（Ⅱ）存在常数使得恒成立.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由题意由题知解得，即可求得椭圆方程；（Ⅱ）根据椭圆的准线方程，设出直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理即可求得C及D，存在λ，使得k1＝λk恒成立．
【详解】
（Ⅰ）由题知解得所以求椭圆E的方程为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A（﹣2，0），B（2，0），当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1．
由解得或得或；均有．
猜测存在．
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），C（x1，y1），D（x2，y2）．
由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0．则
故0．
所以存在常数使得恒成立．
3.（2023秋·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知随圆的左 右焦点分别为点在上，的周长为，面积为.
(1)求的方程.
(2)设的左 右顶点分别为，过点的直线与交于两点（不同于左右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则是否存在实常数，使得恒成立.
【答案】(1)(2)存在，
【分析】（1）根据椭圆的周长、面积可得答案；
（2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，设，由韦达定理代入可得答案.
【详解】（1）依题意，得，即，
解得，所以的方程；
（2）依题意，可设直线的方程为，联立方程，化简整理，得，
易得恒成立，设，由韦达定理，得，可得，
于是
，故存在实数，使得恒成立.

题型十七：19题卷型圆锥新定义题
1.（2024·河南·二模）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.
证明：①共线；
②为定值.
【答案】(1)(2)①证明见解析；②证明见解析
【分析】（1）根据渐近线方程与焦点坐标列方程组求解，即可得双曲线标准方程；
（2）①设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线与直线的方程，联立两直线可得坐标关系，从而证得结论；②设坐标为，直线方程为，结合①中坐标关系，利用两点之间的距离公式可得结论.
【详解】（1）由题意得解得
所以双曲线的标准方程为；
（2）证明①：设斜率为4，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中，
联立方程消去可得，该方程有两个正根，解得，
根据韦达定理：，
直线的方程为，而，即，
直线的方程为，而，即，
联立方程两式相加得，
代回方程组得，
根据，易得，
即都在直线上，所以共线；
证明②：由①得：设坐标为，直线方程为，即①中，根据①中的计算，
，，
，所以.
2.（23-24高三上海·）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：的交点的纵坐标为定值；
(3)求直线围成的三角形面积的最小值．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）由椭圆的性质结合蒙日圆的性质解出即可；
（2）设直线方程，直曲联立，表示出韦达定理，再用点斜式表示出直线，直线，最后用韦达定理化简即可；
（3）设直线与直线，的交点分别为，，联立与，解出，再用弦长公式表示出，和点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，最后表示出三角形面积公式，设，结合二次函数的性质求出最值即可.
【详解】（1）根据题意，蒙日圆的半径为，所以．
因为，可知，则，所以椭圆E的标准方程为，
（2）因为直线过点，可知直线的斜率存在，且直线与椭圆必相交，
可设直线，，，
联立方程，消去y可得，则，
由根与系数的关系可得：，
因为，，可得直线，直线，
所以
．即，解得，
所以直线，的交点P在直线上．
（3）设直线与直线，的交点分别为，，
则由（1）可知：直线，直线．联立方程，
解得，，因为，
又因为点到直线的距离，可得，只需求的最小值．
由弦长公式可得
．
令，则．
可得，
当且仅当，即时等号成立．即的最小值为，可得面积的最小值为．
故直线，，围成的三角形面积的最小值为
.3.（2024·辽宁丹东·一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．

(1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：
当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．
(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．
【答案】(1)(2)证明见解析(3)
【分析】（1）先求出双曲线的方程及直线的方程，联立方程求出点的坐标，进而可得出答案；
（2）易得，可令，则，根据双曲线的定义求出，即可求得，再在直角中，求出，即可得直线的方程，再利用勾股定理求出的关系，进而可得渐近线方程，再联立直线和渐近线方程，设，利用韦达定理求得，即可得点的坐标，进而可得出结论；
（3）先利用角平分线定理可得，即可得点的坐标，再求出，即可得直线的方程，进而可得点的坐标，再根据四边形的面积求出，即可得解.
【详解】（1）因为，，所以，，
故双曲线方程为，直线的方程为，
由，解得，即，所以，
所以反射光线所在的直线方程为，即；
（2）因为为直角三角形，，可令，则，
由双曲线的定义可得，即，所以，所以，
所以，在直角中，，所以直线的方程为，
由，得，所以，所以，
所以两条渐近线得方程为，联立，得，
设，则，故，所以，
所以，所以，所以为定值；
（3）由双曲线得光学性质可得，直线平分，所以，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理得，则，
因为，所以，
所以，所以，所以，故，而，
所以，所以直线的方程为，故点的坐标为，
设四边形的面积为，则，以，故，
所以求的方程为． 培优冲刺11圆锥曲线综合大题归类
目录
题型一：韦达定理基础版 1
题型二：面积最值型 2
题型三：面积比值型求范围 3
题型四：四边形面积范围型 4
题型五：“三定”型：直线定点 5
题型六：“三定”型：定值 5
题型七：“三定”型：定直线 6
题型八：斜率型：斜率和定 7
题型九：斜率型：斜率积型 8
题型十：斜率型：斜率比型 9
题型十一：斜率型：三斜率型 9
题型十二：切线型 10
题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点型 10
题型十四：韦达定理不能直接用：点代入型 11
题型十五：韦达定理不能直接用：坐标运算型 12
题型十六：韦达定理不能直接用：非对称型代入 13
题型十七：19题卷型圆锥新定义题 13
题型一：韦达定理基础版
基本模板实战模板 1、设点， 2、方程1：设直线：-----此处还有千言万语，在后边分类细说。 3、方程2：曲线：椭圆，双曲线，抛物线，或者其他（很少出现），注意一个计算技巧，方程要事先去分母 4、方程3:联立方程，整理成为关于x(或者y）的一元二次方程。要区分，椭圆，双曲线，和抛物线联立后方程 的二次项能否为零-----这就是实战经验。 5、（1）； （2）二次项系数是否为0；------这两条，根据题确定是直接用，或者冷处理。但是必须考虑。 6、方程4、5：韦达定理 7、寻找第六个方程，第六个方程其实就是题目中最后一句话
1.已知圆:，一动圆与直线相切且与圆外切．
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)若经过定点的直线与曲线交于两点，是的中点，过作轴的平行线与曲线相交于点，试问是否存在直线，使得？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
2.（安徽省合肥市2023届高三下学期第一次教学质量检测数学试题）已知曲线C：，从曲线C上的任意点作压缩变换得到点．
(1)求点所在的曲线E的方程；
(2)设过点的直线交曲线E于A，B两点，试判断以AB为直径的圆与直线的位置关系，并写出分析过程．
3.（2024年普通高等学校招生全国统一考试新高考仿真模拟卷数学）已知分别为双曲线左、右焦点，在双曲线上，且．
(1)求此双曲线的方程；
(2)若双曲线的虚轴端点分别为（在轴正半轴上），点在双曲线上，且，，试求直线的方程．
题型二：面积最值型
求最值求范围，属于前边知识额综合应用，主要是以下两点要注意 注意变量的范围。 式子转化为求值域或者求最值的专题复习 一些常见的思维： 1.可以借助均值不等式求最值。 2.分式型，多可以通过构造来求最值，如下几种常见的。 分式型：以下几种求最值的基本方法 （1）反比例函数型：，可以分离常数，利用“左加右减上加下减”画图 （2）与型，可以设，换元，简化一次项，然后构造均值或者对勾函数求解。 （3）型，判别式法，或者分离常数，然后转化分子为一次，再换元求解
1.已知双曲线 ，抛物线的顶点在原点，的焦点是的左焦点 .
（1）求证：与总有两个不同的交点；
（2）是否存在过的焦点的弦，使的面积有最大值或最小值 如果存在，求出所在的直线方程与最值的大小；如果不在在，说明理由.
2.（河南省部分重点中学2022-2023学年高三下学期2月开学联考数学试题）已知椭圆：的离心率为，且过点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作直线与椭圆交于A，B两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值.
3.（新疆乌鲁木齐市第八十中学2022-2023学年高三联考数学试题）设P为椭圆上任一点，为椭圆的焦点，，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点．求的面积S的最大值．
题型三：面积比值型求范围
圆锥曲线中取值范围问题的五种求解策略： （1）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； （2）利用已知参数的范围，求新的参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； （3）利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （4）利用已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； （5）利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.
1.（2023上·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考）已知O为坐标原点，点皆为曲线上点，为曲线上异于的任意一点，且满足直线的斜率与直线的斜率之积为.
(1)求曲线的方程：
(2)设直线与曲线相交于两点，直线的斜率分别为（其中），的面积为，以为直径的圆的面积分别为、，若恰好构成等比数列，求的取值范围.
2.（2023上·四川成都·高三成都外国语学校校考）已知，为椭圆C：的左、右顶点，且椭圆C过点．
(1)求C的方程；
(2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），试求的取值范围．（其中与分别表示和的面积）
3.（2023上·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知，为椭圆C：的左、右顶点，且椭圆C过点.
(1)求C的方程；
(2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），求的取值范围.
题型四：四边形面积范围型
圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域）， 常用方法： 配方法； 基本不等式法； 单调性法； 三角换元法； （5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
1.（2024·全国·高三专题练习）设双曲线的左、右焦点分别为，，且E的渐近线方程为．
(1)求E的方程；
(2)过作两条相互垂直的直线和，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
2.（2023·全国·高三专题练习）已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且的重心G在曲线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形DEMG面积的最小值.
3.（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，M为椭圆E的上顶点，，点在椭圆E上.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设经过焦点的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD的面积的最小值.
题型五：“三定”型：直线定点
当题中的直线既无斜率，又不过定点线，就要设成“双变量”型：，依旧得讨论是否存在情况 当直线既不过定点，也不知斜率时，设直线，就需要引入两个变量了。 （1）设成，此时直线包含斜率不存在，注意适当的对此补充讨论 （2）设成，此时直线不包含水平，也要适当的补充讨论。 （3）设“双变量”时，第一种设法较多。因为一般情况下，没有了定点在x轴上，那么第二种设法实际上也没有特别大的计算优势。如第1题。 （4）重要！双变量设法，在授课时，一定要讲清楚以下这个规律： 一般情况下，试题中一定存在某个条件，能推导出俩变量之间的函数关系。这也是证明直线过定点的理论根据之一。
1.（2023春·山东聊城·高三统考）已知双曲线的左、右焦点分别为，，且，是C上一点．
(1)求C的方程；
(2)不垂直于坐标轴的直线l交C于M， N两点，交x轴于点A，线段MN的垂直平分线交x轴于点D，若，证明：直线l过四个定点中的一个．
2.（四川省部分重点中学2022-2023学年高三上学期9月联考数学试题）已知椭圆C：的右顶点是M（2，0），离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点T（4，0）作直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点B关于x轴的对称点为D，问直线AD是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．
3.（江苏省盐城市伍佑中学2023-2024学年高三第一次阶段考试数学试题）在平面直角坐标系中，抛物线C的准线为，对称轴为坐标轴，焦点在直线上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若动直线与抛物线C交于A，B两点.在x轴上是否存在定点P，使得对任意实数m，总有成立？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.
题型六：“三定”型：定值
求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
1.（江苏省南京市中华中学2022-2023学年高三10月月考数学试题）已知抛物线C：x2＝4y，A，B是抛物线上异于原点的O的两个动点．
(1)若M点坐标为（0，3），求AM的最小值：
(2)若OA⊥OB，且OH⊥AB于H，问：是否存在定点R，使得RH为定值．若存在，求出R点坐标，若不存在，说明理由．
2.已知F1（－，0），F2（，0）为双曲线C的焦点，点P（2，－1）在C上．
(1)求C的方程；
(2)点A，B在C上，直线PA，PB与y轴分别相交于M，N两点，点Q在直线AB上，若＋，＝0，证明：存在定点T，使得|QT|为定值．
3.（重庆市第八中学校2023届高三上学期高考适应性月考数学试题）已知椭圆的中心为坐标原点，对称轴为轴，轴，且过两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为椭圆的右焦点，直线交椭圆于（不与点重合）两点，记直线的斜率分别为，若，证明：的周长为定值，并求出定值.
题型七：“三定”型：定直线
求定直线是圆锥曲线求定点定值定直线的一个较难的题型。一般有两种思维： 利用参数法消参求定直线 根据题意引入参数，用参数表示经过定直线的定点，代入已知条件或者根据条件所建立的关系式，消去参数即可得到定直线 2.相关点法 类似于求轨迹的相关点代入法，一个点的运动变化引起了另外一些点的运动变化，在解题时，用一个点的坐标把另外一些点的坐标表示出来，再代入一致的曲线和直线方程中，便可求出定直线的方程。
1（河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题）.已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：
①为定值；
②点M在定直线上.
2.已知双曲线C：的离心率为，过点的直线l与C左右两支分别交于M，N两个不同的点（异于顶点）．
(1)若点P为线段MN的中点，求直线OP与直线MN斜率之积（O为坐标原点）；
(2)若A，B为双曲线的左右顶点，且，试判断直线AN与直线BM的交点G是否在定直线上，若是，求出该定直线，若不是，请说明理由
3.如图，已知双曲线的右焦点为，O为坐标原点，过点F作直线与双曲线的渐近线交于P，Q两.点，且点P在线段FQ上，，.
(1)求C的方程；
(2)设是C的左 右顶点，过点的直线l与C交于M，N两点，试探究直线与的交点S是否在某条定直线上，若是，求出该定直线方程，若不是，请说明理由.
题型八：斜率型：斜率和定
给定椭圆，与椭圆上定点，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为,若，则直线过定点 设抛物线，其上不同的三点：，，，当的斜率满足：时，过定点或者
1.设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，直线过点，当直线经过点时，直线与椭圆相切．
(1)求椭圆的方程．
(2)若直线与椭圆交于，（异于，）两点．
（i）求直线与的斜率之积；
（ii）若直线与的斜率之和为，求直线的方程．
2.（河北省石家庄市2023届高三质量检测（一）数学试题变式题17-22）已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．
(1)求双曲线的方程；
(2)设，为上一点，为圆上一点（，均不在轴上）．直线，的斜率分别记为，，且，判断：直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
3.（四川省雅安市部分校2022-2023学年高三下学期4月联考数学试题）设椭圆方程为，，分别是椭圆的左、右顶点，动直线l过点，当直线l经过点时，直线l与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l与椭圆交于P，Q（异于A，B）两点，且直线与的斜率之和为，求直线l的方程.
题型九：斜率型：斜率积型
给定椭圆，与椭圆上定点，过P点走两条射线PA、PB，与椭圆交与A和B两点，记直线PA、PB的斜率分别为,若，则直线过定点 设抛物线，其上不同的三点：，，，当的斜率满足：时，过定点
1.（四川省凉山彝族自治州2022-2023学年高三阶段性检测数学试题）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)若，为椭圆的左右顶点，直线交椭圆于，两点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
2.（陕西省渭南市2023届高三下学期教学质量检测（Ⅱ）理科数学试题）在直角坐标系中，已知椭圆的右顶点 下顶点 右焦点分别为A，B，F.
(1)若直线与椭圆E的另一个交点为C，求四边形的面积；
(2)设M，N是椭圆E上的两个动点，直线与的斜率之积为，若点P满足：.问：是否存在两个定点G，H，使得为定值？若存在，求出G，H的坐标；若不存在，请说明理由.
3.在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左 右焦点分别是，以为圆心，6为半径的圆与以为圆心，2为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点的直线的斜率分别为，且，直线交椭圆于两点，直线交椭圆于两点，线段的中点分别为，直线与椭圆交于两点，是椭圆的左 右顶点，记与的面积分别为，证明：为定值.
题型十：斜率型：斜率比型
1.（河南省洛阳市2023届高三二模理科数学试题）已知椭圆：的离心率为，右焦点为，A，B分别为椭圆的左、右顶点.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为，BQ的斜率为.求证：
①为定值；
2.（江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上学期数学试题）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，上顶点为，右焦点为，连接并延长交椭圆于点椭圆．
(1)若，，求椭圆的方程
(2)若直线与直线的斜率之比是，求与的面积之比．
3.（河北省唐山市开滦第二中学2023届高三上学期第三次线上考试数学试题）已知椭圆的短轴长为2，点在上.
(1)求的方程；
(2)设是上不同于短轴端点（点在点上方）的两点，直线与直线的斜率分别为，且满足，证明：直线过定点.
题型十一：斜率型：三斜率型
1.（海南省海南中学、海口一中、文昌中学、嘉积中学四校2023届高三下学期联合考试数学试题）
已知椭圆的离心率为，椭圆的右焦点
(1)求椭圆的方程；
(2)、是椭圆的左 右顶点，过点且斜率不为的直线交椭圆于点 ，直线与直线交于点.记、、的斜率分别为、、，是否存在实数，使得？
2.（河北省高碑店市崇德实验中学2023届高三下学期3月月考数学试题）已知椭圆的离心率为，且过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于不同的，两点，且直线，，的斜率依次成等比数列．椭圆上是否存在一点，使得四边形为平行四边形？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
3.（山西省际名校2023届高三联考二（冲刺卷）数学试题（A））已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，A是直线l：上不同于原点O的一个动点，斜率为的直线与双曲线E交于M，N两点，斜率为的直线与双曲线E交于P，Q两点.
(1)求的值；
(2)若直线OM，ON，OP，OQ的斜率分别为，，，，问是否存在点A，满足+++=0，若存在，求出A点坐标；若不存在，说明理由.
题型十二：切线型
在利用椭圆（双曲线）的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解； （2）椭圆（双曲线）在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆（双曲线）相切. 双曲线的以为切点的切线方程为
1.（安徽省安庆市宿松中学2022-2023学年高三学期开学考试数学试题）已知椭圆的上顶点为A，左、右焦点分别为、，三角形的周长为6，面积为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知点M是椭圆C外一点，过点M所作椭圆的两条切线互相垂直，求三角形面积的最大值．
2.（2023年四省联考变试题17-22）双曲线C：的离心率为，圆O：与x轴正半轴交于点A，圆O在点A处的切线被双曲线C截得的弦长为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)设圆O上任意一点P处的切线交双曲线C于两点M、N，试判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由；
(3)若将（2）中的双曲线改为椭圆，其他条件不变，试探讨的值.
3.（江苏省苏州市昆山中学2022届高三下学期2月阶段性调研测试数学试题）已知抛物线C：与双曲线有相同的焦点，点为抛物线C上一点．
(1)求证：点处的切线的方程为；
(2)若点P在双曲线的左支上，且PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最小值．
题型十三：韦达定理不能直接用：定比分点型
若有 1.利用公式，可消去参数 2.可以直接借助韦达定理反解消去两根 定比分点型，即题中向量（或者线段长度满足）可以利用公式，可消去
1.（陕西省铜川市王益中学2023届高三下学期一模数学试题）已知点M，N分别是椭圆的右顶点与上顶点，原点O到直线的距离为，且椭圆的离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)斜率不为0的直线经过椭圆右焦点，并且与椭圆交于A，B两点，若，求直线的方程．
2.已知P是椭圆上的动点，P到坐标原点的距离的最值之比为，P到焦点的距离的最值之差的绝对值为2.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若D为椭圆C的弦AB的中点，，证明：的面积为定值.
3.（重庆市第八中学2024届高三下学期月考数学试题）在直角坐标系中，曲线与直线交于，两点.
（Ⅰ）若， ，求；
（Ⅱ）曲线在点，处的切线相交于点，，分别交轴于点，两点是否存在实数，使得，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.
题型十四：韦达定理不能直接用：点代入型
1.已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为
（I）求，的值；
（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？
若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
2.P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M、N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足 ＝λ ＋ ，求λ的值．
3.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，斜率为且过椭圆右焦点的直线交椭圆于、两点，与共线.
求椭圆的离心率；
设为椭圆上任意一点，且，证明为定值.
题型十五：韦达定理不能直接用：坐标运算型
1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足（如图４所示）．
（Ⅰ）求得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
2.（安徽省合肥市2023届高三调研性检测数学题）已知为椭圆上的动点，过点作轴的垂线段，为垂足，点满足.
（Ⅰ）求动点的轨迹的方程；
（Ⅱ）若两点分别为椭圆的左右顶点，为椭圆的左焦点，直线与椭圆交于点，直线的斜率分别为，求的取值范围.
3.（江苏省南京市高淳高级中学2022-2023学年高三上学期10月阶段性检测数学试题）如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，上顶点到右焦点的距离为.过点作不垂直于轴，轴的直线，交椭圆于，两点，为线段的中点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）求实数的取值范围；
（3）延长交椭圆于点，记与的面积分别为，，若，求直线的方程.
题型十六：韦达定理不能直接用：非对称型代入
1.（2023秋·福建厦门·高三厦门外国语学校校考）已知双曲线的离心率为，右顶点到的一条渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)是轴上两点，以为直径的圆过点，若直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，试判断直线与圆的位置关系，并说明理由.
2.（北京市丰台区2023届高三年级第二学期综合练习数学试题）已知椭圆的左、右顶点分别为，长轴长为4，离心率为.过右焦点的直线交椭圆于两点（均不与重合），记直线的斜率分别为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在常数，当直线变动时，总有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
3.（2023秋·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）已知随圆的左 右焦点分别为点在上，的周长为，面积为.
(1)求的方程.
(2)设的左 右顶点分别为，过点的直线与交于两点（不同于左右顶点），记直线的斜率为，直线的斜率为，则是否存在实常数，使得恒成立.
题型十七：19题卷型圆锥新定义题
1.（2024·河南·二模）已知双曲线的两条渐近线分别为和，右焦点坐标为为坐标原点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)直线与双曲线的右支交于点（在的上方），过点分别作的平行线，交于点，过点且斜率为4的直线与双曲线交于点（在的上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点.
证明：①共线；
②为定值.
2.（23-24高三上海·）在椭圆（双曲线）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心是椭圆（双曲线）的中心，半径等于椭圆（双曲线）长半轴（实半轴）与短半轴（虚半轴）平方和（差）的算术平方根，则这个圆叫蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，该椭圆的上顶点和下顶点分别为，且，设过点的直线与椭圆交于两点（不与两点重合）且直线．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：的交点的纵坐标为定值；
(3)求直线围成的三角形面积的最小值．
.3.（2024·辽宁丹东·一模）我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．

(1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：
当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．
(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．

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