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几何面积问题与面积法典例精析
知识梳理
几何起源于对图形的面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，求图形的面积是平面几何中常见的基本问题之一.
平面几何图形形状不同，繁简不一，计算图形的面积常用以下几种方法：
1.和差法：把图形面积用常见图形面积的和差表示，通过常规图形面积公式计算.
2.运动法：有时直接求图形面积有困难，可通过平移、旋转、割补等方式，将图形中的部分图形运动起来，把图形转化为容易观察或解决的形状，就可在运动中求解.
3.等积变形法：即找出与所求图形面积相等或有关联的特殊图形，通过代换转化求图形的面积.
熟悉以下基本图形中常见的面积关系：
例 题 精析
例1 如图, 的面积为1cm ,AP垂直 的平分线BP于点P，则与 的面积相等的长方形是( ).
思路点拨 延长AP交BC于点E,根据AP垂直. 的平分线BP于点P,即可证得点P为AE中点,又知△APC和△CPE等底同高,可以证明两三角形面积相等，即可求得△PBC的面积.
解题过程 如图,延长AP交BC于点E.
∵AP垂直∠ABC的平分线BP于点P,
∴根据等腰三角形的三线合一可知AP=PE.
选项中只有B的长方形面积为 故选B.
方法归纳本题主要考查面积及等积变换的知识点，延长AP交BC于点E是解答本题的关键，证明出△PBC的面积和原三角形的面积之间的关系很重要.
易错误区 注意三角形的中线可以将三角形分成面积相等的两个三角形，但要注意这两个三角形不全等.
例2 如图,在正方形ABCD中,已知AB=3,点E,F分别在边CD,AD上,CE=DF,BE,CF相交于点G.若图中涂色部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，则△BCG的周长为 .
思路点拨根据涂色部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3得出涂色部分的面积为6，空白部分的面积为3，进而依据△BCG的面积以及勾股定理得出BG+CG的长，进而得出△BCG的周长.
解题过程 正方形ABCD的面积为3×3=9.
∵涂色部分的面积与正方形ABCD的面积之比为2：3，
∴涂色部分的面积为 空白部分的面积为9-6=3.
∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°,
又∵CE=DF,∴△BCE≌△CDF.∴△BCG的面积与四边形DEGF的面积相等，均为
∵∠DCF+∠BCG=90°,∴∠CBE+∠BCG=90°.∴∠BGC=90°.
设BG=a,CG=b,则
又 即
即
∴△BCG的周长为 .故答案为：
方法归纳 本题考查全等三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形面积问题.解题时注意数形结合思想与方程思想的应用.
易错误区 将涂色部分的面积转化为△BCG的面积是解题的关键，解决面积问题最重要的方法就是将不规则的图形通过割补或等积转化为规则图形，面积之间的等量关系一定要分析清楚，不能搞错.
例3在数学学习过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，如果我们把这些类似进行比较、加以联想的话，可能出现许多意想不到的结果和方法，这种把类似进行比较、联想，从而解决问题的方法就是类比法.类比法是一种寻求解题思路、猜测问题答案或结论的发现方法.
如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线.
【尝试探索】
①经过三角形顶点的面积等分线有 条.
②平行四边形有 条面积等分线.
【类比探究】如图1是在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线.
【类比拓展】如图2，在四边形ABCD中，AB与CD不平行， 且 过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并描述方法.
【灵活运用】请您尝试画出一种图形，并画出它的一条面积等分线.
思路点拨尝试探索：①根据三角形的三条中线是面积等分线解答.②根据平行四边形是中心对称图形解答即可.类比探究：找出两个矩形的对称中心即可.类比拓展：根据等底等高的两个三角形面积相等作图.灵活运用：根据经过圆心的直线把圆分成面积相等的两部分解答.
解题过程 【尝试探索】①三角形的三条中线是面积等分线，
∴经过三角形顶点的面积等分线有3条.故答案为：3.
②∵平行四边形是中心对称图形，∴经过对称中心的直线都是它的面积等分线.∴平行四边形有无数条面积等分线.故答案为：无数.
【类比探究】如图3，经过两个矩形对角线的交点的直线是这个图形的一条面积等分线.(答案不唯一)
【类比拓展】如图4，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE交BC于点H,取ED的中点F,连接AF.∵△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等,∴ D的中线AF是四边形ABCD的面积等分线.
【灵活运用】如图5，经过两圆圆心的直线O'O'是这个图形的面积等分线.(答案不唯一)
方法归纳本题考查的是面积与等积变换，正确理解平面图形的面积等分线的定义、中心对称图形的概念以及三角形面积的计算公式是解题的关键.
易错误区 类比拓展题是将四边形的问题转化为三角形的问题再解决，要注意转化过程要保持面积不变，这个过程是本题的难点也是易错点.
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例4 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB与x轴重合,点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(2,4),直线l的解析式为.
(1)k取任意不为零的数时，直线l都经过一个点，该点坐标为 .
(2)当直线l把矩形ABCD分成的两部分面积相等时，求k的值.
(3)当直线l与矩形ABCD有交点时，求k的取值范围.
(4)当直线l与线段BC相交时，设交点为E，△CDE的面积为S，试求S与k的函数解析式及k的取值范围.
思路点拨 (1)在y=kx+6中,令x=0得y=6,即得答案为(0,6).(2)当直线l经过矩形ABCD的对称中心F时，直线l把矩形ABCD分成的两部分面积相等，由点B的坐标为(5，0)，点D的坐标为(2，4)，得 用待定系数法即得 (3)当直线l经过A(2,0)时,解得k=-3,当直线l经过C(5,4)时,解得 即得当 时，直线l与矩形ABCD有交点.(4)在y=kx+6中,令x=5得y=5k+6,即E(5,5k+6),可得CE=BC-BE=-5k-2.因为CD=3,所以△CDE的面积为 当直线l经过点B时，解得 当直线l经过C(5,4)时,解得 故 据此解答即可.
解题过程> (1)在y=kx+6中,令x=0得y=6,
∴直线l始终经过点(0,6).
故答案为:(0,6).
(2)当直线l经过矩形ABCD的对称中心F时，直线l把矩形ABCD分成的两部分面积相等，如图1.
∵点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(2,4),
将 代入y=kx+6得 解得
(3)如图2.
∵四边形ABCD是矩形,点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(2,4),
∴A(2,0),C(5,4).
当直线l经过A(2,0)时,代入可得0=2k+6,解得k=-3.
当直线l经过C(5,4)时,代入可得4=5k+6,解得
由图可知：当 时，直线l与矩形ABCD有交点.
(4)如图3.
∵点B的坐标为(5,0),点D的坐标为(2,4),
∴CD=3,BC=4.
在y=kx+6中,令x=5得y=5k+6,即E(5,5k+6),
∴BE=5k+6.∴CE=BC-BE=-5k-2.
∴△CDE的面积为
当直线l经过B(5,0)时,代入可得0=5k+6,解得
由(3)知,当直线l经过C(5,4)时,
∴当直线l与线段BC相交时，
方法归纳 本题考查一次函数的综合应用，涉及待定系数法、矩形中心对称性、三角形面积等知识，解题的关键是求出直线l经过相关顶点时k的值，利用数形结合得到k的范围.
易错误区 解答本题的关键是能够结合题意，分情况作出图形，利用图形列式求得k的值.
专项 训练
A组
1.在△ABC中,已知BD和CE分别是两边上的中线,并且BD⊥CE,BD=4,CE=6,那么△ABC的面积等于( ).
A.12 B.14 C.16 D.18
2.在下列图形中，各有一个边长为4cm的正方形与一个8cm×2cm的长方形相重叠，则重叠部分的面积最大的是( ).
3.如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E,F分别是AD,BE的中点,连接CE,CF.若S△CEF=5,则△ABC的面积为( ).
A. 15 B.20
C.25 D.30
4.如图是山西省某古宅大院窗棂图案，图形构成10×21的长方形，空格与实木的宽度均为1，那么这种窗户的透光率(即空格面积与全部面积之比)是( ).
A. B. C. D.
5.如图,在凸四边形ABCD中,E,F,G,H分别为AB,BC,CD,DA的中点,EG与FH相交于点O,设四边形AEOH,BFOE,CGOF的面积分别为3,4,5,则四边形DHOG的面积为( ).
C.4 D.6
6.如图,在 中, ,点D在BC边上,作 于点E, 于点F.若 的面积为 ,则DF的长为 .
7.如图，长方形ABCD平移得到长方形. 交BC于点E, 交CD于点F，若E为BC的中点，四边形. 为正方形， 则涂色部分的面积为 (cm .
8.如图，已知矩形ABCD的面积是 在边AB,AD上分别取点E,F,使得. 3EB,DF=2AF,DE与CF的交点为点O,求, 的面积.
9.规律：如图1，直线 A,B为直线n上的点,C,P为直线m上的点.如果A,B,C为三个定点，点P在m上移动，那么无论点P移动到何位置， 与 的面积总相等，其理由是 .
应用：
(1)如图2,. 和 都是等边三角形，若 的边长为1，则. 的面积是 .
(2)如图3，四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，若正方形ABCD的边长为4，求 的面积.
B组
10.如图,在△ABC中,∠AOB=125°,把△ABC剪成三部分,边AB,BC,AC放在同一直线上，点O都落在直线MN上，且 则∠ACB的度数为( ).
A.70° B.65° C.60° D.85°
11.如图,已知点M(-3,4),点P从点O出发,沿射线OM方向以1个单位/秒的速度进行匀速运动，运动的过程中以P为对称中心，O为一个顶点作正方形OABC，当正方形面积为128时,点A的坐标是( ).
12.如图,已知 的面积为S，D是边BC的三等分点，E是边AC的四等分点，F，G皆是边AB的五等分点，则四边形DEFG的面积是 .
13.如图，已知直线 及m ,m 分别互相平行，且 则
14.如图,在四边形ABCD中, 试判断四边形EFHG的面积. 与四边形ABCD的面积. 之间的关系，并证明你的结论.
15.(1)如图1,在. 中, ,AE平分 ，则点E到AB的距离为 .
(2)如图2,在. 中, ，D为斜边AB上一点，且 的两边分别交BC于点E，交AC于点F，若 求四边形DECF的面积.
(3)为了美化城市，某公园准备设计一个三角形观赏花园，如图3， 为观赏花园的大致轮廓，并将观赏花园分成 和四边形AEDF三部分，其中在四边形AEDF区域内种植( 的牡丹，在 和 两区域内种植薰衣草，设计要求： ,点D,E,F分别在边BC,AB,AC上,且 为了节约种植成本，三角形观赏花园ABC的面积是否存在最小值 若存在，请求出 面积的最小值；若不存在，请说明理由.
A组
1. C 2. B 3. B 4. B 5. C 6.13cm 7.1008.连接OB,OA,设SS△FOD=x,S△OBE=y,.则 12,由 矩形ABCD'得4y+12-x=18①,由 得 解由①②联立的方程组得.
9.规律：同底等高的两个三角形面积相等
应用： (2)连接BF.
∵四边形ABCD和四边形BEFG都是正方形，
∴∠BAC=∠EBF=45°.∴AC∥BF.
正方形ABCD=8.
B组
10. A 11. D 12. S
13.60
【解析】∵l ∥l ,m ∥m ,
∴四边形APFQ是平行四边形.
同 理 可 得 ,
S四边形PQRS-S 四边形EFGH,
S四边形EFGH·
∵S四边形ABCD=100,SP四边形EFGH=20,
∴100-S四边形PQRs=S四边形PQRs-20,
解得S四边形PQRS=60.
14.如图,连接EH,EA,CH,CA.
∵DE=EF=FC,AG=GH=HB,
四边形
15.(1)如图1,作EH⊥AB于点H.
在 Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,AC=6,AB=10
∵AE平分∠CAB,∴∠CAE=∠EAH.
∵∠ACE=∠AHE=90°,AE=AE,
∴△AEC≌△AEH(AAS).
∴AC=AH=6,EC=EH.∴BH=4.
设EC=EH=x.在Rt△EHB中, 解得x=3.∴EH=3.
故答案为：3.
(2)如图2,作DM⊥BC于点M,DN⊥AC于点N,连接CD.
∵∠DNC=∠DMC=∠MCN=90°,
∴四边形DNCM是矩形.∴∠NDM=90°.
∴∠NDM=∠EDF.∴∠NDF=∠MDE.
∵∠DNF=∠DME=90°,DE=DF,
∴△DNF≌△DME(AAS).
∴DN=DM,S四边形DECF=S四边形DNCM·
在Rt△ACB中,∵∠ACB=90°,∠A=60°,BC=2,
∴易得
∴DM=DN= -1.∴S 四边形DECF=S四边形DNCM=
(3)存在.
如图3,作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N.
∵∠DMA=∠DNA=90°,∠MAN=120°,
∴∠MDN=∠EDF=60°.∴∠EDM=∠FDN.
∵DE=DF,∠DME=∠DNF=90°,
∴△DME≌△DNF(AAS).
∵DM⊥AB,DN⊥AC,∴AD平分∠MAN.
∴∠DAM=∠DAN=60°.
设AD=2m,则.
∵m>0,∴m=8.∴AD=16.
∵在 △ABC中 ,AD 是角平 分 线 ,∠BAC =120°，AD是定值，过点D作AD的垂线交直线AB,AC于点. 易知
∴当AD是△ABC的高时,△ABC的面积最小，此时 面积的最小值为
是△NCF沿直线NF翻折而成，
∴△A'EM≌△AEM,△NC'F≌△NCF.
∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.
∴∠AMN=∠MNC.∴∠EMN=∠FNC'.
∴ME∥FN.
(2)由折叠得知,A'E=AE,四边形. 是矩形，
∴四边形. 的周长=2(A'E+EB)
=2(AE+EB)=2AB=2a.
同理可得，四边形( 的周长=2a,∴四边形 的周长=四边形( 的周长.
(3)∵△OND是由△CND折叠得到的,∴OD=CD=a.同理可得OB=a,∴BD=2a.
在△BCD中,∠C=90°,由勾股定理得
(4)当 时,
在菱形BNDM中,DN=BN.
设DN=BN=x,则CN=3-x.
在△DCN中,∠C=90°,由勾股定理得
解得x=2.
∴菱形BNDM的面积:

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