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第5章 分式 全章常考知识基础巩固训练题
一、选择题
【考点1】分式的意义
1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．若使某个分式无意义，则这个分式可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点2】分式的值
3．已知 ，则 的值是（　）
A．1 B． C．3 D．
4．若是整数，则整数的所有值是（ ）
A．2，3 B． C． D．
【考点3】分式的正负性及整数值
5．若分式的值为负数，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【考点4】最简分式与约分
7．对下列分式约分，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．在下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
【考点5】最简公分母与通分
9．分式与的最简公分母是(　　)
A． B． C． D．
10．若将分式与分式通分后，分式的分母变为，则分式的分子应变为（　　）
A． B． C． D．
【考点6】分式的加减法
11．已知：，则的值为（ ）
A． B． C． D．
12．化简的结果是（　　）
A． B． C． D．1
【考点7】分式的乘除法
13．化简 的结果为（ ）
A． B． C． D．
14．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点8】分式的化简求值
15．已知，则（　　）
A．38 B．36 C．34 D．32
16．已知，计算的值是（ ）
A． B．1 C．3 D．
【考点9】解分式方程
17．分式方程的解为（ ）
A． B． C． D．
18．解分式方程时，下列去分母正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点10】分式方程的增根与无解
19．若分式方程有增根，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
20．如果关于x的分式方程无解，那么m的值为（ ）
A． B．或
C．或 D．或或
【考点11】分式方程的正、负解（集）
21．若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（ ）
A． B．且 C． D．且
22．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【考点12】分式方程的应用
23．C919是中国首款按照国际通行适航标准自行研制、具有自主知识产权的喷气式中程干线客机．2024年3月，C919开始执行第三条定期商业航线——“上海虹桥一西安咸阳”．已知两地的航线距离约为1350km，C919的平均速度与普通客机的平均速度相比提高了约300km/h，航行时间节约了约．设C919客机的平均速度为km/h，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
24．为改善某市森林公园周边环境，相关部门决定对该森林公园周边部分路段进行维修施工．施工全长3000米，为了早日方便市民，实际施工时，每天施工的长度比原计划增加，结果提前4天完成这一任务，若设原计划每天施工米，则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
【考点1】分式的意义
25．若有意义，则的取值范围是 ．
26．如果分式无意义，的值为0，那么 ．
【考点2】分式的值
27．若，则 ．
28．若，则 ．
【考点3】分式的正负性及整数值
29．若分式的值为负数，则的取值范围是 ．
30．已知值为正整数，则整数值为 ．
【考点4】最简分式与约分
31．已知，则 ．
32．化简：= ．
【考点5】最简公分母与通分
33．分式与的最简公分母是 ，通分后的结果是 、 ．
34．分式和的最简公分母是 ．
【考点6】分式的加减法
35．计算： ．
36．计算的结果是 ．
【考点7】分式的乘除法
37．化简 ．
38． ．
【考点8】分式的化简求值
39．如果，那么代数了的值为 ．
40．已知，计算的值是 ．
【考点9】解分式方程
41．方程的解为 ．
42．已知关于的方程的解为，则关于的方程的解为
【考点10】分式方程的增根与无解
43．关于的分式方程有增根，则 ．
44．若关于x的方程无解，则a的值是
【考点11】分式方程的正、负解（集）
45．关于的分式方程的解为非正数，则的取值范围是 ．
46．已知关于x的分式方程的解为正数，关于y的不等式组有解且最多5个整数解，则所有符合条件的整数m之和为 ．
【考点12】分式方程的应用
47．浮山至临汾高速公路（简称浮临高速）是山西省“县县通高速”最后的重点攻坚项目．浮临高速通车前从起点到终点的车程是千米，若浮临高速通车后，车程将缩短至千米，汽车的平均速度将提高到现在的 倍，用时将缩短分钟．若设浮临高速通车后汽车的平均速度为千米时，则可列方程为 ．
48．数学的美无处不在.数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐.例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声，，，研究15，12，10这三个数的倒数发现：.我们称15，12，10这三个数为一组调和数.现有一组调和数：，5，，则可列关于的方程为 .（可不整理所列方程）.
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参考答案：
1．C
【分析】本题考查分式有意义条件：分母不为0．据此列式进行计算即可得解．
【详解】解：根据题意得：，
，
故选：C．
2．B
【分析】本题考查了分式无意义的条件，解题的关键是掌握分式无意义的条件．分式无意义的条件，即分母等于0，据此对每个式子进行判断，即可得到答案．
【详解】解：A.当时，，分式有意义，故该选项不符合题意；
B. 当时，，分式无意义，故该选项符合题意；
C. 当时，，分式有意义，故该选项不符合题意；
D.当时，，分式有意义，故该选项不符合题意．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查了分式的求值，将整体代入，即可求解．
【详解】解：∵，则
∴，
故选：D．
4．D
【分析】此题主要考查了求分式的值．首先把化成，然后根据是整数，推得是整数，求出整数的所有值即可．
【详解】解：，
是整数，
是整数，
是整数，
或，
解得：，0，2，3．
故选：D．
5．D
【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式的值为负数，而分母一定是正数，可知分子，然后解不等式即可．
【详解】解：∵分式的值为负数，而分母，
∴，
解得．
故选：D．
6．A
【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可．
【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数，
则是6的约数，．
∴或或或，
即的值为8或5或4或3，共4个．
7．D
【分析】本题考查了约分，掌握约分的方法是解题的关键．对分子、分母进行因式分解，约去公因式，再逐一判断，即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、不能约分，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项正确，符合题意；
故选：D．
8．B
【分析】本题考查最简分式，解题的关键是正确理解最简分式的定义，最简分式定义：“一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式”．根据最简分式的定义，逐项分析判断即可求解．
【详解】A、原式，故A不是最简分式，不符合题意；
B、是最简分式，符合题意；
C、，故C不是最简分式，不符合题意；
D、，故D不是最简分式，不符合题意；
故选：B．
9．D
【分析】本题考查了最简公分母的确定方法：数字取各分母系数的最小公倍数，同底数幂取次数最高的，凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式，得到的因式的积就是最简公分母．根据最简公分母的定义即可求出答案．
【详解】解：两个分式可化为：
，
最简公分母：，
故选：D．
10．C
【分析】本题考查了通分的基本步骤，先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，计算即可．
【详解】∵分式与分式的最简公分母是，
∴分式的分母变为，则将两分式通分后，分式的分子应变为．
故选C．
11．B
【分析】已知等式两边除以，求出的值，再代入即可得到结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查分式的混合运算，化简求值，运用了整体代入的思想方法．解题的关键是利用了等式的两边同时除以不为零的数，等式仍然成立．
12．D
【分析】本题考查异分母的分式的减法，掌握分式加减法的法则是解题的关键．
先分解因式并约分，再加减即可．
【详解】
故选：D．
13．C
【分析】本题考查分式的乘法运算，根据乘法法则，约分化简即可．
【详解】解：原式；
故选C．
14．C
【分析】求出每个式子的值，再进行判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、，本选项不符合题意；
C、，本选项符合题意；
D、，本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了分式的乘除运算，掌握运算法则是关键．
15．C
【分析】本题主要考查了完全平方式．将原式利用完全平方和公式进行变形即可得出答案．
【详解】解：，
∴．
故选：C．
16．A
【分析】本题考查了分式的化简求值，
首先由得到，然后根据分式的混合运算化简，进而求解即可．
【详解】∵
∴
．
故选：A．
17．A
【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解方程后并检验即可得到答案．
【详解】解：
去分母得，
解得，
经检验是分式方程的解，
故选：A．
18．D
【分析】本题考查解分式方程，熟练找出分式中分母的最简公分母是解题的关键．
先确定分式的最简公分母为，再把等式的左右两侧同时乘以即可．
【详解】解：等式两边同时乘以得，，
∴，
故选：D．
19．D
【分析】本题考查了分式方程的增根：把分式方程化为整式方程，解整式方程，若整式方程的解使分
式方程左右两边不成立（或分母为，那么这个未知数的值叫分式方程的增根．方程两边同乘以得，整理得，由于关于的方程有增根，则有，解得或，然后把或别代入即可求得对应的值．
【详解】解：依题意，原式去分母得，
整理得，
关于的方程有增根，
，
解得或，
当时，；
当时，，
的值为或，
故选：D．
20．B
【分析】本题主要考查了分式方程无解求参数的值，熟知分式方程无解的两种情况是解决本题的关键．考虑两种情况：第一种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解；第二种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．综合两种情况求解即可．
【详解】解：
分式方程两边同乘以得：
整理得：，
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
①当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．
②当时，则解得，
要使原分式方程无解，则是原分式方程增根，
由得，
故，或
解得，或方程无解；
经检验，是原方程的解，
综上所述可得：或时，原分式方程无解．
故选：B．
21．D
【分析】本题主要考查了分式的方程的解，解出分式方程，根据解是非负数判断范围是解题的关键，别忘记分式的分母不为零．解出分式方程，根据解是非负数求出m的取值范围，再根据时分式方程的增根，求出此时m的值，即可得到答案．
【详解】解：去分母得，，
解得，，
∵分式方程的解为非负数，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴m的取值范围是且，
故选：D．
22．D
【分析】本题考查分式方程的解，解一元一次不等式，根据解分式方程的方法可以求得的取值范围，即可求解．解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
【详解】解：，
方程两边同乘以，得
，
移项及合并同类项，得
，
∵分式方程的解是非负数，，
∴，
解得，且，
故选：D．
23．D
【分析】本题考查列分式方程，解题关键是从题干中提取出等量关系式．根据题干可得，等量关系式为：C919所用时间-普通客机所用的时间，据此列出方程即可．
【详解】解：根据题意，得．
故选：D．
24．A
【分析】本题考查了分式方程的应用，设原计划每天施工米，则实际每天施工米，根据题意，列出分式方程即可，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
【详解】解：设原计划每天施工米，则实际每天施工米，根据题意得：
，
故选：A．
25．
【分析】本题考查分式有意义的条件（分式的分母不等于零），解题的关键是根据分式有意义的条件列式解答．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
26．
【分析】本题考查的是分式无意义的含义，分式的值为0的条件，先求解的值，再代入计算即可．
【详解】解：∵分式无意义，
∴，
解得：，
∵的值为0，
∴，
∴；
∴；
故答案为：
27．0
【分析】此题考查了分式的求值，解题的关键是把化成．先把要求的式子化成，再代值计算即可．
【详解】解：，
．
故答案为：0
28．或
【分析】本题考查了因式分解，分式的化简与计算，
将的左边进行因式分解，即可得，即可得或，进而可得或，再分情况代入计算即可作答．
【详解】∵，
∴，
则或，
∴或．
当时，；
当时，，
故答案为：或．
29．且
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件、分式值为负数时未知数的取值范围；根据分式的分母不能为0得出，再根据分式的值为负数得出，进行计算即可得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
，
分式的值为负数，，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
【点睛】
30．1或
【分析】本题考查了分式的值，正整数的定义，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键；
根据题意列出关于m的方程，求出方程的解即可
【详解】解：值为正整数，
或，
解得：或，
故答案为：1或
31．/
【分析】题目主要考查分式的化简求值，先进行化简，然后约分，利用取值范围即可得出结果，熟练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：，
∵，
∴原式，
故答案为：．
32．/
【分析】本题考查了约分，对于分子分母是多项式的分式，先因式分解，再约分．
【详解】解：，
故答案为：
33．
【分析】此题考查了分式的通分，分式的最简公分母是通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，据此解答．
【详解】分式与的最简公分母是，
，
故答案为：；；．
34．
【分析】本题考查了最简公分母，先把分母因式分解，再取各分母系数的最小公倍数即可．
【详解】解：，，
分式和的最简公分母是：，
故答案为：．
35．/
【分析】根据分式的加减法进行计算即可求解．
【详解】解：原式＝
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式与整式的加减运算，掌握分式的运算法则是解题的关键．
36．1
【分析】先化简，再进行分式的加减即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查了分式的加减，解题关键是熟练运用分式加减法则进行准确计算．
37．
【分析】先把分式的除法变为乘法，再进行分式的乘法运算即可．此题考查了分式乘除混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：
故答案为：
38．－1
【分析】本题考查了分式的乘方和分式的除法运算，属于常考题型，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算分式的乘方，再根据分式的除法法则解答即可．
【详解】
．
故答案为：．
39．
【分析】本题考查分式化简求值，根式的运算，先化简分式，再代入根式运算即可得到答案；
【详解】解：，
∵，
∴原式，
故答案为：．
40．
【分析】本题考查了分式化简求值，先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
∵
∴
∴原式
故答案为：．
41．
【分析】本题主要考查了解分式方程，按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可．
【详解】解：
去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解，
故答案为：．
42．
【分析】本题考查了解分式方程，把分式方程化为整式方程解题的关键，分式方程一定要进行检验．
将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案．
【详解】解：∵方程的解为，
∴，解得：
当时，关于y的方程是：，
∴，
∴，
经检验：是关于y的方程的解．
故答案为：
43．
【分析】本题考查了分式方程的增根以及分式方程的解法等相关知识点，熟记分式方程增根的定义是解方程的关键．根据分式方程有增根，即可得到，进而得到m的值．
【详解】解：去分母，得，
解得，
∵分式方程有增根，
∴该分式方程增根为，
∴，
∴，
故答案为：．
44．1和2
【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，分式方程无解有两种情况，第一分式方程本身无解，第二分式方程有增根，据此求解即可．
【详解】解：
去分母得：，
移项，合并同类项得：，
当，即时，此时方程无解；
当，即时，，
∵此时方程无解，
方程有增根，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解；
综上所述，或．
故答案为：1和2．
45．且
【分析】本题考查分式方程的解，分式方程去分母转化为整式方程，表示出，根据分式方程的解为正数，得到大于，列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围．
【详解】解：解得，
关于的分式方程的解为非正数，
，
解得：，
，
，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
46．4
【分析】本题主要考查了分式方程、一元一次不等式组的解法等知识点，能够结合解得情况确定m的取值范围是解题的关键．
先解方程及不等式组，再根据不等式组解的情况及该分式方程的解为正数可求解m的取值范围，进而可求解所有满足条件的整数m之和即可．
【详解】解：解分式方程，
去分母得：，解得，
∵方程的解为正数，
∴，即，
∵当时是方程的增根，
，解得，
∴且；
解不等式组，由解得：，
由解得：，
∵此不等式组有解，
∴，
又∵此不等式组最多有5个整数解，
∴，
综上，且，
∴所有符合条件的整数m的值有：0、1，3
∴所有符合条件的整数m的和为：．
故答案为：4．
47．
【分析】本题考查了分式方程的应用，由题意可得，浮临高速通车前的速度为千米时，通车前需要的时间为小时，通车后需要的时间为小时，根据用时将缩短分钟即可列出方程，根据题意，找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：由题意可得，
，
故答案为：．
48．
【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义准确地找出题目中所给的调和数的相等关系是解答本题的关键；
由调和数的定义列分式方程求解即可．
【详解】解：
根据调和数的定义可得：
，
故答案为：
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