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太原市2024年初中学业水平模拟考试（二）
数 学
（考试时间：上午8：30——10：30）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．全卷共8页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列各数中最小的是（ ）
A． B．0 C． D．
2．国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．今年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，文字上方的部分是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．一个棱柱的侧面展开图如图所示，则该棱柱底面的形状是（ ）
A． B． C． D．
5．“计里画方”是中国古代一种按比例尺绘制地图的传统方法．绘图时先在图上布满方格，然后按方格绘制地图内容．小华按照“计里画方”的方法，绘制了蒙山大佛旅游区的局部示意图如图所示．若该图中“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，则景点“蒙山氧吧”的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，同学们将平行于凸透镜主光轴的红光和紫光射入同一个凸透镜，折射光线交于点O，与主光轴分别交于点，，由此发现凸透镜的焦点略有偏差．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．语文课上，同学们以“并州犹是诗故乡——唐代山西诗人群像”为主题展开研习活动．小彬和小颖计划从王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人中任选一位撰写研习报告，则他们恰好选择的是同一位诗人的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，四边形内接于，，连接，．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作：以点为圆心，以适当长为半径画弧，分别与，交于点，；分别以，为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点，作射线，与边交于点；以为圆心，长为半径画弧，交于边于点．若，，则点，之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）
11．计算的结果为 ．
12．绳如虹飞转，人似蝶翩跹．在跳绳全能赛中，甲、乙、丙三人各项成绩如表所示．评总分时，将单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项按的比例确定最后成绩，则最后成绩最高的同学为 ．（填“甲”“乙”或“丙”）
成绩 单摇跳 双摇跳 单脚交叉跳
甲 80 90 85
乙 90 80 85
丙 80 80 85
13．如图，在中，，．以为直径的交于点D，过点D作的切线交于点E．若的半径为2，则阴影部分的面积为 ．
14．运动心率（次/分）是指人体在运动时保持的心率状态，保持最佳运动心率对于运动效果和运动安全都很重要．对于一般人来说，最佳运动心率控制区域计算法如下：(220－年龄)×0.8=最大运动心率，(220－年龄)×0.6=最小运动心率．健身教练给一位正常成年男性制定的运动方案中，最大运动心率与最小运动心率之差为33次/分，则这位男性的年龄是 岁．
15．如图，在正方形中，，点E是边的中点，的平分线交于点F，连接，则的值为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）
16．（1）计算：；
（2）下面是小华解分式方程的过程，请你认真阅读并完成相应的任务．
解：原方程可变形为，第步
去分母，得，第步
解得，第步
检验：将代入，，
所以是原方程的解．第步
任务：
①上述解答过程中第步变形逆用了_______（填运算律）；
②上述解答过程中，从第_______步开始出错，请你将这步改正为_______；
③写出解原方程的正确结果：_______．
17．已知：如图，四边形是平行四边形，对角线与相交于点，点是延长线上的一点，连接，，且．求证：四边形是菱形．

18．社会发展日新月异，企业唯有与时俱进，才能破茧成蝶、破壳发展．某醋厂秉持科技创新的理念，不断推陈出新．为开发一种新的风味醋，醋厂研发组采用甲、乙两种技术方案进行实验，每种方案各设置个实验样品．经过一段时间后，研发组从两组实验样品中各随机抽取个作为样本，对每个样本的指标进行综合评分（满分，单位：分），并对相关数据进行整理和分析（用表示综合评分，数据分成组：；；；；．注：分及以上为优等）．
【数据收集与整理】
甲方案个样本的综合评分 ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
甲方案样本综合评分统计
乙方案个 样本的综合评分 ，，三个等级的数据个数相同，组的所有数据是：，，，，．
乙方案样本 综合评分统计
【数据分析】
样本综合评分情况分析 平均数 中位数 方差 优等率
甲方案
乙方案
根据以上信息，解答下列问题：
(1)直接写出上述材料中空缺的数据：
_______，_______，_______；
(2)经过评估，研发组认为乙方案优于甲方案，你认为他们的结论合理吗？请结合“数据分析”中的四种数据说明理由；
(3)研发组计划对两种方案中综合评分为“优等”的实验样品进行第二阶段的指标分析，请估计第二阶段指标分析的实验样品共约有多少个．
19．阅读与思考
数学社团组织征文大赛，下面是小颖同学应征文章的部分内容，请你认真阅读，并完成相应的任务．
奇妙的“条件等式”
我们知道，等式是表示两个数（量）相等关系的式子．在等式大家族中，有一类特殊的等式——只有当等式中所含有的字母取某些值时，等号两边的值才相等，这样的等式叫做条件等式．如，只有当时，等号两边的值才相等，所以它是条件等式，可见，我们学习过的方程大都是条件等式．
下面我们再研究一个特殊的等式：其中．那么，该等式成立的条件是什么呢？
探究：我们不妨假设该等式成立，移项可得
将等式左边分解因式，得，
移项，得．
将左边继续分解因式，得，
因为，所以等式成立的条件应为．
运用：根据上面的发现，我们可以轻松地构造出很多这种结构的等式，例如：
，，…
推广：…
任务：
(1)请将文中“探究”部分的三处空缺补充完整；
：_______；：_______；
(2)仿照文中“运用”部分的思路补全下面的等式：
．
(3)小冬根据文中的思路，推广得到如下等式其中，为任意实数，且，），请证明该等式成立．
20．从2014年至今，“图说我们的价值观”公益广告通过绘画、书法、雕塑、剪纸、刺绣、动画等形式来传播社会主义核心价值观，产生了良好的传播效果．在某校校园内有一块“社会主义核心价值观”宣传牌，同学们用所学知识对宣传牌的有关数据进行了测量，并尝试提出问题、解决问题．
数学抽象 将宣传牌抽象成如右图所示的图形，其中点A，B，C，D，E，F，G都在同一竖直平面内，B，C两点在水平地面，点A，F所在直线与平行．
测量工具 老师教学用的量角器（可测角度与线段长，长度的最大量程为50）
测量数据 ，，，，，点C到宣传牌右侧立柱的距离的长为．
提出问题 …
小华想根据上述方案与测量数据，求点A到地面的距离，请你帮他完成．（结果精确到1cm．参考数据：，，，，，）
21．当农业遇上科技，变革正悄然进行．太原市小店区刘家堡乡依托资源互补共生技术，将传统渔业循环养殖和大棚蔬菜种植有机结合，从而实现“一棚双收、一水两用”的绿色农业循环．近日，综合种养大棚的零农药水培芹菜、西红柿上市．为了推销这两种蔬菜，小李和他的团队在网上直播带货购入两种蔬菜共400箱，其进货成本、直播成本以及售价如下表：
进货成本（元/箱） 直播成本（元/箱） 售价（元/箱）
西芹 18 4 28
西红柿 24 6 40
已知该直播团队销售这两种蔬菜投入总成本不超过10800元，若所购进的蔬菜全部销售完，则应怎样安排“西芹”和“西红柿”的进货量，可使该团队所获得的利润最大，请求出最大利润和此时两种蔬菜的进货量．
22．综合与探究
如图，平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D．已知，，点P是第一象限抛物线上对称轴右侧的一个动点，设点P的横坐标为m．
(1)求抛物线的函数表达式，并直接写出点C，D的坐标；
(2)连接，求面积的最大值．
综合与实践
【问题情境】在数学活动课上，同学们以等边三角形为背景，探究动点运动过程中产生的数学问题．已知是等边三角形，，点是射线上的一点，以为边作矩形（顶点，，，按逆时针顺序排列），其中，直线分别与射线、直线交于点，．
23．【初步探究】针对老师给出的问题背景，小敏画出了点与点重合时的图形，如图，并提出如下问题，请你解答：
（1）猜想与的数量关系，并说明理由；
24．【深入思考】
（2）在小敏研究的基础上，小捷同学画出了点恰好是的中点时的图形，如图，求此时的值；
25．【拓展延伸】
（3）在点运动过程中，直接写出当时的值．
1．D
【分析】本题考查有理数的大小比较．根据正数都大于0，负数都小于0，负数都小于正数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴最小的数是．
故选：D．
2．C
【分析】本题考查的是中心对称图形的识别．根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：C．
3．D
【分析】本题考查了同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项，根据同底数幂的乘法、多项式除以单项式、分式的乘方和合并同类项法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，本选项不符合题意；
B、与不是同类项，不能合并，本选项不符合题意；
C、，本选项不符合题意；
D、，本选项符合题意；
故选：D．
4．B
【分析】本题考查棱柱的展开图，侧面展开图下方线段所围成的图形为棱柱底面的形状，由此可解．
【详解】
解：由所给段面展开图可知，底面图形由2条长线段、2条短线段围成，形状为：，
故选B．
5．C
【分析】本题考查平面直角坐标系，先根据已知两点坐标确定每个方格的距离，再根据点的位置确定坐标．
【详解】解：“开化寺”与“蒙山晓月”两处景点的坐标分别为、，两点横向上相距2个方格，
每个方格距离为1，
由图可知，开化寺向左移动1个方格，向上移动4个方格到达景点“蒙山氧吧”，
景点“蒙山氧吧”的坐标为，即，
故选C．
6．D
【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，先根据两直线平行、同旁内角互补，求出，再根据邻补角和为180度计算的度数．
【详解】解：如图，
由题意知，
，，
，，
，，
，
，
故选D．
7．A
【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率．先列表得到所有等可能性的结果数，再找到他们选择的诗人相同的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【详解】解：王维、柳宗元、白居易、王勃四位唐代山西诗人分别用A、B、C、D表示，列表如下：
小明小颖
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的诗人相同的结果数有4种，
∴他们选择的诗人相同的概率为，
故选：A．
8．B
【分析】本题考查的是圆周角定理．先求得，得到，再根据圆周角定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了函数的图象，由点，，，得，根据图象性质即可求解，熟练掌握函数图象的性质是解题的关键．
【详解】解：∵点，，，
∴，
∴这个函数图象可能是反比例函数，
故选：．
10．B
【分析】连接，由作图可知，，证明，有垂直平分，由四边形是平行四边形得，结合作图则有，证明四边形是菱形，最后由菱形的性质和勾股定理即可求解．
【详解】连接，
由作图可知：，，
即垂直平分，
∴，，
∵,
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
即：点，之间的距离为，
故选：．
【点睛】本题考查了尺规作图——角平分线的画法，平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，勾股定理和全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
11．
【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据二次根式的乘法运算法则计算即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12．甲
【分析】本题考查加权平均数的应用，根据三项所占比例计算加权平均数，比较大小即可．
【详解】解：单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项按的比例确定最后成绩，
单摇跳、双摇跳、单脚交叉跳三项占比分别为：，，，
甲最后成绩为：，
乙最后成绩为：，
丙最后成绩为：，
，
最后成绩最高的同学为甲．
故答案为：甲．
13．##
【分析】连接，求出，得出，证明四边形为矩形，根据，得出四边形为正方形，根据求出结果即可．
【详解】解：连接，如图所示：
∵为的切线，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了切线的性质，正方形的判定，扇形面积计算，等腰三角形的性质，解题的关键在作出辅助线，证明四边形四边形为正方形．
14．55
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设这位男性的年龄是岁，根据“最大运动心率与最小运动心率之差为33次/分”列一元一次方程，解方程即可求解．
【详解】解：设这位男性的年龄是岁，
依题意得，
解得，
答：这位男性的年龄是55岁，
故答案为：55．
15．##
【分析】本题考查正方形的性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质，求角的正切值等，作于点G，由角平分线的性质可得，再证，推出，，设，用勾股定理解和，求出x的值，再根据即可求解．
【详解】解：如图，作于点G，
正方形中，，点E是边的中点，
，， ，
，
平分，，，
，
在和中，
，
，
，，
，
设，则，
在中，，
在中，，
，
即，
解得，
，
，
故答案为：．
16．（）；（）乘法分配律；，；．
【分析】（）根据立方根，化简绝对值，负整数次幂的运算法则计算即可；
（）根据解分式方程的步骤，读懂每一步的解答，然后正确解出分式方程即可完成；
本题考查了实数的运算，解分式方程，熟练掌握知识点的应用，正确计算是解题的关键．
【详解】（）解：原式，
，
；
（）根据运算第步变形逆用了乘法分配律，
故答案为：乘法分配律；
上述解答过程中，从第步开始出错，请你将这步改正为，
故答案为：，；
，
，
检验：将代入，，
所以是原分式方程的解，
故答案为：．
17．证明见解析．
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，平行四边形的性质和菱形的判定，由四边形是平行四边形，则，再由等腰三角形的“三线合一”性质即可证得，最后由菱形的判定即可，熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题的关键．
【详解】∵四边形是平行四边形，对角线相交于点，
∴，
∵，
∴，即，
∵四边形是平行四边形.
∴是菱形．
18．(1)，，；
(2)合理，理由见解析；
(3)第二阶段要分析的试验样品共约个．
【分析】（）根据总人数减去等级人数即可求出，由中位数的定义即可求解，由题意即可求出优等率；
（）由优等率，中位数，方差进行分析即可；
（）通过即可求解；
本题考查从统计表和扇形统计图获取信息与处理信息，样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量，掌握样本的容量，频数，中位数，用样本的百分比含量估计总体中的数量是解题关键．
【详解】（1）解：，
∵，，三个等级的数据个数相同，
∴，，所占比各，，，
∴，，等级的人数为（个），（个），（个），乙方案的中位数为第、的平均数为，
则，
优等率，
故答案为：，，；
（2）理由：根据统计表提供的信息，甲、乙两个方案的平均分相同，但是其他统计量不同，
从优等率看，乙方案为，甲方案为，乙方案中优等实验样品的数量高于甲方案中优等实验样品的数量，乙方案优于甲方案；
从中位数看，乙方案的中位数为分，甲方案的为分，说明乙方案试验样品综合评分的中位数高于甲方案的，乙方案优于甲方案，
从方差看，乙方案样本方差小于甲方案样本方差，说明乙方案样实验样品的表现更为稳定；
综上所述，乙方案优于甲方案，
（3）（个），
答：第二阶段要分析的试验样品共约个．
19．(1)，；
(2)，；
(3)证明见解析．
【分析】（）利用因式分解即可求解；
（）根据（）中的即可求解；
（）本题考查了因式分解和分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】（1）根据，
，
∵，
∴，
故答案为：，；
（2）由（）得：，
则，解得：，
故答案为：，；
（3）证明：等式左边，
，
，
，
等式右边，
，
，
，
左边右边，等式成立．
20．点A到地面的距离为．
【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交于点，过点作于点，证明四边形是矩形，在和中，分别求得和的长，据此计算即可求解．
【详解】解：延长交于点，过点作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，，
∵，
∴，，
在中，，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
答：点A到地面的距离为．
21．“西芹”进货150箱，“西红柿”进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润元．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用、一次函数的性质、一元一次不等式的应用等知识点．根据“利润=（销售单价-进货成本-直播成本）×销售数量”列出函数解析式；再根据“投入总成本不超过10800元”求得的范围，然后根据一次函数的性质即可解答．
【详解】解：设该团队进货“西芹”箱，获得的总利润为元．
根据题意得：，
∵该团队投入总成本不超过10800元，
∴，
解得：，
∵，，
∴y随x的增大而减少，
∴当时，y取得最大值，最大值为，则，
∴“西芹”进货150箱，“西红柿”进货250箱，可使该团队所获得的利润最大，最大利润元．
22．(1)抛物线的函数表达式为，点C的坐标为，点D的坐标为；
(2)面积的最大值为．
【分析】本题是二次函数的综合问题．考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识，注意掌握数形结合思想的应用．
（1）利用待定系数法可求得抛物线的函数表达式，再求点C，D的坐标；
（2）作轴于点，连接，设点的坐标为，根据列式，再利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过，，
∴，
解得，
∴抛物线的函数表达式为，
令，则，
∴点C的坐标为，，
∴对称轴为直线，
∴点D的坐标为；
（2）解：作轴于点，连接，设点P的坐标为，
∵点C的坐标为，点D的坐标为，
∴，，，
∴
，
∵，
∴面积的最大值为．
23．，理由见解析； 24．； 25．或．
【分析】（）由四边形是矩形得，，然后证明即可；
（）连接，由点是的中点，则，根据矩形的性质得，设，，证明，根据性质即可求解；
（）当点在线段上时，，当点在线段的延长线上时，两种情况讨论即可；
本题考查了矩形的性质，三角函数，相似三角形的判定与性质和等边三角形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
23．，理由如下：
如图，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
24．连接，
∵点是的中点，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵ ，
∴，
同理，，
∴，
∴ ，
∵，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
设，
∴，
∵，，
∴，
∴；
25．当点在线段上时，，
此时点与点重合，
∴，
∵等边三角形，
∴， ，
∴， ，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
当点在线段的延长线上时，，过作于点，
∵，
∴
∴，
∵等边三角形，
∴，，，
∴
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．

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