资源简介 绝密★启用前试卷类型:B深圳中学2024届高三年级高考适应性测试数学本试卷共4页,19小题,满分150分,考试用时120分钟。注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上。2,选择题每小题选出答案后,用B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再填涂其他答案。答案不能答在试卷上。3.非逃择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题耳指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案,不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保特答题卡的整洁。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设集合A={2,a2-a+2,1-4},若4∈A,则a的值为()A.-l,2B.-3C.-1,-3,2D.-3,22.若复数z=1°-1+2-+…+2022-202+2024,则4=()A.0B.2C.1D.23.已知不重合的平面“,B及不重合的直线m,,则()·A.若m∥,a∥B,则m∥BB.若m⊥n,m上x,n⊥p,则a⊥BC.若m∥n,m∥,n∥B,则a∥BD.若m∥a,a∥B,nCB,则m∥n4.已知=2园,若a与6的夹角为120°,则2a-五在方上的投影向量为()A.-36B.c.场D.3b5.一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次,得到的点数分别为1,2,x,4,5,6,则这6个点数的中位数为4的概率为()BC.6.设xx2、x为互不相等的正实数,随机变量X和Y的分布列如下表,若记DX,DY分别为X,Y的方差,则下列说法正确的是(y深圳中学2024届高三年级高考适应性测试数学试题日第1页共4页X2X1Y折中2+x+2221333A.D(X)8.D(X)=D(Y)C.D(X)>D(Y)D.D(X)与D(Y)的大小关系与x,x2,x的取值有关7.已灿双前线C:。-是1Q>0,6>0)的左,右焦点分别为R,乃,0为坐标原点,过巧作C的一条浙近线的垂线,垂足为D,且D=2√2OD,则C的离心率为()A.2B.2c.5D.38.已知0Aa+B=君B.a+B=号C.B-a=若D.B-a=骨63二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。9.袋子中有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中随机取出两个球,设事件A=“取出的球的数字之积为奇数',事件B=“取出的球的数字之积为偶数”,事件C=“取出的球的数字之和为偶数”,则)A.事件A与B是互斥事件B.事件A与B是对立事件C.事件B与C是互斥事件D事件B与C相互独立10.正方体ABCD-ABCD中,E,F分别为棱AD和DD的中点,则下列说法正确的是(A.AD/1平面BEFB.B,C⊥平面BEFC.异面直线B,D与EF所成角为60°D.平面BEF截正方体所得藏面为等腰梯形11.已知0ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则()A.若asin4牛S=6sinA,则B=号2B,若(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC,则A=6C.若a,e成等比数列,则B≤写D.若ab,c成等差数列,则tan2+3tanS之222深圳中学2024届高三年级高考适应性测试数学试题B第2页共4页深圳中学 2024 届高三年级高考适应性测试数学参考答案一、选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11D C B B A C C D AB ACD ACD二、填空题 4 3 1 1 12.5040 13. 14. , ( )4 9 2 2 31.【答案】D 【详解】 从选项入手,当a = 1时, A = 2,4,2 不满足集合中元素的互异性,故a = 1舍去;BCD 项都有-3,只需考察当a = 2时, A = 2, 4, 1 满足集合中元素的互异性,故a = 2满足要求20251 i 20252.【答案】C 【详解】 z =1 i + i2 i3 + + i2022 i2023 + i2023( ) 1+ i+i2024 = = =11 ( i) 1+ i3.【答案】B 【详解】对于 A 项,若m∥ , ∥ ,则m∥ 或m ,故 A 错误;对于 B 项,若m ⊥ n,m⊥ ,则 n∥ 或n ,当 n∥ 时,若n ⊥ ,则 ⊥ ,当n 时,若n ⊥ ,则 ⊥ 也成立,综上,故 B 正确;对于 C 项,若m∥n,m∥ , n∥ ,则 ∥ 或 ,反例如下图所示,可以说明符合条件时,两个平面有相交的可能.故 C 错误;对于 D 项,如下图所示,m、n 可能异面,故 D 错误.2 2 3 24. 【答案】B 【详解】 (2a b) b = 2a b b = 2 a b cos120 b = b ,23 2 b在 上的投影向量为 (2a b) b b b 3 2a b b = 2 = bb b b b 25.【答案】A 【详解】当 x =1,2,3时,这 6 个点数的中位数为 3,当 x = 4时,这 6 个点数的中位数为 4,1当 x = 5,6时,这 6 个点数的中位数为 4.5,故由古典概型概率公式可得:P = .616.【答案】C 【详解】EX = (x1 + x2 + x3 ),31 x1 + x x + x x + xEY = 2 2 3 3 1 1 + + = (x1 + x2 + x3 ) = EX3 2 2 2 31 2 2 2 1 3 ( ) ( ) ( ) = x22故 DX = x EX + x EX + x EX i (EX1 2 3 )3 3 i=11 2 2 2 x + x x2 + x3 x3 + x DY = 1 2 + + 1 2 (EX )3 2 2 2 深圳中学 2024 届高三年级高考适应性测试 数学试题 A 第 1 页 共 7 页{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#}3 2 2 2 2 2 22 x + x x2 + x x + x 2x1 + 2x2 + 2x3 2(x1x2 + x2x3 + x3x1 ) xi 1 2 3 3 1 + + =i=1 2 2 2 32 2 2 2 2 2(x1 x2 ) + (x2 x3 ) + (x3 3 x1 ) 2 x + x x + x x + x = 0 ,即 x 1 2 + 2 3 + 3 1i ,3 i=1 2 2 2 也即DX DY .7.【答案】C【详解】如下图所示,双曲线C 的右焦点 F1 ( c,0),渐近线 l1的方程为bx ay = 0 ,bc bc由点到直线的距离公式可得 DF1 = = = b2 2 c ,由勾股定理得b + ( a)2 2 πOD = OF DF = c2 b2 = a ,在Rt△DOF1中, ODF1 1 1 = ,2OD a cos DOF1 = = ,在 DOF2中, OD = a, DF2 = 2 2a , OF2 = c,OF1 cacos DOF2 = cos (π DOF1 ) = cos DOF1 = ,由余弦定理得c2 2 2OD + OF DF a2 + c22 2 8a2 acos DOF2 = = = ,化简得,c2 = 5a2,即c = 5a,因此,双曲线C2 OD OF2 2ac cc的离心率为e = = 5a8.【答案】D【详解】由已知可将2 = ( + )+ ( ),2 = ( + ) ( ),则cos[( + )+ ( )]+cos[( + ) ( )]+1= 2cos( )+cos( + )+1,原式化为:2cos( + )cos( ) 2cos( ) cos( + )+1= 0,即[cos( + ) 1][2cos( ) 1]= 0,1 π π即cos( + ) =1或cos( ) = .又0 ,所以0 + π, 0,2 2 21 π π所以cos( + ) 1,所以选项 A,B 错误,即cos( ) = ,则 = ,所以 = .D 对2 3 39.【答案】AB【详解】对于 AB:取出的球的数字之积为奇数和取出的球的数字之积为偶数不可能同时发生,且必有一个发生,故事件A 与 B 是互斥事件,也是对立事件,AB 正确;对于 C:如果取出的数为2,4,则事件 B 与事件C 均发生,不互斥,C 错误;C23 4 C2 +C2 C22 1对于 D:P (B) =1 = , P2 (C ) =3 3 = , P2 (BC ) =3 =2 , C6 5 C6 5 C6 5则 P (B)P (C ) P (BC ),即事件 B 与C 不相互独立,D 错误;10.【答案】ACD【详解】对于 A,如图,连接 AD1 ,因为E,F 分别为棱 AD和DD1的中点,所以 AD1 / /EF ,深圳中学 2024 届高三年级高考适应性测试 数学试题 A 第 2 页 共 7 页{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#}又 AD1 平面BEF ,EF 平面BEF ,所以 AD1 / / 平面BEF ,故 A 正确;对于 B,如图,取 AA1 中点Q,连接 A1D,QE,QB,在正方体 ABCD A1B1C1D1 中,AB =CD, AB / /CD A BCD1 1 1 1 ,所以四边形 1 1 为平行四边形,所以 B1C / /A1D ,又Q, E分别为 AA1 , A1D中点,则QE / /A1D,故B1C / /QE ,设正方体棱长为2,则BE = AB2 + AE2 = 5, BQ = AB2 + AQ2 = 5,QE = AQ2 + AE 2 = 2,,故QE2 +BE2 BQ2 ,所以QE不垂直于 BE ,故B1C 不垂直于BE ,又BE 平面BEF ,所以B1C 不垂直平面BEF ,故 B 错误;对于 C,如图,连接 AD1, B1A,在正方体 ABCD A1B1C1D1中, AB1 = B AB D1D1 = AD1 ,即 1 1为正三角形,因为E,F 分别为棱 AD和DD1的中点,所以EF // AD1,故异面直线B1D1与EF 所成角即为 B1D1A= 60 ,C 正确;对于 D,如图,连接 AD1, BC1,C1F ,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,C1D1 = AB,C1D1 / /AB,所以四边形 ABC1D1为平行四边形,则AD1 / /BC1,又EF // AD1,所以EF / /BC1,所以B, E, F,C1四点共面,故平面BEF 截正方体所得截面为四边形BEFC1,设正方体棱长为 2,则BE = AB2 + AE2 = 5,C1F = C1D2 21 + D1F = 5, EF = ED2 + DF 2 = 2, BC1 = BC2 +C 21C = 2 2 ,所以C1F = BE, EF BC1,又EF / /BC1,故截面为四边形BEFC1为等腰梯形,故 D 正确. 故选:ACD.A+C11【. 答案】ACD 【详解】选项 A:由正弦定理可得sin Asin = sin Bsin A,因为 ABC中 A, B (0,π),2A+C π B B B B πA+B+C = π,所以sin = sin B,所以sin = cos = 2sin cos ,解得 B = ,A 说法正确;2 2 2 2 2 3选项 B:若sin2 B 2sin BsinC +sin2 C = sin2 A sin BsinC ,则由正弦定理整理可得a2 = b2 +c2 bc,b2 + c2 a2 1 π又由余弦定理可得 cos A = = ,因为 A (0,π),所以 A = ,B 说法错误;2bc 2 3a2 + c2 b2 2ac ac 1选项 C:若a,b,c成等比数列,则b2 = ac,根据余弦定理可得cos B = = ,当且仅2ac 2ac 2深圳中学 2024 届高三年级高考适应性测试 数学试题 A 第 3 页 共 7 页{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#}π当a = c时等号成立,所以B ,C 说法正确;选项 D:若a,b,c成等差数列,则2b = a+ c,根据正弦3A+C A+C A+C A C定理可得 2sin B = sin A+sinC ,所以 2sin (A+C ) = 4sin cos = 2sin cos ,因为2 2 2 2A+C A C A C A C A C A CA,C (0,π),所以2cos = cos ,展开得2cos cos 2sin sin = cos cos + sin sin ,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2A C A C A C A C A C 1即 cos cos 3sin sin = 0 ,两边同除 cos cos 得1 3tan tan = 0,即 tan tan = ,所以2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3A C A C A Ctan +3tan 2 3tan tan = 2,当且仅当 tan = 3tan 时等号成立,D 说法正确;2 2 2 2 2 212 .【 答案 】 5040 【详 解】 一类 是甲 乙都参 加, 另一 类是 甲乙中 选一 人, 方法 数为N =C3A3A2 +C1C 4 A56 3 4 2 6 5 =1440+ 3600 = 5040 . *13. 【答案】 【详解】因为斐波那契数列总满足an = an 1 + an 2 (n 3,n N ),且a1 = a2 =1, 42 2所以a21 = a2a1, a2 = a2a2 = a2 (a3 a1 ) = a2a3 a2a1,a3 = a3a3 = a3 (a4 a2 ) = a3a4 a3a2,a2 2 2 2 2n = anan = an (an+1 an 1 ) = anan+1 anan 1,其中n 2.累加得a1 + a2 + a3 + + an = an an+1, S πS = (a 2 + a 2 2π 2024n 1 2 + + an ) = ana =n+1,故: .4 4 a2024 a2025 44 3 1 1 14.【答案】 , ( ) 【详解】第一问,考虑到乙袋中拿出的球可能是黑的也可能是白的,由全概率9 2 2 31 2 2 1 4公式可得 p1 = + = ;记 X n 1 取0,1,2,3的概率分别为 p0 , p1, p X2 , p3 ,先推导 n 的分布列.3 3 3 3 94 4 4 4 1P (X n =1) = p0 + p1 + p2, P (X n = 2) = p1 + p2 + p3,P (X n = 3) = p2 ,9 9 9 9 94 5因此E (X n ) = 0 P (X n = 0)+1 P (X n =1)+ 2 P (X n = 2)+3 P (X n = 3) = p0 + p1 + p2 + 2p33 3n1 1 4 3 1 1 =1+ ( p1 + 2 p2 +3p3 ) =1+ E (X n 1 ),结合E (X1 ) = ,可知E (X n ) = 3 3 3 .2 2 3 3 2( ) x y215. 【详解】(1)∵椭圆C 的左焦点F1 3,0 ,∴c = 3 .将Q 1, 代入 + =1(a b 0),得 2 a2 b21 3 2+ =1 2 2 a2 2x. C2 2 又a b = 3,∴ = 4,b =1,∴椭圆 的标准方程为 + y2 =1.a 4b 4(2)(i)设点P (x ,y0 0 ) .①当直线PA, PB的斜率都存在时,设过点 P 与椭圆C 相切的直线方程为深圳中学 2024 届高三年级高考适应性测试 数学试题 A 第 4 页 共 7 页{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#} y = k (x x0 )+ y0 2y = k (x x0 )+ y2 20 .由 x2 ,消去 y ,得 (1+ 4k ) x +8k ( y0 kx0 ) x + 4( y0 kx2 0 ) 4 = 0 . + y =1 42 = 64k 2 ( y 2 2 2 2 20 kx0 ) 4(1+ 4k ) 4( y0 kx0 ) 4 .令 = 0,整理得 = k (4 x0 )+ 2y0x0k +1 y = 0 0 .设1 y 2 1 (5 x 20 )直线PA, PB的斜率分别为 k1 , k02 .∴ k2 21k2 = .又 x0 + y0 = 52 ,∴ k k = = 1 . 4 x 1 20 4 x20∴ PM ⊥ PN ,即MN 为圆O的直径,∴OM +ON = 0 .20 20 1 20 1 2016.【详解】(1)因为 xi = 60, yi =1200,则 x = xi = 3, y = yi = 60,于是i=1 i=1 20 i=1 20 i=120 xi yi 20xy i=1 4400 20 3 60b = = =1020 2 , a = y b x = 60 10 3 = 30,260 20 3 x2i 20x2i=1所以 y 关于 x的线性经验回归方程为 y =10x+30 .(2)(i)设D “随机抽取一件新饮料,是设备A 生产的”,则D =“随机抽取一件新饮料,是设备 B 生产的”,E = “随机抽取一件新饮料为不合格品”,依题意2 1P (D) = , P (D) = , P (E | D) = 0.009, P(E | D) = 0.006,3 32 1所以P (E ) = P (D)P (E | D)+ P (D)P (E | D) = 0.009+ 0.006 = 0.008;3 3(ii)设C = “抽到一件不合格的新饮料,它是设备A 生产的”,则P (DE ) P (D)P (E | D) 2 0.009 3P (C ) = P (D | E ) = = = = ,P (E ) P (E ) 3 0.008 43设 X 表示三件不合格新饮料来自设备A 生产的件数,则 X B(3, ),所求事件的概率为43 1 3 27P (X 2) = P (X = 2)+ P (X = 3) = C23 ( )2 +C3 ( )33 = .4 4 4 321 1 1 x 117.【详解】(1)函数 f (x) = ln x + 1的定义域为 (0,+ ),求导得 f (x) = = ,x x x2 x2当0 x 1时, f (x) 0,当 x 1时, f (x) 0,则函数 f (x)在(0,1)上递减,在 (1,+ )上递增,所以函数 f (x)在 x =1处取得极小值 f (1) = 0,无极大值.1 1 x 1(2)证明:由(1)知, f (x) 0,即 ln x + 1 0, ln x 1 = ,x x xx因此 ln(x +1) ,当且仅当 x = 0时取等号,x +1深圳中学 2024 届高三年级高考适应性测试 数学试题 A 第 5 页 共 7 页{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#}11 1 x = (n N ) ln +1 n1+ n 1 1令 , ,则 ln , ln (n+1) ln n + ,n n 1 +1 n n+1 n+1nln(2n) ln n = ln(n+1) ln n+ ln(n+2) ln(n+1)+ ln(n+3) ln(n+2)1 1 1 1+ + ln(2n) ln(2n 1) + + + + ,而 ln (2n) ln n = ln 2,n+1 n+ 2 n+3 2n1 1 1 1所以 + + + + ln 2 .n +1 n + 2 n + 3 2n18.【详解】(1)如图, EF 为液面,EF∥水平线,∴∠BEF=β, ∵AD∥BC,∴∠DFE=∠BEF=β,∵∠ABC= ,∴α+β= ,2 2 图②中圆柱的母线与液面所在平面所成的角为 = .2r r cos ca = ,b = r c = e = = cos = sin sin sin a(2)如图,过 F 作 FQ∥CD 交 BC 于 Q,在Rt△CDF 中, FCD = ,CD = 20,则DF = 20tan , AF = 30 20tan .此时容器内能容纳的溶液量为:1 1 V =V圆柱 + V圆柱 = 102 (30 20 tan )+ 20 tan =1000 (3 tan )FB FC , 2 2 容器中原有溶液量为 102 20 = 2000 ,令1000 (3 tan ) 2000 ,解得 tan 1, 45 ,所以 的最大角为 45°时,溶液不会溢出.(3)给该圆柱容器外面套一个外切正四棱柱,即底面边长为 20cm、高为 30cm的正四棱柱,液面高度为 20cm. 如图b ,当 = 60 时,过C 作CF / /BP ,交 AB于 F ,在直角 CBF 中,BC = 30cm, BCF = 30 , BF =10 3 ,所以点F 在线段 AB1上,故溶液纵截面为直角 CBF ,因为 S ABF = BC BF =150 3 cm2 ,容器内2溶液量为150 3 20 = 3000 3 cm3,倒出的溶液量为 (8000 3000 3) 2804 3000,这倒出的 2804毫升液体,是原圆柱倒出的液体与夹在圆柱和外切正四棱柱之间的液体的和,所以圆柱容器也不能实现要求.深圳中学 2024 届高三年级高考适应性测试 数学试题 A 第 6 页 共 7 页{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#}19.【详解】(1)C2(x) = x+1 (1 分) 2 2 4 4 C 23(x) = x cos + i sin x cos + i sin = x + x +1 (3 分) 3 3 3 3 当n = 6时,与 6 互质且小于等于 6 的正整数只有 1 和 5,从而 5 5 C (x) = x cos + i sin x cos + i sin = x26 x +1 (5 分) 3 3 3 3 (2)当 p 是质数时,与 p 互质且小于等于 p 的正整数有1,2, , p 1,只有 p 与自己不互质. 根据分圆多2k 2k 项式的定义,我们有Cp (x) = (x z1 )(x z2 ) (x zp 1 ),其中 zk = cos + isin , k =1,2, , p 1,p p2p 2p zp = cos + isin =1 . (8 分)p pp由题意 x 1= (x z1)(x z2 ) (x zp ) ,x p 1 x p 1从而C p 1p (x) = = = x + + x +1 (10 分)x z x 1 p(3 不存在,我们采用反证法. (11 分)假设存在正整数q,r 和 s使得Cq (x) Cr (x)Cs (x)对任意复数 x 恒成立.a q若 为q次本原单位根,则a =1且Cq (a) = 0 ,从而有Cr (a)Cs (a) = Cq (a) = 0 .若Cr (a) = 0,则Cr (a) = (a 1 )(a 2 ) (a k ) = 0 ,则存在1 j k 使得a j = 0 ,即a = jr成立,从而 a为 r 次本原单位根,a =1 . 根据本原单位根的等价定义, 此时必有 r = q ,否则可导出矛盾. 这时我们有Cq (x) Cr (x) ,因此C (x) 1,但这是不可能的. s同理若Cs (a) = 0, 我们也可以得出矛盾.从而不存在正整数q,r 和 s使得Cq (x) Cr (x)Cs (x)对任意复数 x恒成立. (17 分)深圳中学 2024 届高三年级高考适应性测试 数学试题 A 第 7 页 共 7 页{#{QQABQYQQggAgAIJAARgCAwniCgAQkBECAAoGQEAIIAAACBFABAA=}#} 展开更多...... 收起↑ 资源列表 深圳中学2024届高三年级高考适应性测试数学参考答案.pdf 深圳中学高考押题卷.pdf