中职数学高教版2021·基础模块下:5.3.1 对数的概念 (导学案)(原卷版+解析版)

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中职数学高教版2021·基础模块下:5.3.1 对数的概念 (导学案)(原卷版+解析版)

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5.3.1对数的概念(导学案)
预习探究
知识点1 对数的概念
若ax=N(a>0,且a≠1),则数x叫做以a为底N的对数,a叫做对数的__ __,N叫做__ __,记作x=_ _
[知识点拨] 对数式logaN可看作一种记号,表示关于x的方程ax=N(a>0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a>0,且a≠1),幂为N,求幂指数的运算,因此,对数式logaN又可看作幂运算的逆运算.
知识点2.常用对数和自然对数
(1)常用对数:通常我们将以_ _为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为__ _.
(2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记为__ _.
知识点3.对数与指数的关系
当a>0,且a≠1时,ax=N x=__ __.
知识点4.对数的基本性质
(1)__ __和__ __没有对数.
(2)loga1=_ __(a>0,且a≠1).
(3)logaa=__ __(a>0,且a≠1).
考点类析
题型一 指数式与对数式的互化
例1 完成以下指数式、对数式的互化.
(1)log5=-1;(2) 16=-4;(3)log125=6;
(4)26=64; (5)10-3=0.001; (6)()-3=8.
【思路分析】 先判断出是指数式还是对数式,再利用指对数的关系转化求解.
【归纳提升】 对数式logaN=b是由指数式ab=N变化得来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值,而对数值b是指数式中的幂指数,对数式与指数式的关系如图:
并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有a>0且a≠1,N>0时,才有ax=N x=logaN.
【变式】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)42=16;(2)102=100;(3)4=2;(4)32=-5.
题型二  对数定义与性质的应用
例2 求下列各式中的x:
(1)log3(log2x)=0;   (2)log3(log7x)=1;(3)lg(lnx)=1;(4)lg(lnx)=0.
【思路分析】 利用指数式与对数式的互化进行解答.
【归纳提升】 对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质:logaa=1,loga1=0.
(2)使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用;对于多重对数符号的,可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质.
【变式】求下列各式中x的值:
(1)x=16;    (2)log8x=-; (3)log2(log4x)=0;    
当堂自测
1.下列说法:
①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成为对数式;
③以10为底的对数叫做常用对数;④以e为底的对数叫做自然对数.
其中正确命题的个数为( )
A.1   B.2    C.3   D.4
2.logx=4,则x、y之间的关系正确的是( )
A.x4=   B.y=64x C.y=3x4   D.x=
3.已知loga2b=c,则( )
A.a2b=c  B.a2c=b    C.bc=2a  D.c2a=b
4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )
A.100=1与lg1=0 B.27-=与log27=-3
C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5
5.将下列指数式与对数式互化:
(1)log216=4;(2)27=-3;
(3)43=64;(4)3-2=.5.3.1对数的概念(导学案)
预习探究
知识点1 对数的概念
若ax=N(a>0,且a≠1),则数x叫做以a为底N的对数,a叫做对数的__底数__,N叫做__真数__,记作x=__logaN__
[知识点拨] 对数式logaN可看作一种记号,表示关于x的方程ax=N(a>0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a>0,且a≠1),幂为N,求幂指数的运算,因此,对数式logaN又可看作幂运算的逆运算.
知识点2.常用对数和自然对数
(1)常用对数:通常我们将以__10__为底的对数叫做常用对数,并把log10N记为__lgN__.
(2)自然对数:在科学技术中常使用以无理数e=2.71828…为底数的对数,以e为底的对数称为自然对数,并把logeN记为__lnN__.
知识点3.对数与指数的关系
当a>0,且a≠1时,ax=N x=__logaN__.
知识点4.对数的基本性质
(1)__零__和__负数__没有对数.
(2)loga1=__0__(a>0,且a≠1).
(3)logaa=__1__(a>0,且a≠1).
考点类析:
题型一 指数式与对数式的互化
例1 完成以下指数式、对数式的互化.
(1)log5=-1;(2) 16=-4;(3)log125=6;
(4)26=64; (5)10-3=0.001; (6)()-3=8.
【思路分析】 先判断出是指数式还是对数式,再利用指对数的关系转化求解.
【解析】 (1)∵log5=-1,∴5-1=.(2)∵16=-4,∴()-4=16.
(3)∵log125=6,∴()6=125.(4)∵26=64,∴log264=6.
(5)∵10-3=0.001,∴lg0.001=-3.(6)∵()-3=8,∴8=-3.
【归纳提升】 对数式logaN=b是由指数式ab=N变化得来的,两式底数相同,对数式中的真数N就是指数式中的幂的值,而对数值b是指数式中的幂指数,对数式与指数式的关系如图:
并非所有指数式都可以直接化为对数式.如(-3)2=9就不能直接写成log(-3)9=2,只有a>0且a≠1,N>0时,才有ax=N x=logaN.
【变式】将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:
(1)42=16;(2)102=100;(3)4=2;(4)32=-5.
[分析] 按照指数式与对数式的关系转化,幂底数对应对数底数,指数对应对数,幂对应真数.
【解析】 (1)log416=2.(2)lg100=2.(3)log42=.(4)()-5=32.
题型二  对数定义与性质的应用
例2 求下列各式中的x:
(1)log3(log2x)=0;   (2)log3(log7x)=1;(3)lg(lnx)=1;(4)lg(lnx)=0.
【思路分析】 利用指数式与对数式的互化进行解答.
【解析】 (1)由log3(log2x)=0得log2x=1,∴x=2;
(2)log3(log7x)=1,log7x=31=3,∴x=73=343;
(3)lg(lnx)=1,lnx=10,∴x=e10;
(4)lg(lnx)=0,lnx=1,∴x=e.
【归纳提升】 对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质:logaa=1,loga1=0.
(2)使用对数的性质时,有时需要将底数或真数进行变形后才能运用;对于多重对数符号的,可以先把内层视为整体,逐层使用对数的性质.
【变式】求下列各式中x的值:
(1)x=16;    (2)log8x=-; (3)log2(log4x)=0;    
【解析】 (1)∵x=16,∴()x=16,即2-x=24.∴-x=4,即x=-4.
(2)∵log8x=-,∴x=8-==.
(3)∵log2(log4x)=0,∴log4x=1,∴x=4.
当堂自测
1.下列说法:
①零和负数没有对数; ②任何一个指数式都可以化成为对数式;
③以10为底的对数叫做常用对数;④以e为底的对数叫做自然对数.
其中正确命题的个数为( C )
A.1   B.2    C.3   D.4
【解析】 ①正确;②当底数小于0的指数式不可以化成对数式;③④叫法正确,故选C.
2.logx=4,则x、y之间的关系正确的是( A )
A.x4=   B.y=64x C.y=3x4   D.x=
3.已知loga2b=c,则( B )
A.a2b=c  B.a2c=b    C.bc=2a  D.c2a=b
4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B )
A.100=1与lg1=0 B.27-=与log27=-3
C.log39=2与32=9 D.log55=1与51=5
【解析】 对B选项27-=化为对数式为log27=-.
5.将下列指数式与对数式互化:
(1)log216=4;(2)27=-3;
(3)43=64;(4)3-2=.
【解析】 (1)∵log216=4,∴24=16;
(2)∵27=-3,∴()-3=27;
(3)43=64,∴log464=3;(4)∵3-2=,∴log3=-2.

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