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5.3.1对数的概念（导学案）
预习探究
知识点1 对数的概念
若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的__ __，N叫做__ __，记作x＝_ _
[知识点拨]　对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．
知识点2．常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常我们将以_ _为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__ _.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为__ _.
知识点3．对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N x＝__ __.
知识点4．对数的基本性质
(1)__ __和__ __没有对数．
(2)loga1＝_ __(a＞0，且a≠1)．
(3)logaa＝__ __(a＞0，且a≠1)．
考点类析
题型一 指数式与对数式的互化
例1 完成以下指数式、对数式的互化.
(1)log5＝－1；(2) 16＝－4；(3)log125＝6；
(4)26＝64； (5)10－3＝0.001； (6)()－3＝8.
【思路分析】　先判断出是指数式还是对数式，再利用指对数的关系转化求解．
【归纳提升】　对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：
并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N x＝logaN.
【变式】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；(2)102＝100；(3)4＝2；(4)32＝－5.
题型二　 对数定义与性质的应用
例2 求下列各式中的x：
(1)log3(log2x)＝0；　　　(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1；(4)lg(lnx)＝0.
【思路分析】　利用指数式与对数式的互化进行解答．
【归纳提升】　对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
【变式】求下列各式中x的值：
(1)x＝16；　　　　(2)log8x＝－； (3)log2(log4x)＝0；　　　　
当堂自测
1．下列说法：
①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成为对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为（ ）
A．1　　 B．2　　　　C．3　　 D．4
2．logx＝4，则x、y之间的关系正确的是（ ）
A．x4＝　　 B．y＝64x C．y＝3x4　　 D．x＝
3．已知loga2b＝c，则（ ）
A．a2b＝c　 B．a2c＝b　　　　C．bc＝2a　 D．c2a＝b
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ ）
A．100＝1与lg1＝0 B．27－＝与log27＝－3
C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5
5．将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；(2)27＝－3；
(3)43＝64；(4)3－2＝.5.3.1对数的概念（导学案）
预习探究
知识点1 对数的概念
若ax＝N(a＞0，且a≠1)，则数x叫做以a为底N的对数，a叫做对数的__底数__，N叫做__真数__，记作x＝__logaN__
[知识点拨]　对数式logaN可看作一种记号，表示关于x的方程ax＝N(a＞0，且a≠1)的解；也可以看作一种运算，即已知底为a(a＞0，且a≠1)，幂为N，求幂指数的运算，因此，对数式logaN又可看作幂运算的逆运算．
知识点2．常用对数和自然对数
(1)常用对数：通常我们将以__10__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__lgN__.
(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为__lnN__.
知识点3．对数与指数的关系
当a＞0，且a≠1时，ax＝N x＝__logaN__.
知识点4．对数的基本性质
(1)__零__和__负数__没有对数．
(2)loga1＝__0__(a＞0，且a≠1)．
(3)logaa＝__1__(a＞0，且a≠1)．
考点类析：
题型一 指数式与对数式的互化
例1 完成以下指数式、对数式的互化.
(1)log5＝－1；(2) 16＝－4；(3)log125＝6；
(4)26＝64； (5)10－3＝0.001； (6)()－3＝8.
【思路分析】　先判断出是指数式还是对数式，再利用指对数的关系转化求解．
【解析】　(1)∵log5＝－1，∴5－1＝.(2)∵16＝－4，∴()－4＝16.
(3)∵log125＝6，∴()6＝125.(4)∵26＝64，∴log264＝6.
(5)∵10－3＝0.001，∴lg0.001＝－3.(6)∵()－3＝8，∴8＝－3.
【归纳提升】　对数式logaN＝b是由指数式ab＝N变化得来的，两式底数相同，对数式中的真数N就是指数式中的幂的值，而对数值b是指数式中的幂指数，对数式与指数式的关系如图：
并非所有指数式都可以直接化为对数式．如(－3)2＝9就不能直接写成log(－3)9＝2，只有a＞0且a≠1，N＞0时，才有ax＝N x＝logaN.
【变式】将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)42＝16；(2)102＝100；(3)4＝2；(4)32＝－5.
[分析]　按照指数式与对数式的关系转化，幂底数对应对数底数，指数对应对数，幂对应真数．
【解析】　(1)log416＝2.(2)lg100＝2.(3)log42＝.(4)()－5＝32.
题型二　 对数定义与性质的应用
例2 求下列各式中的x：
(1)log3(log2x)＝0；　　　(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1；(4)lg(lnx)＝0.
【思路分析】　利用指数式与对数式的互化进行解答．
【解析】　(1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2；
(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343；
(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10；
(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e.
【归纳提升】　对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：logaa＝1，loga1＝0.
(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
【变式】求下列各式中x的值：
(1)x＝16；　　　　(2)log8x＝－； (3)log2(log4x)＝0；　　　　
【解析】　(1)∵x＝16，∴()x＝16，即2－x＝24.∴－x＝4，即x＝－4.
(2)∵log8x＝－，∴x＝8－＝＝.
(3)∵log2(log4x)＝0，∴log4x＝1，∴x＝4.
当堂自测
1．下列说法：
①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成为对数式；
③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．
其中正确命题的个数为（ C ）
A．1　　 B．2　　　　C．3　　 D．4
【解析】　①正确；②当底数小于0的指数式不可以化成对数式；③④叫法正确，故选C．
2．logx＝4，则x、y之间的关系正确的是（ A ）
A．x4＝　　 B．y＝64x C．y＝3x4　　 D．x＝
3．已知loga2b＝c，则（ B ）
A．a2b＝c　 B．a2c＝b　　　　C．bc＝2a　 D．c2a＝b
4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（ B ）
A．100＝1与lg1＝0 B．27－＝与log27＝－3
C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5
【解析】　对B选项27－＝化为对数式为log27＝－.
5．将下列指数式与对数式互化：
(1)log216＝4；(2)27＝－3；
(3)43＝64；(4)3－2＝.
【解析】　(1)∵log216＝4，∴24＝16；
(2)∵27＝－3，∴()－3＝27；
(3)43＝64，∴log464＝3；(4)∵3－2＝，∴log3＝－2.

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