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8.2圆锥曲线的概念与性质
【备考指南】 2
【知识导图】 3
【考点梳理】 8
考点一：椭圆的定义与方程 8
考点二：椭圆的离心率 15
考点三：双曲线的定义与方程 20
考点四：双曲线的渐近线 25
考点五：双曲线的离心率 33
考点六：抛物线的定义与方程 40
【真题在线】 46
【专项突破】 62
考点 考情分析 考频
椭圆 2023年新高考Ⅱ卷T5 2023年全国甲卷T7 2022年新高考Ⅰ卷T16 2022年新高考Ⅱ卷T16 2022年全国甲卷T10 2021年新高考Ⅰ卷T5 2021年全国甲卷T15 2021年全国乙卷T11 3年8考
双曲线 2023年新高考Ⅰ卷T16 2023年新高考Ⅱ卷T21 2023年全国乙卷T11 2022年全国甲卷T14 2022年全国乙卷T11 2021年新高考Ⅱ卷T13 2021年全国甲卷T5 2021年全国乙卷T13 3年8考
抛物线 2023年新高考Ⅱ卷T10 2023年全国甲卷T20 2022年新高考Ⅰ卷T11 2022年新高考Ⅱ卷T10 2022年全国乙卷T5 2021年新高考Ⅰ卷T14 2021年新高考Ⅱ卷T3 3年7考
直线与圆锥曲线位置关系 2023年新高考Ⅰ卷T22 2023年新高考Ⅱ卷T21 2022年新高考Ⅰ卷T21 2022年新高考Ⅱ卷T21 2022年全国甲卷T20 2022年全国乙卷T20 2021年新高考Ⅰ卷T21 2021年新高考Ⅱ卷T20 2021年全国甲卷T20 2021年全国乙卷T21 3年10考
预测：圆锥曲线为高考必考点，通常考察2-3个小题，考察难度易、中、难都有可能出现，在解答题的考查中，一般情况第一问相对较易，第二问的计算量增加，难度相对较大.建议在进行复习时，全面掌握好基础知识，同时也要加强学生计算能力的锻炼，加强逻辑思维能力的锻炼，正确的理解题意，合理的进行转化.
考点一：椭圆的定义与方程
【典例精析】（多选）（2024·广东·三模）已知椭圆的长轴端点分别为 两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为
C．面积的最大值为 D．
【答案】ABD
【分析】根据给定的椭圆方程，求出其长短半轴长及半焦距，再逐项计算判断得解.
【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，
对于A，的离心率为，A正确；
对于B，的周长为，B正确；
对于C，，设，，
则面积的最大值为，C错误；
对于D，，，，
因此，D正确.
故选：ABD

【变式训练】
一、单选题
1．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆与圆内切，则圆与圆内切
B．若圆与圆外切，则圆与圆外切
C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆
D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线
2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南周口·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的半径为R，内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，G为的重心，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．r为定值 B．
C．的最大值为 D．直线IG的倾斜角不变
4．（2024·山西吕梁·一模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（ ）
A．直线与蒙日圆相切
B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4
D．记点到直线的距离为，则的最小值为
三、填空题
5．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为M，N，点P为椭圆上任意一点（不同于M，N），若点Q满足，则点Q到坐标原点距离的取值范围为 ．
参考答案：
1．C
【分析】先证明当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；若，则圆与圆外切，圆与圆内切，从而A和B错误；然后当时，将条件变为，从而根据椭圆定义知点的轨迹为椭圆，C正确；当时，将条件变为，从而根据双曲线定义知点的轨迹为双曲线的左支，D错误.
【详解】我们分别记的中点为，显然是的中点，故，.
当时，在圆内，此时，圆和圆不可能与圆外切，而圆与圆内切等价于，
即，即，同理，圆与圆内切也等价于；
当时，在圆外，故“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，
即和，即和.
所以，此时“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，同理，“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和.
下面考虑四个选项（我们没有考虑的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）：
由于当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；
若，则圆与圆外切，圆与圆内切.
这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误；
若，则，此时“圆与圆内切”和“圆与圆内切”都等价于，
而根据椭圆定义，对应的轨迹即为，C正确；
若，则，此时“圆与圆外切”等价于，
而根据双曲线定义，对应的轨迹为，
仅仅是双曲线的半支，D错误.
故选：C.
2．B
【分析】
记椭圆的右焦点为，由椭圆定义转化为，当是的延长线椭圆的交点时，可取得最大值．
【详解】，在椭圆内部，记椭圆的右焦点为，，椭圆中，在椭圆上，
，，
，当是的延长线椭圆的交点时，取等号，
所以的最大值为，
故选：B．
3．BCD
【分析】设，对于A：利用等面积法求得，即可判断；对于B：利用内切圆的性质结合椭圆定义分析判断；对于C：，结合解三角形的相关知识可得，，结合椭圆性质分析判断；对于D：根据题意可得，，结合角平分线的性质可得，即可得，再求点G的坐标即可判断.
【详解】由题意可知：，
则，
设，则，
对于选项A：因为的面积，
又因为，可得，
由于不是定值，所以不r为定值，故A错误；
对于选项B：因为，分别是，的角平分线，
由角平分线定理可得，
所以，故B正确；
对于选项C：设，
由正弦定理可得：，即
由余弦定理可得：
，
即，整理得，
则，解得，
可得，
又因为当在短轴的端点时，最大，最小，
此时，，
可得，则，
所以的最大值为，故C正确；
对于选项D：因为在椭圆上，
可得，即，
则，
又因为，可得，，
由选项B可知，则，
又因为，可得，
则，即，
由，可得点的坐标为，
由重心坐标公式可知点的坐标为，
即直线与x轴垂直，倾斜角为，是定值，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用:在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．
4．AC
【分析】根据蒙日圆的概念求出蒙日圆的方程判断AB，根据圆的性质判断C，根据椭圆的定义和点到直线的距离公式判断D.
【详解】当两切线分别与两坐标轴垂直时，两切线的方程分别为、，
所以点在蒙日圆上，故蒙日圆的方程为，
又由题意可得，，结合解得，，
对于A选项，蒙日圆圆心到直线的距离为，
所以，直线与蒙日圆相切，故A正确；
对于B选项，的蒙日圆的方程为，故B错误；
对于C选项，由题意可知，，所以为蒙日圆的直径，，故C正确；
对于D选项，由椭圆的定义可得，，
所以，，
直线的方程为，
点到直线的距离为，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故D错误；
故选：AC
5．
【分析】设，代入椭圆方程可得，再由题意可得，设，直接列方程即可出轨迹的方程，所以，由两点间的距离公式结合三角函数的性质可求出答案.
【详解】设，由已知，
，，
所以，
设，因为，
所以，
所以，，
即，∴轨迹的方程为.
所以，
点Q到坐标原点距离为，
因为，，所以.
点Q到坐标原点距离的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：本题的解题关键是求出，即可求出轨迹的方程，设，由两点的距离公式结合三角函数的性质即可得出答案.
考点二：椭圆的离心率
【典例精析】（多选）（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（ ）
A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B．的离心率为
C．旋转前的椭圆标准方程为 D．
【答案】BCD
【分析】根据椭圆的对称性可联立以及与椭圆方程，进而可判断焦点所在的直线，即可判断A，根据直线与椭圆的交点间距离可求解长轴以及短轴长，即可求解BC，根据方程有解，利用判别式即可求解.
【详解】由题意可知，斜椭圆关于和对称，联立直线与，可得，联立直线与，可得，所以两焦点所在直线方程为，A选项错误；
由可知，与相交的两点之间距离等于短轴为，与相交的两点之间距离等于长轴为，故焦距为，故的离心率为，选项正确；
旋转不改变椭圆的长短轴大小，所以旋转前的椭圆焦点在轴上，曲线方程为选项正确；
因为，关于的方程有解，所以，解得，所以选项正确，
故选：BCD．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·四川雅安·三模）在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，满足，，且的面积为，则的值可能为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，又，，且直线，的斜率之积为，则（ ）
A．
B．
C．的离心率为
D．若上的点满足，则
三、填空题
5．（2022·四川绵阳·二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为 ．
参考答案：
1．D
【分析】由题意及双曲线的渐近线的斜率可得，再由椭圆，双曲线的离心率的求法，分别判断出所给命题的真假．
【详解】由题意可得双曲线的渐近线的斜率的绝对值为，则，
所以，所以,，所以C不正确；
，所以，所以B不正确；
，所以A不正确；
，且，则，所以D正确．
故选：D．
2．D
【分析】根据题意，求得椭圆的方程为，不妨设且，求得，得出直线的方程，求得的坐标，即可求解.
【详解】由题意知，椭圆的离心率，可得，即，
又由椭圆的上顶点的坐标为，可得，
因为，可得，所以椭圆的方程为，
又因为点为上横坐标为1的点，不妨设且，
将点代入椭圆的方程，可得，可得，即，
因为点为椭圆的右顶点，可得，所以，
则直线的方程为，令，可得，即，
所以.
故选：D.
3．AB
【分析】结合题意，先根据椭圆的定义，可得，然后利用余弦定理求出椭圆的离心率或，再利用三角形的面积公式可求出椭圆的，即可求出的值.
【详解】由椭圆的定义，得，
又因为，所以，
由，得，
由余弦定理，得，
当时，整理，得，
即，
解得或（因为椭圆离心率的取值范围是，舍去）；
当时，整理得：，
即，
解得或（因为椭圆离心率的取值范围是，舍去）；
因为的面积为，
所以，
解得：（负值已舍去），
所以或.
故选：AB.
4．BCD
【分析】由斜率之积为-1可得B正确；由B和椭圆的性质可得A错误；由关系可得C正确；由椭圆的性质结合三角形面积公式可得D正确.
【详解】B选项：因为，即，故，故B正确；
A选项：由得，，为等比数列，若A成立，则为等差数列，即，，为常数列，显然不成立，故A错误；
C选项：因为，，所以.
方程两边同除以得，，解得，负值舍去，
故离心率为，故C正确；
D选项：由椭圆定义得，，两边平方得，
因为，由余弦定理可得，
两式相减得，
所以，，
又，且，
所以，
所以，故D正确.
故选：BCD.

5．
【分析】分别设出内外椭圆的方程，求出、点的坐标，得到直线与的方程，分别与内椭圆联立，根据得到的一元二次方程中的，表示出与，根据，即可得到离心率的值.
【详解】设内层椭圆方程为，由于内外椭圆离心率相同，由题意可设外层椭圆方程为.
所以点坐标为，点坐标为，设切线的方程为，切线的方程为，
联立直线的方程与内层椭圆方程得，，因为直线与椭圆相切，
所以，
整理可得，.
同理，联立直线的方程与内层椭圆方程，可推出，
所以.
因为，所以，则，
所以.
故答案为：.
考点三：双曲线的定义与方程
【典例精析】（多选）（2023·广东·模拟预测）已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若，且轴，则的方程为
B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D．若，则的离心率的取值范围是
【答案】AD
【分析】由双曲线上一点，及轴，可得的值，即可求得双曲线方程，从而判断A；根据双曲线渐近线方程与离心率的关系即可判断B；根据双曲线的离心率与焦点三角形的几何性质即可求得等腰的面积，从而判断C；由已知结合正弦定理与双曲线的定义、焦半径的取值范围即可求得双曲线离心率的范围，从而判断D.
【详解】对于A，若，且轴，则，，
所以，则，所以，则的方程为，故A正确；
对于B，若的一条渐近线方程是，则，离心率，故B不正确；
对于C，若的离心率为，则，所以，若点在的右支上，为等腰三角形，则，连接，如图，
则是直角三角形，所以，故C不正确；
对于D，若，由正弦定理得，可知点在双曲线的左支上，故，
则，又，所以，整理得，解得，
所以的离心率的取值范围是，故D正确.
故选：AD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·河南·二模）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，焦距为，点在双曲线上，，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．（2024·辽宁·二模）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）关于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2
B．若为双曲线，则为钝角
C．若为锐角，则为焦点在轴上的椭圆
D．若为椭圆，为椭圆上不与长轴顶点重合的点，则
4．（2021·河北张家口·三模）已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为，则（ ）
A．
B．点是该双曲线的一个焦点
C．
D．该双曲线的渐近线方程可能为
三、填空题
5．（2024·上海金山·二模）已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ．
参考答案：
1．C
【分析】依题意可得为直角三角形，且，设，，利用双曲线的定义及勾股定理求出，再由的面积为求出，最后由焦距求出，即可求出离心率.
【详解】因为的面积为，所以的面积为.
又，所以，所以为直角三角形，且.
设，，所以，
所以，
所以，又，所以.
焦距为，所以，则，
所以，则离心率.

故选：C.
2．C
【分析】利用双曲线的定义及渐近线方程，将转化为的形式，通过点共线判断并计算的最小值即可.
【详解】如图所示
由题意知，解得
记的右焦点为，即，
由双曲线的定义，得，即
所以，
当且仅当点在线段上时等号成立,
所以的最小值为.
故选：C.
3．AD
【分析】当时，表直线，求出直线方程即可判断A；根据双曲线的形式，即可判断B；化为标准方程，根据椭圆方程形式，即可判断C；设出的坐标，表示出，结合椭圆的方程，即可判断D.
【详解】对于A项，当，即时，方程为，解得，因此可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2，故A选项正确；
对于B项，若为双曲线，则，即，故为钝角或平角，故B选项错误；
对于C项，若为锐角，则，即.
将原方程化为标准方程为，因此为焦点在轴上的椭圆，故C选项错误；
对于D项，若为椭圆，则为锐角，
设椭圆方程为，则，
不妨设，
将点的坐标代入椭圆方程得，即，
故，故选项正确.
故选：AD．
4．AC
【分析】对于A，若方程是双曲线，则；对于B，化简可知焦点在轴上；对于C，，即可得到；对于D，双曲线的渐近线斜率的平方，即可得到渐近线方程．
【详解】对于A，因为方程表示的曲线是双曲线，所以，解得，故选项正确；
对于B，将化为，得焦点在轴上，故选项错误；
对于C，因为，所以，故选项正确；
对于D，因为双曲线的渐近线斜率的平方，所以选项错误.
故选：
【点睛】本题关键之处在于对双曲线方程的辨析，如何通过双曲线方程求焦点、离心率、渐近线方程等．
5．
【分析】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上，然后再判断另一个点，求出双曲线方程，再根据离心率公式即可得解.
【详解】根据双曲线的对称性可得，两点一定在双曲线上，
若在双曲线上，
则，方程组无解，故不在双曲线上，
则在双曲线上，
则，解得，
所以双曲线的离心率.
故答案为：.
考点四：双曲线的渐近线
【典例精析】（多选）（2023·河北·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线右支交于两点，记和的内切圆半径分别为和，则（ ）
A．和的内切圆圆心的连线与轴垂直
B．为定值
C．若，则的离心率
D．若，则的渐近线方程为
【答案】ABD
【分析】设，的内切圆圆心分别为，设圆切分别于点，过的直线与双曲线的右支交于两点，由切线长定理及双曲线的定义即可求得，再根据直角三角形边角关系以及相似三角形的性质求得，再逐项判断即可得答案.
【详解】
对于A，设，的内切圆圆心分别为，设圆切分别于点，过的直线与双曲线的右支交于两点，由切线长定理，可得
，
所以，则，
所以点的横坐标为，即点的横坐标也为，同理点的横坐标也为，故轴，A正确；
对于B，在中，，
，所以，所以，即，B正确；
对于C，由解得，即，则双曲线的离心率，C错误；
对于D，，由可得，所以或（舍），
则，则，所以的渐近线方程为，D正确．
故选：ABD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点（异于坐标原点），点到抛物线焦点的距离是到轴距离的3倍，过双曲线的左 右顶点作双曲线同一条渐近线的垂线，垂足分别为，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
2．（2024·福建厦门·三模）已知双曲线，过右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，点在上，且，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
3．（2023·山西·模拟预测）如图，已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过作圆O：的切线，切点为A，且在第三象限与C及C的渐近线分别交于点M，N，则（ ）
A．直线OA与双曲线C无交点
B．若，则
C．若，则C的渐近线方程为
D．若，则C的离心率为
4．（2024·山西·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则（ ）
A．为定值
B．
C．点到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．不存在直线使
三、填空题
5．（2024·河南郑州·三模）已知双曲线的离心率为分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点重合），点在双曲线上且 的面积为6，则该双曲线的实轴长为 ．
参考答案：
1．D
【分析】由抛物线定义及点在抛物线上求得，结合双曲线渐近线性质及，列方程求得关系，即可得的值.
【详解】设与抛物线相交的渐近线为，则设，
则，解得，所以点的坐标为，代入抛物线方程得，解得，
设渐近线的倾斜角为，则，
又，解得，
所以，故，
所以，解得，
所以双曲线的实轴长为.
故选：D.

2．B
【分析】利用渐近线方程和过焦点的垂线方程可求得垂足点A坐标为，再由向量关系去求出点的坐标，再代入双曲线方程可得离心率的关系式，最后可解得.
【详解】
由右焦点作一条渐近线的垂线，可设直线方程为：，
与该渐近线方程：，联立方程组解得：，
即点A坐标为，再设点，则由可得：
，即，
把该点代入椭圆方程可得：，
化简得：，由双曲线的离心率可得：
，解得：，
因为双曲线的离心率，所以，
故选：B.
3．ACD
【分析】对于A项，运用求得，进而求得直线OA的方程，从而可判断直线OA与双曲线交点个数，对于B项，运用双曲线定义可得，结合可求得结果，对于C项，运用双曲线定义及余弦定理求得值，进而求得渐近线方程，对于D项，由列方程求得值，代入离心率公式计算即可.
【详解】如图所示，
对于A项，设，，
由题意可知，，
所以，
从而直线的斜率为，
所以直线OA的斜率为，
所以直线OA的方程为，恰好是C的一条渐近线，
所以直线OA与双曲线C无交点，故A项正确；
对于B项， 因为，
所以由双曲线的定义知，，
由A项知，，
所以，故B项错误；
对于C项，由，得，
由双曲线的定义得，
在中，由余弦定理得，
化简得，
所以C的渐近线方程为，故C项正确；
对于D项，因为，，
所以，
设直线ON的倾斜角为，则，
又因为，所以，
又因为，
所以，解得，
所以，故D项正确．
故选：ACD.
4．BD
【分析】对于A，根据，取垂直于x轴的直线，结合条件可判断A；对于B，设直线的方程为，利用韦达定理可得，联立直线与渐近线方程，可分别解得，，结合弦长公式可判断B；对于C，设，可得P到两渐近线距离可判断C；由题可得恒成立可判断D.
【详解】双曲线的渐近线为，
对于A：因为，
作直线，，且，分别交轴上方渐近线于，，
交轴下方渐近线于，，
有对称性可知：，
此时，
又因为为定值，所以，
即不是定值，故A错误；
对于B，由题意可知：直线不与y轴垂直，设直线的方程为，
联立得，得，
则，且,
所以，
联立，得，联立，得，
所以，则，
结合弦长公式可得，
即，故B正确；
对于C，设，则，渐近线为，
所以P到两渐近线距离为：
，
当且仅当时，等号成立，故C错误；
对于D，设，则，可得，
由图可得，即恒成立，
故不存在直线使，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题D选项可借助，结合，得到，从而得解.
5．
【分析】利用离心率求得，继而得到渐近线方程：，由向量等式推得点为的中点，设出点,求得点坐标，代入双曲线方程，化简得，最后利用面积即可求得的值.
【详解】
如图，由可得，故双曲线的渐近线方程为，
不妨设，因则点为的中点，则，
将其代入中，整理得：，
又,且,则的面积为，
即，解得,故双曲线的实轴长为.
故答案为：.
考点五：双曲线的离心率
【典例精析】（多选）（2022·广东·模拟预测）已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大
C．为定值
D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点
【答案】AC
【分析】A选项，求出渐近线方程，利用点到直线距离公式求出焦点到渐近线距离；B选项，把实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度后的离心率和变化前的离心率均求出来，用作差法进行比较即可；C选项，求出，相乘是否是定值；D选项，把直线斜率与渐近线斜率相比，数形结合得到结果.
【详解】对于A，因为双曲线的一个焦点，渐近线方程化为，
焦点到渐近线的距离为，故正确；
对于B，双曲线的离心率，若的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则，
所以新离心率，
即离心率变小，故B错误；
对于选项C，
，
，
又点在双曲线上，
，
，
（定值），故C正确；
对于D，双曲线的渐近线方程为，.根据双曲线图象可知直线若与双曲线有两个交点，这两个交点必在双曲线的同一支上，故D错误；
故选：AC
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若的离心率为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．6
二、多选题
3．（2023·辽宁锦州·模拟预测）已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
4．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ）
A．C的离心率为3 B．当时，
C． D．为定值
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为6，且直线与双曲线的右支有交点，则当双曲线的离心率最小时，双曲线的标准方程为 ．
参考答案：
1．D
【分析】在中运用双曲线的定义和余弦定理可得，在中运用余弦定理可得，再由离心率公式计算即可．
【详解】如图所示，根据双曲线的定义，，，
在中，由余弦定理得,
即，
又因为，所以，
所以，即.
在中，由余弦定理得，，
且,
所以，
化解得，
即，
，
，
所以，
即，则
故离心率.
故选：D.
2．B
【分析】根据离心率求出双曲线的渐近线方程，利用两角差的正切公式求出，再根据求出的值，由的面积等于的面积，即可求解.
【详解】由的离心率为，可得，则，
则的渐近线方程为，则，
则，
设渐近线方程为，，
则点到双曲线的渐近线的距离为， 则，
因为，则，即，，
易知的面积等于的面积，
即．

故选：B.
3．BD
【分析】根据椭圆和双曲线的焦点可判断A,由圆锥曲线的定义以及离心率的计算公式可判断B，结合对勾函数的性质可判断C，利用三角换元可判断D.
【详解】对选项A：椭圆和双曲线共焦点，故，故A错误；
对选项B：，不妨设为第一象限的点，即，由于，，故，，故，即，即，故B正确；

对选项C：由得，则，令，所以，
由于，所以对勾函数在单调递增，故,没有最小值，故C错误，
对选项D：设，，，
，若最大值为，则，，，即，，，成立，故D正确；
故选：BD
4．BCD
【分析】根据离心率的公式即可求解A，联立直线与抛物线方程， 根据弦长公式即可求解B，根据二倍角公式以及斜率关系即可求解C，根据角的关系即可求解线段长度相等，判断D.
【详解】由题意得，，故A错误；
联立，得，解得或，则，故B正确；
由直线：可知，又，，故在线段的中垂线上，
设，的斜率分别为，，，故直线的方程为，
联立，得，
设，则，，故.
当轴时，，是等腰直角三角形，且易知；
当不垂直于x轴时，直线的斜率为，故，
因为，所以，所以，，故C正确；
因为，故，故，故D正确.
故选:BCD.
5．
【分析】法一：求出点关于直线的对称点，结合双曲线定义求出2a的最大值即可求解；法二：确定直线与双曲线相切时离心率最小,联立直线与双曲线利用判别式等于0即可求解.
【详解】解法一 由题，双曲线的半焦距，故双曲线的左、右焦点分别为，,
当双曲线的离心率最小时，取得最大值，
设直线与双曲线的右支的一个交点为，则最大．
记点关于直线的对称点为，则，解得，
所以．因为，又，
所以，所以，则双曲线的标准方程为．
解法二 由于双曲线的离心率越大，双曲线的开口越大，离心率越小，双曲线的开口越小，
要保证直线与双曲线的右支有交点，则当双曲线的离心率最小时，与双曲线的右支相切,
与，联立得：，
则，解得，又，所以，，
则双曲线的标准方程为．
故答案为：.
考点六：抛物线的定义与方程
【典例精析】（多选）（2024·河南郑州·三模）已知直线（不同时为0），圆，则（ ）
A．当时，直线与圆相切
B．当时，直线与圆不可能相交
C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足
【答案】ACD
【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心到直线的距离即可判断A，利用特殊值判断B，根据抛物线的定义判断C，求出以为直径的圆的方程，即可判断两圆相交，从而判断D.
【详解】圆即，圆心为，半径；
对于A：若，则圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切，故A正确；
对于B：当，时满足，此时直线方程为，
则圆心到直线的距离为，显然直线与圆相交，故B错误；
对于C：当时直线，则直线与直线平行，
且两平行线间的距离，
依题意动圆圆心到直线的距离与到的距离相等，
且点不在直线上，
根据抛物线的定义可知动圆圆心的轨迹是一条抛物线，故C正确；
对于D：不妨令，，的中点为，又，
所以以为直径的圆的方程为，
又，所以圆与圆相交，
所以圆上存在点满足，故D正确.
故选：ACD
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·江苏·模拟预测）经过抛物线焦点的直线与交于，两点，与抛物线的准线交于点，若，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
3．（2024·河北·二模）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（ ）
A． B．
C． D．直线与抛物线的准线相交于点
4．（2023·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为，为上的一个动点，则（ ）
A．的焦点坐标为
B．若，则周长的最小值为
C．若，则的最小值为
D．在轴上不存在点，使得为钝角
三、填空题
5．（22-23高三上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有 .
参考答案：
1．D
【分析】根据等差中项得到，设直线方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由焦点弦弦长公式得到，表达出，得到方程，求出，结合两根之和，两根之积，求出，得到答案.
【详解】由题意得，，抛物线的准线方程为，
因为过抛物线焦点的直线与抛物线交于两点，且与抛物线的准线相交，
所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为，
与联立得，
设，显然，则，，
故，又，
故，解得，
故，
又，故，解得，
故.
故选：D
2．A
【分析】抛物线的焦点到其准线的距离为，又，进而利用得，从而可得的值.
【详解】因为抛物线的焦点到其准线的距离为2，所以，
所以,即,
由得，即，则，
由焦半径公式可得.
故选：A.
3．ACD
【分析】将点代入抛物线方程可确定抛物线方程，可判断A；由抛物线定义可求，可判断B；求出直线的方程，与抛物线方程联立解得点，从而求出，可判断C；易求出直线与准线交点，可判断D.
【详解】由抛物线过点，
可得，则，故A正确；
由上可知抛物线，准线方程为，
所以，故B错误；
由已知可得，所以直线的方程为，即，
联立方程组，得，
解得或，故，
所以，故C正确；
由直线的方程，令，得，
所以直线与抛物线的准线相交于点，故D正确.
故选：ACD
4．BCD
【分析】利用焦准距求出抛物线，可得焦点坐标，判断选项A；根据抛物线的定义的应用，结合周长公式，判断选项B；设，利用两点间距离公式结合二次函数的性质，求出的最小值，判断选项C；设，由数量积的坐标运算，判断出选项D．
【详解】选项A，抛物线，焦点到准线的距离为，则，焦点，错误；
选项B，，，，
设到准线的距离为，到准线的距离为，
则的周长为，正确；
选项C，设，，则，
当时，的最小值为，正确；
选项D，设，，，，
，
，不可能为钝角，正确；
故选：BCD
5．①②
【分析】联立方程求得，结合可得，当时，点三点共线，求得，即可求得，判断①；当时，由，求得的值，判断②；分情况讨论为等腰直角三角形情况，判断③.
【详解】由圆与，联立方程，解得或（舍），当时，，
所以，
从而，
即，因为点在直线上运动，所以，
则，
①当时，点三点共线，由于，
所以，所以，
由题意知，所以，故①正确；
②当时，即，所以，
即，
解得，又，得，所以②正确；
③若是等腰直角三角形，
则或或为直角，
因为，
当时，则，得，
此时，不是等腰直角三角形，
由对称性可知当时，也不是等腰直角三角形，；
当时，因为首先是等腰三角形，由抛物线的对称性可知点在轴上，
此时，，,
,即，故不是等腰直角三角形，
综上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③错误，
故答案为：①②.
【点睛】方法点睛：题目中涉及到向量的运算即，因此要利用向量的坐标运算，表示出，则①②即可判断；判断是否为等腰直角三角形，要讨论直角顶点可能的位置，即分类讨论，结合抛物线的对称性进行解答.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多选题
8．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
9．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
10．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
三、填空题
12．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
13．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
14．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
15．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
参考答案：
1．B
【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可得到点的坐标，从而得出的值；
方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；
方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出，即可根据中线定理求出．
【详解】方法一：设，所以，
由，解得：，
由椭圆方程可知，，
所以，，解得：，
即，因此．
故选：B．
方法二：因为①，，
即②，联立①②，
解得：，
而，所以，
即．
故选：B．
方法三：因为①，，
即②，联立①②，解得：，
由中线定理可知，，易知，解得：．
故选：B．
【点睛】本题根据求解的目标可以选择利用椭圆中的二级结论焦点三角形的面积公式快速解出，也可以常规利用定义结合余弦定理，以及向量的数量积解决中线问题的方式解决，还可以直接用中线定理解决，难度不是很大．
2．D
【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.
【详解】由，则，
解得，
所以双曲线的一条渐近线为，
则圆心到渐近线的距离，
所以弦长.
故选：D
3．D
【分析】根据点差法分析可得，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.
【详解】设，则的中点，
可得，
因为在双曲线上，则，两式相减得，
所以.
对于选项A： 可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；
对于选项B：可得，则，
联立方程，消去y得，
此时，
所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；
对于选项C：可得，则
由双曲线方程可得，则为双曲线的渐近线，
所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；
对于选项D：，则，
联立方程，消去y得，
此时，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确；
故选：D.
4．A
【分析】根据给定的椭圆方程，结合离心率的意义列式计算作答.
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选：A
5．C
【分析】首先联立直线方程与椭圆方程，利用，求出范围，再根据三角形面积比得到关于的方程，解出即可.
【详解】将直线与椭圆联立，消去可得，
因为直线与椭圆相交于点，则，解得，
设到的距离到距离，易知，
则，，
，解得或（舍去），
故选：C.
6．A
【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解.
【详解】[方法一]：设而不求
设，则
则由得：，
由，得，
所以，即，
所以椭圆的离心率，故选A.
[方法二]：第三定义
设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：
故，
由椭圆第三定义得：，
故
所以椭圆的离心率，故选A.
7．B
【分析】根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，从而求得点的横坐标，进而求得点坐标，即可得到答案.
【详解】由题意得，，则，
即点到准线的距离为2，所以点的横坐标为，
不妨设点在轴上方，代入得，，
所以.
故选：B
8．AC
【分析】先求得焦点坐标，从而求得，根据弦长公式求得，根据圆与等腰三角形的知识确定正确答案.
【详解】A选项：直线过点，所以抛物线的焦点，
所以，则A选项正确，且抛物线的方程为.
B选项：设，
由消去并化简得，
解得，所以，B选项错误.
C选项：设的中点为，到直线的距离分别为，
因为，
即到直线的距离等于的一半，所以以为直径的圆与直线相切，C选项正确.
D选项：直线，即，
到直线的距离为，
所以三角形的面积为，
由上述分析可知，
所以，
所以三角形不是等腰三角形，D选项错误.
故选：AC.

9．ACD
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，利用正弦定理结合三角变换、双曲线的定义得到或，即可得解，注意就在双支上还是在单支上分类讨论.
【详解】[方法一]：几何法，双曲线定义的应用
情况一
M、N在双曲线的同一支，依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为B，
所以，因为，所以在双曲线的左支，
，， ，设，由即，则，
选A
情况二
若M、N在双曲线的两支，因为，所以在双曲线的右支，
所以，， ，设，
由，即，则，
所以，即，
所以双曲线的离心率
选C
[方法二]：答案回代法
特值双曲线
，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点都在左支,，
，
则，
特值双曲线，
过且与圆相切的一条直线为，
两交点在左右两支，在右支，，
，
则，
[方法三]：
依题意不妨设双曲线焦点在轴，设过作圆的切线切点为，
若分别在左右支，
因为，且，所以在双曲线的右支，
又，，，
设，，
在中，有，
故即，
所以，
而，，，故，
代入整理得到，即，
所以双曲线的离心率
若均在左支上，
同理有，其中为钝角，故，
故即，
代入，，，整理得到：，
故，故，
故选：AC.
11．BCD
【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.
【详解】将点的代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，故准线方程为，A错误；
，所以直线的方程为，
联立，可得，解得，故B正确；
设过的直线为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，
所以，直线的斜率存在，设其方程为，，
联立，得，
所以，所以或，，
又，，
所以，故C正确；
因为，，
所以，而，故D正确.
故选：BCD
12．/
【分析】方法一：利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到关于的表达式，从而利用勾股定理求得，进而利用余弦定理得到的齐次方程，从而得解.
方法二：依题意设出各点坐标，从而由向量坐标运算求得，，将点代入双曲线得到关于的齐次方程，从而得解；
【详解】方法一：
依题意，设，则，
在中，，则，故或（舍去），
所以，，则，
故，
所以在中，，整理得，
故.
方法二:
依题意，得，令，
因为，所以，则，
又，所以，则，
又点在上，则，整理得，则，
所以，即，
整理得，则，解得或，
又，所以或（舍去），故.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于的齐次方程，从而得解.
13．
【分析】令的中点为，设，，利用点差法得到，设直线，，，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；
【详解】[方法一]：弦中点问题：点差法
令的中点为，设，，利用点差法得到，
设直线，，，求出、的坐标，
再根据求出、，即可得解；
解：令的中点为，因为，所以，
设，，则，，
所以，即
所以，即，设直线，，，
令得，令得，即，，
所以，
即，解得或（舍去），
又，即，解得或（舍去），
所以直线，即；
故答案为：
[方法二]：直线与圆锥曲线相交的常规方法
解：由题意知，点既为线段的中点又是线段MN的中点，
设，，设直线，，，
则，，，因为，所以
联立直线AB与椭圆方程得消掉y得
其中，
∴AB中点E的横坐标,又，∴
∵，，∴,又，解得m=2
所以直线，即
14．
【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．
【详解】解：双曲线的渐近线为，即，
不妨取，圆，即，所以圆心为，半径，
依题意圆心到渐近线的距离，
解得或（舍去）．
故答案为：．
15．13
【分析】利用离心率得到椭圆的方程为，根据离心率得到直线的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线的斜率，写出直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，利用弦长公式求得，得，根据对称性将的周长转化为的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
【详解】∵椭圆的离心率为，∴，∴，∴椭圆的方程为，不妨设左焦点为，右焦点为，如图所示，∵，∴，∴为正三角形，∵过且垂直于的直线与C交于D，E两点，为线段的垂直平分线，∴直线的斜率为，斜率倒数为， 直线的方程：，代入椭圆方程，整理化简得到：，
判别式，
∴，
∴ ， 得，
∵为线段的垂直平分线，根据对称性，，∴的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为.
故答案为：13.
一、单选题
1．（2024·四川凉山·三模）椭圆的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点；双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的延长线会经过另一个焦点．如图示椭圆光学装置1，光线经过椭圆焦点射出经椭圆两次反射后又回到焦点，经历时长为，在装置1中放入与椭圆具有公共焦点双曲线构成如图示装置2，光线从焦点射出依次经双曲线及椭圆反射后回到经历时长．若，则该装置中椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西临汾·三模）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南曲靖·二模）设点的坐标分别是,是平面内的动点，直线的斜率之积为，动点的轨迹与曲线相交于4个点，以这四个交点为顶点的矩形的面积等于，则轨迹的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西榆林·三模）设为双曲线的上 下焦点，点为的上顶点，以为直径的圆交的一条渐近线于两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·北京顺义·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，直线与相交于点，与轴交于点.若为的中点，则（ ）
A．4 B．6 C． D．8
二、多选题
7．（2024·浙江·二模）已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且恒成立，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．离心率 D．若，则
8．（2024·安徽·模拟预测）设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．的轨迹方程为
B．的轨迹与椭圆共焦点
C．是的轨迹的一条渐近线
D．过能做4条直线与的轨迹有且只有一个公共点
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A（点A在第一象限），过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ．
10．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线的左右焦点分别为、，曲线上的点满足，，，则双曲线的离心率为 ．
11．（2024·海南省直辖县级单位·一模）在中，，，于，若为的垂心，且.则到直线距离的最小值是 .
四、解答题
12．（2024·四川雅安·三模）设分别为椭圆的左右焦点，椭圆的短轴长为是直线上除外的任意一点，且直线的斜率与直线的斜率之比为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，判断是否成等差数列？并说明理由.
13．（2024·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且．
(1)若为的焦点，求证：；
(2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程．
14．（2024·广东·二模）双曲线的焦点为（在下方），虚轴的右端点为，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点（在第一象限），与直线交于点，记的周长为的周长为．
(1)若的一条渐近线为，求的方程；
(2)已知动直线与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，为线段上一点，设为常数．若为定值，求的最大值．
参考答案：
1．C
【分析】通过装置1与装置2，利用椭圆和双曲线的定义找到之间的关系，再由已知，进而得到之间关系，从而求出椭圆离心率与双曲线离心率之比.
【详解】不妨设光的传播速度为单位1，椭圆的长轴长为，焦距为，双曲线的实轴长为，焦距为，则由装置1知，
由装置2知：，可得：，
又由题知：，所以，
故椭圆离心率与双曲线离心率之比为，
故选：C.
2．A
【分析】由椭圆得出焦点坐标，根据椭圆与直线相切联立方程组，得出，根据离心率公式计算即可．
【详解】由椭圆得，焦点，
因为椭圆与有相同的焦点，所以椭圆的焦点，则，
又因为与直线相切，则椭圆与直线只有1个交点，
联立方程组得，，
则，化简得，，解得或（不合题意舍），
则，又，所以，
故选：A．
3．B
【分析】首先求点的轨迹方程，再根据对称性，利用坐标表示四边形的面积，并求双曲线方程，即可求解.
【详解】设，则，所以动点的轨迹的方程为，
设轨迹与曲线在第一象限的交点为，则，
且，由对称性可知所求矩形的面积，
解得，，故.
因为在曲线上，所以，
轨迹的方程可化为，所以轨迹是双曲线，且，
离心率满足：，所以.
故选：B
4．C
【分析】联立双曲线的渐近线与圆的方程可得、点坐标，结合点坐标借助向量夹角计算公式可得、的关系，即可得离心率.
【详解】由题意知以为直径的圆的方程为，
根据对称性，不妨设一条渐近线方程为，在第二象限，
联立，解得或，
则，又，
所以，
则，即，
所以离心率.
故选：C.
5．C
【分析】使用题设条件得到的比值，然后引入参数并得到等量关系，最后使用余弦定理即可得到齐次方程并求解.
【详解】根据题意，三点共线，三点共线.
而，且由知，
故.
所以，
故可设，，.
由于，
故.
从而，，故，.
而，结合余弦定理得.
故，解得，所以.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于在求得线段间比例后引入参数，方便后续的研究.
6．B
【分析】先根据抛物线的几何性质求出点的横坐标，从而可得点的坐标，进而可求出直线的方程，进而可求得点的坐标，再根据两点间的距离公式即可得解.
【详解】，准线的方程为，
过点左，垂足为，
则，
因为为的中点，所以，所以，
所以，所以，则，
根据抛物线的对称性不妨设在第一象限，则，
则，
所以直线的方程为，
令，则，即，
所以.

故选：B.
7．AB
【分析】根据椭圆定义利用通径长可求得，由椭圆性质可得，且离心率，联立直线和椭圆方程可知当，方程无解，因此D错误.
【详解】如下图所示：
易知，由椭圆定义可知，
因为恒成立，所以，
当轴，即为通径时，最小，所以，
解得，所以A正确；
当为长轴时，最大，此时，所以，即B正确；
可得椭圆方程为，易知，所以离心率，即C错误；
因为，可设直线的方程为，，
联立，整理可得，
因此；
若，可得，即，所以；
整理得，此时方程无解，因此D错误.
故选：AB
8．BC
【分析】对A，设点，，根据条件列式求出轨迹方程可判断；对B，由点的轨迹方程求出焦点坐标可判断；对C，点的轨迹方程求出渐近线方程可判断；对D，点在轴上，过点的直线与点的轨迹只有一个公共点，只有两条切线，其中与渐近线平行的直线过点不合题意.
【详解】对于A，设点，，则，，
所以，化简得，所以点的轨迹方程为.故A错误；
对于B，由A选项，点的轨迹的焦点为与椭圆共焦点，故B正确；
对于C，点的轨迹对应曲线的渐近线为，故C正确；
对于D，点在轴上，设，则，，
所以直线，与渐近线平行，但点不在点的轨迹上，
故过点只能作点的轨迹两条切线，如图所示，故D错误.
故选：BC.

9．
【分析】根据题意结合抛物线的性质可得是Rt的外接圆的直径，可知，过点A作轴，结合抛物线的定义可得，即可得方程.
【详解】如图，因为直线的倾斜角为，，

可知，，
设准线与轴交于点，则坐标原点是线段的中点，，
可知点是线段的中点，则，
即为直角三角形，为斜边，
所以是Rt的外接圆的直径，
由题意可得：，解得．
过点A作轴，垂足为，
在Rt中，，
又因为，则，即，
所以抛物线的方程为．
故答案为：
10．/
【分析】利用 ，可得 ， ，结合双曲线的定义，即可求得双曲线的离心率.
【详解】因为，，所以，
又，所以，，
所以，
则，即双曲线的离心率为.
故答案为：.
11．
【分析】首先利用垂心的性质，求得点的轨迹方程，再利用数形结合求距离的最小值.
【详解】设，由可知，，又，，

则，
因为点为的垂心，所以，
即，即()，
联立，得，得，
则直线与椭圆相离，如图，

设直线与椭圆相切，
联立，得，
令，得，
由图可知，与椭圆相切的切点到直线的距离最近，
此时最近距离为平行线和间的距离，即.
故答案为：
12．(1)
(2)成等差数列，理由见解析
【分析】（1）由椭圆的短轴长为,求出，再由是直线上除(2,0)外的任意一点，且,求出，进而得到椭圆标准方程；
（2）①当直线的斜率为时，不妨设，表达斜率，推出结论；②当直线的斜率不为时，设的方程：.
联立方程，求出，表达出来斜率，得到结论.
【详解】（1）由已知得.
设，则，,
所以椭圆的方程为.
（2）①当直线的斜率为时，的方程：，
不妨设，
，
所以
②当直线的斜率不为0时，如图，设的方程：.
由，得.
则
又，所以.
综上，.所以成等差数列.
13．(1)证明见解析
(2)．
【分析】（1）将转化为(坐标表示),从而求出点的坐标即可解答；或者由，可看作是以为直径的圆与抛物线交点，从而求出的坐标即可解答；
（2）由，易得，即，所以点必在中垂线上，联立直线与抛物线方程，再结合即可求解.
【详解】（1）法一：
由题可知，，
设，，
则，．
因为，故，
解之得，．
，
．
．
法二：
由题可知，，
设点，因为，故点在圆上，
又因为点也在上，联立与得
．
解之得．
因为，故．
故，．
．
．
（2）因为，，
所以，故．
所以点必在中垂线上．
方法一：
设，直线的方程为，，．
将代入
得：
，，．
因为点在中垂线上，故．
所以，即，左右两边同时除以得，解得：或，又因为
所以，．
因为，所以即．
所以，，，．
所以直线的方程为
即．
方法二：
设，直线的方程为，，，
将代入
得：
，，．
因为点必在中垂线上，且,
所以点为的中点，故，．
因为，所以即．
所以，，．
所以直线的方程为．
即．
14．(1)；
(2)1.
【分析】（1）根据结合双曲线定义求出，然后根据渐近线求解即可.
（2）设直线方程与（1）得到的双曲线联立，根据直线与双曲线相切表示k，再根据垂直以及向量关系求解即可.
【详解】（1）依题意，
，解得，又双曲线的一条渐近线为，则，即，
所以双曲线的方程为.
（2）由（1）知，则双曲线方程为，设，
过的直线的方程为，即，令，显然，
由消去y得，显然，
由直线与双曲线只有一个公共点，得，
化简得，代入得，
由直线与双曲线相切，得，而，于是，
过点T且与垂直的直线的直线斜率为，方程为，
令，得，即，令，得，即，
设，由，得，即，
代入得，
依题意，该双曲线与双曲线共焦点，则，
化简得，于是，
，当且仅当，时取等号，
所以的最大值为1.
【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.
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8.2圆锥曲线的概念与性质
【备考指南】 2
【知识导图】 3
【考点梳理】 8
考点一：椭圆的定义与方程 8
考点二：椭圆的离心率 9
考点三：双曲线的定义与方程 10
考点四：双曲线的渐近线 11
考点五：双曲线的离心率 13
考点六：抛物线的定义与方程 14
【真题在线】 15
【专项突破】 17
考点 考情分析 考频
椭圆 2023年新高考Ⅱ卷T5 2023年全国甲卷T7 2022年新高考Ⅰ卷T16 2022年新高考Ⅱ卷T16 2022年全国甲卷T10 2021年新高考Ⅰ卷T5 2021年全国甲卷T15 2021年全国乙卷T11 3年8考
双曲线 2023年新高考Ⅰ卷T16 2023年新高考Ⅱ卷T21 2023年全国乙卷T11 2022年全国甲卷T14 2022年全国乙卷T11 2021年新高考Ⅱ卷T13 2021年全国甲卷T5 2021年全国乙卷T13 3年8考
抛物线 2023年新高考Ⅱ卷T10 2023年全国甲卷T20 2022年新高考Ⅰ卷T11 2022年新高考Ⅱ卷T10 2022年全国乙卷T5 2021年新高考Ⅰ卷T14 2021年新高考Ⅱ卷T3 3年7考
直线与圆锥曲线位置关系 2023年新高考Ⅰ卷T22 2023年新高考Ⅱ卷T21 2022年新高考Ⅰ卷T21 2022年新高考Ⅱ卷T21 2022年全国甲卷T20 2022年全国乙卷T20 2021年新高考Ⅰ卷T21 2021年新高考Ⅱ卷T20 2021年全国甲卷T20 2021年全国乙卷T21 3年10考
预测：圆锥曲线为高考必考点，通常考察2-3个小题，考察难度易、中、难都有可能出现，在解答题的考查中，一般情况第一问相对较易，第二问的计算量增加，难度相对较大.建议在进行复习时，全面掌握好基础知识，同时也要加强学生计算能力的锻炼，加强逻辑思维能力的锻炼，正确的理解题意，合理的进行转化.
考点一：椭圆的定义与方程
【典例精析】（多选）（2024·广东·三模）已知椭圆的长轴端点分别为 两个焦点分别为是上任意一点，则（ ）
A．的离心率为 B．的周长为
C．面积的最大值为 D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·安徽池州·二模）已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆与圆内切，则圆与圆内切
B．若圆与圆外切，则圆与圆外切
C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆
D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线
2．（23-24高二上·江苏南通·期中）已知椭圆C：的左焦点为F，P为C上一动点，定点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南周口·模拟预测）已知分别为椭圆的左、右焦点，P为椭圆上任意一点（不在x轴上），外接圆的半径为R，内切圆的圆心为I，半径为r，直线PI交x轴于点M，G为的重心，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A．r为定值 B．
C．的最大值为 D．直线IG的倾斜角不变
4．（2024·山西吕梁·一模）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：椭圆的两条切线互相垂直，则两切线的交点位于一个与椭圆同中心的圆上，称此圆为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆分别为椭圆的左、右焦点，，其短轴上的一个端点到的距离为，点在椭圆上，直线，则（ ）
A．直线与蒙日圆相切
B．椭圆的蒙日圆方程为
C．若点是椭圆的蒙日圆上的动点，过点作椭圆的两条切线，分别交蒙日圆于两点，则的长恒为4
D．记点到直线的距离为，则的最小值为
三、填空题
5．（23-24高二上·安徽芜湖·期末）已知椭圆的上、下顶点分别为M，N，点P为椭圆上任意一点（不同于M，N），若点Q满足，则点Q到坐标原点距离的取值范围为 ．
考点二：椭圆的离心率
【典例精析】（多选）（2024·黑龙江齐齐哈尔·三模）在平面直角坐标系xOy中，长、短轴所在直线不与坐标轴重合的椭圆称为“斜椭圆”，将焦点在坐标轴上的椭圆绕着对称中心顺时针旋转，即得“斜椭圆”，设在上，则（ ）
A．“斜椭圆”的焦点所在直线的方程为 B．的离心率为
C．旋转前的椭圆标准方程为 D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·四川雅安·三模）在平面直角坐标系中，设椭圆与双曲线的离心率分别为，其中且双曲线渐近线的斜率绝对值小于，则下列关系中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·陕西安康·模拟预测）已知椭圆的离心率，上顶点的坐标为，右顶点为为上横坐标为1的点，直线与轴交于点为坐标原点，则（ ）
A．1 B． C． D．
二、多选题
3．（2023·全国·模拟预测）椭圆的左、右焦点分别为，，点是上一点，满足，，且的面积为，则的值可能为（ ）
A．3 B． C．4 D．
4．（2024·湖北·模拟预测）已知椭圆：的左、右焦点分别为、，又，，且直线，的斜率之积为，则（ ）
A．
B．
C．的离心率为
D．若上的点满足，则
三、填空题
5．（2022·四川绵阳·二模）第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆．国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD，且两切线斜率之积等于，则椭圆的离心率为 ．
考点三：双曲线的定义与方程
【典例精析】（多选）（2023·广东·模拟预测）已知双曲线：（，），的左、右焦点分别为，，为上一点，则以下结论中，正确的是（ ）
A．若，且轴，则的方程为
B．若的一条渐近线方程是，则的离心率为
C．若点在的右支上，的离心率为，则等腰的面积为
D．若，则的离心率的取值范围是
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·河南·二模）已知双曲线的左，右焦点分别为为坐标原点，焦距为，点在双曲线上，，且的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．4
2．（2024·辽宁·二模）已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，焦距为8，点的坐标为，点为的右支上的一点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·全国·模拟预测）关于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2
B．若为双曲线，则为钝角
C．若为锐角，则为焦点在轴上的椭圆
D．若为椭圆，为椭圆上不与长轴顶点重合的点，则
4．（2021·河北张家口·三模）已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为，则（ ）
A．
B．点是该双曲线的一个焦点
C．
D．该双曲线的渐近线方程可能为
三、填空题
5．（2024·上海金山·二模）已知双曲线(，)，给定的四点、、、中恰有三个点在双曲线上，则该双曲线的离心率是 ．
考点四：双曲线的渐近线
【典例精析】（多选）（2023·河北·模拟预测）双曲线的左、右焦点分别是，过的直线与双曲线右支交于两点，记和的内切圆半径分别为和，则（ ）
A．和的内切圆圆心的连线与轴垂直
B．为定值
C．若，则的离心率
D．若，则的渐近线方程为
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·天津·二模）已知双曲线的一条渐近线与抛物线交于点（异于坐标原点），点到抛物线焦点的距离是到轴距离的3倍，过双曲线的左 右顶点作双曲线同一条渐近线的垂线，垂足分别为，则双曲线的实轴长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．6
2．（2024·福建厦门·三模）已知双曲线，过右焦点作一条渐近线的垂线，垂足为，点在上，且，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
二、多选题
3．（2023·山西·模拟预测）如图，已知，分别为双曲线C：（，）的左、右焦点，过作圆O：的切线，切点为A，且在第三象限与C及C的渐近线分别交于点M，N，则（ ）
A．直线OA与双曲线C无交点
B．若，则
C．若，则C的渐近线方程为
D．若，则C的离心率为
4．（2024·山西·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，为坐标原点，直线交双曲线的右支于，两点（不同于右顶点），且与双曲线的两条渐近线分别交于，两点，则（ ）
A．为定值
B．
C．点到两条渐近线的距离之和的最小值为
D．不存在直线使
三、填空题
5．（2024·河南郑州·三模）已知双曲线的离心率为分别是它的两条渐近线上的两点（不与坐标原点重合），点在双曲线上且 的面积为6，则该双曲线的实轴长为 ．
考点五：双曲线的离心率
【典例精析】（多选）（2022·广东·模拟预测）已知双曲线的方程为两点分别是双曲线的左，右顶点，点是双曲线上任意一点（与两点不重合），记直线的斜率分别为，则（ ）
A．双曲线的焦点到渐近线的距离为4
B．若双曲线的实半轴长，虚半轴长同时增加相同的长度，则离心率变大
C．为定值
D．存在实数使得直线与双曲线左，右两支各有一个交点
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右焦点分别为，，点P在C上，且，，则C的离心率为（ ）
A． B． C．3 D．2
2．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，若的离心率为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，延长与另一条渐近线交于点，若，为坐标原点，则的面积为（ ）
A． B． C． D．6
二、多选题
3．（2023·辽宁锦州·模拟预测）已知，是椭圆：与双曲线：的公共焦点，，分别是与的离心率，且P是与的一个公共点，满足，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．的最大值为
4．（2024·安徽·模拟预测）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，直线：与C的左、右两支分别交于M，N两点（点N在第一象限），点在直线上，点Q在直线上，且，则（ ）
A．C的离心率为3 B．当时，
C． D．为定值
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知双曲线：（，）的焦距为6，且直线与双曲线的右支有交点，则当双曲线的离心率最小时，双曲线的标准方程为 ．
考点六：抛物线的定义与方程
【典例精析】（多选）（2024·河南郑州·三模）已知直线（不同时为0），圆，则（ ）
A．当时，直线与圆相切
B．当时，直线与圆不可能相交
C．当时，与圆外切且与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线
D．当时，直线与坐标轴相交于两点，则圆上存在点满足
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·江苏·模拟预测）经过抛物线焦点的直线与交于，两点，与抛物线的准线交于点，若，，成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线的焦点到其准线的距离为2，点是抛物线上两个不同点，且，则（ ）
A． B． C． D．3
二、多选题
3．（2024·河北·二模）已知为坐标原点，焦点为的抛物线过点，过且与垂直的直线与抛物线的另一交点为，则（ ）
A． B．
C． D．直线与抛物线的准线相交于点
4．（2023·辽宁大连·模拟预测）已知抛物线的焦点为，焦点到准线的距离为，为上的一个动点，则（ ）
A．的焦点坐标为
B．若，则周长的最小值为
C．若，则的最小值为
D．在轴上不存在点，使得为钝角
三、填空题
5．（22-23高三上·湖南益阳·期末）已知抛物线的焦点为，圆与交于两点，其中点在第一象限，点在直线上运动，记.
①当时，有；
②当时，有；
③可能是等腰直角三角形；
其中命题中正确的有 .
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，为椭圆的两个焦点，点 P在C上，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的离心率为，C的一条渐近线与圆交于A，B两点，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·全国·高考真题）设A，B为双曲线上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·全国·高考真题）设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·全国·高考真题）已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的2倍，则（ ）．
A． B． C． D．
6．（2022·全国·高考真题）椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（ ）
A．2 B． C．3 D．
二、多选题
8．（2023·全国·高考真题）设O为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）．
A． B．
C．以MN为直径的圆与l相切 D．为等腰三角形
9．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A．直线的斜率为 B．
C． D．
10．（2022·全国·高考真题）双曲线C的两个焦点为，以C的实轴为直径的圆记为D，过作D的切线与C交于M，N两点，且，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·高考真题）已知O为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为 B．直线AB与C相切
C． D．
三、填空题
12．（2023·全国·高考真题）已知双曲线的左、右焦点分别为．点在上，点在轴上，，则的离心率为 ．
13．（2022·全国·高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ．
14．（2022·全国·高考真题）若双曲线的渐近线与圆相切，则 ．
15．（2022·全国·高考真题）已知椭圆，C的上顶点为A，两个焦点为，，离心率为．过且垂直于的直线与C交于D，E两点，，则的周长是 ．
一、单选题
1．（2024·四川凉山·三模）椭圆的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到椭圆上，其反射光线会经过另一个焦点；双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线照射到双曲线上，其反射光线的延长线会经过另一个焦点．如图示椭圆光学装置1，光线经过椭圆焦点射出经椭圆两次反射后又回到焦点，经历时长为，在装置1中放入与椭圆具有公共焦点双曲线构成如图示装置2，光线从焦点射出依次经双曲线及椭圆反射后回到经历时长．若，则该装置中椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·山西临汾·三模）已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且与直线相切，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·云南曲靖·二模）设点的坐标分别是,是平面内的动点，直线的斜率之积为，动点的轨迹与曲线相交于4个点，以这四个交点为顶点的矩形的面积等于，则轨迹的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·陕西榆林·三模）设为双曲线的上 下焦点，点为的上顶点，以为直径的圆交的一条渐近线于两点，若，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）

A． B． C． D．
6．（2024·北京顺义·二模）已知抛物线的焦点为，准线为，为上一点，直线与相交于点，与轴交于点.若为的中点，则（ ）
A．4 B．6 C． D．8
二、多选题
7．（2024·浙江·二模）已知椭圆左右两个焦点分别为和，动直线经过椭圆左焦点与椭圆交于两点，且恒成立，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．离心率 D．若，则
8．（2024·安徽·模拟预测）设两点的坐标分别为直线相交于点，且它们的斜率之积为，则下列说法中正确的是（ ）
A．的轨迹方程为
B．的轨迹与椭圆共焦点
C．是的轨迹的一条渐近线
D．过能做4条直线与的轨迹有且只有一个公共点
三、填空题
9．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线的焦点为，准线为，过点且倾斜角为的直线交抛物线于点A（点A在第一象限），过点A作，垂足为，直线交轴于点，若的外接圆的面积为，则抛物线的方程为 ．
10．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知双曲线的左右焦点分别为、，曲线上的点满足，，，则双曲线的离心率为 ．
11．（2024·海南省直辖县级单位·一模）在中，，，于，若为的垂心，且.则到直线距离的最小值是 .
四、解答题
12．（2024·四川雅安·三模）设分别为椭圆的左右焦点，椭圆的短轴长为是直线上除外的任意一点，且直线的斜率与直线的斜率之比为3.
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于两点，设直线的斜率分别为，判断是否成等差数列？并说明理由.
13．（2024·山西临汾·三模）如图，在平面直角坐标系中，和是轴上关于原点对称的两个点，过点倾斜角为的直线与抛物线交于两点，且．
(1)若为的焦点，求证：；
(2)过点作轴的垂线，垂足为，若，求直线的方程．
14．（2024·广东·二模）双曲线的焦点为（在下方），虚轴的右端点为，过点且垂直于轴的直线交双曲线于点（在第一象限），与直线交于点，记的周长为的周长为．
(1)若的一条渐近线为，求的方程；
(2)已知动直线与相切于点，过点且与垂直的直线分别交轴，轴于两点，为线段上一点，设为常数．若为定值，求的最大值．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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