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专题05 二次函数与一元二次方程、不等式（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】一元二次不等式的求解 4
【考点2】三个二次之间的关系 5
【考点3】一元二次不等式恒成立问题 6
【分层检测】 7
【基础篇】 7
【能力篇】 9
【培优篇】 10
考试要求：
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国·高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
【考点1】一元二次不等式的求解
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2024·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数（且），且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．为R上的增函数 B．无极值
C． D．
三、填空题
5．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 .
6．（2023·上海宝山·二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是 ．
反思提升：
含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式.
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
【考点2】三个二次之间的关系
一、单选题
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立
3．（2021·安徽·二模）设集合，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·新疆·模拟预测）已知函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（20-21高一上·浙江台州·期中）若非负实数满足，则的最大值为 .
6．（2020·浙江·二模）已知函数，，，，则实数的取值范围是 .
反思提升：
1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
【考点3】一元二次不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多选题
3．（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．函数在区间上单调递减
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
4．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
三、填空题
5．（2023·河北·模拟预测）设向量满足，，若存在实数，，则向量与的夹角的取值范围为 ．
6．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
反思提升：
(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.
①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，则有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则有a＜0，且Δ＜0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·云南·模拟预测）若是一元二次方程的根，则该方程的两根之和为（ ）
A．2 B． C． D．1
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海·模拟预测）有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的不等关系为（ ）
A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100
C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100
二、多选题
5．（2024·广西南宁·二模）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数和实数，，则下列说法正确的是（ ）
A．定义在上的函数恒有，则当时，函数的图象有对称轴
B．定义在上的函数恒有，则当时，函数具有周期性
C．若，，，则，恒成立
D．若，，，且的4个不同的零点分别为，且，则
三、填空题
7．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为 ．
8．（2023·上海崇明·一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
9．（2024·贵州黔西·一模）已知，若，均有不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若，且存在使不等式成立，求实数的取值范围．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数）
(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
12．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为．
(1)求和的值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（ ）
A．3 B． C． D．6
三、填空题
3．（2023·广西南宁·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ．
四、解答题
4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知关于x的不等式对任意实数x恒成立.
(1)求满足条件的实数a，b的所有值；
(2)若对恒成立，求实数m的取值范围.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西榆林·三模）某兴趣小组的几位同学在研究不等式时给出一道题：已知函数.函数，当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江宁波·一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
3．（2023·广东广州·三模）定义，设函数，若使得成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
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专题05 二次函数与一元二次方程、不等式（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 5
【考点1】一元二次不等式的求解 5
【考点2】三个二次之间的关系 9
【考点3】一元二次不等式恒成立问题 13
【分层检测】 17
【基础篇】 17
【能力篇】 26
【培优篇】 29
考试要求：
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
2.会从实际情境中抽象出一元二次不等式，了解一元二次不等式的现实意义.
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x1＝x2＝－ 没有实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 R
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集
ab
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} {x|x≠a} {x|xa}
(x－a)·(x－b)<0 {x|a4.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)·g(x)>0(<0).
(2)≥0(≤0) f(x)·g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
1.绝对值不等式|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|0)的解集为
(－a，a).
记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间.
2.解不等式ax2＋bx＋c>0(<0)时不要忘记当a＝0时的情形.
3.不等式ax2＋bx＋c>0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定.
(1)不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立 或
(2)不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立 或
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·山东·高考真题）已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·全国·高考真题）已知集合则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
4．（2023·全国·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 .
参考答案：
1．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出．
方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出．
【详解】方法一：因为，而，
所以．
故选：C．
方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故选：C．
2．A
【分析】本题可根据图像得出结果.
【详解】结合图像易知，
不等式的解集，
故选：A.
3．D
【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.
【详解】由解得，
所以，
又因为，所以，
故选：D.
【点睛】本题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.
4．
【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.
【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，
则，即在区间上恒成立，
故，而，故，
故即，故，
结合题意可得实数的取值范围是.
故答案为：.
【考点1】一元二次不等式的求解
一、单选题
1．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知，若，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．或
2．（2024·福建宁德·三模）函数，若关于的不等式有且仅有三个整数解，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．不等式的解集是
B．不等式的解集是
C．若不等式恒成立，则a的取值范围是
D．若关于x的不等式的解集是，则的值为
4．（2023·广东深圳·模拟预测）已知函数（且），且，，，则下列结论正确的是（ ）
A．为R上的增函数 B．无极值
C． D．
三、填空题
5．（2024·浙江绍兴·二模）已知集合，，且有4个子集，则实数的最小值是 .
6．（2023·上海宝山·二模）已知函数（且），若关于的不等式的解集为，其中，则实数的取值范围是 ．
参考答案：
1．A
【分析】将代入，然后转化为一元二次不等式求解可得.
【详解】因为，所以，等价于，
解得.
故选：A
2．A
【分析】求导，求得的单调区间，作出的图象，分类讨论求得的解集，结合图象可得的取值范围为.
【详解】对函数求导可得，令，解得，令，解得，又时，，
所以的递增区间为，递减区间为和，
作出图象如图所示：
当时，由，可得，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当时，由，可得，
又， ，，
由的递增区间为，所以，
所以要使有三个整数解，则，
所以关于的不等式有且仅有三个整数解，
则的取值范围为.
故选：A.
3．CD
【分析】
对于AB，直接解一元二次不等式即可判断；对于C，对分类讨论即可判断；对于D，由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系，先求得，然后即可判断.
【详解】对于A，或，故A错误；
对于B，，故B错误；
若不等式恒成立，
当时，是不可能成立的，
所以只能，而该不等式组无解，综上，故C正确；
对于D，由题意得是一元二次方程的两根，
从而，解得，
而当时，一元二次不等式满足题意，
所以的值为，故D正确.
故选：CD.
4．ABC
【分析】先求导，分析函数的单调性和极值，再利用指数函数和对数函数的单调性比较a，b，c的大小，利用函数的单调性比较对应函数值的大小.
【详解】解：已知函数（且），
则，则，
所以，故在R上单调递增，A选项正确；
因为为R上的增函数，所以无极值，B选项正确；
因为是增函数，所以，
因为是减函数，所以，
因为是减函数，所以，
综上可知，，又为增函数，则，C选项正确，D选项错误；
故选：ABC.
5．/0.5
【分析】根据的子集个数，得到元素个数，分和讨论，进而得到实数m的取值范围.
【详解】由有4个子集，所以中有2个元素，
所以，所以 ，
所以满足，或，
综上，实数的取值范围为，或，
故答案为：
6．
【分析】根据题意结合指数函数性质判断出，，且的解集为，根据一元二次不等式和相应方程的关系可得，结合b的范围，即可求得答案.
【详解】由题意知若，即，
∴，
∴当时，；当 时，，
∵的解集为，
∴，，且的解集为，
∴与是的两根，
故，∴，
又，∴，
又，∴ ，
故答案为：
反思提升：
含有参数的不等式的求解，往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论.
(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论.
(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形及判别式Δ的正负，以便确定解集的形式.
(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集.
【考点2】三个二次之间的关系
一、单选题
1．（23-24高一上·四川成都·期中）一元二次不等式的解为，那么的解集为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·上海黄浦·模拟预测）已知不等式有实数解．结论（1）：设是的两个解，则对于任意的，不等式和恒成立；结论（2）：设是的一个解，若总存在，使得，则，下列说法正确的是（ ）
A．结论①、②都成立 B．结论①、②都不成立
C．结论①成立，结论②不成立 D．结论①不成立，结论②成立
3．（2021·安徽·二模）设集合，，且，则实数（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·新疆·模拟预测）已知函数，满足，且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（20-21高一上·浙江台州·期中）若非负实数满足，则的最大值为 .
6．（2020·浙江·二模）已知函数，，，，则实数的取值范围是 .
参考答案：
1．D
【分析】根据题意得出a、b、c的关系，代入新的一元二次不等式求解即可.
【详解】一元二次不等式的解为，
所以的解为，且，
由韦达定理得，代入得
，
故选：D.
2．B
【分析】根据一元二次不等式与二次方程以及二次函数之间的关系，以及考虑特殊情况通过排除法确定选项.
【详解】当且 时，
的解为全体实数，故对任意的，与 的关系不确定，例如：取而，所以 ，故结论①不成立.
当且 时，的解为 ，其中 是的两个根.当 此时 ，但 值不确定，比如：，取 ，则，但 ，故结论②不成立.
故选：B
3．A
【分析】若的两个根分别为，利用一元二次方程的根与对应不等式解集的关系得，由韦达定理结合已知条件求，进而可求.
【详解】若的两个根分别为且，
∴且，，
∵，且，
∴，
综上，可得：.
故选：A.
4．C
【分析】由题设知关于对称且开口向上，根据二次函数的对称性有，求解集.
【详解】依题意，有二次函数关于对称且开口向上，
∴根据二次函数的对称性：若，即有，
∴.
故选：C
【点睛】关键点点睛：由题设可得关于对称且开口向上，根据对称性求函数不等式的解集即可.
5．
【解析】令，结合题意，得到，根据关于的方程必须有解，利用，求得以，即可求解.
【详解】令，
则，两边平方，可得， （1）
因为，
所以， （2）
由（1）（2）可得，
整理得，
因为关于的方程必须有解，所以，
解得，因为，所以，所以的最大值为16，
即的最大值为.
故答案为：.
【点睛】解答中把转化为关于的方程必须有解，结合二次函数的性质求解是解答本题的关键.
6．或
【解析】设，是方程的两个实根，则可得或，进而可得，由可得对任意，均有，即可得，由韦达定理和根的判别式列出不等式组即可得解.
【详解】由，可设，是方程即的两个实根，
则，或，
则，
=
.
由可得对任意，均有，
即对任意均成立，
由，，可得对任意均成立，
所以，
所以即，
解得或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查了一元二次不等式与一元二次方程的关系，考查了转化化归思想和计算能力，属于中档题.
反思提升：
1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
【考点3】一元二次不等式恒成立问题
一、单选题
1．（2024·浙江·模拟预测）若不等式的解为全体实数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·湖北·二模）已知等差数列的前n项和为，且，，若对于任意的，不等式恒成立，则实数x可能为（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、多选题
3．（2024·山西晋中·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为
B．当时，不等式恒成立，则的取值范围是
C．函数在区间上单调递减
D．若函数的值域为，则实数的取值范围是
4．（23-24高一上·江苏南京·期末）已知关于的不等式的解集是，则（ ）
A．
B．
C．
D．不等式的解集是或
三、填空题
5．（2023·河北·模拟预测）设向量满足，，若存在实数，，则向量与的夹角的取值范围为 ．
6．（23-24高三上·全国·阶段练习）对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 ．
参考答案：
1．C
【分析】分类讨论与两种情况，结合二次不等式恒成立问题的解决方法即可得解.
【详解】当时，不等式可化为，显然不合题意；
当时，因为的解为全体实数，
所以，解得；
综上：.
故选：C.
2．A
【分析】由与的关系且为等差数列，求出，由，得，构造函数，由在时恒成立，求实数x的取值范围.
【详解】因为，时，，
时，，
所以，，，
因为为等差数列，所以，，
从而，，
所以，即，
则当时，恒成立，
，解得或，
只有选项A符合题意，
故选：A
3．AD
【分析】A选项，利用抽象函数定义域的求解判断即可；B选项，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案；C选项，求出的定义域即可判断；D选项，将问题转化为能够取到所有正数，分和两种情况，结合根的判别式得到不等式组，求出答案.
【详解】A选项，对于，由，得，
对于，令，解得，
故函数的定义域为，A正确；
B选项，当时，恒成立，满足要求，
当时，需满足，解得，
综上，的取值范围是，B错误；
C选项，令，解得，
当 时显然无意义，所以不可能在上单调递减，C错误；
D选项，若函数的值域为，
则能够取到所有正数，
当时，能够取到所有正数，满足要求，
当时，需满足，即，解得，
综上，实数的取值范围是，D正确.
故选：AD.
4．ABD
【分析】由一元二次不等式的解和韦达定理逐项判断即可.
【详解】由题意可知，1，3是方程的两个根，且，，
A：由以上可知，故A正确；
B：当时，代入方程可得，故B正确；
C：因为，不等式的解集是，故将代入不等式左边为，故C错误；
D：原不等式可变为，且，约分可得，解集为或，故D正确；
故选：ABD
5．
【分析】利用性质，将不等式平方转化为数量积，再由关于t的一元二次不等式有解，利用判别式可得.
【详解】设向量与的夹角为，由，利用平面向量的数量积可得
，即存在实数，使成立，于是，即，所以，所以向量与的夹角的取值范围．
故答案为：
6．
【分析】设，，将不等式恒成立问题转化成，构造，根据单调性求最值.
【详解】设，
，
则，
则恒成立可化为恒成立，
即恒成立，故，
设，
易知在时递减，在时递增，
所以，
而显然在时单调递增，所以，
故，当且仅当时，即时，等号成立，
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：本题将恒成立问题转化成求最值问题，然后采用双换元和轮流作主法求最值.
反思提升：
(1)对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R上恒成立，二是在某给定区间上恒成立.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数.
①若ax2＋bx＋c＞0恒成立，则有a＞0，且Δ＜0；若ax2＋bx＋c＜0恒成立，则有a＜0，且Δ＜0.②对第二种情况，要充分结合函数图象利用函数的最值求解(也可采用分离参数的方法).
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·云南·模拟预测）若是一元二次方程的根，则该方程的两根之和为（ ）
A．2 B． C． D．1
2．（2024·陕西商洛·模拟预测）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2023·福建厦门·二模）不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·上海·模拟预测）有一人患了流感，经过两轮传染后超过100人患了流感，若设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么x满足的不等关系为（ ）
A．x（1+x）≥100 B．1+x（1+x）＞100
C．x+x（1+x）≥100 D．1+x+x（1+x）＞100
二、多选题
5．（2024·广西南宁·二模）若表示集合M和N关系的Venn图如图所示，则M，N可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（2024·全国·模拟预测）已知函数和实数，，则下列说法正确的是（ ）
A．定义在上的函数恒有，则当时，函数的图象有对称轴
B．定义在上的函数恒有，则当时，函数具有周期性
C．若，，，则，恒成立
D．若，，，且的4个不同的零点分别为，且，则
三、填空题
7．（2022·辽宁鞍山·模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为 ．
8．（2023·上海崇明·一模）已知不平行的两个向量满足，．若对任意的，都有成立，则的最小值等于 ．
9．（2024·贵州黔西·一模）已知，若，均有不等式恒成立，则实数的取值范围为 .
四、解答题
10．（2024·全国·模拟预测）已知函数．
(1)求不等式的解集；
(2)若，且存在使不等式成立，求实数的取值范围．
11．（2024高三·全国·专题练习）已知二次函数（，为实数）
(1)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
(2)若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围；
12．（2024·全国·模拟预测）已知函数，且的解集为．
(1)求和的值；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．A
【分析】根据实系数一元二次方程的根的特点，求出另一个虚根，相加即可.
【详解】设的另一个根是，易知与一定是共轭复数，故，故.
故选：A
2．B
【分析】分别解出两个不等式的解集，即可求解.
【详解】因为，解得或，
即，解得或，
所以“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3．A
【分析】
分和两种情况讨论求出的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.
【详解】当时，，得，与题意矛盾，
当时，则，解得，
综上所述，，
所以不等式（）恒成立的一个充分不必要条件是A选项.
故选：A.
4．D
【分析】先求出第一轮后患了流感的人数，进一步求出经过第二轮后患了流感的人数.
【详解】若每轮传染中平均一个人传染了x个人，
则经过第一轮后有（1+x）个人患了流感，
经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]个人患了流感，
∴x满足的不等关系为（1+x）+x（1+x）＞100.
故选：D．
5．ACD
【分析】由题意可知：集合N是集合M的真子集.对于A：根据包含关系分析判断即可；对于B：根据一元二次不等式求集合M，进而判断M，N之间的关系；对于C：根据对数函数定义域求集合M，根据指数函数以及基本不等式求集合N，进而判断M，N之间的关系；对于D：分析可知，进而判断M，N之间的关系.
【详解】由题意可知：集合N是集合M的真子集，
对于选项A：可知集合N是集合M的真子集，故A正确；
对于选项B：因为，
可知集合M是集合N的真子集，故B错误；
对于选项C：因为，
且，则，当且仅当，即时，等号成立，
可得，
可知集合N是集合M的真子集，故C正确；
对于选项D：因为，
可知集合N是集合M的真子集，故D正确；
故选：ACD.
6．ACD
【分析】根据函数的对称性和周期性可分别判断AB；求出时的解析式，然后根据自变量范围代入相应表达式解不等式即可判断C；将问题转化为直线与函数有四个交点，结合图象求得四根的关系即可判断D.
【详解】对于A，若，则，
所以函数的图象的对称轴为直线，故A正确.
对于B，当时，.
若，则，函数不具有周期性，故B错误.
对于C，若，，则，
当时，，
则，
即当时，.
当时，，
所以
，所以恒成立，C正确.
对于D，当时，，则，
令，
作出函数的图象和直线，如图.
要使有4个不同的零点，则函数的图象与直线有4个不同的交点.
又，则，
所以，，
所以，，
则，
所以，D正确.
故选：ACD.
【点睛】思路点睛：关于函数零点个数的有关问题，一般转化为两个函数图象交点问题，利用函数图象分析求解即可.
7．/4.5
【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件.
【详解】由题意△△，而，，
所以，而矩形的周长为，
则，整理得，仅当等号成立，
所以，而，可得，
则，而△的面积，故最大值为，此时.
故答案为：
8．
【分析】先由数量积的定义推得，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解.
【详解】依题意，设与的夹角为，，
因为，，所以，即，
则，所以，
因为对任意的，都有成立，
所以，即，即对于恒成立，
故，又，解得，
综上，，则的最小值为.
故答案为：.
9．
【分析】求导，令求得，则，利用导数求出的最小值可得，进而不等式在R上恒成立，解一元二次不等式即可求解.
【详解】由题意知，，得
则，
令，则，即，得，
所以，，
又函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递增，且，
所以单调递减，单调递增，
故，
因为恒成立，即不等式在R上恒成立，
由，得，解得，
即实数n的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的恒成立问题的求解策略：
形如的恒成立的求解策略：
1、构造函数法：令，利用导数求得函数的单调性与最小值，只需恒成立即可；
2、参数分离法：转化为或恒成立，即或恒成立，只需利用导数求得函数的单调性与最值即可；
3，数形结合法：结合函数的图象在的图象的上方（或下方），进而得到不等式恒成立.
10．(1)
(2)
【分析】（1）借助零点分段法计算即可得；
（2）借助绝对值三角不等式可得，再解出含的不等式即可得.
【详解】（1），即，
当时，，该方程无解；
当时，，解得；
当时，，解得；
综上所述，，
不等式的解集为；
（2）由题知，，
当且仅当时等号成立，
，解得或，
实数的取值范围为.
11．(1)
(2)
【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得.
（2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可.
【详解】（1）依题意，，即，
由，恒成立，得，
即，整理得，
解得.
所以实数的取值范围是.
（2）由（1）知，，
由，得，即，
依题意，对恒成立，
令，
则对，恒成立，于是，
解得，
所以实数的取值范围是．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据绝对值不等式的性质即可求解，
（2）将问题转化为在上恒成立，即可利用二次函数零点分布求解.
【详解】（1）由得，
易知，则，解得，
由于的解集为，则，解得．
（2）由（1）知，由得，
得在上恒成立，
，故．
令，若在上恒成立，
则，即，解得或，
故实数的取值范围为．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·重庆·模拟预测）已知函数，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（23-24高一上·内蒙古赤峰·阶段练习）设函数的定义域为，满足，当时，，若对于任意的，都有，则实数的取值可以是（ ）
A．3 B． C． D．6
三、填空题
3．（2023·广西南宁·模拟预测）已知，，且，则的最小值为 ．
四、解答题
4．（2023·河南郑州·模拟预测）已知关于x的不等式对任意实数x恒成立.
(1)求满足条件的实数a，b的所有值；
(2)若对恒成立，求实数m的取值范围.
参考答案：
1．C
【分析】根据奇偶性定义得出为上偶函数，当时，得出，即可得出的单调性，将转化为，求解即可．
【详解】定义域为，，故为上偶函数，
当时，，
因为，所以，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
整理得，，解得，
故选：C．
2．AB
【分析】
根据，且当时，，作出函数的部分图象，结合图象即可求出实数的取值范围，从而得出结论.
【详解】由函数的定义域为，满足，
当时，可得，
当时，，，
当时，，；
作出函数的部分图象如下图所示：
由类周期函数性质可知，当时，恒成立；
解方程可得或；
又因为对于任意的，都有，利用图象可知，
因此选项AB符合题意.
故选：AB
3．9
【分析】由基本不等式以及一元二次不等式结合题目条件即可得解.
【详解】因为，，所以由基本不等式可得，
即，令，则不等式变为，
解得或（舍去），即，
所以，即的最小值为9.
故答案为：9.
4．(1)
(2)
【分析】（1）代入得和得，，联立即可得到答案；
（2）由（1）化简得，分离参数得在上恒成立，再利用基本不等式即可得到右边最值，即可得到答案.
【详解】（1）当时,不等式化为,,
所以,①
当时,同理可得,②
联立①和②，解得.
而时,原不等式为
显然恒成立,所以.
（2）由（1）知,
所以,
因为,所以,所以在上恒成立.
令,则.
因为,
当且仅当,即时等号成立,所以,
所以,即实数的取值范围为.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西榆林·三模）某兴趣小组的几位同学在研究不等式时给出一道题：已知函数.函数，当时，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·浙江宁波·一模）已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个
3．（2023·广东广州·三模）定义，设函数，若使得成立，则实数a的取值范围为（ ）．
A． B．
C． D．
参考答案：
1．C
【分析】先求导得到的单调性，从而得到当时，，当时，，令，为增函数，求出，或，当成立时，有，求出不等式解集.
【详解】，定义域为，
，
令，则由，可得，
，则，在恒成立，
在上单调递减，，故当时，，
当时，，
令，易证为增函数，
，
，
或，
当成立时，有，
故与取交集，或与或取交集，
所以或.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：求导后，利用换元思想得到的单调性，结合特殊点的函数值，得到当时，，当时，，再结合同构思想求出和的解集.
2．B
【分析】由题意有，通过分析得到，是满足题意的唯一解，注意检验.
【详解】由题意若不等式在上恒成立，
则必须满足，即，
由，两式相加得，
再由，两式相加得，
结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，
解得，
经检验，当，时，，
有，，满足在上恒成立，
综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：解题的关键是首先得到，进一步由不等式的性质通过分析即可求解.
3．A
【分析】先考虑命题使得成立的否定为真命题时a的取值范围，再求其补集即可.
【详解】命题使得成立的否定为对，，
因为当或时，，当时，，
所以当或时，，
若命题，为真命题，
则当时，恒成立，
所以，其中，
设，
当时，函数在单调递增，
所以当时，函数取最小值，所以，
所以，矛盾；
当时，函数在单调递减，
所以当时，函数取最小值，所以，
所以，矛盾；
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以时，函数取最小值，所以，
所以，
所以当时，命题，为真命题，
所以若使得成立，则a的取值范围为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.
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