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专题03 全等三角形的综合应用（五大题型）
【题型1利用三角形全等测量能到两端的距离】
【题型2 利用三角形全等求两端的距离】
【题型3利用三角形全等测量物体的内径】
【题型4 利用三角形全等解决面积问题】
【题型5 利用三角形全等解决其他问题】
【题型1利用三角形全等测量能到两端的距离】
（2024 垫江县开学）
1．如图，为了测量出池塘、两点之间的距离，小育在平地上选取了能够直接到达点和点的一点．他连接并延长，使；又连接并延长，使，连接．只要测量出的长度，也就得到了、两点之间的距离，这样测量的依据是（　　）
A． B． C． D．
（2022秋 河池期末）
2．如图，为测量桃李湖两端的距离，南开中学某地理课外实践小组在桃李湖旁的开阔地上选了一点，测得的度数，在的另一侧测得，，再测得的长，就是的长．那么判定的理由是（ ）

A． B． C． D．
（2023秋 夏邑县期中）
3．如图，为了测量出A、B两点之间的距离，在地面上找到一点C，连接、，使，然后在的延长线上确定D，使，那么只要测量出的长度也就得到了A、B两点之间的距离，这样测量的依据是（ ）
A． B． C． D．
（2022春 郑州期末）
4．如图，亮亮想测量某湖，两点之间的距离，他选取了可以直接到达点，的一点，连接，，并作，截取，连接，他说，根据三角形全等的判定定理，可得，所以，他用到三角形全等的判定定理是（　　）
A． B． C． D．
（2023春 黄岛区校级期末）
5．如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取AB的垂线BF上两点C，D，BC=CD，再画出BF的垂线DE，使点E与A，C在同一条直线上，可得△ABC≌△EDC，从而DE=AB．判定△ABC≌△EDC的依据是（ ）
A．ASA B．SAS C．AAS D．SSS
【题型2 利用三角形全等求两端的距离】
（2023秋 浦北县期中）
6．如图所示，要测量河两岸相对的两点A、B的距离，在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC=CD，过D作BF的垂线DE，与AC的延长线交于点E，若测得DE的长为25米，则河宽AB长为 ．
（2023秋 瓯海区校级月考）
7．小李用7块长为，宽为的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板点在上，点和分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为 ．
（2023秋 竹溪县期末）
8．小明沿一段笔直的人行道行走，在由走到的过程中，通过隔离带的空隙，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的一条标语，具体信息如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于，垂足为．已知米．根据上述信息，可知标语的长度为 米．
（2022秋 淅川县期末）
9．如图，A，B两点分别位于一个假山的两端，小明想用绳子测量A、B间的距离，首先在地面上取一个可以直接到达A点和B点的点C，连接并延长到点D，使，连接并延长到点E，使，连接并测量出它的长度为，则间的距离为 ．

（2023春 香坊区期末）
10．如图，小明与小红玩跷跷板游戏，如果跷跷板的支点O（即跷跷板的中点）至地面的距离是50cm，当小红从水平位置CD下降30cm时，这时小明离地面的高度是 cm．

（2023秋 广陵区校级月考）
11．如图所示.A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，，，村庄A与C，A与Ｄ间也有公路相连，且公路是南北走向，，只有A，B之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得，，则建造的斜拉桥长至少有 ．

（2022秋 山西期末）
12．如图，有两个长度相同的滑梯靠在一面竖直的墙上，其中左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的长度相等．若，，，则 m．
（2023春 秦都区校级期中）
13．如图，小明和小华两家位于A，B两处，隔河相望．要测得两家之间的距离，两人分别设计了不同的方案：
小明设计的方案：如图，从点B出发沿河岸画一条射线，在上截取，过点D作，取点E使E，C，A在同一条直线上，则的长就是A，B两点间的距离；
小华设计的方案：如图，在B点同侧选择一点C，测得，，然后在M处立了标杆，使，此时测得的长就是A，B两点间的距离．请你分别说明两人设计方案的道理．
（2023春 舞钢市期末）
14．如图，池塘两端A、B的距离无法直接测量，请同学们设计测量A、B之间距离的方案．
小明设计的方案如图①：他先在平地上选取一个可以直接到达A、B的点O，然后连接和，接着分别延长和并且使，，最后连接，测出的长即可．
小红的方案如图②：先确定直线，过点B作的垂线，在上选取一个可以直接到达点A的点D，连接，在线段的延长线上找一点C，使，测的长即可．
你认为以上两种方案可以吗？请说明理由．
（2023秋 青云谱区校级期中）
15．（1）小贤露营时带着如图1所示的折叠凳，打开时坐着舒适、稳定．这种设计所运用的数学原理是____________．

（2）图2是折叠凳打开后的侧面示意图，凳腿和的长度相等，交点O是，的中点．经过实验，厂家将打开后的折叠凳的宽度设计为，求此时的宽度，并说明理由．

（2023春 大埔县校级期末）
16．生活中的数学：

(1)如图1，一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这里所运用的几何知识是______；
(2)如图2，把小河里的水引到田地A处，若要使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B．沿挖水沟即可，这里所运用的几何知识是____；
(3)如图3，要测量池塘沿岸上两点A、E之间的距离，可以在池塘周围取两条互相平行的线段和，且，点E是线段的中点，要想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度，这样做合适吗？请说明理由．
（2023春 青羊区期末）
17．“万里桥西一草堂，百花潭水即沧浪”，杜甫草堂的工作人员打算在A、B两点间建立一座观景桥，由于A、B中间隔着河流无法直接测量，数学兴趣小组想在不用涉水的情况下测量此段河流的宽度（该段河流两岸是平的），他们是这样做的：
①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A为参照点；
②沿河岸直走有一棵树C，继续前行到达D处；
③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；
④测得的长为．
(1)河流的宽度为______；
(2)请你证明他们做法的正确性．
【题型3利用三角形全等测量物体的内径】
（2022秋 古县期末）
18．要测量圆形工件的外径，工人师傅设计了如图所示的卡钳，点O为卡钳两柄交点，OA=OB=OC=OD，且点A、O、D与点B、O、C分别共线，如果圆形工件恰好通过卡钳AB，则此工件的外径必是CD之长了，其中的依据是全等三角形的判定条件（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
（2023春 龙华区期末）
19．如图，将两根同样的钢条和的中点固定在一起，使其可以绕着点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据，的长就等于工件内槽的宽，这里判定的依据是（ ）
A．边角边 B．角边角 C．边边边 D．角角边
（2023春 南海区校级期中）
20．在测量一个小口圆形容器的壁厚(厚度均匀)时，小明用“型转动钳”按如图方法进行测量，其中，，测得，，圆形容器的壁厚是 ．

（2023 郧阳区模拟）
21．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量工件内槽宽的工具（卡钳）．在图中，若测量得，则工件内槽宽AB为 cm．

【题型4 利用三角形全等解决面积问题】
22．已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18cm2，则EF边上的高是（　　　）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
23．小亮用11块高度都是的相同长方体小木块垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个正方形木板，截面如图所示，两木墙高分别为与，点在上，求正方形木板的面积为 cm．
【题型5 利用三角形全等解决其他问题】
（2023秋 双阳区期末）
24．如图所示，小明试卷上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出一个与试卷原图完全一样的三角形，那么两个三角形完全一样的依据是（　　）
A． B． C． D．
（2023秋 盘龙区期末）
25．如图，一块三角形的玻璃被打碎成三块，现要配一块与原来形状完全相同的玻璃，则（　　）
AI
A．只带①去 B．只带③去 C．只带②去 D．带②和③去
（2022秋 如皋市校级期末）
26．一块三角形玻璃不小心摔坏了，带上如图所示的玻璃碎片就能让玻璃店的师傅重新配一块与原来相同的三角形玻璃的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“” 证明，即可获得答案．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴．
故选：B．
2．A
【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等是解题的关键．
根据题意可得，，结合公共边，即可证明．
【详解】解：在和中，
，
∴．
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质；根据题意可证，则，问题得解．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
即这样测量的依据是，
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查了平行线的性质、全等三角形的应用等知识，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．首先根据“两直线平行，内错角相等” 可得，再利用“”证明，即可获得答案．
【详解】解：∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
故选：A．
5．A
【分析】根据全等三角形的判定进行判断，注意看题目中提供了哪些证明全等的要素，要根据已知选择判断方法．
【详解】解：在△ABC和△EDC中：
，
∴△ABC≌△EDC（ASA）．
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．
6．25米
【详解】解：根据题意可知∠B=∠D=90°，BC=CD，∠ACB=∠ECD，
∴△ABC≌△EDC，
∴AB=DE=25米．
故答案为：25米
7．36
【分析】根据题意可得，，，，进而得到，再根据等角的余角相等可得，再证明，利用全等三角形的性质进行解答．此题主要考查了全等三角形的应用，解题的关键是正确找出证明三角形全等的条件．
【详解】解：由题意得，，，，，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
则两堵木墙之间的距离为，
故答案为：36．
8．
【分析】本题考查了全等三角形的判定与形状，证即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵相邻两平行线间的距离相等，，三点共线
∴
∴
∵
∴
∴米．
故答案为：
9．
【分析】根据全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：在和中，
，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
10．80
【分析】根据题意可得：OF=OG，OC=OD，利用已知条件判断出△OFC≌△OGD，得到CF=DG，即可求出答案.
【详解】∵O是FG和CD的中点
∴OF=OG，OC=OD
在△OFC和△OGD中
∴△OFC≌△OGD（SAS）
∴CF=DG
又DG=30cm
∴CF=DG=30cm
∴小明离地面的高度=支点到地面的高度+CF=50+30=80cm
故答案为80
【点睛】本题主要考查了三角形全等知识的应用，用数学方法解决生活中有关的实际问题，把实际问题转换成数学问题，用数学方法加以论证，最后进行求解，是一种十分重要的方法.
11．
【分析】根据全等三角形的判定得出，进而得出，这样可以得出斜拉桥长度．
【详解】解：由题意知：，，
∵在和中，
，
∴，
∴，
故斜拉桥至少有，
故答案为．
【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定及其性质，根据已知得出是解题的关键．
12．18
【分析】先根据“HL“定理判断出，再根据全等三角形的性质求出，即可求出．
【详解】解：由题意知，滑梯、墙、地面正好构成直角三角形，
在和中，，
∴，
∴,
∴．
故答案为：18．
【点睛】本题考查的是直角三角形全等三角形的判定及性质，熟练掌握直角三角形全等的判定是解决问题的关键．
13．理由见解析
【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质，分别证明和，利用全等三角形的性质即可证明结论．
【详解】解：小明设计的方案：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
即的长就是A、B两点之间的距离．
小华设计的方案：在与中，
，
∴，
∴．
即的长就是A、B两点之间的距离．
14．两种方案都可以，理由见解析
【分析】小明的方案：证明即可；小红的方案：证明即可．
【详解】解：两种方案都可以，理由如下：
小明的方案：
在和中，
，
，
，
测出的长即可得出A、B之间距离．
小红的方案：
在和中，
，
，
，
测出的长即可得出A、B之间距离．
【点睛】本题考查全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
15．（1）三角形具有稳定性；（2）
【分析】（1）根据图形特征即可判断使用了三角形的稳定性；
（2）结合题意的中点和对顶角相等即可判定三角形全等，得到对应边相等即可求得答案；
【详解】解：（1）三角形具有稳定性．
（2）．
理由：∵O是，的中点，
∴，．
在和中，
，
∴，
∴．
又∵，
∴．
【点睛】本题主要考查三角形的稳定性和全等三角形的判定和性质，结合图形选择合适判定定理是关键．
16．(1)三角形具有稳定性
(2)垂线段最短
(3)合适，理由见解析
【分析】（1）根据三角形的稳定性解答；
（2）根据垂线段最短解答；
（3）首先证明，根据全等三角形的性质可得．
【详解】（1）解：一扇窗户打开后，用窗钩要将其固定，这里所运用的几何原理是三角形具有稳定性；
故答案为：三角形具有稳定性；
（2）过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，
运用的原理是：垂线段最短；
故答案为：垂线段最短；
（3）合理，
∵，
∴，
∵点E是的中点，
∴，
在和中
∴，
∴，
∴想知道A、E之间的距离，只需要测出线段的长度．
【点睛】此题主要考查了垂线段的性质，三角形的稳定性，以及全等三角形的应用，关键是掌握全等三角形判定定理，会用它证明对应边相等．
17．(1)5
(2)证明见解析
【分析】（1）根据全等三角形对应边相等即可得到答案；
（2）由，，米，则，由可以证明，即可说明做法的正确性．
【详解】（1）解：由题意得，河流的宽度为，
故答案为：；
（2）证明：由题意可知A、C、E三点在同一条直线上，
由作法知：，，米，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
即他们的做法是正确的．
【点睛】此题考查了三角形全等的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
18．B
【分析】连接AB、CD，然后利用“边角边”证明△ABO和△DCO全等，根据全等三角形对应边相等解答．
【详解】解：如图，连接AB、CD，
在△ABO和△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（SAS），
∴AB=CD．
故选：B．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
19．A
【分析】根据边角边判定三角形全等．
【详解】证明：∵将两根同样的钢条和的中点固定在一起，
∴，，
又∵，
∴（），
故选A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键．
20．
【分析】由题证明，由全等三角形的性质可得，，即可解决问题．
【详解】在和中，
，
，
，
，
圆柱形容器的壁厚是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形的应用，解题的关键是利用全等三角形的性质解决实际问题．
21．15
【分析】连接，证明，即可解答．
【详解】

解：如图，连接，
该工具把两根钢条的中点连在一起，
，
在与中，
，
，
，
故答案为：15．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，根据已知条件证明三角形全等是解题的关键．
22．A
【分析】利用全等三角形的性质找出同一个三角形的底边长及面积，代入面积公式即可求解三角形的高．
【详解】解：设△DEF的面积为s，边EF上的高为h，
∵△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18平方厘米，
∴两三角形的面积相等，即s=18，即有，
解得：h=6，
即EF边上的高为6cm，
故选：A．
【点睛】本题考查了全等三角形性质的应用，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．
23．61
【分析】利用三角形全等及勾股定理解题即可．
【详解】解：∵木墙与地面垂直，正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵长方体小木块高度都是，
∴，
在中，，
∴，
∴，
故答案为：61．
【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，涉及到三角形全等的判定，能够熟练通过全等得到线段的等量关系是解题关键．
24．A
【分析】本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．结合题意，利用“角边角”定理可作出完全一样的三角形，即可确定答案．
【详解】解：根据题意，三角形的两角和它们的夹边是完整的，所以可以利用“角边角”定理作出完全一样的三角形．
故选：A．
25．A
【分析】此题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法熟练掌握．
【详解】解：A．第①块不仅保留了原来三角形的两个角，还保留了一边，则可根据来配一块与原来一样的玻璃，故符合题意；
B．第③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这块不能配一块与原来完全一样的三角形，故不符合题意；
C．第②只保留了原三角形的部分边，根据这一块不能配一块与原来完全一样的三角形，故C不符合题意；
D．第②和③块保留了原三角形的部分和一角，根据这两块不能配一块与原来完全一样的三角形，故不符合题意.
故选：A．
26．D
【分析】这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，利用全等三角形判定方法进行判断．
【详解】解：这片碎玻璃的两个角和这两个角所夹的边确定，从而可根据“ASA”重新配一块与原来全等的三角形玻璃．
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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