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【命题猜想3】数式和数形综合——定义新运算与规律探索。
【命题说明】
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算，它是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
小升初中的新运算考察形式较为简单，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。21世纪教育网版权所有
数形规律也是常考察题型之一，主要以数字数列、图形图表、算式等形式为主，考点和题型探索性和抽象性较强，一般学生解决起来稍显吃力，可着重进行强化训练。21教育网
【预测命题1】定义新运算。
例题：（2023·南京市小升初真题）对于两个数a与b，规定aθb＝a×b＋a＋b。
（1）求6θ2；2θ6；
（2）求（17θ6）θ2；17θ（6θ2）；
（3）这个运算θ有交换律和结合律吗？
解析：
【答案】（1）20；20；
（2）377；377
（3）θ有交换律和结合律。
【分析】第一、第二小题，根据给出的式子得出新的运算方法是：将运算符号的前后两个先相乘再相加，由此解答。
第三小题，根据交换律和结合律的意义，验证θ具有交换律和结合律即可。
【详解】（1）6θ2
＝6×2＋6＋2
＝12＋6＋2
＝20
2θ6
＝2×6＋2＋6
＝12＋2＋6
＝20
（2）（17θ6）θ2
＝（17×6＋17＋6）θ2
＝（102＋17＋6）θ2
＝125θ2
＝125×2＋125＋2
＝250＋125＋2
＝377
17θ（6θ2）
＝17θ（6×2＋6＋2）
＝17θ（12＋6＋2）
＝17θ20
＝17×20＋17＋20
＝340＋17＋20
＝377
（3）aθb
＝a×b＋a＋b
＝b×a＋b＋a
所以，aθb＝bθa，即θ满足交换律。
（aθb）θc
＝（a×b＋a＋b）θc
＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c
＝a×b×c＋a×c＋b×c＋a×b＋a＋b＋c
aθ（bθc）
＝aθ（b×c＋b＋c）
＝a×（b×c＋b＋c）＋b×c＋b＋c
＝a×b×c＋a×c＋b×c＋a×b＋a＋b＋c
所以，（aθb）θc＝ aθ（bθc），即θ具有结合律。
答：θ有交换律和结合律。
【点睛】关键是根据给出的式子，得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题。
【真题练习】
1．（2023·长沙市小升初真题）对两个整数和定义新运算“”：，求。
2．（2023·成都市小升初真题）规定，，，，……如果，那么是几？
3．（2023·浏阳市小升初真题）规定“”为一种新运算，对于任意两个数和都有，如果，已知，求的值。
【预测命题2】数形规律。
例题：（2023·北京市小升初真题）餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图所示的方式拼桌。
现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？（可以选择画一画或算一算等方法）
解析：
【答案】6张
【分析】根据题意可知1张桌子4个人，2张桌子6个人，3张桌子8个人，可得到规律：每多1张桌子，会多2人，先用14－4求出第一张桌子坐满后多的人数，再除以2即可求出需要多加多少张桌子，再加上1即为一共需要拼几张桌子。据此解答即可。
【详解】14－4＝10（人）
10÷2＝5（张）
5＋1＝6（张）
答：一共需要拼6张桌子。
【真题练习】
1．（2023·武汉市小升初真题）下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？
照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？
2．（2023·上海市小升初真题）数一数。

（1）图中各有多少个▲和△？
序号 ① ② ③ ④
▲ （ ） （ ） （ ） （ ）
△ （ ） （ ） （ ） （ ）
（2）照这样连续画下去，第7个图形中▲和△各有多少个？
3．（2023·天津市小升初真题）将小正方体按下图方式摆放在地上。
小正方体的个数 1 2 3 4 5 6
露在外面的面数
如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有多少个？如果露在外面的面是129个，那是有几个正方体如上图摆放？
【预测命题3】数式规律。
例题：（2023·溧阳市小升初真题）三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
，；
，；
（1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差：
＝ ；＝ ；
（2）请运用上述拆分方法计算：。
解析：
【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）观察算式可知，若该分数的分子不是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数和的形式，进而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；若该分数的分子是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数差的形式，而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；
（2） 根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数进行拆分，去括号后，再运用加法结合律进行计算即可。
【详解】（1）＝；＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【点睛】本题主要考查算式的规律，数字的变化类，解答的关键是理解清楚所给的规律并灵活运用。
【真题练习】
1．（2023·无锡市小升初真题）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如：
6×6＝36
5×7＝35
4×8＝32
3×9＝27
(1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。
(2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？
(3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（ ）。
A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1
B．（a＋1）×（a－1）＝a2
C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1
D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2
(4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。
2．（2023·青岛市小升初真题）先找规律再填空。（图中阴影表示每次截去后剩下的部分）
第四次截去后剩下，第（ ）次截去后剩下。
【预测命题4】数列规律。
例题：（2023·湘潭市小升初真题）已知一列数按294736294736294……排列，那么前40个数字之和是多少？
解析：
【答案】208
【分析】294736294736294……这一列数字是按照2、9、4、7、3、6这6个数字为一组进行循环出现的，求出40里面有多少个这样的一组，还余几；求出每组和，进而求出前40个数字的和。
【详解】2、9、4、7、3、6这6个数字为一组进行循环出现
2＋9＋4＋7＋3＋6＝31
40÷6＝6（组）…4（个）
6组还余4个数字，余下的4个是2，9，4，7
2＋9＋4＋7＝22
31×6＋22＝208
答：前40个数字之和是208。
【点睛】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解。
【真题练习】
1．（2023·株洲市小升初真题）丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？
2．（2023·徐州市小升初真题）（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律？
（2）如果长方形中最上面一个数字用表示，最下面一个数字可以怎样表示？
（3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是200，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。
3．（2023·重庆市小升初真题）有下面一串分数：；，，；，，，，；，，，，，，……
（1）是第几个分数？
（2）第400个分数是几分之几？
【命题猜想3】数式和数形综合——定义新运算与规律探索。
【命题说明】
定义新运算是指运用某种特殊符号来表示特定的意义，从而解答某些算式的一种运算，它是一种人为的、临时性的运算形式，它使用的是一些特殊的运算符号，如：*、△、⊙等，这是与四则运算中的“＋、－、×、÷”不同的。
小升初中的新运算考察形式较为简单，关键是要正确地理解新定义的算式含义，然后严格按照新定义的计算程序，将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。21世纪教育网版权所有
数形规律也是常考察题型之一，主要以数字数列、图形图表、算式等形式为主，考点和题型探索性和抽象性较强，一般学生解决起来稍显吃力，可着重进行强化训练。21教育网
【预测命题1】定义新运算。
例题：（2023·南京市小升初真题）对于两个数a与b，规定aθb＝a×b＋a＋b。
（1）求6θ2；2θ6；
（2）求（17θ6）θ2；17θ（6θ2）；
（3）这个运算θ有交换律和结合律吗？
解析：
【答案】（1）20；20；
（2）377；377
（3）θ有交换律和结合律。
【分析】第一、第二小题，根据给出的式子得出新的运算方法是：将运算符号的前后两个先相乘再相加，由此解答。
第三小题，根据交换律和结合律的意义，验证θ具有交换律和结合律即可。
【详解】（1）6θ2
＝6×2＋6＋2
＝12＋6＋2
＝20
2θ6
＝2×6＋2＋6
＝12＋2＋6
＝20
（2）（17θ6）θ2
＝（17×6＋17＋6）θ2
＝（102＋17＋6）θ2
＝125θ2
＝125×2＋125＋2
＝250＋125＋2
＝377
17θ（6θ2）
＝17θ（6×2＋6＋2）
＝17θ（12＋6＋2）
＝17θ20
＝17×20＋17＋20
＝340＋17＋20
＝377
（3）aθb
＝a×b＋a＋b
＝b×a＋b＋a
所以，aθb＝bθa，即θ满足交换律。
（aθb）θc
＝（a×b＋a＋b）θc
＝（a×b＋a＋b）×c＋a×b＋a＋b＋c
＝a×b×c＋a×c＋b×c＋a×b＋a＋b＋c
aθ（bθc）
＝aθ（b×c＋b＋c）
＝a×（b×c＋b＋c）＋b×c＋b＋c
＝a×b×c＋a×c＋b×c＋a×b＋a＋b＋c
所以，（aθb）θc＝ aθ（bθc），即θ具有结合律。
答：θ有交换律和结合律。
【点睛】关键是根据给出的式子，得出新的运算方法，再利用新的运算方法解决问题。
【真题练习】
1．（2023·长沙市小升初真题）对两个整数和定义新运算“”：，求。
【答案】
【分析】由可知：定义新运算“”的意义是：分子是前面数的2倍减去后面的数，分母是前面数加后面数的和乘前面数减后面数的差，代入数据计算即可。
【详解】
＝＋
＝＋
＝
【点睛】解答此类问题，关键是要正确理解新定义的算式含义，严格按照定义新运算的计算程序将数值代入，转化为常规的四则运算算式进行计算。
2．（2023·成都市小升初真题）规定，，，，……如果，那么是几？
【答案】
【分析】将化为：再根据等式的性质进行解答即可。
【详解】由，可得：
进而得出
根据等式的性质2得：A＋1＝÷，将＝5×6×7，＝6×7×8代入可得：
A＋1＝÷
所以A＝－1＝
答：是。
【点睛】本题是一道稍复杂的等量代换，合理运用等式的性质是解题的关键。
3．（2023·浏阳市小升初真题）规定“”为一种新运算，对于任意两个数和都有，如果，已知，求的值。
【答案】x＝
【分析】根据题中的新定义计算即可。
【详解】根据题中的新定义可得：＋＝5
解方程可得x＝
答：的值是。
【点睛】本题是一道定义新运算问题，解题的关键是正确理解定义的运算符号的意义。
【预测命题2】数形规律。
例题：（2023·北京市小升初真题）餐馆内有一种长方形桌子，每张桌子周围放4把椅子，如果客人多，就按如图所示的方式拼桌。
现有14位客人要坐在一起，一共需要拼几张桌子？（可以选择画一画或算一算等方法）
解析：
【答案】6张
【分析】根据题意可知1张桌子4个人，2张桌子6个人，3张桌子8个人，可得到规律：每多1张桌子，会多2人，先用14－4求出第一张桌子坐满后多的人数，再除以2即可求出需要多加多少张桌子，再加上1即为一共需要拼几张桌子。据此解答即可。
【详解】14－4＝10（人）
10÷2＝5（张）
5＋1＝6（张）
答：一共需要拼6张桌子。
【真题练习】
1．（2023·武汉市小升初真题）下面每个图中各有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？
照这样接着画下去，第6个图形有多少个绿色小正方形和多少个蓝色小正方形？第10个图形呢？你能解释这其中的道理吗？
【答案】绿色6个；蓝色18个；绿色10个；蓝色26个；见详解
【分析】第1个图形，有1个绿色小正方形，8个蓝色小正方形，8＝2×1＋6；
第2个图形，有2个绿色小正方形，10个蓝色小正方形，10＝2×2＋6；
第3个图形，有3个绿色小正方形，12个蓝色小正方形，12＝2×3＋6；
第4个图形，有4个绿色小正方形，14个蓝色小正方形，14＝2×4＋6；
……
规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形；据此解答。
【详解】规律：第n个图形，有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
当n＝6时，有6个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×6＋6
＝12＋6
＝18（个）
当n＝10时，有10个绿色小正方形；
蓝色小正方形有：
2n＋6
＝2×10＋6
＝20＋6
＝26（个）
答：照这样接着画下去，第6个图形有6个绿色小正方形和18个蓝色小正方形。第10个图形有10个绿色小正方形和26个蓝色小正方形。
道理：从图中发现规律：第n个图形有n个绿色小正方形，（2n＋6）个蓝色小正方形。
【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。
2．（2023·上海市小升初真题）数一数。

（1）图中各有多少个▲和△？
序号 ① ② ③ ④
▲ （ ） （ ） （ ） （ ）
△ （ ） （ ） （ ） （ ）
（2）照这样连续画下去，第7个图形中▲和△各有多少个？
【答案】（1）1；3；6；10
3；6；10；15
（2）▲有28个；△有36个
【分析】第1个图有1个▲，第2个图有1＋2＝3（个）▲，第3个图有1＋2＋3＝6（个）▲，第4个图有1＋2＋3＋4＝10（个）▲，……由此发现规律：第n图有（1＋2＋3＋4＋…＋n）个▲。
第1个图有1＋2＝3（个）△，第2个图有1＋2＋3＝6（个）△，第3个图有1＋2＋3＋4＝10（个）△，第4个图有1＋2＋3＋4＋5＝15（个）△……由此发现规律：第n图有[1＋2＋3＋4＋…＋（n＋1）]个△。
【详解】（1）▲的个数：
第1个图：1个
第2个图：1＋2＝3（个）
第3个图：1＋2＋3＝6（个）
第4个图：1＋2＋3＋4＝10（个）
△的个数：
第1个图：1＋2＝3（个）
第2个图：1＋2＋3＝6（个）
第3个图：1＋2＋3＋4＝10（个）
第4个图：1＋2＋3＋4＋5＝15（个）
如下表：
序号 ① ② ③ ④
▲ 1 3 6 10
△ 3 6 10 15
（2）1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28（个）
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）
答：第7个图形中▲有28个，△各有36个。
【点睛】在运用数形结合的方法探究数学规律时，一定要把图形和数一一对应。
3．（2023·天津市小升初真题）将小正方体按下图方式摆放在地上。
小正方体的个数 1 2 3 4 5 6
露在外面的面数
如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有多少个？如果露在外面的面是129个，那是有几个正方体如上图摆放？
【答案】表格见详解；201个；32个
【分析】由题意可知，有1个小正方体露在外面的面数有5面，2个小正方体露在外面的面数有9个，3个小正方体露在外面的面数有13个，则有n个正方体，则露在外面的面有（4n＋1）个，据此解答即可。
【详解】当n＝4时
4n＋1＝4×4＋1
＝16＋1
＝17（个）
当n＝5时
4n＋1＝4×5＋1
＝20＋1
＝21（个）
当n＝6时
4n＋1＝4×6＋1
＝24＋1
＝25（个）
当n＝50时
4n＋1＝4×50＋1
＝200＋1
＝201（个）
解：设如果露在外面的面是129个，那是有x个正方体如上图摆放。
4n＋1＝129
4n＋1－1＝129－1
4n＝128
4n÷4＝128÷4
n＝32
则如果有50个正方体按上图摆放，露在外面的面有201个，如果露在外面的面是129个，那是有32个正方体如上图摆放。
如图所示：
小正方体的个数 1 2 3 4 5 6
露在外面的面数 5 9 13 17 21 25
【点睛】本题考查图形的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。
【预测命题3】数式规律。
例题：（2023·溧阳市小升初真题）三千多年前，埃及人发明了一种记录分数的方法，这些分数的分子为1，它们被称为“单位分数”，通过研究，小明发现一些分数可以很容易地拆分为两个不同的“单位分数”之和（或差）例如：
，；
，；
（1）请根据上述拆分方法将下列分数拆分为“单位分数”的和或差：
＝ ；＝ ；
（2）请运用上述拆分方法计算：。
解析：
【答案】（1）；
（2）
【分析】（1）观察算式可知，若该分数的分子不是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数和的形式，进而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；若该分数的分子是1，则把分数的分母拆成相邻的两个自然数的乘积形式，分子是这两个自然数差的形式，而写成分母是两个数的乘积形式，分子分别是这两个数，再化简成分子为1的分数形式；
（2） 根据（1）中发现的规律，把算式中的每个分数进行拆分，去括号后，再运用加法结合律进行计算即可。
【详解】（1）＝；＝；
（2）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
【点睛】本题主要考查算式的规律，数字的变化类，解答的关键是理解清楚所给的规律并灵活运用。
【真题练习】
1．（2023·无锡市小升初真题）探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如：
6×6＝36
5×7＝35
4×8＝32
3×9＝27
(1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。
(2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？
(3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（ ）。
A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1
B．（a＋1）×（a－1）＝a2
C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1
D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2
(4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。
【答案】(1)7×7＝49
6×8＝48
5×9＝45
4×10＝40
(2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。
(3)C
(4)4088483
【分析】根据算式的规律，可以发现：
6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1；
6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22；
6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32；
据此结合题意解答即可。
【详解】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式：
7×7＝49
6×8＝48
5×9＝45
4×10＝40（答案不唯一）
（2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。
（3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1
故答案为：C
（4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则：
2021×2023
＝2022×2022－1
＝4088484－1
＝4088483
【点睛】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。
2．（2023·青岛市小升初真题）先找规律再填空。（图中阴影表示每次截去后剩下的部分）
第四次截去后剩下，第（ ）次截去后剩下。
【答案】规律：第几次截去后剩下的就用1连续乘几个；16；7
【分析】观察图形可知，每次剩下，第一次1×；第二次1××；第三次1×××，第几次就用1连续乘几个；据此解答。
【详解】规律：第几次截去后剩下的就用1连续乘几个。
1××××
＝×××
＝××
＝×
＝
第五次截去后还剩：×＝
第六次截去后还剩：×＝
第七次截去后还剩：×＝
第四次截去后剩下，第7次截去后剩下。
【点睛】在数学算式中探索规律，需要仔细观察算式特点，找出规律，根据规律填出这一类算式的结果。
【预测命题4】数列规律。
例题：（2023·湘潭市小升初真题）已知一列数按294736294736294……排列，那么前40个数字之和是多少？
解析：
【答案】208
【分析】294736294736294……这一列数字是按照2、9、4、7、3、6这6个数字为一组进行循环出现的，求出40里面有多少个这样的一组，还余几；求出每组和，进而求出前40个数字的和。
【详解】2、9、4、7、3、6这6个数字为一组进行循环出现
2＋9＋4＋7＋3＋6＝31
40÷6＝6（组）…4（个）
6组还余4个数字，余下的4个是2，9，4，7
2＋9＋4＋7＝22
31×6＋22＝208
答：前40个数字之和是208。
【点睛】解决这类问题往往是把重复出现的部分看成一组，先找出排列的周期性规律，再根据规律求解。
【真题练习】
1．（2023·株洲市小升初真题）丁丁也不甘示弱：你们知道著名的“斐波那契”数列吗？它是这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，21，……从第三个数开始，以后每个数都是它前两个数的和，请问：前2016个数中共有多少个偶数？
【答案】672个
【分析】由奇数＋奇数＝偶数，偶数十奇数＝奇数，从而可以发现斐波那契数列中数列是以“奇数、奇数、偶数、奇数、奇数、偶数……”3个一周期排列的，所以2016÷3＝672（个）周期，每个周期里有1个偶数，672×1＝672（个），即有672个偶数。
【详解】2016÷3＝672（个）
672×1＝672（个）
答：前2016个数中共有672个偶数。
【点睛】找到题干中的数列规律是解题的关键。
2．（2023·徐州市小升初真题）（1）用一个长方形像图中那样任意圈出四个数字，你发现了什么规律？
（2）如果长方形中最上面一个数字用表示，最下面一个数字可以怎样表示？
（3）按这样的圈法，小丽圈出的四个数的和是200，你知道她圈的是哪四个数吗？算一算写出来。
【答案】（1）每相邻两个之间相差10；
（2）；
（3）35、45、55、65。
【分析】（1）观察上下相邻的数之间的大小关系，得出规律；
（2）长方形中一共有4个数，最上面和最下面之间相差30，据此列式；
（3）设小丽圈出的第一个数字为，下面的数依次是a＋10、a＋20、a＋30，根据四个数相加等于200，列出方程，求出第一个数，再分别求出下面的数即可。
【详解】（1）我发现圈出的4个数，每相邻两个之间相差10。
（2）最下面一个数字可以用表示。
（3）解：设小丽圈出的第一个数字为。
4＋60＝200
4＝140
，，。
答：她圈的是35、45、55、65。
【点睛】本题考查了数字的排列规律和列方程解决问题，关键是发现数表中的规律。
3．（2023·重庆市小升初真题）有下面一串分数：；，，；，，，，；，，，，，，……
（1）是第几个分数？
（2）第400个分数是几分之几？
【答案】（1）第88个和第94个 （2）
【详解】略
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