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2024年安徽省合肥市蜀山区中考数学二模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个实数中，绝对值最小的数是( )
A. B. C. D.
2.下列计算结果等于的是( )
A. B. C. D.
3.文房四宝是中国古代传统文化中的文书工具，即笔、墨、纸、砚，也是安徽的特产，被联合国中如教科文组织列为世界级“非物质文化遗产”，如图是一个砚台，则其俯视图是( )
A. B. C. D.
4.计算的结果为( )
A. B. C. D.
5.苯分子式为的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的随着研究的不断深入，发现阳苯分子中的个碳原子组成了一个完美的正六边形如图，图是其平面示意图，点为正六边形的中心，则的度数为( )
A. B. C. D.
6.若将直线向下平移个单位，则关于平移后的直线，下列描述正确的是( )
A. 与轴交于点 B. 不经过第一象限
C. 随的增大而增大 D. 与轴交于点
7.易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白点为阳数，黑点为阴数现从阳数和阴数中各取个数，则取出的个数之和是的倍数的概率是( )
A. B. C. D.
8.如图，四边形中，，，，边的垂直平分线分别交、于点、，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，正方形边长为，点、分别在、上，且，点、分别为线段、的中点，连接，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点在点左边，与轴交于点，下列命题中不成立的是( )
A. A、两点之间的距离为个单位长度
B. 若线段的端点为，，当抛物线与线段有交点时，则
C. 若、在该抛物线上，当时，则
D. 若，当时，的最大值与最小值的差为，则
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
11.计算： ______．
12.大鹏一日同风起，扶摇直上九万里国产大飞机自年月日开启首次商业航线以来，截至年月日，东航机队累计执飞商业航班共计班，累计商业运行小时，运输旅客约人次，其中数据用科学记数法表示为______．
13.如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数第一象限的图象上且坐标为，若的面积为，则的值为______．
14.如图，若点是矩形对角线的中点，按如图所示的方式折叠，使边落在上，边也落在上，、两点恰好重合于点，连接交于点，交于点．
的度数为______度；
的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
解不等式：．
16.本小题分
某景区年共接待游客约万人次，年比年游客总数增加了，其中省内游客增加了，省外游客增加了，求该景区年省内，外游客分别为多少万人次？
17.本小题分
如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点网格线的交点．
以点为旋转中心，将旋转，得到，请画出；
将线段向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到线段，画出线段；点与点对应，点与点对应
画出格点，使得只需画出一个点，作图过程用虚线表示
18.本小题分
【观察思考】观察个位上的数字是的自然数的平方任意一个个位数字为的自然数可用代数式来表示，其中为正整数，会发现一些有趣的规律请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论．
【规律发现】
第个等式：；
第个等式：；
第个等式：；
【规律应用】
写出第个等式：______；写出你猜想的第个等式：______用含的等式表示；
根据以上的规律直接写出结果： ______；
若与的差为，求的值．
19.本小题分
如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度：，点，，，在同一条水平直线上某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高精确到米参考数据：，，，，，
20.本小题分
如图，四边形内接于，，对角线为的直径，延长交过点的切线于点．
求证：；
若的半径为，，求的长．
21.本小题分
为了了解和加强青少年心理健康教育，某校组织了全校学生进行了心理健康常识测试，并随机抽取了这次测试中部分同学的成绩，将测试成绩按下表进行整理成绩用分表示
测试成绩
级别 及格 中等 良好 优秀
并绘制了如下不完整的统计图：
请根据所给的信息解答下列问题：
请直接写出参加此次调查的学生的人数为______人，并补全频数分布直方图；
根据上面的频数分布直方图，我们可以用各组的组中值数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数例如：的组中值为代表该组数据的平均值，据此估算所抽取的学生的平均成绩；
若该校有名学生，请估计测试成绩在良好以上的学生约有多少名？
22.本小题分
如图，和中，，，，连接，，且，过点作交线段的延长线于点，与相交于点，连接，．
求证：；
试判断四边形的形状，并说明理由；
如图，连接，过点作于，交于，若，求的长．
23.本小题分
如图，悬索桥两端主塔塔顶之间的主索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主索之间用垂直吊索连接已知两端主塔之间水平距离为，两主塔塔顶距桥面的高度为，主索最低点离桥面的高度为，若以桥面所在直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立如图所示的平面直角坐标系．
求这条抛物线对应的函数表达式；
若在抛物线最低点左下方桥梁上的点处放置一个射灯，该射灯光线恰好经过点和右侧主索最高点．
(ⅰ)求主索到射灯光线的最大竖直距离；
(ⅱ)现将这个射灯沿水平方向向右平移，并保持光线与原光线平行，若要保证该射灯所射出的光线能照到右侧主索则最多向右平移______米
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，，，
，
四个实数中，绝对值最小的数是．
故选：．
首先求出所给的四个实数的绝对值，然后根据实数大小比较的方法，判断出四个实数中，绝对值最小的数是哪个即可．
此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是要明确：正实数负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
2.【答案】
【解析】解：，
计算结果等于的是，
故选：．
根据同底数幂的乘法和除法运算法则判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法和除法，熟练掌握运算法则是关键．
3.【答案】
【解析】解：从上面看，是两个同心圆．
故选：．
找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
4.【答案】
【解析】解：原式
．
故选：．
根据分式的乘除法运算法则进行计算即可．
本题主要考查分式的分式的乘除法，熟练掌握乘除法运算法则是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：如图，六边形是正六边形，
，
，
，
，
，
．
故选：．
根据正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．
本题考查正多边形和圆，等腰三角形以及三角形内角和定理，解题关键是掌握正六边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是正确解答的前提．
6.【答案】
【解析】解：将直线向下平移个单位，所得直线解析式为；
在中，令得，
平移后的直线与轴交于点，故A错误，不符合题意；
直线经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故B正确，符合题意；
，
函数中，随的增大而减小，故C错误，不符合题意；
在中，令得，
直线与轴交于点，故D错误，不符合题意；
故选：．
求出将直线向下平移个单位，所得直线解析式，再根据一次函数性质逐项判断即可．
本题考查一次函数与几何变换，解题的关键是掌握一次函数的图象及性质．
7.【答案】
【解析】解：列表如下：





共有种等可能的结果，其中取出的个数之和是的倍数的结果有：，，，，，共种，
取出的个数之和是的倍数的概率是．
故选：．
列表可得出所有等可能的结果数以及取出的个数之和是的倍数的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：如图，连接、，
是线段的垂直平分线，
，
在中，，
在中，，
则，即，
解得：，
故选：．
连接、，根据线段垂直平分线的性质得到，根据勾股定理列出关于的方程，解方程得到答案．
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：如图，连接并延长，交于点，连接，
四边形是正方形，
，，，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
，
，，
是的中点，
，
≌，
，，
又，
，
，
又，
为等腰直角三角形，
是中点，，
是三角形的中位线，
，
，
．
故选：．
连接并延长，交于点，连接，根据正方形的性质推出，，，根据得到，从而推出，判定≌后根据全等三角形的性质得到，根据推出，，根据是的中点得到，从而判定≌，根据全等三角形的性质得到，根据等量代换得到，，判定为等腰直角三角形，根据三角形中位线的定义判定是的中位线后求出的长，根据等腰直角三角形的性质求出和的长，最后用减去即可求出的长．
本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定方法是解决问题的关键．
10.【答案】
【解析】解：、令，即，解得，，，，、两点之间的距离为个单位长度，故A成立，不符合题意；
B、将，，分别代入，求出的值为和，当抛物线与线段有交点时，则，故B成立，不符合题意；
C、由得抛物线与横轴的交点为和，距离为，当时，，当时，，故C不成立，符合题意；
D、若，当时，，若的最大值与最小值的差为，则最小值是，令，解得，，当，最小值位于顶点，故舍去，，故D成立，不符合题意；
故选：．
利用二次函数的图象及性质，逐条计算并判断即可．
本题考查了二次函数的图形与性质，熟练掌握二次函数的性质并能结合图象灵活应用是本题的解题关键．
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：连接，作轴于，轴于，则，
，
反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，
、关于原点对称，
，
，
设，
，
，
，
，即，
解得，
．
故答案为：．
连接，作轴于，轴于，则，根据题意求得，由，即可得出，解方程求得的值，从而求得．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数与正比例函数的中心对称性，正确表示出的坐标是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：四边形为矩形，点是对角线的中点，
，，，
，
由折叠的性质得：，，
，，，
点，，在同一条直线上，
，
在和中，
，
≌，
，
又，，
四边形为菱形，
，
，
，
，
．
故答案为：．
由可知：四边形为菱形，，
设，则，
在中，，
，
，
设，，
，
∽，∽，
：：，：：，
即：：：，：：：，
，，
，，
，
整理得：，
：：，
．
故答案为：．
根据矩形性质及折叠性质得点，，在同一条直线上，证四边形为菱形得，则，由此得，进而可得的度数
设，则，则，，设，，证∽，∽得：：，：：，则，，将，代入，得，则：：，由此可得的值．
此题主要考查了矩形的性质，图形的折叠变换及性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，理解矩形的性质，图形的折叠变换及性质，熟练掌握菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解决问题的关键．
15.【答案】解：，
，
，
．
【解析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母移项、合并同类项可得不等式的解集．
本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
16.【答案】解：设该景区年接待省内游客万人次，则接待省外游客万人次，该景区年接待省内游客万人次，省外游客万人次，
根据题意得：，
解得：，
万人次．
答：该景区年接待省内游客万人次，省外游客万人次．
【解析】设该景区年接待省内游客万人次，则接待省外游客万人次，该景区年接待省内游客万人次，省外游客万人次，根据年比年游客总数增加了，可列出关于的一元一次方程，解之可得出该景区年接待省内游客人次数，再将其代入中，即可求出该景区年接待省外游客人次数．
本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
17.【答案】解：如图，即为所求．
如图，线段即为所求．
如图，以点为直角顶点作等腰直角三角形，
可得，
则点即为所求答案不唯一．

【解析】根据旋转的性质作图即可．
根据平移的性质作图即可．
以点为直角顶点作等腰直角三角形，即可得格点．
本题考查作图旋转变换、平移变换、等腰直角三角形，熟练掌握旋转的性质、平移的性质、等腰直角三角形的性质是解答本题的关键．
18.【答案】
【解析】解：由题知，
第个等式为：；
依次类推，
第个等式为：；
故答案为：，．
当时，
，
即．
故答案为：．
由与的差为得，
，
解得舍负，
故的值为．
根据所给等式，发现规律即可解决问题．
根据中发现的规律即可解决问题．
根据题意，建立关于的方程即可解决问题．
本题考查数字变化的规律，能根据所给等式发现规律并用含的等式表示出第个式子是解题的关键．
19.【答案】解：过点作，垂足为，
由题意得：米，，，
斜坡的坡度：，米，
，
米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
米，
塔高约为米．
【解析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，，，再根据已知易得：米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合适当的辅助线是解题的关键．
20.【答案】证明：连接并延长交于，
，
，
是的切线，
，
，
为的直径，
，
；
解：为的直径，
，
，
设，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
【解析】连接并延长交于，根据垂径定理得到，根据切线的性质得到，根据平行线的性质即可得到结论；
根据圆周角定理得到，设，，根据勾股定理得到，求得，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，正确地找出辅助线是解题的关键．
21.【答案】
【解析】解：参加此次调查的学生的人数为人，
良好的人数为人，
补全频数分布直方图如下：
分，
答：估计所抽取的学生的平均成绩为分；
名，
答：估计测试成绩在良好以上的学生约有名．
根据优秀的人数和所占的百分比即可求出此次调查的学生的人数，用总人数减去其它组的人数求出良好的人数，即可补全频数分布直方图；
根据加权平均数公式计算即可；
用总人数乘以测试成绩在良好以上的学生人数所占的百分比即可．
本题主要考查了频数分布直方图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体和加权平均数，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
22.【答案】证明：，，
，
，
，
，
；
解：四边形的形状是平行四边形，理由：
，
，
，
，
，
，
．
在和中，
，
≌，
，
，
，
四边形是平行四边形；
解：过点作于点，如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，，
，，
．
，，
为等腰直角三角形，，
，为等腰直角三角形，
，
，
，
．
，
．
【解析】利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理求得即可；
利用平行线的性质和的结论得到，利用其实当时就行的判定与性质得到，再利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的性质解答即可；
过点作于点，利用平行四边形的性质，等腰三角形的性质和角平分线的性质得到；利用等腰直角三角形的性质求得，再利用解答即可．
本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质和等腰三角形的性质是解题的关键．
23.【答案】
【解析】解：由题意可知，抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为：，
由，
．
解得：，
解析式为：；
设直线为，
将代入可得，
解得：，
解析式为；
如图，作垂直为轴的直线交于，交抛物线于点，
设点的坐标为，则为，
当时，，
故时有最大值，；
当时，，
时，随的增大而减小，，
当时，有最大值为：，
综上所述，最大距离为；
(ⅱ)设平移后的直线为：，
联立，
，
当时，
解得：，
，时，，
，时，，
向右最多平移米．
故答案为：．
利用待定系数法代入数据求解即可；
作垂直与轴的直线与，抛物线分别交于，利用解析书求取线段的表达式，分情况讨论比较即可得到结论；
根据题意分别求出原直线与平移后直线与轴的交点，相减即可得到结论．
本题考查一次函数的应用，二次函数的性质，正确记忆相关知识点是解题关键．
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