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2024年山东省泰安市岱岳区中考数学二模试卷
一、选择题（每小题4分，共48分）
1．从一批汤圆中挑选4袋汤圆分别编号后进行称重检查，记录结果如下：（规定每袋汤圆的标准质量是500g,超过标准质量的克数记为正数，不足的克数记为负数，单位：g），其中最接近标准质量的是（　　）
编号 1 2 3 4
检查结果 +0.4 ﹣0.1 ﹣0.5 +0.3
A．1号汤圆 B．2号汤圆 C．3号汤圆 D．4号汤圆
2. 2024年某市计划重点工程建设项目投资总额为整数262310…0用科学记数法表示为2.6231×109，则原数中0的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．下列运算正确的是（　　）
A．2x x3＝2x4 B．（x﹣2）2＝x2﹣4
C．x2+x3＝x5 D．（x3）4＝x7
4.如图①，用一个平面截长方体，得到如图②的几何体，再用一个平面截它如图③，得到如图④的几何体，它在我国古代数学名著《九章算术》中被称为“阳马”．图④“阳马“的俯视图是（　　）
A． B． C． D．
5．如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1＝35°，∠3＝155°，则∠2的度数为（　　）
A．50° B．60° C．65° D．55°
6．如图，AB是⊙O的直径，过AB的延长线上的点C作⊙O的切线，切点为P，点D是⊙O上一点，连接BD，DP，若∠BDP＝20°，则∠C等于（　　）
A．20° B．40° C．50° D．70°
7．某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数．
年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁
人数（个） 2 8 3
在下列统计量，不受影响的是（　　）
A．中位数，方差 B．众数，方差
C．平均数，中位数 D．中位数，众数
8. 如图，AB为⊙O的直径，弦CD交AB于点E，AB⊥CD，垂足为E点，∠CDB＝30°，AC＝2，则BE＝（　　）
A．1 B． C． D．2
9．《九章算术》中记载这样一个问题：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．问绳长、井深各几何？”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺．问绳长和井深各多少尺？
下列解题方案：
①设井深为x尺，列方程为3x+4＝4x+1；
②设绳长为y尺，列方程为；
③设绳长、井深分别为a尺，b尺，列方程组为，其中正确的是（　　）
A．① B．①② C．②③ D．①②③
10．如图，在半径为4，圆心角为90°的扇形内，以OB为直径作半圆交AB于点D，连接OD，则阴影部分的面积是（　　）
A．4π﹣8 B． 4π﹣4 C． 8π﹣8 D． π﹣4
11．已知二次函数y＝–（x﹣h）2+5（h为常数），在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最大值为–4，则h的值为（　　）
A．﹣2或4 B．0或6 C. 1或3 D ．﹣2或6
12．如图（1），点P为菱形ABCD对角线AC上一动点，点E为边CD上一定点，连接PB，PE，BE．图（2）是点P从点A匀速运动到点C时，△PBE的面积y随AP的长度x变化的关系图象（当点P在BE上时，令y＝0），则菱形ABCD的周长为（　　）
A．20 B． C．8 D．24
二、填空题（每小题4分，共24分）
13．如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的是
14. 已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c＝0的根的情况是
15．如图，小明想利用“∠A＝30°，AB＝8cm，BC＝5cm”这三个条件作△ABC．小明同学先作出了
∠BAM=30°和AB，再用圆规以B点为圆心，以BC的长为半径画弧，发现与射线AM有两个交点
C1和C2，请你帮助小明计算C1C2的长是 cm
16．如图，无人机在离地面42m的点D处，测得操控者A的俯角为35°，测得教学楼顶部点C的
俯角为50°，已知操控者A和教学楼BC之间的水平距离为80m，教学楼BC的高度是　 m．
（结果精确到1米．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70, sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
17．如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形A1B1O、A2B2B1、A3B3B2、…、AnBnBn﹣1按如图所示的方式放置，其中点A1、A2、A3、…、An均在一次函数y＝kx+b的图象上，点B1、B2、B3、…、Bn均在x轴上．若点B1的坐标为（1，0），点B2的坐标为（3，0），则点A2024的坐标为 　 　．
18．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝5，点E在边AB上，连接CE，将△EBC沿CE折叠，当点B的对应点B′落在矩形ABCD的对称轴上时，则AE的长为　 　．
三、解答题：（本题7小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
19．（每题5分，本题10分）（1）计算：．
（2）解不等式组：．
20．（本题10分）“强国必须强语，强语助力强国．”为全面落实国家语言文字方针政策，弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织学生参加了“推广普通话，奋进新征程”为主题的朗诵比赛．该校随机抽取部分学生比赛成绩进行统计，将成绩分为四个等级：A（优秀），B（良好），C（一般），D（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次调查活动共抽取 　 　人；
（2）条形统计图中的m＝　 　；“C”等所在扇形的圆心角的度数为 　 　度；
（3）请将条形统计图补充完整（要求在条形图上方表明人数）；
（4）学校要从答题成绩为A等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“推广普通话宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率．
21．（本题10分）如图，一次函数y＝kx+2（k≠0）的图象与反比例函数（m≠0，x＞0）的图象交于点A（2，n），与y轴交于点B，与x轴交于点C（﹣4，0）．
（1）求k与m的值；
（2）P（a，0）为x轴上的一动点，当△APB的面积为3时，求a的值．
22．（本题10分）义务献血是我们每个健康公民光荣的义务．我区的一个采血点通常在规定时间接受献血，采血结束后，再统一送到我市中心血库．已知甲、乙两个采血点到中心血库的路程分别为48km、30km，经了解获得甲、乙两个采血点的运送车辆有如下信息：
信息一：甲采血点运送车辆的平均速度是乙采血点运送车辆的平均速度的1.6倍；
信息二：甲、乙两个采血点运送车辆行驶的时间之和为2小时．
求甲、乙两个采血点运送车辆的平均速度各是多少？
23．（本题12分）如图， ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF分别相交于GH．
（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AG＝AH，求证：四边形ABCD是菱形．
（3）在（2）的条件下，若△AGH是边长为4的等边三角形，求AB的长．
24．（本题13分）如图①，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y的正半轴交于点C，连结BC，二次函数的对称轴与x轴交于点E，且OC＝3OE．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）如图②Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N，若以点C、O、M、N为顶点的四边形是平行四边形，求出Q点的坐标；
(3)若N点在直线BC的上方，连结CN，
①若△MCN与△BQM相似，请求出点Q的坐标；
②将△CMN沿CN翻折，M的对应点为M'，是否存在点Q，使得M'恰好落在y轴正半轴上？若存在，请直接写出出Q的坐标。
25．（本题13分）综合与实践
问题情境：如图1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AO是△ABC的中线，M是线段OB上一点，连接AM．
操作探究：将△MAB沿射线BA平移得到△M1A1B1，使点M的对应点M1落在△ABC的边AC上，且M1A1与AC边交于点E，连接M1C，A1C．
（1）如图2，当M是OB的中点时，求证：AA1＝AB1．
（2）如图3，当M是OB上任意一点时，判断△M1A1C1的形状，并说明理由．
拓展延伸：
（3）在（2）的条件下，请直接写出AA1，AM1，AC之间的数量关系．
2024年山东省泰安市岱岳区中考数学二模参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C A C B C D A C A D A
13. 1 14.方程有两个不相等的实数根 15. 6 16. 18
17.（ -1，） 18. 或8-
19. 解：（1）原式＝2×﹣1+9+﹣1 -------------------------2分
＝﹣1+9+﹣1 -------------------------4分
＝2+7； -------------------------5分
（2）解不等式①得：x≥﹣1，-------------------------2分
解不等式②得：x＜2， -------------------------4分
则不等式组的解集为﹣1≤x＜2． -------------------------5分
20. 解：（1）这次调查活动共抽取的人数为：16÷32%＝50（人），
故答案为：50；-------------------------2分
（2）“C”等所在扇形的圆心角的度数为：360°×＝108°，
故答案为：108； -------------------------4分
（3）A等级的人数为：50×24%＝12（人）．
补全条形统计图如下：
-------------------------6分
（4）画树状图如下：
-------------------------8分
共有12种等可能的结果，其中抽出的两名学生恰好是甲和乙的结果有2种，
∴抽出的两名学生恰好是甲和乙的概率＝＝．-------------------------10分
21. （1）解：把C（﹣4，0）代入y＝kx+2，
得﹣4k+2＝0， -------------------------1分
∴， ------------------------2分
∴一次函数解析式为． -------------------------3分
把A（2，n）代入，得n＝3．-------------------------4分
∴A（2，3）．
把A（2，3）代入，得m＝6．
∴k的值为，m的值为6． -------------------------5分
（2）解：当x＝0时，y＝2．
∴B（0，2）． -------------------------6分
∵P（a，0）为x轴上的一动点，
∴PC＝|a+4|． -----------------------7分
∴，．
∵S△CAP＝S△ABP+S△CBP，
∴， ------------------------8分
∴a+4＝6或a+4＝﹣6，
∴a＝2或a＝﹣10． -------------------------10分
22. 解：设乙采血点运送车辆的平均速度是x km/h，则甲采血点运送车辆的平均速度为1.6x km/h，
由题意得：
-------------------------5分
解得：x＝35，-------------------------7分
经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，-------------------------8分
∴1.6x＝1.6×35＝56，
答：甲采血点运送车辆的平均速度是56km/h，乙采血点运送车辆的平均速度为35km/h．
------------------------10分
23. 解：（1）
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，
∴∠AEB＝∠AFD＝90°，------------------------1分
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABE＝∠ADF，-
∴△ABE∽△ADF；----------------------3分
（2）证明：
∵AG＝AH，
∴∠AGH＝∠AHG，
∴∠AGB＝∠AHD，----------------------4分
∵△ABE∽△ADF，
∴∠BAG＝∠DAH，----------------------5分
在△BAG与△DAH中，，
∴△BAG≌△DAH，
∴AB＝AD，----------------------6分
∵四边形ABCD是平行四边形，
AB＝AD，
∴平行四边形ABCD是菱形．----------------------7分
（3）解：如图，连接AC交BD于点O，
由（2）可知，四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AB＝BC，AC⊥BD，----------------------8分
∴∠BOC＝90°，
∵△AGH是边长为4的等边三角形，AC⊥BD，
∴AG＝GH＝4，∠GAH＝60°，OG＝GH＝2，∠GAO＝∠GAH＝30°，
∴OA＝＝2，----------------------10分
∴AC＝2OA＝4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，----------------------11分
∴∠ACB＝90°﹣∠GAO＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC＝4．----------------------12分
24. 解：（1）由抛物线的表达式得，其对称轴为x＝﹣＝1＝OE，
则OC＝3OE＝3，即点C（0，3），---------------------1分
即﹣3a＝3，
解得：a＝-1，--------------------2分
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3---------------------3分
（2）①令y=0代入y＝﹣x2+2x+3得x1 =-1,x2=3
∴A（-1,0），B（3,0）
设直线BC表达式为y=kx+b,分别把B（3,0）和C（0，3）代入求得y=-x+3 ④----------------------4分
∵Q（t，0）是x的正半轴上一点，过点Q作y轴的平行线，与直线BC交于点M，与抛物线交于点N
∴ M（t,-t+3）, N(t,-t2+2t+3)
∴MN=｜(-t2+2t+3)-（-t+3）｜=｜-t2+3t｜
∵CO∥MN
∴MN=OC=3
即｜-t2+3t｜=3----------------------6分
∴ (不符合题意，舍去)
∴Q点的坐标(,0) ----------------------7分
(3) ∵△MCN与△BQM相似，∠BMQ＝∠NMC，则存在∠NCM和∠CNM为直角两种情况．
当∠NCM为直角时，延长NC交x轴于点T，即∠TCB为直角，
∵tan∠CBA＝，则tan∠NTB=1，
故直线CN的表达式为：y＝x+3⑤，
联立④⑤得：﹣x2+2x+3＝x+3，
解得：x1＝0（不符合题意，舍去），x2=1
即点N的横坐标为1，
即点Q的坐标为（1，0）；----------------------9分
当∠CNM为直角时，
则CN∥x轴，则点C、N关于抛物线对称轴对称，则点N的横坐标为2，
即点Q的坐标为（2，0），
综上，点Q的坐标为：（1，0）或（2，0）；----------------------11分
（3）存在，Q（3-，0） ----------------------13分
25. 证明：如图，连接MM'，
∵将△MAB沿射线BA平移得到△M'A1B1，
∴MM1＝AA1，A1B1＝AB，MM1∥AB，--------------------1分
∵M是OB的中点，
∴MM1是△OAB的中位线，
∴=AB=--------------------3分
∴AA1＝AB1；--------------------4分
（2）解：△M1A1C是等腰直角三角形，-------------------5分
理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AO是△ABC的中线
∴∠CAO＝∠OAB＝∠OBA＝45°，∠CAA1＝90°，--------------------6分
∵将△MAB沿射线BA平移得到△M1A1B1
∴A 1B1＝AB，∠M1B1A1＝∠MBA＝45°，
∴∠CAM1＝∠A1B1M1，∠M1AB1＝∠M1B1A，AC＝A1B1，--------------------7分
∴M1A＝M1B1，
∴△ACM1≌△B1A1M1（SAS）， --------------------8分
∴∠ACM1＝∠B1A1M1，CM1＝A1M1，
∵∠AEA1＝∠M1EC，
∴∠EM1C＝∠EAA1＝90°，
∴△M1A1C是等腰直角三角形；--------------------10分
（3）数量关系：AM1+AA1 --------------------13分

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