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2024年全国高中数学联赛（四川预赛)试题
(考试时间：2024年5月19日9：0011：00)
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分
1.设函数f(x)=lnx|+|x-2的零点都在区间[a,b](a,b∈Z,a为一
2.已知a>b>1,若1og.b+1oga=，则b的最大值为一
2
a+4
3.设a∈R,若函数fx)=ar-a-2lnx在其定义域内为单调递增函数，则实数a的
最小值为
4.用f(X,)表示点X与曲线「上任意一点距离的最小值.已知⊙O:x2+y2=1及
⊙O：(x-4)2+y2=4,设P为⊙0上的动点，则f(P,⊙0)的最大值为一
5.设△ABC中，AC=2,∠ABC=2∠BAC,则△ABC面积的最大值为
6.将边长为1的正方体ABCD-AB,C,D的上底面AB,CD,绕着其中心旋
转45°得到一个十面体ABCD-EFGH（如图)，则该十面体的体积为
100
7,若T=∑29.3101-*，则T的末尾数字0的个数为一
k=1
8.记1={1,4,5,6}，U={L,2,3,…,25}，集合U的子集A={a1,a2,43,a4,a5}，满足
a,-a,:I(付1≤i二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤。
9.(本题满分16分)已知1为正实数，若曲线y=1。与椭圆C:号+y广=1交于A、B
两个不同的点，求证：直线AB的斜率k<5
2
10.(本题满分20分)设复数x,y,z满足：|x+2y+3z=1.
求|x2+|y2+z2+|x2+y2+z2|的最小值.
11.(本题满分20分)给定正整数n≥2，数组(4,42，…，an)称为“好数组”是指：
a,a2,…,an均不为0，a1=1，且对任意的1≤k≤n-1,均有(ak1+ak)(ak1-ak-l)=0.
求“好数组”(a,42,,an)的组数.
2024年全国高中数学联赛（四川预赛)试题
参考答案及评分标准
说明：
1、本试卷满分120，其中填空题64分，解答题56分.
2、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设8分和0分两档；第9题4分一个档
次、第10题和第11题均为5分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不
要再增加其它中间档次，
3、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准评分.
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.
1、42、}31435、65-96、2427、38、7m
3
二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步
骤.
9、（本题满分16分)已知1为正实数，若曲线y=t~e与椭圆C:
。+y2=1交于A、
B两个不同的点，求证：直线AB的斜率k<互
2
证明：设A(x,),B(x2,y2),其中x注意到对数不等式：若a,b>0,a≠b,则，a-b,Ina-Inb 2
取a=e,b=e5,得e-ee+e
X1一X
22
=2t(e"-e)t(e+e*)y+y2
X-x2x1-x22
2
·y+y2>2k.①
…4分
将车+片=1和三+=1相减，得
s+x-2+0y+0y-)=0,
2
∴.x+x2=-2k(y+y2).②
…8分
2
再将+=1和+=1相加，得十++好=2.
2
2
2

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