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外接球问题解题策略
班级 姓名
学习目标
1．理解几种重要的空间几何体的外接模型；
2．掌握寻找外接球球心的方法；
3．掌握求解外接球球心的方法．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
补体法构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．(1)有三个面都是直角三角形的三棱锥，有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（墙角模型，如图①），两两垂直的三条棱就是长方体的长、宽、高。(2)四个面都是锐角三角形且对棱相等的三棱锥（对棱相等模型，如图②），对棱的长度分别为长方体面对角线的。 (3)四个面都是直角三角形的三棱锥（如图③），最长的棱就是长方体的体对角线。(4)有三个面都是直角三角形的三棱锥，没有三条棱两两垂直，另一面为锐角三角形（如图④），最长棱就是长方体的体对角线。① ② ③ ④【例1-1】已知三棱锥A－BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝，BC＝2，CD＝，则球O的表面积为 .【例1-2】已知S，A，B，C，是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA＝AB＝1，BC＝，则球O的表面积等于 .【例1-3】三棱锥中，已知，，，那么该三棱锥外接球的表面积为 .
直棱柱、圆柱模型 如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 图1 图2 图3第一步：确定球心的位置，是的外心，则平面；第二步：算出小圆的半径，（也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：，解出【例2-1】已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上．若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为 .【例2-2】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于 .
直棱锥模型（一条直线垂直于一个平面） 如图，平面，求外接球半径.解题步骤：第一步：将画在小圆面上，为小圆直径的一个端点，作小圆的直径，连接，则必过球心；第二步：为的外心，所以平面，算出小圆的半径(三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得)，；第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：①；②.【例3-1】已知在三棱锥S－ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1．则该三棱锥的外接球的体积为 .【例3-2】三棱锥中，，，平面，，则该三棱锥的外接球表面积为 .
侧棱相等模型 如图，的射影是的外心三棱锥的三条侧棱相等三棱锥的底面在圆锥的底上，顶点点也是圆锥的顶点.解题步骤：第一步：确定球心的位置，取的外心，则三点共线；第二步：先算出小圆的半径，再算出棱锥的高(也是圆锥的高)；第三步：勾股定理：，解出.【例4-1】已知四棱锥的的侧棱长均为，底面是两邻边长分别为和的矩形，则该四棱锥外接球的表面积为 .【例4-2】在三棱锥中，，，，则该三棱锥外接球的体积为 .
课后作业
一、基础训练题
1．点A，B，C，D均在同一球面上，且AB，AC，AD两两垂直，且AB＝1，AC＝2，AD＝3，则该球的表面积为(　　)
A．7π　　　　　　 　B．14π　　　　　　 　C．π　　　　　 　　D．
2．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)．
A．　　　　　 　 B．　　　　　　　 C．　　　　　　D．
3．在三棱锥S－ABC中，侧棱SA⊥底面ABC，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，SA＝2，则该三棱锥的外接球的表面积为(　　)
A．π　　　　　　　　B．π　　　　　　　　C．π　　　　　　　D．π
4．在三棱锥P－ABC中，已知PA⊥底面ABC，∠BAC＝120 ，PA＝AB＝AC＝2，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．10π　　　　　　 B．18π　　　　　　 　C．20π　　　　　　　 D．9π
5．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)
A．　　　　　　　 B．16π　　　　　　　 　C．9π　　　　　　　　D．
6．在三棱锥中，，，且，则该三棱锥外接球的表面积为　　
A．　　　　　　　　B．　　　　　　　　 C．　　　　　　 D．
7．已知正四棱锥P－ABCD的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为，若该正四棱锥的体积为
2，则此球的体积为(　　)
A．　　　　　　　B．　　　　　　　　 C．　　　　　　 　D．
8．已知圆柱的高为2，底面半径为，若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于(　　)
A．4π 　　　　　　　B．　　　　　　　　 C．　　　　　　　　D．16π
9．在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，AD＝BC＝3，AC＝BD＝4，则三棱锥外接球的表面积为________．
10．已知圆锥的顶点为，母线与底面所成的角为，底面圆心到的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．
11．已知圆台上底面圆的半径为2，下底面圆的半径为，圆台的外接球的球心为，且球心在圆台的轴上，满足，则圆台的外接球的表面积为________．
12．如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥，则此正六棱锥的侧面积是________．
外接球问题解题策略参考答案
1、【答案】B　
【解析】三棱锥A－BCD的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，
长方体的体对角线长是＝，它的外接球半径是，
外接球的表面积是4π×＝14π．
2、【答案】B　
【解析】，．
3、【答案】B　
【解析】由题意知，AB＝5，BC＝8，∠ABC＝60°，
由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2×AB×BC×cos∠ABC，解得AC＝7，
设△ABC的外接圆半径为r，则△ABC的外接圆直径2r＝＝，
∴r＝，又∵侧棱SA⊥底面ABC，
∴三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离h＝SA＝，
则外接球的半径R＝＝，则该三棱锥的外接球的表面积为S＝4πR2＝π.
4、【答案】C　
【解析】如图1，先由余弦定理求出BC＝2，再由正弦定理求出r＝AO1＝2，
外接球的直径R＝＝，所以该球的表面积为4πR2＝20π．
5、【答案】A　
【解析】如图所示，设球半径为R，底面中心为O′且球心为O，
∵正四棱锥P ABCD中AB＝2，∴AO′＝，
∵PO′＝4，∴在Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，
∴R2＝()2＋(4－R)2，解得R＝，
∴该球的表面积为4πR2＝4π×2＝.
6、【答案】D　
【解析】由题意，点在底面上的射影是的中点，是三角形的外心，令球心为，
，且，，
又，
如图在直角三角形中，，即，
，则该三棱锥外接球的表面积为．
7、【答案】C　
【解析】如图所示，设底面正方形ABCD的中心为O′，
正四棱锥P－ABCD的外接球的球心为O，
∵底面正方形的边长为，∴O′D＝1，
∵正四棱锥的体积为2，∴VP－ABCD＝×()2×PO′＝2，解得PO′＝3，
∴OO′＝|PO′－PO|＝|3－R|，
在Rt△OO′D中，由勾股定理可得OO′2＋O′D2＝OD2，即(3－R)2＋12＝R2，
解得R＝，∴V球＝πR3＝π×3＝．
8、【答案】D　
【解析】由题意知圆柱的中心O为这个球的球心，
于是，球的半径r＝OB＝＝＝2．故这个球的表面积S＝4πr2＝16π．故选D．
9、【答案】　
【解析】构造长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为，
则，，，
，，，．
10、【答案】　
【解析】依题意得，圆锥底面半径，高．
设圆锥外接球半径为，则，即，
解得：．外接球的表面积为．
11、【答案】
【解析】设外接球的半径为，几何体的轴截面如图：
，，
且，得，
解得，球的表面积为．
12、【答案】
【解析】显然正六棱锥的底面的外接圆是球的一个大圆，于是可求得底面边长为2，
又正六棱锥的高依题意可得为2，，斜高为：．
依此可求得正六棱锥的侧面积：，故答案为．
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