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8.5.3 平面与平面平行
班级 姓名
学习目标
1．掌握空间平面与平面平行的判定定理和性质定理，并能应用这两个定理解决问题．
2．平面与平面平行的判定定理和性质定理的应用．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、平面与平面平行的判定定理文字语言如果一个平面内的两条 直线与另一个平面 ，那么这两个平面平行图形语言符号语言 作　用证明两个平面 【即时训练1】(1)(多选题)下列命题中正确的是(　　)A．若一个平面内有两条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行B．若一个平面内有无数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行C．若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行D．若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行(2)(多选题)设a，b是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是(　　)A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a α，a∥βC．存在一个平面γ，满足α∥γ，β∥γD．存在两条异面直线a，b，a α，b β，a∥β，b∥α
阅读教材，完成右边的内容 二、平面与平面平行的性质定理文字语言两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面 ，那么两条交线 .图形语言符号语言 作用证明两条直线 【即时训练2】(1)(多选题)如果平面α∥平面β，那么下列命题中正确的是(　　)A．平面α内有无数条互相平行的直线平行于平面βB．平面α内仅有两条相交直线平行于平面βC．对于平面α内的任意一条直线，都能在平面β内找到一条直线与它平行D．平面α内的任意一条直线都不与平面β相交(2)已知a，b表示两条不同的直线，α，β，γ表示两个不重合的平面，其中正确命题的序号是 ．①若α∥β，a α，b β，则a∥b；②若a∥b，a∥α，b∥β，则α∥β；③若α∥β，a α，则a∥β； ④α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b；⑤α∩β＝a，a∥b b∥α且b∥β； ⑥若a α，a∥β，α∩β＝b，则a∥b；⑦若a，b相交且都在α，β外，a∥α，b∥β，则α∥β.
平面与平面平行的判定定理的应用 例1、如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.变式1、已知正方体ABCD－A1B1C1D1如图，求证：平面AB1D1∥平面BDC1.
变式2、两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB且AM＝FN，G为AB上一点，且MG∥BC.求证：平面MNG∥平面BCE.例2、如图，S为矩形ABCD所在平面外一点，E，F分别是SD，BC上的点，且SE∶ED＝BF∶FC，求证：EF∥平面SAB.
平面与平面平行的性质定理的应用 例3、已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别是AB，CD的中点．求证：MN∥平面α.变式3、如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，N是PM与DE的交点，求证：NF∥CM.
截面问题 例4、如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，BB1＝2，点E，F，M分别为C1D1，A1D1，B1C1的中点，过点M的平面α与平面DEF平行，且与长方体的面相交，交线围成一个平面图形．在图中，画出这个平面图形，并求这个平面图形的面积(不必说明画法与理由)．变式4、在三棱锥P－ABC中，PB＝6，AC＝3，G为△PAC的重心，过点G作三棱锥的一个截面，使截面平行于PB和AC，则截面的周长为________．
课后作业
一、基础训练题
1．下列命题正确的有(　　)
①如果两个平面(不重合)不相交，那么它们平行；②如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；③空间两个相等的角所在的平面平行．
A．0个　　　 B．1个　　 C．2个　　 　D．3个
2．平面α∥平面β，点A，C在平面α内，点B，D在平面β内，若AB＝CD，则AB，CD的位置关系是(　　)
A．平行 B．相交 C．异面 D．以上都有可能
3．(多选题)下列说法中，正确的是(　　)
A．平行于同一直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．若一条直线与两个平行平面中的一个相交，则这条直线必与另一个平面相交
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
4．如图1所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′． 若PA′∶AA′＝2∶5，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(　　)
A．2∶5 B．2∶7 C．4∶49 D．9∶25
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E，F，则四边形D1EBF的形状是(　　)
A．矩形　　　 B．菱形 C．平行四边形 D．正方形
图1 图2
6．(多选题)如图2所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，则下列四个结论中正确的是(　　)
A．FG∥平面AA1D1D B．EF∥平面BC1D1
C．FG∥平面BC1D1 D．平面EFG∥平面BC1D1
7．如图3，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α∥平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为(　　)
A． B． C． D．
图3 图4
8．如图4，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且＝＝.若G在线段CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，则＝(　　)
A. B. C. D.
9．如图5，长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________．
10．如图6，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是A1D1的中点，则直线DM与平面A1ACC1的位置关系是________，直线DM与平面BCC1B1的位置关系是________．
图5 图6 图7
11．如图7所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
12．已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，G是A1C1的中点，过点G的截面与侧面ABB1A1平行，若侧面ABB1A1是边长为4的正方形，则截面的周长为________．
13．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题．
①若a∥c，b∥c，则a∥b； ②若a∥γ，b∥γ，则a∥b；
③若c∥α，c∥β，则α∥β； ④若α∥γ，β∥γ，则α∥β；
⑤若c∥α，a∥c，则a∥α； ⑥若α∥γ，a∥γ，则a∥α.
其中正确命题的序号是________．
14．如图，在四棱锥P ABCD中，点E为PA的中点，点F为BC的中点，底面ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O．
求证：平面EFO∥平面PCD．
15．如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N．
求证：N为AC的中点．
16．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：
①直线EG∥平面BDD1B1；
②平面EFG∥平面BDD1B1.
17．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．
求证：AC∥平面BPQ.
18．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
19．如图，在棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面也是三角形吗？并求该截面的面积．
二、综合训练题
20．棱长为2的正方体ABCD A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C，M，D1作正方体的截面，则截面的面积为(　　)
A．2 B．4 C． D．5
21．(多选题)如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列命题中，正确的有(　　)
A．BM∥平面DE
B．CN∥平面AF
C．平面BDM∥平面AFN
D．平面BDE∥平面NCF
22．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是(　　)
三、能力提升题
23．如图，四棱锥P ABCD的底面是平行四边形，PA＝PB＝AB＝2，E，F分别是AB，CD的中点，平面AGF∥平面PEC，PD∩平面AGF＝G，ED与AF相交于点H，则GH＝________．
24．如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，∠BAE＝∠AFB＝90°．
求证：平面BCE∥平面ADF．
8.5.3 平面与平面平行
参考答案
1、【答案】B　
【解析】对①，由两个平面平行的定义知正确；对②，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，②错误；对③，这两个角可能在同一平面内，故③错误．
2、【答案】D　
【解析】夹在两个平行平面间的平行线段相等，但夹在两个平行平面间的相等线段可以平行、相交或异面．
3、【答案】BCD
4、【答案】C　
【解析】因为平面α∥平面ABC，A′B′ α，AB 平面ABC，
所以A′B′∥AB． 所以A′B′∶AB＝PA′∶PA．
又PA′∶AA′＝2∶5，所以A′B′∶AB＝2∶7．
同理B′C′∶BC＝2∶7，A′C′∶AC＝2∶7，
所以△A′B′C′∽△ABC，所以S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶49．
5、【答案】C
【解析】如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，平面ABB1A1∥平面CDD1C1，
过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE，
与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理，得BE∥D1F.
同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形．
6、【答案】AC
【解析】∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，∴FG∥BC1.
连接AD1，∵BC1∥AD1，∴FG∥AD1.
∵FG 平面AA1D1D，AD1 平面AA1D1D，
∴FG∥平面AA1D1D，故A正确．
连接A1C1，易得EF∥A1C1，A1C1与平面BC1D1相交，
∴EF与平面BC1D1相交，故B错误．
∵E，F，G分别是A1B1，B1C1，BB1的中点，
∴FG∥BC1.
∵FG 平面BC1D1，BC1 平面BC1D1，
∴FG∥平面BC1D1，故C正确．
∵EF与平面BC1D1相交，
∴平面EFG与平面BC1D1相交，故D错误．
7、【答案】B　
【解析】取C1D1，B1C1的中点为P，Q，连接B1D1，NP．
易知MN∥B1D1∥BD，ADNP，所以四边形ANPD为平行四边形，
所以AN∥DP．又BD和DP为平面DBQP内的两条相交直线，
所以平面DBQP∥平面AMN，则四边形DBQP的面积即为所求．
因为PQ∥DB，PQ＝BD＝，所以四边形DBQP为梯形，
其高为h＝eq \r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4))))＝ ．
所以梯形DBQP的面积为(PQ＋BD)h＝×× ＝．
8、【答案】B
【解析】∵四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，
且＝＝，∴＝，∵G在CC1上，且平面AEF∥平面BD1G，
易得AF∥BG.易证△ADF≌△BCG，∴DF＝CG，∴＝＝.
9、【答案】平行四边形　
【解析】∵平面ABFE∥平面DCGH，平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG．同理，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形．
10、【答案】相交　平行
【解析】∵M是A1D1的中点，∴直线DM与直线AA1相交，
∴DM与平面A1ACC1有一个公共点，∴DM与平面A1ACC1相交．
取B1C1的中点M1，连接MM1，M1C(图略)．
∵MM1∥C1D1，C1D1∥CD，∴MM1∥CD.
∵MM1＝C1D1，C1D1＝CD，∴MM1＝CD.
∴四边形DMM1C为平行四边形，∴DM∥CM1，
又DM 平面BCC1B1，CM1 平面BCC1B1，
∴DM∥平面BCC1B1.
11、【答案】M在线段FH上
【解析】连接HN，FH，FN，易得HN∥DB，FH∥D1D，
易证平面FHN∥平面B1BDD1.
∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，∴M∈FH.
故答案为M在线段FH上．
12、【答案】12
【解析】如图，取B1C1的中点M，BC的中点N，AC的中点H，
连接GM，MN，HN，GH，则GM∥HN∥AB，MN∥GH∥AA1，
易得GM∥平面ABB1A1，MN∥平面ABB1A1.又GM∩MN＝M，
所以平面GMNH∥平面ABB1A1，
即四边形GMNH为过点G且与侧面ABB1A1平行的截面．易得此截面的周长为4＋4＋2＋2＝12.
13、【答案】①④
【解析】a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面．
∵a∥c，b∥c，∴由基本事实4得a∥b，故①正确；
∵a∥γ，b∥γ，∴a与b相交、平行或异面，故②错误；
∵c∥α，c∥β，∴α与β相交或平行，故③错误；
∵α∥γ，β∥γ，∴由面面平行的性质得α∥β，故④正确；
∵c∥α，a∥c，∴a∥α或a α，故⑤错误；
∵a∥γ，α∥γ，∴a∥α或a α，故⑥错误．
14、 【证明】因为四边形ABCD是平行四边形，AC∩BD＝O，所以点O为BD的中点．
又因为点F为BC的中点，所以OF∥CD．
又OF 平面PCD，CD 平面PCD，所以OF∥平面PCD，
因为点O，E分别是AC，PA的中点，所以OE∥PC，
又OE 平面PCD，PC 平面PCD，所以OE∥平面PCD．
又OE 平面EFO，OF 平面EFO，且OE∩OF＝O，
所以平面EFO∥平面PCD．
15、【证明】∵平面AB1M∥平面BC1N，
平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，
平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，
∴C1N∥AM，又AC∥A1C1，
∴四边形ANC1M为平行四边形，
∵M是A1C1的中点，∴AN＝C1M＝A1C1＝AC，∴N为AC的中点．
16、【证明】①如图，连接SB，
∵E，G分别是BC，SC的中点，
∴EG∥SB，
又∵SB 平面BDD1B1，EG 平面BDD1B1，
∴直线EG∥平面BDD1B1.
②连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD，
又∵SD 平面BDD1B1，FG 平面BDD1B1，
∴FG∥平面BDD1B1，
又由①知EG∥平面BDD1B1，
EG 平面EFG，FG 平面EFG，EG∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.
17、【证明】连接CD1，AD1，
因为P，Q分别是CC1，C1D1的中点，
所以PQ∥CD1，且CD1 平面BPQ，PQ 平面BPQ，
所以CD1∥平面BPQ.
又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，
所以四边形ABQD1是平行四边形，
所以AD1∥BQ，
又因为AD1 平面BPQ，BQ 平面BPQ，
所以AD1∥平面BPQ.
又AD1∩CD1＝D1，AD1，CD1 平面ACD1，
所以平面ACD1∥平面BPQ，
因为AC 平面ACD1，所以AC∥平面BPQ.
18、【证明】(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1.
∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G.
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，∴BF∥A1G.
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G.
又EF∩BF＝F，∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面A1C1G与平面ABC有公共点G，且平面A1C1G∩BC＝H，
∴平面A1C1G∩平面ABC＝GH.
又平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
∴A1C1∥GH，∴GH∥AC.
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
19、【解】取AB的中点M，取C1D1的中点N，
连接A1M，A1N，CM，CN.
易得A1NPC1MC，则四边形A1MCN是平行四边形．
由于A1N∥PC1，A1N 平面PBC1，PC1 平面PBC1，则A1N∥平面PBC1.
同理，A1M∥平面PBC1.
又A1N∩A1M＝A1，A1M，A1N 平面A1MCN，所以平面A1MCN∥平面PBC1.
过A1点有且仅有一个平面与平面PBC1平行，
故过点A1作与截面PBC1平行的截面是平行四边形A1MCN，容易求得S A1MCN＝2 cm2.
20、【答案】C　
【解析】如图，由面面平行的性质知截面与平面ABB1A1的交线MN是△AA1B的
中位线，所以截面是梯形CD1MN，
易求MN＝，CD1＝2，MD1＝NC＝，
所以此截面的面积S＝×(＋2)×eq \r( \r(5) 2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(2)－\r(2),2))))＝．
21、【答案】ABCD　
【解析】展开图可以折成如图①所示的正方体．
图①　　　　　　　 图② 图③
在正方体中，连接AN，如图②所示．
∵AB∥MN，且AB＝MN，
∴四边形ABMN是平行四边形．
∴BM∥AN．∴BM∥平面DE．同理可证CN∥平面AF，∴A、B正确；
如图③所示，连接NF，BE，BD，DM，CF，可以证明BM∥平面AFN，BD∥平面AFN，
则平面BDM∥平面AFN，同理可证平面BDE∥平面NCF，所以C、D正确．
22、【答案】D
【解析】如图，由题意可知P，Q，R三点所在的平面为平面PQEFRG，
则点N在P，Q，R三点所在的平面内，B、C错误．
因为Q，E分别为BC，CC1的中点，所以QE∥BC1.又MC1∩BC1＝C1，
所以MC1与QE是相交直线，A错误．显然D正确，故选D.
23、【答案】　
【解析】因为ABCD是平行四边形，所以AB∥CD，
AB＝CD，因为E，F分别是AB，CD的中点，
所以AE＝FD，又∠EAH＝∠DFH，
∠AEH＝∠FDH，所以△AEH≌△FDH，
所以EH＝DH．
因为平面AGF∥平面PEC，平面PED∩平面AGF＝GH，
平面PED∩平面PEC＝PE，所以GH∥PE，
所以G是PD的中点，因为PA＝PB＝AB＝2，
所以PE＝2×sin 60°＝．所以GH＝PE＝．
24、【证明】∵四边形ABCD为矩形，∴BC∥AD，
又BC 平面ADF，AD 平面ADF，
∴BC∥平面ADF．
∵△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，
且∠BAE＝∠AFB＝90°，
∴∠BAF＝∠ABE＝45°，∴AF∥BE，
又BE 平面ADF，AF 平面ADF，
∴BE∥平面ADF．
又BC 平面BCE，BE 平面BCE，
BC∩BE＝B，
∴平面BCE∥平面ADF．
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