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8.6.1直线与直线垂直
班级 姓名
学习目标
1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．
2．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．
学习过程
自学指导 自学检测及课堂展示
阅读教材，完成右边的内容 一、两直线的位置关系1．异面直线(1)定义：不同在 的两条直线.(2)画法：2．两条直线的位置关系 INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\补33.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\补33.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\补33.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\数学\\人A必修第二册（新教材）\\补33.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\2019年同步最终\\数学 人教A版 必修第二册(新教材)\\补33.TIF" \* MERGEFORMATINET 3．两个定理(1)基本事实4①文字语言：平行于同一条直线的两条直线 .②符号语言：直线a，b，c，a∥b，c∥b .③作用：证明空间两条直线平行.(2)等角定理①内容：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角 .②作用：证明两个角相等或互补.二、异面直线所成的角1．定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任意一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，则异面直线a与b所成的角(或夹角)就是直线a′与b′所成的锐角(或直角).2．范围： .特别地，当θ＝ 时，a与b互相垂直，记作 .
异面直线所成的角 例1、如图，已知正方体ABCD A′B′C′D′．(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在的直线与直线AA′垂直？变式1、如图，已知在长方体ABCD A′B′C′D′中，AB＝2，AD＝2，AA′＝2．(1)BC和A′C′所成的角为________；(2)AA′和BC′所成的角为________．
直线与直线垂直的证明 例2、如图，正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．变式2、如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
应用余弦定理求异面直线所成的角 例3、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为 .变式3、已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为 .
课后作业
一、基础训练题
1．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c．其中，正确命题的个数是(　　)
A．0　　　 　B．1　　　 　C．2　 　　　D．3
2．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线(　　)
A．有无数条　　　　　　　　 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
3．如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为(　　)
A．90° B．60°
C．45° D．0°
4．在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为(　　)
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，P为边AB的中点，现将△DAP绕直线DP翻转至△DA′P处，如图所示，若M为线段A′C的中点，则异面直线BM与PA′所成角的正切值为(　　)
A． B．2 C． D．4
6．在正三棱柱ABC A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是(　　)
A．60° B．75° C．90° D．105°
7．如下左图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
8．如上中图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．
9．如上右图，圆柱OO1中，底面半径为1，OA⊥O1B，异面直线AB与OO1所成角的正切值为，则该圆柱OO1的体积为________．
10．如图所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E，F分别为BC，AD的中点，求EF和AB所成的角．
11．如图，已知长方体ABCD A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD中点．求证：CD1⊥EF．
二、综合训练题
12．(多选题)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别是AB，A1D1的中点，O为正方形A1B1C1D1的中心，则下列说法错误的是(　　)
A．直线EF，AO是异面直线
B．直线EF，BB1是相交直线
C．直线EF与BC1所成的角为30°
D．直线EF与BB1所成角的余弦值为
13．如下左图，在三棱锥A－BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．
14．如上右图，在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，则线段AA1的长为________．
三、能力提升题
15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AB的中点，点E在侧棱CC1上，DE∥平面AB1C1，
(1)证明：E是CC1的中点；
(2)设∠BAC＝90°，四边形ABB1A1是边长为4的正方形，四边形ACC1A1为矩形，且异面直线DE与B1C1所成的角为30°，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．
8.6.1直线与直线垂直
参考答案
1、【答案】A
【解析】①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．
2、【答案】A
【解析】如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，
与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．故选A.
3、【答案】B【解析】将三角形折成三棱锥，如图所示，GH与IJ为异面直线，
在三棱锥A－DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF或其补角即为所求，因此GH与IJ所成角为60°.
4、【答案】C【解析】连接A1C1，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．
因为tan∠A1AC1＝＝＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C．
【答案】A【解析】取A′D的中点N，连接PN，MN．因为M是A′C的中点，
所以MN∥CD∥PB，且MN＝PB，所以四边形PBMN为平行四边形，
所以MB∥PN，所以∠A′PN为异面直线BM与PA′所成的角．
在Rt△NA′P中，tan∠A′PN＝＝，故选A．
6、【答案】C　【解析】设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，
使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，
所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．
连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，
所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°．即AB1与BC1所成的角为90°．
【答案】90°　【解析】如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，
则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．
设正方体的棱长为a，则A1M＝a，ME＝a，A1E＝a，
所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，则异面直线A1M与DN所成的角为90°．
8、【答案】5【解析】取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，
∴∠MPN为异面直线AC与BD所成的角，
∴∠MPN＝90°，PN＝AC＝4，PM＝BD＝3，∴MN＝5．
9．【答案】4π【解析】如图，过B作BH⊥⊙O于点H，连接OH，AH，
则∠ABH(或其补角)即为异面直线AB与OO1所成的角，
则tan∠ABH＝，易知OH∥O1B，OH＝O1B，
由OA⊥O1B，可得OH⊥OA，所以AH＝＝.
又tan∠ABH＝，所以圆柱的高BH＝＝4，所以圆柱的体积为π·OA2·BH＝4π.
10、【解】如图所示，取BD的中点G，连接EG，FG．
∵E，F分别为BC，AD的中点，AB＝CD，
∴EG∥CD，GF∥AB，且EG＝CD，GF＝AB．
∴∠GFE就是EF与AB所成的角，EG＝GF．
∵AB⊥CD，∴EG⊥GF．∴∠EGF＝90°．
∴△EFG为等腰直角三角形．∴∠GFE＝45°，即EF与AB所成的角为45°．
11、【证明】取CD1的中点G，连接EG，DG，
∵E是BD1的中点，∴EG∥BC，EG＝BC．
∵F是AD的中点，且AD∥BC，AD＝BC，
∴DF∥BC，DF＝BC，∴EG∥DF，EG＝DF，
∴四边形EFDG是平行四边形，∴EF∥DG，
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角．
又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1，四边形CDD1C1都是正方形．
且G为CD1的中点，∴DG⊥CD1．∴∠D1GD＝90°，
∴异面直线CD1，EF所成的角为90°，∴CD1⊥EF．
12、【答案】ABD【解析】连接OF，∵O为正方形A1B1C1D1的中心，F是A1D1的中点，
∴OF∥A1B1∥AB，即OF，AE共面，从而EF，AO共面，A说法错误；
连接B1E，∵F 平面BEB1，BB1 平面BEB1，E BB1，E∈平面BEB1，
∴EF，BB1是异面直线，B中说法错误；
连接OB，OC1，易得FO∥EB，且FO＝EB，∴四边形EFOB是平行四边形，
∴EF∥BO，∴∠OBC1是异面直线EF与BC1所成的角或其补角．
设正方体的棱长为1，在△BC1O中，BC1＝，OC1＝，BO＝EF＝＝，
∴cos∠OBC1＝＝，∴∠OBC1＝30°，C中说法正确；
同理得∠OBB1是EF与BB1所成的角或其补角，在△OBB1中求得cos∠OBB1＝，D中说法错误．
13、【答案】【解析】如图，连接ND，取ND的中点E，连接EM，CE，则ME∥AN，
则异面直线AN，CM所成的角或其补角即为∠EMC.
由题可知CN＝1，AN＝2，易得EM＝.又CM＝2，DN＝2，NE＝，
∴CE＝，则cos∠CME＝＝＝.
14、【答案】【解析】连接CD1，AC．由题意得四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，
∴四边形A1BCD1是平行四边形，∴A1B∥CD1，
∴∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．
∵异面直线A1B和AD1所成的角为90°，∴∠AD1C＝90°．
∵四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，
∴△ACD1是等腰直角三角形，∴AD1＝AC．
∵底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，
∴AC＝2×sin 60°×2＝6，AD1＝AC＝3，∴AA1＝＝＝．
15、【解】(1)证明：连接A1D，A1E，分别交AB1，AC1于M，N，连接MN.
∵DE∥平面AB1C1，DE 平面A1DE，平面A1DE∩平面AB1C1＝MN，∴DE∥MN，
∵D为AB的中点，∴A1B1＝AB＝2AD.
由AD∥A1B1可得∠MAD＝∠MB1A1，∠MDA＝∠MA1B1，∴△ADM∽△B1A1M，故A1M＝2MD，
∵DE∥MN，∴A1N＝2NE.
同理可证得△A1NA∽△ENC1，∴CC1＝AA1＝2EC1，∴E是CC1的中点．
(2)取BB1的中点F，连接EF，DF，可知EF∥B1C1，
∴∠DEF即为异面直线DE与B1C1所成的角或其补角．
设AC＝x，则DE＝，DF＝2，EF＝BC＝，
在△DEF中，由余弦定理可得cos∠DEF＝＝，解得x＝4，
故V三棱柱ABC－A1B1C1＝×4×4×4＝32.
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