资源简介

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9.2计数原理、概率、随机变量及其分布
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 12
考点一：二项式定理 12
考点二：排列、组合 13
考点三：概率与正态分布 15
考点四：条件概率与全概率 16
考点五：二项分布与超几何分布 17
考点六：离散型随机变量的均值与方差 19
【真题在线】 21
【专项突破】 23
考点 考情分析 考频
古典概率模型 2022年新高考Ⅰ卷T5 2022年全国甲卷T6 2022年全国甲卷T15 1年3考
相互独立事件 2023年新高考Ⅰ卷T21 2022年全国乙卷T10 2年2考
独立性检验模型 2022年全国甲卷T17 2021年新高考Ⅰ卷T8 2年2考
分布列、均值与统计图 2022年新高考Ⅱ卷T9
分布列、均值与概率 2022年全国甲卷T19
分布列、均值与独立性检验 2023年全国甲卷T19
用样本估计总体 2022年全国甲卷T2 2022年全国乙卷T4 1年2考
正态分布 2022年新高考Ⅱ卷T13
条件概率 2022年新高考Ⅰ卷T20
统计与样本方差 2023年全国乙卷T17
预测：计数原理、概率、随机变量及其分布为高考中点考察内容，考察形式变化多样，要求全面掌握好基础知识，考察的难度整体适中.建议在复习时重在掌握基础概念的同时加强实际的应用问题.
考点一：二项式定理
【典例精析】（多选）（2024·江苏·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·二模）展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·二模）已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则 （ ）
A． B．
C．展开式的常数项为 D．的展开式中各项系数的和为1
二、多选题
3．（2024·云南曲靖·二模）下列命题正确的是（ ）
A．展开式中的系数为1
B．展开式的常数项等于20
C．展开式的二项式系数之和为64
D．展开式的系数之和为64
4．（2024·全国·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（m>0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（mod m）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若，a≡b（mod 10），则b的值可以是（ ）.
A．2019 B．2023 C．2029 D．2033
三、填空题
5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则 ； ．（用含的式子表示）
考点二：排列、组合
【典例精析】（多选）（23-24高二上·山东德州·阶段练习）带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·安徽马鞍山·三模）甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（ ）
A．240种 B．640种 C．1350种 D．1440种
二、多选题
3．（20-21高二下·江苏南京·期末）现安排甲 乙 丙 丁 戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译 导游 礼仪 司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲 乙不会开车但能从事其他三项工作，丙 丁 戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
4．（2023·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．对于独立性检验，的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小
B．在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好
C．随机变量，若，，则
D．甲、乙、丙、丁个人到个景点旅游，每人只去一个景点且每个景点都有人去，设事件为“个人去的景点各不相同”，事件为“甲不去其中的景点”，则
三、填空题
5．（2024·山东聊城·三模）两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种.
考点三：概率与正态分布
【典例精析】（多选）（2024·山东聊城·三模）在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．随的增大先增大后减小
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·江西萍乡·二模）已知随机变量，且，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2024·全国·模拟预测）某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·辽宁沈阳·三模）下列说法正确的是（ ）
A．连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则
B．从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则
C．若随机变量，则
D．若随机变量，则当减小，增大时，保持不变
4．（2024·安徽淮北·二模）如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·吉林长春·模拟预测）春暖花开季节，小王 小李 小张 小刘四人计划“五 一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖 净月 莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 .
考点四：条件概率与全概率
【典例精析】（多选）（2024·江苏·模拟预测）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏·二模）羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南·二模）现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小
4．（2024·山东济南·三模）某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·重庆开州·模拟预测）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则的数学期望 .（用表示）
考点五：二项分布与超几何分布
【典例精析】（多选）（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　）
A．若随机变量，且，则
B．若随机变量，则方差
C．若从名男生、名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为
D．若随机变量X的分布列为，则
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
二、多选题
3．（2024·云南红河·二模）某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲 乙 丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：
生产线 次品率 产量（件/天）
甲 500
乙 700
丙 800
试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ）
A．若计算机5次生成的数字之和为，则
B．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则
C．若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为
D．若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为
4．（2022·全国·模拟预测）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
三、填空题
5．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ．
考点六：离散型随机变量的均值与方差
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，我国在航天事业中取得举世瞩目的成就．为了普及航天知识，某校举行了航天知识竞赛，竞赛中设置了多选题目（每题4个选项中有2个或3个正确选项），每题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．已知某一道多选题甲完全不会，他随机选择2个或3个选项，该题有2个正确选项的概率为．记表示甲的得分，则（ ）
A．甲得2分的概率为 B．若甲选择2个选项，则
C．若甲选择3个选项，则 D．甲得5分的概率为
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·宁夏石嘴山·三模）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
(2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金．
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品．
①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；
②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到）
2．（2024·浙江金华·三模）已知甲盒中有1个红球，2个蓝球，乙盒中有5个红球，4个蓝球，这些球除了颜色外完全相同.
(1)从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，求这3次中取出2次红球的概率；
(2)从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望.
3．（2024·湖南邵阳·模拟预测）2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60分钟），制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：
停车时间/分钟
甲
乙
设此次停车中，甲所付停车费用为，乙所付停车费用为．
(1)在的条件下，求的概率；
(2)若，求随机变量的分布列与数学期望．
4．（2024高三下·全国·专题练习）“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围.
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
2．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
3．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
4．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
5．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
6．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
二、多选题
7．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题
8．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
9．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
10．（2022·全国·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
四、解答题
11．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
12．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区 崧泽文化区 良渚文化区 钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长 谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲 乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲 乙两人安排在相同区域的方法种数为（ ）
A．96 B．144 C．240 D．360
2．（2024·湖南长沙·三模）在的展开式中，的系数是（ ）
A．168 B． C．1512 D．
3．（2024·河北保定·二模）有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东·二模）拋掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若与独立，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·浙江金华·三模）某市高中数学统考（总分150分），假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为（ ）
（参考数据：，）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
二、多选题
7．（2024·安徽·三模）下列关于概率统计的说法中正确的是（ ）
A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
8．（2024·云南昆明·三模）在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A． B．A与相互独立
C． D．
三、填空题
9．（2024·天津和平·一模）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为 ；党员甲能通过初试的概率为 .
10．（2023·山西·模拟预测）甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为，乙每次射门射进的概率均为，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为 ．
11．（2024·上海松江·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则 .
四、解答题
12．（2024·湖北·模拟预测）某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.
(1)若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；
(2)若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.
13．（2024·重庆·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
14．（2024·全国·模拟预测）向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展．以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频．为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查，结果如下表所示．
Sora的应用情况 视频从业人员 合计
减少 未减少
应用 70 75
没有应用 15
合计 100 120
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？
(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora．
（ⅰ）求员工经过培训能应用Sora的概率．
（ⅱ）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元．根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：，其中．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
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9.2计数原理、概率、随机变量及其分布
【备考指南】 1
【知识导图】 2
【考点梳理】 12
考点一：二项式定理 12
考点二：排列、组合 16
考点三：概率与正态分布 19
考点四：条件概率与全概率 24
考点五：二项分布与超几何分布 29
考点六：离散型随机变量的均值与方差 33
【真题在线】 41
【专项突破】 48
考点 考情分析 考频
古典概率模型 2022年新高考Ⅰ卷T5 2022年全国甲卷T6 2022年全国甲卷T15 1年3考
相互独立事件 2023年新高考Ⅰ卷T21 2022年全国乙卷T10 2年2考
独立性检验模型 2022年全国甲卷T17 2021年新高考Ⅰ卷T8 2年2考
分布列、均值与统计图 2022年新高考Ⅱ卷T9
分布列、均值与概率 2022年全国甲卷T19
分布列、均值与独立性检验 2023年全国甲卷T19
用样本估计总体 2022年全国甲卷T2 2022年全国乙卷T4 1年2考
正态分布 2022年新高考Ⅱ卷T13
条件概率 2022年新高考Ⅰ卷T20
统计与样本方差 2023年全国乙卷T17
预测：计数原理、概率、随机变量及其分布为高考中点考察内容，考察形式变化多样，要求全面掌握好基础知识，考察的难度整体适中.建议在复习时重在掌握基础概念的同时加强实际的应用问题.
考点一：二项式定理
【典例精析】（多选）（2024·江苏·模拟预测）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】利用赋值法一一计算可判定A、D选项；利用二项式定理可判定B、C选项.
【详解】对于A，令，则，故A正确；
对于D，令，
令，
两式相减得，故D正确；
易知，
而中的常数项为1，含项为，
含项为，含项为，
同理中的常数项为，含项为，
含项为，含项为，
所以，故B错误；
，故C正确.
故选：ACD
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·浙江·二模）展开式的常数项为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·湖北武汉·二模）已知二项式展开式的二项式系数的和为64，则 （ ）
A． B．
C．展开式的常数项为 D．的展开式中各项系数的和为1
二、多选题
3．（2024·云南曲靖·二模）下列命题正确的是（ ）
A．展开式中的系数为1
B．展开式的常数项等于20
C．展开式的二项式系数之和为64
D．展开式的系数之和为64
4．（2024·全国·模拟预测）中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究，设a，b，m（m>0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b（mod m）.如9和21除以6所得的余数都是3，则记为9≡21（mod 6）.若，a≡b（mod 10），则b的值可以是（ ）.
A．2019 B．2023 C．2029 D．2033
三、填空题
5．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则 ； ．（用含的式子表示）
参考答案：
1．A
【分析】写出二项展开式的通项公式，令的指数为0，得出常数项的项数，即可得常数项．
【详解】展开式的通项公式为，
令，解得，
所以常数项为.
故选：A.
2．D
【分析】根据二项式系数和可得n，化简通项公式，由x的指数为0求出k，然后可得常数项，再令即可判断D.
【详解】由题可知，，则.则AB错误；
展开式中的第项为.
令，得，则，故C错误；
令得，则的展开式中各项系数的和为1，
故选：D.
3．ABC
【分析】根据给定二项式，利用展开式的通项公式计算可判断选项A,B；根据二项式系数之和为可判断选项C；令，可得所有项系数之和进而判断选项D.
【详解】对于选项A：由展开式的通项为,
令，解得，所以含的项为此时系数为1，故A正确；
对于选项B：由展开式的通项为,
令，解得，所以常数项为故B正确；
对于选项C：由可知，所以二项式系数之和为，故C正确；
对于选项D：令，可得所有项系数之和为，故D错误.
故选：ABC.
4．AC
【分析】先利用二项式定理化简得；再利用二项式定理将展开可得到a除以10所得的余数是9，进而可求解.
【详解】因为
所以a除以10所得的余数是9.
又因为a≡b（mod 10）
所以b除以10所得的余数是9.
而，，，
故选：AC.
5． 40
【分析】根据乘法原理和加法原理即可求解；根据和的展开式相减得到的通项公式.
【详解】根据乘法原理和加法原理得到．
奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，，
根据乘法原理和加法原理得到，
两式相减得到.
故答案为：2；.
考点二：排列、组合
【典例精析】（多选）（23-24高二上·山东德州·阶段练习）带有编号、、、、的五个球，则（ ）
A．全部投入个不同的盒子里，共有种放法
B．放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法
C．将其中的个球投入个盒子里的一个（另一个球不投入），共有种放法
D．全部投入个不同的盒子里，没有空盒，共有种不同的放法
【答案】AC
【分析】利用分步计数原理判断A，先分组，再分配，即可判断B，先选出个球，再选出个盒子，即可判断C，分和两种情况讨论，利用分组分配法判断D.
【详解】对于A：由分步计数原理，
五个球全部投入个不同的盒子里共有种放法，故A正确；
对于B：由排列数公式，
五个不同的球放进不同的个盒子里，每盒至少一个，共有种放法，故B错误；
对于C：将其中的个球投入一个盒子里（另一个球不投入）共有种放法，故C正确；
对于D：全部投入个不同的盒子里，没有空盒，
共有种不同的放法，故D错误．
故选：AC
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·安徽马鞍山·三模）甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）现某社区服务中心俱乐部将5名京剧演员、2名说书演员分配到甲、乙、丙3个居民区去义演，则每个居民区都有京剧演员的分配方法有（ ）
A．240种 B．640种 C．1350种 D．1440种
二、多选题
3．（20-21高二下·江苏南京·期末）现安排甲 乙 丙 丁 戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译 导游 礼仪 司机四项工作可以安排，则以下说法错误的是（ ）
A．若每人都安排一项工作，则不同的方法数为
B．若每项工作至少有1人参加，则不同的方法数为
C．每项工作至少有1人参加，甲 乙不会开车但能从事其他三项工作，丙 丁 戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是
D．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为
4．（2023·广东深圳·模拟预测）下列说法正确的是（ ）
A．对于独立性检验，的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越小
B．在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好
C．随机变量，若，，则
D．甲、乙、丙、丁个人到个景点旅游，每人只去一个景点且每个景点都有人去，设事件为“个人去的景点各不相同”，事件为“甲不去其中的景点”，则
三、填空题
5．（2024·山东聊城·三模）两本相同的图画书和两本不同的音乐书全部分给三个小朋友，每人至少一本，且两本图画书不分给同一个小朋友，则不同的分法共有 种.
参考答案：
1．C
【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排方法，结合古典概型运算求解.
【详解】若人数配比为时，则有种不同安排方法；
若人数配比为时，则有种不同安排方法；
所以共有种不同安排方法.
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法；
若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为时，则有种不同安排方法；
所以共有种不同安排方法.
所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为.
故选：C.
2．C
【分析】将2名说书演员分配到3个居民区，共有9种分配方法. 对京剧演员进行分组分配，各组的人数分别为1，1，3或2，2，1. 分别计算两种情况下的分配方法数，最后根据分类加法计数原理可得每个居民区都有京剧演员的分配方法共有1350种.
【详解】将2名说书演员分配到3个居民区，有（种）分配方法.
若每个居民区都有京剧演员，则将京剧演员分成3组，各组的人数分别为1，1，3或2，2，1.
当京剧演员分成三组的人数为1，1，3时，此时共有（种）分配方法；
当京剧演员分成三组的人数为2，2，1时，此时共有（种）分配方法.
综上可知，每个居民区都有京剧演员的分配方法有（种）.
故选：C
3．ABD
【分析】根据分步乘法计数原理判断A、B，对开车的人员分类讨论利用分步乘法计数原理及分类加法计数原理判断C，按照部分平均分组法判断D；
【详解】解：根据题意，依次分析选项：
对于，安排5人参加4项工作，若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2步进行分析：先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故错误；
对于，根据题意，分2种情况讨论：①从丙，丁，戊中选出2人开车，②从丙，丁，戊中选出1人开车，则有种安排方法，正确；
对于，分2步分析：需要先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，错误；
故选：．
4．BD
【分析】直接利用独立性检验，决定系数，二项分布的均值与方差，排列组合的应用以及古典概型的概率公式判断．
【详解】对于A：对于独立性检验，的值越小，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大，故A错误；
对于B：在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好，故B正确；
对于C：随机变量，若，，故，则，故C错误；
对于D：甲、乙、丙、丁个人到个景点旅游，每人只去一个景点且每个景点都有人去，设事件为“个人去的景点各不相同”，事件为“甲不去其中的景点”，则，故D正确，
故选：BD．
5．15
【分析】按照分组的结果分类讨论，利用分类加法原理求解即可.
【详解】不妨记两本相同的图书为元素，两本不同的音乐书为元素，根据题意，分类讨论：
若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；
若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；
若分组情况为时，此时分配给三个小朋友的方法有种情况；
综上，不同的分法共有种.
故答案为：15
考点三：概率与正态分布
【典例精析】（多选）（2024·山东聊城·三模）在美国重压之下，中国芯片异军突起，当前我们国家生产的最小芯片制程是7纳米.某芯片生产公司生产的芯片的优秀率为0.8，现从生产流水线上随机抽取5件，其中优秀产品的件数为.另一随机变量，则（ ）
A． B．
C． D．随的增大先增大后减小
【答案】CD
【分析】根据二项分布的方差性质判断A，根据二项分布的期望公式及方差结合正态分布的期望与方差判断B，根据二项分布概率公式和正态分布的性质求概率判断C，根据二项分布的概率公式单调性判断D.
【详解】由题意，则，
所以，故选项A错误；
，则，设当时概率最大，
则有，即，
解得，由，所以当时概率最大，
则，
即随的增大先增大后减小，故D选项正确；
又，则，，
所以，故选项B错误；
，
又，所以，故选项C正确.
故选：CD
【变式训练】
一、单选题
1．（2023·江西萍乡·二模）已知随机变量，且，则（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
2．（2024·全国·模拟预测）某项竞赛活动需要完成某项任务，天涯队、谛听队、洪荒队参加竞赛，天涯队、谛听队、洪荒队完成该项任务的概率分别为，，，且3队是否完成任务相互独立，则恰有2队完成任务的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·辽宁沈阳·三模）下列说法正确的是（ ）
A．连续抛掷一枚质地均匀的硬币，直至出现正面向上，则停止抛掷.设随机变量表示停止时抛掷的次数，则
B．从6名男同学和3名女同学组成的学习小组中，随机选取2人参加某项活动，设随机变量表示所选取的学生中男同学的人数，则
C．若随机变量，则
D．若随机变量，则当减小，增大时，保持不变
4．（2024·安徽淮北·二模）如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·吉林长春·模拟预测）春暖花开季节，小王 小李 小张 小刘四人计划“五 一”去踏青，现有三个出游的景点：南湖 净月 莲花山，假设每人随机选择一处景点，在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为 .
参考答案：
1．C
【分析】结合正态分布的性质直接得到答案即可.
【详解】随机变量，
所以，所以，故.
故选：C.
2．B
【分析】因为“恰有2队完成任务”，即可能是“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，根据相互独立事件及互斥事件的概率可得结果.
【详解】设事件A为“恰有2队完成任务”，有三类：“天涯队、谛听队”或“谛听队、洪荒队”或“天涯队、洪荒队”，且相互互斥，
则，
故选：B．
3．BCD
【分析】求出判断A；利用超几何分布的期望公式计算判断B；利用二项分布的方差公式计算判断C，利用正态分布的特定区间的概率判断D.
【详解】对于A，抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面、反面的概率均为，则，A错误；
对于B，显然随机变量服从超几何分布，则，B正确；
对于C，由随机变量，得，C正确；
对于D，由正态分布的意义知，为定值，D正确.
故选：BCD
4．ACD
【分析】A选项，的可能取值为，求出相应的概率，得到期望；B选项，2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，得到概率；C选项，设硬币正面朝上的次数为，列出方程，求出，求出；D选项，求出的可能取值及对应的概率，得到数学期望，得到答案.
【详解】A选项，的可能取值为，
且，故，A正确；
B选项，，即2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，
故，B错误；
C选项，，即顺时针走了或逆时针走了，
设硬币正面朝上的次数为，则反面朝上的次数为，
，解得，
故，C正确；
D选项，若硬币8次均正面朝上，此时，
故，
若硬币7次正面朝上，1次反面朝上，此时，
故，
若硬币6次正面朝上，2次反面朝上，此时，
故，
若硬币5次正面朝上，3次反面朝上，此时，
故，
若硬币4次正面朝上，4次反面朝上，此时，
，
若硬币3次正面朝上，5次反面朝上，此时，
，
若硬币2次正面朝上，6次反面朝上，此时，
，
若硬币1次正面朝上，7次反面朝上，此时，
，
若硬币8次均反面朝上，此时，
，
故，D正确.
故选：ACD
5．
【分析】由古典概率结合条件概率的形式计算即可.
【详解】至少有两人去南湖的情况有三种：两人去，三人去，四人去，
其概率为，
至少有两人去南湖且有人去净月的概率为，
所以在至少有两人去南湖的条件下有人去净月的概率为，
故答案为：.
考点四：条件概率与全概率
【典例精析】（多选）（2024·江苏·模拟预测）某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间，则下列说法正确的是（ ）（若，）
A．
B．
C．
D．取得最大值时，的估计值为53
【答案】ACD
【分析】直接利用题意判断A；利用条件概率、全概率公式等进行转化判断B；利用正态分布的性质判断C；设，由函数的单调性判断D.
【详解】对于A，由题意，故A正确；
对于B，由，则，
又，
于是，即，
因此，即，则，故B错误；
对于C，
，故C正确；
对于D，，
设，
，
解得，，
由，
解得，即，
所以取得最大值时，的估计值为53，故D正确.
故选：ACD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）设A，B 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2024·江苏·二模）羽毛球比赛水平相当的甲、乙、丙三人举行羽毛球比赛.规则为：每局两人比赛，另一人担任裁判.每局比赛结束时，负方在下一局比赛中担任裁判.如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·河南·二模）现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小
4．（2024·山东济南·三模）某同学投篮两次，第一次命中率为．若第一次命中，则第二次命中率为；若第一次未命中，则第二次命中率为．记为第i次命中，X为命中次数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
5．（2024·重庆开州·模拟预测）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有2个黑球的概率为，恰有1个黑球的概率为，则的数学期望 .（用表示）
参考答案：
1．B
【分析】根据概率的性质解得，结合可得，代入条件概率公式分析求解.
【详解】因为，即，解得，
又因为，即，解得，
且，可得，
所以.
故选：B.
2．C
【分析】由全概率公式即可求解.
【详解】由于甲、乙、丙三人的比赛水平相当，所以第二局乙或丙担任裁判的概率都是，
第二局若是乙当裁判，则第三局甲或丙担任裁判的概率都是，
第二局若是丙当裁判，则第三局甲或乙担任裁判的概率都是，
由全概率公式可知，如果第1局甲担任裁判，则第3局甲还担任裁判的概率为.
故选：C.
3．ACD
【分析】由古典概率先计算，再由条件概率计算得到A正确；由全概率计算得到B错误；由条件概率得到C正确；由古典概率得到D正确.
【详解】A：由题，，故A正确；
B：由选项A可得，故B错误；
C：因为，所以，
所以，故C正确；
D：由题该球来自的概率为，该球来自的概率为，该球来自的概率为，
所以该球来自的概率最小，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题A，C关键在于应用条件概率公式即.
4．ABD
【分析】利用全概率公式及贝叶斯公式可判定A、D选项，利用期望与方差公式可判定B、C选项.
【详解】对于A，易知，故A正确；
对于D，易知，故D正确；
对于B、C，易知可取，则,
，所以，
，故B正确；C错误；
故选：ABD
5．
【分析】一方面：利用已知条件求出，进一步推出，另一方面得出，由此可求出，进一步由期望公式即可求解.
【详解】一方面：由题意可知：，，
则；．
另一方面：由题意可知：，
，
两式相加可得，
则：时，，
所以，，
因为，数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
即，
所以.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：关键是得出，由此即可顺利得解.
考点五：二项分布与超几何分布
【典例精析】（多选）（2024高三·全国·专题练习）下列说法正确的有（　　）
A．若随机变量，且，则
B．若随机变量，则方差
C．若从名男生、名女生中选取人，则其中至少有名女生的概率为
D．若随机变量X的分布列为，则
【答案】ABD
【分析】由正态分布求解判断出选项A正确，由二项分布即可判断选项B正确，由超几何分布求解概率即可判断选项C错误，由概率分布列的性质求解判断选项D正确.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B，，，故B正确；
对于C，至少有一名女生的概率，故C错误；
对于D，，，，故D正确．
故选：ABD.
【变式训练】
一、单选题
1．（2024·山东济南·二模）已知随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
2．（22-23高三下·内蒙古赤峰·阶段练习）某商场推出一种抽奖活动：盒子中装有有奖券和无奖券共10张券，客户从中任意抽取2张，若至少抽中1张有奖券，则该客户中奖，否则不中奖.客户甲每天都参加1次抽奖活动，一个月（30天）下来，发现自己共中奖11次，根据这个结果，估计盒子中的有奖券有（ ）
A．1张 B．2张 C．3张 D．4张
二、多选题
3．（2024·云南红河·二模）某种高精度产品在研发后期，一企业启动产品试生产，假设试产期共有甲 乙 丙三条生产线且每天的生产数据如下表所示：
生产线 次品率 产量（件/天）
甲 500
乙 700
丙 800
试产期每天都需对每一件产品进行检测，检测方式包括智能检测和人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“0”或“1”，连续生成5次，把5次的数字相加，若和小于4，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另一种检测方式.则下列选项中正确的是（ ）
A．若计算机5次生成的数字之和为，则
B．设表示事件第天该企业产品检测选择的是智能检测，则
C．若每天任检测一件产品，则这件产品为次品的概率为
D．若每天任检测一件产品，检测到这件产品是次品，则该次品来自甲生产线的概率为
4．（2022·全国·模拟预测）某工厂进行产品质量抽测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有5件次品，员工A从这一批产品中有放回地随机抽取3件产品，员工B从这一批产品中无放回地随机抽取3件产品．设员工A抽取到的3件产品中次品数量为X，员工B抽取到的3件产品中次品数量为Y，，1，2，3．则下列判断正确的是（ ）
A．随机变量X服从二项分布 B．随机变量Y服从超几何分布
C． D．
三、填空题
5．（2024·天津·二模）盒子里有大小和形状完全相同的4个黑球和6个红球，每次从中随机取一个球，取后不放回．在第一次取到黑球的条件下，第二次取到黑球的概率是 ；若连续取2次球，设随机变量表示取到的黑球个数，则 ．
参考答案：
1．B
【分析】根据二项分布直接求解即可.
【详解】因为随机变量，
所以.
故选：B
2．B
【分析】根据题意，计算盒子中奖券数量对应的概率，结合期望分析更接近11的可能最大.
【详解】设中奖的概率为，30天中奖的天数为，则
若盒子中的有奖券有1张，
则中奖的概率为，
，
若盒子中的有奖券有2张，
则中奖的概率为，
，
若盒子中的有奖券有3张，
则中奖的概率为，
，
若盒子中的有奖券有4张，
则中奖的概率为，
，
根据题意盒子中的有奖券有2张，更有可能30天中奖11天，
故选：B.
3．BD
【分析】根据题意可知，由二项分布计算，即可判断A选项；由条件概率公式计算，由此判断B选项；设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，由全概率公式计算，由此判断C选项；由贝叶斯公式计算，由此判断D选项.
【详解】对于A：因为，，
所以，故A错误；
对于B：由
故B正确；
对于C：设每天任检测一件产品，这件产品是次品为事件B，
这件产品来自甲，乙，丙三条生产线分别为事件，
则由
，故C错误；
对于D：由C选项的解析可知，故D正确.
故选：BD.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，分析得服从二项分布，从而求得，进而利用全概率公式与贝叶斯公式即可得解.
4．ABD
【分析】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知“有放回”是二项分布，“无放回”是超几何分布，故两个选项均正确；C，D选项，可进行计算判断.
【详解】对于A，B选项，由超几何分布和二项分布的概念可知两个选项均正确；
对于D选项，该批产品有M件，则，，因此D正确；
对于C选项，假若C正确可得，则D错误，矛盾！故C错误．
故选：ABD.
5． /0.8
【分析】第一空由条件概率公式可求出结果；第二空由超几何分布求出期望.
【详解】设第一次取到黑球为事件，第二次取到黑球为事件，
则，，
所以；
由题意可得的取值为，
，
所以，
故答案为：；.
考点六：离散型随机变量的均值与方差
【典例精析】（多选）（2024·全国·模拟预测）2023年10月26日，神舟十七号载人飞船成功发射，我国在航天事业中取得举世瞩目的成就．为了普及航天知识，某校举行了航天知识竞赛，竞赛中设置了多选题目（每题4个选项中有2个或3个正确选项），每题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．已知某一道多选题甲完全不会，他随机选择2个或3个选项，该题有2个正确选项的概率为．记表示甲的得分，则（ ）
A．甲得2分的概率为 B．若甲选择2个选项，则
C．若甲选择3个选项，则 D．甲得5分的概率为
【答案】CD
【分析】根据给定条件，可得该题有3个正确选项的概率为，结合离散型随机变量的期望计算方法逐项分析判断即可.
【详解】由该题有2个正确选项的概率为，得该题有3个正确选项的概率为，
对于A，若甲得2分，则该题有3个正确选项，甲选择了2个正确选项，概率为，
因此甲得2分的概率，A错误；
对于B，若甲选择2个选项，则的可能取值为，则，
，则，B错误；
对于C，若甲选择3个选项，则的可能取值为0，5，则，
，因此，C正确；
对于D，由选项BC知，甲得5分的概率为，D正确．
故选：CD
【变式训练】
一、解答题
1．（2024·宁夏石嘴山·三模）刷脸时代来了，人们为“刷脸支付”给生活带来的便捷感到高兴，但“刷脸支付”的安全性也引起了人们的担忧.某调查机构为了解人们对“刷脸支付”的接受程度，通过安全感问卷进行调查（问卷得分在分之间），并从参与者中随机抽取人.根据调查结果绘制出如图所示的频率分布直方图.
(1)据此估计这人满意度的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
(2)某大型超市引入“刷脸支付”后，在推广“刷脸支付”期间，推出两种付款方案：方案一：不采用“刷脸支付”，无任何优惠，但可参加超市的抽奖返现金活动.活动方案为：从装有个形状、大小完全相同的小球其中红球个，黑球个的抽奖盒中，一次性摸出个球，若摸到个红球，返消费金额的；若摸到个红球，返消费金额的，除此之外不返现金．
方案二：采用“刷脸支付”，此时对购物的顾客随机优惠，但不参加超市的抽奖返现金活动，根据统计结果得知，使用“刷脸支付”时有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠，有的概率享受折优惠.现小张在该超市购买了总价为元的商品．
①求小张选择方案一付款时实际付款额的分布列与数学期望；
②试从期望角度，比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？（注：结果精确到）
2．（2024·浙江金华·三模）已知甲盒中有1个红球，2个蓝球，乙盒中有5个红球，4个蓝球，这些球除了颜色外完全相同.
(1)从甲盒中有放回地取球，每次取1个，共取3次，求这3次中取出2次红球的概率；
(2)从甲、乙两盒中各任取2个球，记取出的4个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望.
3．（2024·湖南邵阳·模拟预测）2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通物流货运车辆通行”优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题．在持续推进缓解城镇老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持鼓励住宅小区和机构停车位错时共享．某医院门口设置了限时停车场（停车时间不超过60分钟），制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18元，超过60分钟必须立刻离开停车场．甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙的停车时间的概率如下表所示：
停车时间/分钟
甲
乙
设此次停车中，甲所付停车费用为，乙所付停车费用为．
(1)在的条件下，求的概率；
(2)若，求随机变量的分布列与数学期望．
4．（2024高三下·全国·专题练习）“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜.造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.
(1)若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)设采用3局2胜制时乙获胜的概率为，采用5局3胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围.
5．（2024·河南三门峡·模拟预测）2024年7月26日至8月11日将在法国巴黎举行夏季奥运会.为了普及奥运知识，M大学举办了一次奥运知识竞赛，竞赛分为初赛与决赛，初赛通过后才能参加决赛
(1)初赛从6道题中任选2题作答，2题均答对则进入决赛.已知这6道题中小王能答对其中4道题，记小王在初赛中答对的题目个数为，求的数学期望以及小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率；
(2)大学为鼓励大学生踊跃参赛并取得佳绩，对进入决赛的参赛大学生给予一定的奖励.奖励规则如下：已进入决赛的参赛大学生允许连续抽奖3次，中奖1次奖励120元，中奖2次奖励180元，中奖3次奖励360元，若3次均未中奖，则只奖励60元.假定每次抽奖中奖的概率均为，且每次是否中奖相互独立.
（i）记一名进入决赛的大学生恰好中奖1次的概率为，求的极大值；
（ii）大学数学系共有9名大学生进入了决赛，若这9名大学生获得的总奖金的期望值不小于1120元，试求此时的取值范围.
参考答案：
1．(1)68
(2)①分布列见详解，；②选择方案二更划算.
【分析】（1）根据直方图估算平均数的方法直接计算即可；
（2）①先确定X的取值，然后根据超几何分布概率公式求概率，即可的分布列，再由期望公式求出期望；②确定实际付款金额Y的值，然后根据所给概率写出分布列，即可计算出期望，通过比较期望大小即可作出判断.
【详解】（1）由直方图可知，满意度的平均数为：
.
（2）①摸到个红球，返消费金额的，实际付款为；
摸到个红球，返消费金额的，实际付款为，
所以的可能取值为，
因为，
所以，
的分布列为：
X 800 900 1000
P
所以（元）.
②若选择方案二，记实际付款金额为Y，依题意，Y的可能取值为，
因为，
所以，Y的分布列为：
Y 800 900 950
P
所以，（元）
因为，所以选择方案二付款更划算.
2．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）先求每次从甲盒中取出红球的概率，然后利用独立重复试验的概率即可求解；
（2）确定随机变量的所有可能取值，求出每个值对应的概率，可得分布列，即可求得数学期望.
【详解】（1）设“每次从甲盒中取出红球”，“这3次中取出2次红球”.
则，.
（2）所有可能的取值为0，1，2，3
，，
，
0 1 2 3
.
3．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）根据概率的性质求出，求出的概率及的概率可得答案；
（2）根据的值可得的取值，再求取值对应的概率可得分布列、期望.
【详解】（1）根据题意可得，解得，
，解得，
甲所付停车费用为18元，乙所付停车费用为0元可得，
其概率为；
甲所付停车费用为0元，乙所付停车费用为18元可得，
其概率为；
甲所付停车费用为9元，乙所付停车费用为9元可得，
其概率为；
所以的概率，
可得在的条件下，
的概率为；
（2）的取值为0，3，6，9，15，18，
，
，
，
，
，
，
随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望
.
4．(1)分布列见解析，
(2)
【分析】（1）根据题意，得到的所有可能取值为2，3，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解；
（2）分别求，结合，运算求解即可.
【详解】（1）因为，所以比赛采用3局2胜制，的所有可能取值为2，3，
，
，
的分布列为
2 3
所以.
（2）由题意知，
.
由，得，
且，则，可得，
整理得，解得，
所以的取值范围为.
5．(1)，
(2)（i）；（ii）
【分析】（1）6道题中小王能答对4道，答错2道，结合超几何分布计算即可，再结合条件概率计算即可.
（2）由，运用导数研究其极大值即可.
（3）分析每名进入决赛的大学生获得的奖金的期望，解不等式即可.
【详解】（1）由题意知，的可能取值为，
则，
，
，
故的分布列为
0 1 2
则.
记事件：小王已经答对一题，事件：小王未进入决赛，
则小王在已经答对一题的前提下，仍未进入决赛的概率.
（2）（i）由题意知，，
则，
令，解得或（舍），
当时，，当时，，
所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，
所以当时，有极大值，且的极大值为.
（ii）由题可设每名进入决赛的大学生获得的奖金为随机变量，
则的可能取值为，
，
，
，
，
所以，
所以，
即，整理得，
经观察可知是方程的根，
故，
因为恒成立，
所以由可得，解得得，
又，所以的取值范围为.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）
A．120 B．60 C．30 D．20
2．（2023·全国·高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种 B．60种 C．120种 D．240种
3．（2023·全国·高考真题）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有（ ）．
A．种 B．种
C．种 D．种
4．（2023·全国·高考真题）某地的中学生中有的同学爱好滑冰，的同学爱好滑雪，的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）
A．0.8 B．0.6 C．0.5 D．0.4
5．（2022·全国·高考真题）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，且．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
6．（2022·全国·高考真题）有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A．12种 B．24种 C．36种 D．48种
二、多选题
7．（2023·全国·高考真题）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.
A．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的概率为
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为
D．当时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率
三、填空题
8．（2023·全国·高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）．
9．（2022·全国·高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ．
10．（2022·全国·高考真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为 ．
四、解答题
11．（2023·全国·高考真题）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若末命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．
(1)求第2次投篮的人是乙的概率；
(2)求第次投篮的人是甲的概率；
(3)已知：若随机变量服从两点分布，且，则．记前次（即从第1次到第次投篮）中甲投篮的次数为，求．
12．（2022·全国·高考真题）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．
参考答案：
1．B
【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.
【详解】不妨记五名志愿者为，
假设连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有种方法，
同理：连续参加了两天公益活动，也各有种方法，
所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有种.
故选：B.
2．C
【分析】相同读物有6种情况，剩余两种读物的选择再进行排列，最后根据分步乘法公式即可得到答案.
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选：C.
3．D
【分析】利用分层抽样的原理和组合公式即可得到答案.
【详解】根据分层抽样的定义知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根据组合公式和分步计数原理则不同的抽样结果共有种.
故选：D.
4．A
【分析】先算出同时爱好两项的概率,利用条件概率的知识求解.
【详解】同时爱好两项的概率为，
记“该同学爱好滑雪”为事件,记“该同学爱好滑冰”为事件，
则，
所以.
故选:.
5．D
【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率.并对三者进行比较即可解决
【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，
记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为，
则此时连胜两盘的概率为
则
；
记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为，
则
记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为
则
则
即，，
则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；
与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.
故选：D
6．B
【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解
【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，
故选：B
7．ABD
【分析】利用相互独立事件的概率公式计算判断AB；利用相互独立事件及互斥事件的概率计算判断C；求出两种传输方案的概率并作差比较判断D作答.
【详解】对于A，依次发送1，0，1，则依次收到l，0，1的事件是发送1接收1、发送0接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，A正确；
对于B，三次传输，发送1，相当于依次发送1，1，1，则依次收到l，0，1的事件，
是发送1接收1、发送1接收0、发送1接收1的3个事件的积，
它们相互独立，所以所求概率为，B正确；
对于C，三次传输，发送1，则译码为1的事件是依次收到1，1，0、1，0，1、0，1，1和1，1，1的事件和，
它们互斥，由选项B知，所以所求的概率为，C错误；
对于D，由选项C知，三次传输，发送0，则译码为0的概率，
单次传输发送0，则译码为0的概率，而，
因此，即，D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点睛：利用概率加法公式及乘法公式求概率，把要求概率的事件分拆成两两互斥事件的和，相互独立事件的积是解题的关键.
8．64
【分析】分类讨论选修2门或3门课，对选修3门，再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解.
【详解】（1）当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有种；
（2）当从8门课中选修3门，
①若体育类选修课1门，则不同的选课方案共有种；
②若体育类选修课2门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种.
故答案为：64.
9．/．
【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．
【详解】因为，所以，因此．
故答案为：．
10．.
【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．
【详解】从正方体的个顶点中任取个，有个结果，这个点在同一个平面的有个，故所求概率．
故答案为：．
11．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据全概率公式即可求出；
（2）设，由题意可得，根据数列知识，构造等比数列即可解出；
（3）先求出两点分布的期望，再根据题中的结论以及等比数列的求和公式即可求出．
【详解】（1）记“第次投篮的人是甲”为事件，“第次投篮的人是乙”为事件，
所以，
.
（2）设，依题可知，，则
，
即，
构造等比数列，
设，解得，则，
又，所以是首项为，公比为的等比数列，
即．
（3）因为，，
所以当时，，
故．
【点睛】本题第一问直接考查全概率公式的应用，后两问的解题关键是根据题意找到递推式，然后根据数列的基本知识求解．
12．(1)；
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；
（2）依题可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．
【详解】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为，所以甲学校获得冠军的概率为
．
（2）依题可知，的可能取值为，所以，
,
，
，
.
即的分布列为
0 10 20 30
0.16 0.44 0.34 0.06
期望.
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）2024年3月22日国家文物局在北京公布2023年《全国十大考古新发现》，安徽省皖南地区郎溪县磨盘山遗址成功入选并排名第三，经初步确认，该遗址现存马家浜文化区 崧泽文化区 良渚文化区 钱山漾文化区四大区域，总面积约6万平方米.该遗址延续时间长 谱系完整，是长江下游地区少有的连续时间近4000年的中心性聚落.对认识多元化一体中华文明在皖南地区的演进方式具有重要的价值，南京大学历史学院赵东升教授团队现在对该遗址四大区域进行考古发掘，现安排包含甲 乙在内的6名研究生同学到这4个区域做考古志愿者，每人去1个区域，每个区域至少安排1个人，则甲 乙两人安排在相同区域的方法种数为（ ）
A．96 B．144 C．240 D．360
2．（2024·湖南长沙·三模）在的展开式中，的系数是（ ）
A．168 B． C．1512 D．
3．（2024·河北保定·二模）有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·广东·二模）拋掷一枚质地均匀的硬币次，记事件“次中至多有一次反面朝上”，事件“次中全部正面朝上或全部反面朝上”，若与独立，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2024·浙江金华·三模）某市高中数学统考（总分150分），假设考试成绩服从正态分布.如果按照，，，的比例将考试成绩从高到低分为，，，四个等级.若某同学考试成绩为99分，则该同学的等级为（ ）
（参考数据：，）
A． B． C． D．
6．（2024·陕西西安·模拟预测）已知某随机变量的分布列如图表，则随机变量X的方差（ ）
A．120 B．160 C．200 D．260
二、多选题
7．（2024·安徽·三模）下列关于概率统计的说法中正确的是（ ）
A．某人在10次答题中，答对题数为，则答对7题的概率最大
B．设随机变量服从正态分布，若，则
C．已知回归直线方程为，若样本中心为，则
D．两个变量的相关系数为，则越小，与之间的相关性越弱
8．（2024·云南昆明·三模）在一个有限样本空间中，事件发生的概率满足，，A与互斥，则下列说法正确的是（ ）
A． B．A与相互独立
C． D．
三、填空题
9．（2024·天津和平·一模）为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数X的数学期望为 ；党员甲能通过初试的概率为 .
10．（2023·山西·模拟预测）甲、乙两名足球运动员进行射门比赛，约定每人射门3次，射进的次数多者赢，一样多则为平局．若甲每次射门射进的概率均为，乙每次射门射进的概率均为，且每人每次射门相互独立．现已知甲第一次射门未射进，则乙赢的概率为 ．
11．（2024·上海松江·二模）已知随机变量服从正态分布，且，则 .
四、解答题
12．（2024·湖北·模拟预测）某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.
(1)若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；
(2)若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.
13．（2024·重庆·高考真题）为研究某种农产品价格变化的规律，收集得到了该农产品连续40天的价格变化数据，如下表所示．在描述价格变化时，用“+”表示“上涨”，即当天价格比前一天价格高；用“-”表示“下跌”，即当天价格比前一天价格低；用“0”表示“不变”，即当天价格与前一天价格相同．
时段 价格变化
第1天到第20天 - + + 0 - - - + + 0 + 0 - - + - + 0 0 +
第21天到第40天 0 + + 0 - - - + + 0 + 0 + - - - + 0 - +
用频率估计概率．
(1)试估计该农产品价格“上涨”的概率；
(2)假设该农产品每天的价格变化是相互独立的．在未来的日子里任取4天，试估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率；
(3)假设该农产品每天的价格变化只受前一天价格变化的影响．判断第41天该农产品价格“上涨”“下跌”和“不变”的概率估计值哪个最大．（结论不要求证明）
14．（2024·全国·模拟预测）向“新”而行，向“新”而进，新质生产力能够更好地推动高质量发展．以人工智能的应用为例，人工智能中的文生视频模型Sora（以下简称Sora），能够根据用户的文本提示创建最长60秒的逼真视频．为调查Sora的应用是否会对视频从业人员的数量产生影响，某学校研究小组随机抽取了120名视频从业人员进行调查，结果如下表所示．
Sora的应用情况 视频从业人员 合计
减少 未减少
应用 70 75
没有应用 15
合计 100 120
(1)根据所给数据完成上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关？
(2)某公司视频部现有员工100人，公司拟开展Sora培训，分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮相互独立，有二轮及以上获得“优秀”的员工才能应用Sora．
（ⅰ）求员工经过培训能应用Sora的概率．
（ⅱ）已知开展Sora培训前，员工每人每年平均为公司创造利润6万元；开展Sora培训后，能应用Sora的员工每人每年平均为公司创造利润10万元；Sora培训平均每人每年成本为1万元．根据公司发展需要，计划先将视频部的部分员工随机调至其他部门，然后开展Sora培训，现要求培训后视频部的年利润不低于员工调整前的年利润，则视频部最多可以调多少人到其他部门？
附：，其中．
0.010 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
参考答案：
1．C
【分析】6名同学分成4组，再把4组人分到4个区域，
【详解】先将6名同学分成4组，则4个组的人数为或，
当甲 乙在2人组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，有种分组方法；
当甲 乙在3人组，甲 乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组，有种分组方法，
再把4组人分到4个区域，所以安排方法种数为.
故选：C.
2．D
【分析】利用多项式展开性质及组合数的应用求解即可.
【详解】原问题可以理解为8个相乘，要想得到，需要8个因式中有2个取项，1个取项，
还剩5个取常数项，由题意的系数为：.
故选：D
3．B
【分析】先将4个盒子进行全排，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，分别计算出排列数，即可得到答案.
【详解】将4个盒子按顺序拆开有种方法，
若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，
则前两个盒子都是白球或都是黑球，有种情况，
则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为.
故选：B
4．B
【分析】分别求出，，，根据相互独立事件概率乘法公式即可求解.
【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币次，则基本事件总数为，
事件“n次中至多有一次反面朝上”，则n次全部正面朝上或n次中恰有1次反面朝上，
则，事件“n次中全部正面朝上或全部反面朝上”，则，于是，
因为A与B独立，所以，即，
分别代入，3，4，5，验证，可得符合题意.
故选：B
5．B
【分析】根据正态分布的性质即可求解.
【详解】数学测试成绩服从正态分布，
则，，
由于等级的概率之和为，
所以
，而即
故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级，
故99分为B等级．
故选：B．
6．C
【分析】根据概率和为，求得，再根据分布列求，再求即可.
【详解】由题可知：，解得，则；
故.
故选：C.
7．AC
【分析】对于A，可利用不等式法求解；对于B，根据正态分布曲线的对称性即可验算；对于C，将样本中心坐标代入回归方程即可验算；对于D，由相关系数的意义即可判断.
【详解】对于，故，
令，解得，故，故A正确；
对于，故错误；
对于，回归直线必过样本中心，可得，解得，故C正确；
对于，两个变量的相关系数为越小，与之间的相关性越弱，故D错误.
故选：AC.
8．ABD
【分析】A选项，根据互斥得到，；B选项，根据求出，故，B正确；C选项，A与互斥，故与互斥，故C正确；D选项，根据求出D正确.
【详解】A选项，A与互斥，故，，则包含事件，故，A正确；
B选项，，
即，故，
故，A与相互独立，B正确；
C选项，A与互斥，故与互斥，故，C错误；
D选项，
，
因为，故，D正确.
故选：ABD
9．
【分析】求出随机变量的各个取值的概率，求期望，据此求即可.
【详解】由题意，的可能取值为，
则，，
，，
所以；
党员甲能通过初试的概率为.
故答案为：；
10．
【分析】利用独立事件的乘法公式可得答案.
【详解】若乙射进1次，则他赢的概率为；
若乙射进2次，则他赢的概率为；
若乙射进3次，则他赢的概率为；
故乙赢的概率为.
故答案为：.
11．/
【分析】根据题意，结合正态分布的对称性，即可求解.
【详解】因为随机变量服从正态分布，且，
可得.
故答案为：.
12．(1)
(2)分布列见解析，96
【分析】（1）利用正难则反的原则即可得到答案；
（2）按步骤得到分布列，再利用期望公式即可得到答案.
【详解】（1）设事件“一个会员所获得的红包总金额不低于90元”，
因为每次摸出的球不放回袋中，所以.
（2）由已知得，，
因为每次摸出的球放回袋中，所以每次摸出40元、50元和60元红包的概率分别为，，，
所以，，
，
，，
所以得分布列为
80 90 100 110 120
所以.
13．(1)
(2)
(3)第41天该茶品价格“不变”的概率估计值最大
【分析】（1）计算表格中的“上涨”，“下跌”，“不变”的天数，利用频率估计概率即可求解；
（2）利用频率估计概率求相应的频率，结合独立事件概率乘法公式运算求解；
（3）通过统计表格中前一天上涨，后一天发生的各种情况的概率进行推断.
【详解】（1）由表知：40天中价格“上涨”15天，“下跌”15天，“不变”10天，
可知该茶品价格“上涨”、 “下跌”、“不变”的频率分别为为、、，
利用频率估计概率，所以估计该农产品价格“上涨”的概率为.
（2）由（1）利用频率估计概率可知：“上涨”、 “下跌”、 “不变”的概率分别为、、，
估计该农产品价格在这4天中2天“上涨”、1天“下跌”、1天“不变”的概率为
.
（3）研究：40天中除去最后一天价格“上涨”的有14天，
价格“上涨”后仍“上涨”的有4次，概率为，
价格“上涨”后“下跌”的有2次，概率为，
价格“上涨”后“不变”的有8次，概率为，
所以第41天该茶品价格“不变”的概率估计值最大.
14．(1)表格见解析，有关
(2)（ⅰ）；（ⅱ）14人
【分析】（1）先根据已知条件，列出列联表，，做出零假设，计算的值，即可得出结论.
（2）根据独立事件同时发生的概率计算公式可求解；根据期望的应用解决问题.
【详解】（1）依题意，列联表如下：
Sora的应用的情况 视频从业人员 合计
减少 未减少
应用 70 5 75
没有应用 30 15 45
合计 100 20 120
零假设Sora的应用与视频从业人员的减少无关，
由列联表中数据得，，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为Sora的应用与视频从业人员的减少有关，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）（ⅰ）设“员工第轮获得优秀”，且相互独立．
设“员工经过培训能应用Sora”，则
，故员工经过培训能应用Sora的概率是．
（ⅱ）设视频部调人至其他部门，为培训后视频部能应用Sora的人数，
则，
因此，
调整后视频部的年利润为（万元），
令，解得，又，所以．
因此，视频部最多可以调14人到其他部门．
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