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2025高考物理一轮复习三精系列
第十三章 磁场
专题12.5 带电粒子在磁场中运动的多解问题
第一部分 知识点精讲
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，问题形成多解。根据多解形成原因，常见的有：
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
(1)找出多解的原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
1.　带电粒子电性不确定形成多解
分析 图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
2. 磁场方向不确定形成多解
分析 图例
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
3. 临界状态不确定形成多解
分析 图例
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
二、带电粒子在磁场中运动的多解问题解题思路
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
第二部分 最新高考题精选
1.. （2023高考山东高中学业水平等级考试）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。
（i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度；
（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。
【参考答案】（1）；（2）（i），；（ii）不会
【名师解析】
（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有
粒子在磁场中做匀速圆周运动，有
粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图
根据几何关系可知
联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图
在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知
解得
由sinθ==0.8，解得，
洛伦兹力提供向心力
带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x方向有，
沿y方向上有，
其中根据牛顿第二定律有
联立以上各式解得 ，，
（ii）粒子从P到Q根据动能定理有
可得从Q射出时的速度为
此时粒子在磁场中的半径
根据其几何关系可知对应的圆心坐标为 ，
而圆心与P的距离为
故不会再从P点进入电场。
2.(多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)
A.kBL,0° B.kBL,0°
C．kBL,60° D．2kBL,60°
【参考答案】　BC
【名师解析】　若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图，
根据几何关系则有R＝L，由qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°.当离子在两个磁场均运动一次时，如图，因为两个磁场的磁感应强度大小均为B，则根据对称性有R＝L，
根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°.通过以上分析可知当离子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当离子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°，故B、C正确，A、D错误．
3.（20分）
（2021高考全国甲卷）如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
（1）求粒子发射位置到P点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
【名师解析】（1）带电粒子在匀强电场中做类平抛运动，由类平抛运动规律可知
粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，有
粒子发射位置到P点的距离
由得
（2）带电粒子在磁场中运动速度
带电粒子在磁场中运动两个临界轨迹（分别从Q、N点射出），如图所示
由几何关系可知，粒子运动轨迹的最小半径为
最大半径
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力
，
由解得，磁感应强度大小的取值范围为
（3）若带电粒子正好从QN的中点射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图所示。
由几何关系可知
带电粒子在匀强磁场中运动轨迹半径
粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离
由解得
第三部分 最新模拟题精选
1. （2024年4月四川成都重点高中期中联考）如图所示，在半径为R的圆形区域内有一匀强磁场，边界上的A点处，有一粒子源能在垂直于磁场的平面内沿不同方向向磁场中发射速率相同的同种带电粒子，在磁场边界的圆周上可观测到有粒子飞出，则粒子在磁场中的运动半径为（　　）
A． B． C． D．R
【参考答案】C
【名师解析】当粒子轨迹半径小于或等于磁场区域半径时，粒子射出圆形磁场的点离入射点最远距离为粒子的轨迹直径，由题意在磁场边界的圆周上可观测到有粒子飞出，设粒子带正电，如图所示
粒子在磁场中运动的轨迹直径为，粒子都从圆弧之间射出，根据几何关系可得
则粒子在磁场中的运动半径为，故选C。
2．（2024江苏六校下学期第二次联考）一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示。内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿径向射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1一定带正电
B．若两粒子的比荷相同，则粒子1的入射速率小于粒子2的入射速率
C．若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2在磁场中的运动时间增加
D．改变粒子2入射方向，速率变为原来的，则粒子2在磁场中运动的最长时间为t
【参考答案】BCD
【名师解析】粒子l在洛伦兹力作用下向下偏转，由左手定则可知，粒子1带负电，A错误；
根据洛伦兹力提供粒子在磁场中做圆周运动所需的向心力，有：，可得：
。由题图可知粒子l运动的轨迹半径小于粒子2运动的轨迹半径，若两粒子的比荷q/m相同，则粒子1的入射速率小于粒子2的入射速率，B正确；粒子2在磁场中的运动时间为，若仅减小粒子2的入射速率v，由粒子2运动半径r减小，由从磁场射出时，轨迹所对应的圆心角θ增大，由t=，则粒子2在磁场中的运动时间增加，C正确；PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，如图1，
则粒子2在磁场中轨迹所对应的圆心角为。设内圆半径为R，根据几何关系，粒子2在磁场中运动半径为：。开始粒子2在磁场中运动时间为：；粒子2速率变为原来的，此时粒子2在磁场中运动半径为，根据几何关系，当粒子2的轨迹对应的弦为直径PM时，粒子2在磁场中运动的时间最长，此时的圆心角为，，如图2。 速度改变后，粒子2在磁场中运动的最长时间为，D正确。
3. （2024河北保定部分学校期末）如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知，粒子带负电，粒子所受重力及粒子间的相互作用均不计，则（　　）
A. 粒子的速度大小为
B. 从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为
C. 沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为
D. 从O点射出粒子在磁场中的运动时间为
【参考答案】AD
【名师解析】
根据几何关系可得
所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可知粒子做圆周运动的半径满足
可得
根据洛伦兹力提供向心力可得
解得
A正确；
B．从x轴上射出磁场的粒子中，沿轴正方向射出的粒子在磁场中运动的时间最长，从O点射出的粒子时间最短，运动轨迹如图所示
根据几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的圆心角分别为
从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为
B错误；
沿平行x轴正方向射入的粒子，其圆心现在点，离开磁场时的位置到O点的距离为，即沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为，C错误；
从点射出的粒子轨迹如图所示
对应的圆心角为
从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
D正确。
4. （2023广东实验中学三模）如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子垂直于挡板从板上的小孔射入磁场，另一带电粒子垂直于磁场且与挡板成角射入磁场，、初速度大小相等，两粒子恰好都打在板上同一点（图中未标出）。不计重力，下列说法正确的是（　　）
A. 、的电性一定相同
B. 、的比荷（荷质比）之比为
C. 若在点左侧，则在磁场中运动时间比长
D. 若在点右侧，则在磁场中运动路程比长
【参考答案】ABD
【名师解析】
根据题意可知，两粒子在磁场中的偏转方向相同，所以根据左手定则可知，两粒子的电性相同，故A正确；
BCD．令两粒子都带正电，粒子的运动轨迹如图所示
，
点在点的左侧，根据几何知识有
因为
所以粒子做圆周运动的半径为
则
根据图形可知，该种情况下粒子做圆周运动的路程小于粒子的路程，根据
可知，、两粒子的速度相等，粒子的路程小于粒子的路程，所以粒子的运动时间小于粒子；
当两粒子都带负电时，两粒子的运动轨迹如图所示
，
点在点的右侧，根据几何知识有
则
根据图形可知，该种情况下粒子做圆周运动的路程大于粒子的路程，故BD正确，C错误。
5．（16分）（2024安徽合肥一模）宇宙射线中含有大量的质子，为防止质子对宇航员的危害，某科研团队设计了如图甲所示的防护装置。图乙为其截面图，半径为R的圆柱形区域是宇航员防护区，在半径分别为R和2R的同心圆柱之间加有沿轴线方向的匀强磁场。已知质子沿各个方向运动的速率均为，电荷量为e，质量为m，不计质子间相互作用，。
（1）若质子垂直磁场正对圆柱轴线入射时无法进入防护区，求磁感应强度大小范围；
（2）在（1）问前提下，求质子在磁场中运动的最长时间；
（3）若垂直磁场入射的所有质子都无法进入防护区，求磁感应强度大小范围。
【名师解析】：（1）俯视图为正对防护区圆心入射的质子，若恰好无法进入防护区，设带电粒子的轨迹半径为，粒子运动轨迹如图
由几何关系
可得
由洛伦兹力提供向心力可知
解得磁感应强度的大小
所以
（2）设带电粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为
由几何关系可得
解得
可得
质子在磁场中运动的时间
（3）为使所有速度为的粒子都不进入防护区，半径最大的粒子轨迹如图
则粒子的半径最大为
由洛伦兹力提供向心力可知
解得磁感应强度最小值
则磁感应强度的大小应该满足的条件为
6 .如图2所示，边长为L的正方形区域ABCD(含边界)内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电量为q(q>0)的粒子从D点沿DC方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度可能为(　　)
图2
A. B. C. D.
【参考答案】　A
【名师解析】　若粒子恰好从A点射出磁场，则轨道半径为r1＝，由qv1B＝m可得v1＝＝；若粒子恰好从B点射出磁场，则轨道半径为r2＝L，由qv2B＝m可得v2＝。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度vv2＝，故A正确。
7 .(多选)(2024·江西南昌模拟)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为(　　)
A. B. C. D.
【参考答案】　BC
【名师解析】　能够从ab边射出的电子，半径最小为从b点射出，如图甲所示，由几何关系可知r1＝＝L，半径最大为从a点射出，如图乙所示，由几何关系可知r2＝L，由牛顿第二定律有qvB＝m，解得r＝＝，则有L≤≤L，为使粒子从ab边射出磁场区域，粒子的速度范围为≤v≤kBL，故B、C正确，A、D错误。
　
甲　　　　　　　　　　　乙2025高考物理一轮复习三精系列
第十三章 磁场
专题12.5 带电粒子在磁场中运动的多解问题
第一部分 知识点精讲
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于多种因素的影响，问题形成多解。根据多解形成原因，常见的有：
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题。
(1)找出多解的原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况。
1.　带电粒子电性不确定形成多解
分析 图例
带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，初速度相同时，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解 如带正电，其轨迹为a；如带负电，其轨迹为b
2. 磁场方向不确定形成多解
分析 图例
只知道磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，由于磁感应强度方向不确定而形成多解 粒子带正电，若B垂直纸面向里，其轨迹为a，若B垂直纸面向外，其轨迹为b
3. 临界状态不确定形成多解
分析 图例
带电粒子飞越有界磁场时，可能穿过磁场飞出，也可能转过180°从入射界面一侧反向飞出，于是形成多解
二、带电粒子在磁场中运动的多解问题解题思路
带电粒子在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，由于带电粒子电性不确定、磁场方向不确定、临界状态不确定、运动的往复性造成带电粒子在有界匀强磁场中运动的多解问题．
(1)分析题目特点，确定题目多解的形成原因。
(2)画出粒子的可能轨迹，找出圆心、半径的可能情况．(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。
第二部分 最新高考题精选
1.. （2023高考山东高中学业水平等级考试）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。
（i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度；
（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。
2.(多选)(2022·湖北卷·8)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直．离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角．已知离子比荷为k，不计重力．若离子从P点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为(　　)
A.kBL,0° B.kBL,0°
C．kBL,60° D．2kBL,60°
3.（20分）
（2021高考全国甲卷）如图，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E；两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q＞0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。
（1）求粒子发射位置到P点的距离；
（2）求磁感应强度大小的取值范围；
（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。
第三部分 最新模拟题精选
1. （2024年4月四川成都重点高中期中联考）如图所示，在半径为R的圆形区域内有一匀强磁场，边界上的A点处，有一粒子源能在垂直于磁场的平面内沿不同方向向磁场中发射速率相同的同种带电粒子，在磁场边界的圆周上可观测到有粒子飞出，则粒子在磁场中的运动半径为（　　）
A． B． C． D．R
2．（2024江苏六校下学期第二次联考）一种圆柱形粒子探测装置的横截面如图所示。内圆区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器，AB和PM分别为内圆的两条相互垂直的直径，两个粒子先后从P点沿径向射入磁场。粒子1经磁场偏转后打在探测器上的Q点，粒子2经磁场偏转后从磁场边界C点离开，最后打在探测器上的N点，PC圆弧恰好为内圆周长的三分之一，粒子2在磁场中运动的时间为t。装置内部为真空状态，忽略粒子所受重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是（ ）
A．粒子1一定带正电
B．若两粒子的比荷相同，则粒子1的入射速率小于粒子2的入射速率
C．若仅减小粒子2的入射速率，则粒子2在磁场中的运动时间增加
D．改变粒子2入射方向，速率变为原来的，则粒子2在磁场中运动的最长时间为t
3. （2024河北保定部分学校期末）如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知，粒子带负电，粒子所受重力及粒子间的相互作用均不计，则（　　）
A. 粒子的速度大小为
B. 从x轴上射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为
C. 沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为
D. 从O点射出粒子在磁场中的运动时间为
4. （2023广东实验中学三模）如图，水平放置的挡板上方有垂直纸面向里的匀强磁场，一带电粒子垂直于挡板从板上的小孔射入磁场，另一带电粒子垂直于磁场且与挡板成角射入磁场，、初速度大小相等，两粒子恰好都打在板上同一点（图中未标出）。不计重力，下列说法正确的是（　　）
A. 、的电性一定相同
B. 、的比荷（荷质比）之比为
C. 若在点左侧，则在磁场中运动时间比长
D. 若在点右侧，则在磁场中运动路程比长
5．（16分）（2024安徽合肥一模）宇宙射线中含有大量的质子，为防止质子对宇航员的危害，某科研团队设计了如图甲所示的防护装置。图乙为其截面图，半径为R的圆柱形区域是宇航员防护区，在半径分别为R和2R的同心圆柱之间加有沿轴线方向的匀强磁场。已知质子沿各个方向运动的速率均为，电荷量为e，质量为m，不计质子间相互作用，。
（1）若质子垂直磁场正对圆柱轴线入射时无法进入防护区，求磁感应强度大小范围；
（2）在（1）问前提下，求质子在磁场中运动的最长时间；
（3）若垂直磁场入射的所有质子都无法进入防护区，求磁感应强度大小范围。
6 .如图2所示，边长为L的正方形区域ABCD(含边界)内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，一质量为m、带电量为q(q>0)的粒子从D点沿DC方向射入磁场中，粒子仅在洛伦兹力作用下运动。为使粒子不能经过正方形的AB边，粒子的速度可能为(　　)
图2
A. B. C. D.
7 .(多选)(2024·江西南昌模拟)如图所示，空间中有一个底角均为60°的梯形，上底与腰长相等为L，梯形处于磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场中，现c点存在一个粒子源，可以源源不断射出速度方向沿cd，大小可变的电子，电子的比荷为k，为使电子能从ab边射出，速度大小可能为(　　)
A. B. C. D.

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