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专题06 函数的概念及其表示（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 7
【考点1】函数的概念 7
【考点2】求函数的定义域 10
【考点3】求函数的解析式 14
【考点4】分段函数 20
【分层检测】 26
【基础篇】 26
【能力篇】 32
【培优篇】 35
考试要求：
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为.
一、填空题
1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
2．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
3．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
5．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ．
6．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 .
参考答案：
1．1
【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.
【详解】函数，所以.
故答案为：1
2．②③
【分析】先分析的图像，再逐一分析各结论；对于①，取，结合图像即可判断；对于②，分段讨论的取值范围，从而得以判断；对于③，结合图像可知的范围；对于④，取，结合图像可知此时存在最小值，从而得以判断.
【详解】依题意，，
当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；
当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；
当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；
对于①，取，则的图像如下，

显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；
对于②，当时，
当时，；
当时，显然取得最大值；
当时，，
综上：取得最大值，故②正确；
对于③，结合图像，易知在，且接近于处，的距离最小，

当时，，当且接近于处，，
此时，，故③正确；
对于④，取，则的图像如下，

因为，
结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，
同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，
此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，
联立，解得，则，
显然在上，满足取得最小值，
即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.
故答案为：②③.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是分析得的图像，特别是当时，的图像为半圆，解决命题④时，可取特殊值进行排除即可.
3． /
【分析】结合分段函数的解析式求函数值，由条件求出的最小值,的最大值即可.
【详解】由已知，，
所以，
当时，由可得，所以，
当时，由可得，所以，
等价于，所以，
所以的最大值为.
故答案为：，.
4． 0（答案不唯一） 1
【分析】根据分段函数中的函数的单调性进行分类讨论，可知，符合条件，不符合条件，时函数没有最小值，故的最小值只能取的最小值，根据定义域讨论可知或， 解得 .
【详解】解：若时，，∴；
若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；
若时，
当时，单调递减，，
当时，
∴或，
解得，
综上可得；
故答案为：0（答案不唯一），1
5．
【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；
【详解】解：因为，所以，解得且，
故函数的定义域为；
故答案为：
6．2
【分析】由题意结合函数的解析式得到关于的方程，解方程可得的值.
【详解】，故，
故答案为：2.
【考点1】函数的概念
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数对任意，都满足，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山东聊城·二模）已知函数为上的偶函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高一上·陕西西安·期末）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北·二模）已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．是偶函数 D．在区间上单调递增
三、填空题
5．（2023·山东·模拟预测）若函数的图像经过点，且在上是减函数，则 ．
6．（2024·黑龙江·二模）已知函数满足：，则 ．
参考答案：
1．C
【分析】根据已知条件，结合选项中的函数解析式，令，可排除A、B、D 三个选项，利用指数运算判断C对于任何，都满足.
【详解】A：若，则将分别代入，中，
得，，，故A不符合题意；
B：若，则将分别代入，中，
得，，，故B不符合题意；
C：若，则，
故C符合题意；
D：若，则将分别代入，中，
得，，，故D不符合题意．
故选：C．
2．A
【分析】根据偶函数的定义可得，结合函数解析式和对数的运算性质即可求解.
【详解】因为为偶函数，所以，
则.
故选：A
3．BD
【分析】根据函数的定义分别检验各选项即可判断．
【详解】对于A：由图象可知定义域不是，不满足；
对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足；
对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足；
对于D： 由函数定义可知D满足．
故选：BD．
4．AD
【分析】分别将和代入计算可得A正确，B错误；显然当时，不是偶函数，即C错误；求导利用导函数可得在上恒成立，即D正确.
【详解】对于A，时，，
所以，所以，A正确；
对于B，时，，
可得，解得且，即B错误；
对于C，当，，故C错误；
对于D，易知，
当时，，
所以在区间上单调递增，即D正确；
故选：AD
5．
【分析】因函数图像过，且在上是减函数，根据一次函数的性质，，可得.
【详解】因为函数的图像经过点，且在上是减函数，
所以，且，
得或（舍去）．
故答案为：．
6．
【分析】借助三角恒等变换公式可得，即可得解.
【详解】，
则，
则
.
故答案为：.
反思提升：
（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同
【考点2】求函数的定义域
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·山西吕梁·一模）下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．记为函数图象上的任意两点，则
4．（2022·安徽合肥·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．函数 在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则 的定义域为
三、填空题
5．（21-22高三上·北京·开学考试）设函数的定义域为，能说明“若函数在上的最大值为，则函数在上单调递增“为假命题的一个函数是 .
6．（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第 象限．
参考答案：
1．C
【分析】利用排除法，结合函数值的符号和定义域逐项分析判断．
【详解】根据题意，用排除法分析：
对于选项A：，当时，有，不符合题意；
对于选项B：当时，，不符合题意；
对于选项D：的定义域为，不符合题意；
故选：C．
2．A
【分析】由函数定义域的概念及复合函数定义域的求解方法运算求解即可.
【详解】因为函数的定义域是，所以，
所以，所以函数的定义域为，
所以要使函数有意义，则有，解得，
所以函数的定义域为.
故选：A.
3．BCD
【分析】根据全称存在量词命题的否定形式，判断A，根据充分，必要条件的定义，判断B，根据复合函数的定义域公式，判断C，利用作差法判断D.
【详解】对于A选项，“，”的否定为“”，故A错误；
对于B选项，由，得，故或，
因此是的充分不必要条件，故B正确；
对于C选项，中，，中，，即，故C正确；
对于D选项，
，
,
，
，故D正确.
故选：BCD
4．ABC
【分析】
对于AB，取，即可说明；对于C，分段讨论，但要注意结合，由此即可判断；对于D，由即可判断.
【详解】对于AB，若，因为，是奇函数，但，时，无意义，故AB描述不正确，符合题意；
对于C，已知函数 在 上是增函数，
首先当时，单调递增，则，
其次当时，（对称轴为）单调递增，则，即，
但若要保证函数 在 上是增函数，还需满足，即，
所以实数的取值范围是 ，故C描述不正确，符合题意；
对于D，若的定义域为，则的定义域满足，解得，故D描述正确，不符合题意.
故选：ABC.
5．，，（答案不唯一）
【分析】根据题意，可以构造在定义域为上，先减后增的函数，满足最大值为1，即可得答案.
【详解】根据题意，要求函数的定义域为，在上的最大值为，但在上不是增函数，
可以考虑定义域为上，先减后增的函数的二次函数，
函数，符合，
故答案为：，，（答案不唯一）.
6．一
【分析】
先通过分式的分母恒不为零求出的范围，根据的范围可得点所在象限，进而可得其关于x轴的对称点所在象限.
【详解】分式不论x取何值总有意义，
即方程无解
所以，解得，
所以，
所以点在第四象限，其关于x轴的对称点在第一象限.
故答案为：一.
反思提升：
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
【考点3】求函数的解析式
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西南昌·二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为，函数的图像如图所示．如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
二、多选题
3．（2024·江苏南京·二模）已知函数满足，则（ ）
A． B． C．是偶函数 D．是奇函数
4．（2023·河北石家庄·三模）已知函数图象上的点都满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．若直线与函数的图象有三个交点，且满足，则直线的斜率为.
C．若函数在处取极小值，则.
D．存在四个顶点都在函数的图象上的正方形，且这样的正方形有两个.
三、填空题
5．（2022·山东淄博·一模）以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则 ．
6．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数满足.若对于恒成立，则实数a的取值范围是 .
参考答案：
1．B
【分析】将换成，得到即，联立方程组求得 的解析式，进而求得的值.
【详解】由，将换成，可得，
即，
联立方程组，解得，
所以.
故选：B.
2．A
【分析】函数的图像过点，代入函数的解析式求得未知系数a，解函数不等式即可.
【详解】根据函数的图像，可得函数的图像过点，
由函数图像连续，代入函数的解析式，可得，解得，
所以，
令，可得或，
解得或．
所以如果7：30学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是7：00．
故选：A．
3．AC
【分析】利用赋值法求得，，可判断各选项的正误。
【详解】令，则，
令，则，解得或，
若，则恒成立，不合题意，故，A选项正确；
，则,，B选项错误；
函数，定义域为R，，
为偶函数，C正确，D错误.
故选：AC
4．ACD
【分析】由已知条件化同构，构造函数后求出的解析式，可判断选项A，分类讨论函数的极值情况，可判断选项C，由过原点的直线和的对称性，可判断选项B，选项D.
【详解】由得，，
注意到两个高次项的底数与恰好满足，
故有，
令，，
则等价于，
即
∵，为奇函数，
∴，
又∵，∴在上单调递增，
∴由得，即，
由题意，即函数图象上的点都满足，
∴，故选项A正确；
对于B，∵，，
∴，
∴为奇函数，其图象关于原点对称.
当直线过原点且斜率存在时，设直线的方程为，
由直线和的对称性知，若直线与函数的图象有三个交点，且满足，
则为坐标原点，不妨设，，（），
则由，消去，整理得，即，
∴，，
∴，即，
∴，
解得或或，即满足题意的直线的斜率有，，，故选项B错误；
对于C，∵，
∴，
∴，令，则或，
当时，，，变化情况如下：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
当时，取极小值，
解得（舍）或；
当时，，，变化情况如下：
单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
当时，取极小值（舍），
综上所述，若函数在处取极小值，则，故选项C正确；
对于D，由正方形和的对称性知，设正方形四个顶点都在函数的图象上，
则正方形的对角线与所在直线均过原点，斜率存在且不为，且，，
不妨设所在直线为，则与选项B判断过程同理，，
设所在直线为，同理可得，
∵，∴，∴，
即，∴，
∴，∴，∴，
令，则，∴，∴，
∴等价于，
∵，∴有两解，
即有两组斜率，使，，
故存在四个顶点都在函数的图象上的正方形，且这样的正方形有两个，选项D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：本题解题关键是“同构”，通过“同构”构造函数，借助函数确定解析式.选项B和选项D的辨析，要利用好三次函数的对称性.
5．
【分析】将回归方程化为，再与模型比较系数，即可得到答案.
【详解】由，得，，所以.
故答案为：.
6．
【分析】由，式中的x换成，联立求得，从而，然后将，转化为，利用在R上单调递增求解.
【详解】①，将①式中的x换成，得，
得，故.
所以由，得.
因为在R上单调递增，
所以对于恒成立.
令，则，
令，得，令，得，
故在上单调递减，在上单调递增，
所以，故，
解得.
故答案为：
反思提升：
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【考点4】分段函数
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（ ）
A．是周期为的周期函数
B．当时，
C．若在上单调递减，则
D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是
4．（2024·河北保定·二模）已知函数，函数，且，定义运算设函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若在上单调递增，则k的取值范围为
C．若有4个不同的解，则m的取值范围为
D．若有3个不同的解，，则
三、填空题
5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的最小值为-1，则 .
6．（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，设．
给出下列四个结论：
①当时，不存在最小值；
②当时，在为增函数；
③当时，存在实数b，使得有三个零点；
④当时，存在实数b，使得有三个零点．
其中正确结论的序号是 ．
参考答案：
1．B
【分析】利用的图象关于直线对称，可知向左平移个单位为偶函数，再利用恒成立,知对应待定系数相等，即可解决问题.
【详解】依题意，为偶函数，
当时，，
由可知，
解得，所以.
故选：B
2．C
【分析】画出函数图像，由分段函数中定义域的范围分别求出值域的取值范围再结合二次函数和对数运算可得正确结果.
【详解】当时，，
因为的值域是，又在上单调递减，
所以.
故选：C.
3．ACD
【分析】根据周期性定义可知A正确；由，可知B错误；
由分段函数单调性可确定两段函数单调性及分段处大小关系，由此得到不等式组知C正确；
分别在和两种情况下，采用数形结合的方式确定不等关系，解得的范围，知D正确.
【详解】对于A，，是周期为的周期函数，A正确；
对于B，当时，，，
又是周期为的周期函数，当时，，B错误；
对于C，若在上单调递减，则，，C正确；
对于D，当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，
，解得：；
当时，若在上有个不同的实数根，则大致图象如下图所示，
，解得：；
综上所述：的取值范围为，D正确.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
4．AC
【分析】对A，对分类讨论，并作出分段函数的图象求出最小值即可；对B，令，求出，根据其单调性得到不等式，解出即可；对C和D结合图象转化为直线与函数图象交点个数，并结合函数对称性即可判断.
【详解】对A，
令，解得.
当时，作出函数和的图象，如图1所示.
此时，，显然当时，，
当时，作出函数的图象，如图2所示.
，，所以的最小值为，
综上的最小值为，A正确.
对B，令，解得，.
若在上单调递增，则，解得.
因为当时，在上单调递增，
所以k的取值范围为，B错误.
对CD，若有3个不同的解，，，则结合图象可得
或，D错误.
若有4个不同的解，则，C正确.
故选：AC.
【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是结合图象找到临界位置，从而得到不等式，CD选项应结合函数图象，转化为直线与函数图象交点个数问题.
5．2
【分析】
由题意得出函数在上取得最小值-1，由此即可列出式子求解.
【详解】当时，.
因为的最小值为-1，所以函数在上取得最小值-1，
则，解得.
故答案为：2.
6．②④
【分析】结合一次函数与二次函数的性质，利用分段函数的性质与函数的零点逐项判断.
【详解】对于①：当时，，
易知函数在上的最小值为0，
函数，在内单调递增，即，
所以时，函数的最小值为0，故①错误；
对于②：当时，函数，在内单调递减，在内单调递增，
函数的对称轴为，所以在内单调递增，
又，即，解得，
综上可知，当时，在为增函数，故②正确；
对于③：当时，
函数，则，即，存在一个零点；
函数，在内单调递增，与存在一个交点，
又，即，解得或，
于是时，，如下图所示：
综上可知，当时，存在实数b，使得至多有两个零点，故③错误；
④当时，
函数，在内单调递减，在内单调递增，
则与存在两个个交点，
由③知，与存在一个交点，，
又，即，解得或，
于是时，如下图所示：
综上可知，当时，存在实数b，使得有三个零点.
故答案为：②④.
反思提升：
1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）对比函数和的图象与性质，有下面四个结论：①它们的定义域不同，但值域相同；②它们在各自的定义域内都是增函数；③它们在各自的定义域内都是奇函数；④它们中一个是周期函数，另一个不是周期函数．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2023·四川成都·模拟预测）给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．的定义域为R B． 是奇函数
C．在上单调递减 D． 有两个零点
6．（2021·江西·模拟预测）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024·贵州遵义·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数
C．在上单调递减 D．函数的最小值为
三、填空题
8．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
9．（2022·上海嘉定·一模）若函数的反函数的图像经过点，则 .
10．（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数，则 ．
四、解答题
11．（2021·江苏·一模）已知向量，，若，求：
（1）实数m的取值范围；
（2）函数定义域.
12．（2022·山东济南·二模）已知函数
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
参考答案：
1．D
【分析】由题意有，得，求值即可.
【详解】由，当时，有，
由，则有.
故选：D
2．C
【分析】分别研究函数和的性质，即可判断.
【详解】函数，定义域为，值域为，在定义域上单调递增，
是奇函数，但不是周期函数；
函数，定义域为，值域为，
在区间上单调递增，但是函数不连续，不在定义域上单调递增，是奇函数，是周期为的周期函数，
所以①③④正确.
故选：C.
3．D
【分析】根据函数定义逐项判断ABC，采用换元的方法求解D中函数的解析式并进行判断.
【详解】对于A，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
对于B，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
对于C，当时，；当时，，与函数定义矛盾，不符合；
对于D，令，则，所以，
令，所以，
所以，
所以，符合.
故选：D.
4．C
【分析】根据一次函数以及对数函数的单调性，结合分段函数的性质即可求解.
【详解】函数在上单调递减，
解得.
故选：C.
5．BC
【分析】根据函数解析式，结合函数性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对：的定义域为，错误；
对：，且定义域关于原点对称，故是奇函数，正确；
对：当时，，单调递减，正确；
对：因为，，所以无解，即没有零点，错误．
故选：.
6．AB
【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断．
【详解】A中两个函数定义域都是，对应法则都是乘以2后取绝对值，是同一函数；
B中两个函数定义域都是，对应法则都是取平方，是同一函数；
C中定义域是，的定义域是，不是同一函数；
D中的定义域是，的定义域是，不是同一函数．
故选：AB．
7．CD
【分析】求出函数零点判断A；由奇函数定义判断B；由分段函数的单调性判断C；求出最小值判断D.
【详解】函数，
对于A，由，得或，A错误；
对于B，，而，，函数不是奇函数，B错误；
对于C，函数在上单调递减，在上单调递减，且，
因此在上单调递减，C正确；
对于D，当时，，当时，，当且仅当时取等号，
因此函数的最小值为，D正确.
故选：CD
8．
【分析】借助函数定义域的定义计算即可得.
【详解】由函数的定义域为，则有，
令，解得.
故答案为：.
9．4
【分析】由题意可得，由此可求得实数的值，进而可得，即可得解.
【详解】由于函数的反函数的图象经过点，
则，解得，
∴函数，
∴.
故答案为：4.
10．
【分析】根据分段函数解析式结合自变量范围求解即可.
【详解】，，
，
故答案为：
11．（1）；（2）.
【分析】（1）根据数量积的坐标表示，求解不等式即可得出答案；
（2）根据（1）中m的取值范围，再运用指数函数的单调性求解定义域即可.
【详解】（1）由题意得，，
，即m的取值范围为；
（2）由题意知，即，
由（1）知，根据指数函数的单调性得：，解得或，
所以函数的定义域为.
12．(1)3或-2
(2)
【分析】（1）结合分段函数解析式列方程，由此求得的值.
（2）首先判断的取值范围，然后解一元二次不等式求得的取值集合.
【详解】（1）当时，，
解得或（舍去）；
当时，，
解得.
∴m的值为3或-2.
（2）对任意实数，，
，，
解得.
∴a的取值集合是.
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·福建莆田·三模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）若函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是偶函数
C． D．若方程有4个不同的实数根，则
三、填空题
3．（2021·四川南充·模拟预测）具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数：①；②；③其中满足“倒负”变换的函数是 ．
四、解答题
4．（2024·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，，点的坐标是．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点在坐标轴上，且使得，求点的坐标．
参考答案：
1．A
【分析】设，得，构造等比数列求得，即可求解.
【详解】设在数列中，，则，，
从而，故是首项和公比都是2的等比数列.
由等比数列的通项公式可得，则，
故.
故选：A
2．BCD
【分析】根据函数定义域的求解可判定A，根据函数奇偶性的定义即可判定B，根据对数的运算即可判定C，根据导数求解函数单调性，即可结合函数的最值以及奇偶性作出函数图象，结合函数图象即可求解D.
【详解】选项A：由对数函数可知，得，所以函数的定义域，所以A错误．
选项B：因为函数的定义域关于原点对称，，所以是偶函数，所以B正确．
选项C：因为，
，所以C正确．
对于D：因为是偶函数，所以只需要讨论，时函数的情况即可，
当时，，所以，令，解得，
易知当时，单调递减，当时，单调递增，
所以的最小值为，且时，．作出的大致图象和直线，
如图，若方程有4个不同的实数根，则的图象与直线有4个不同的交点，所以的取值范围为． 所以D正确．
故选：BCD
3．②③/③②
【分析】根据“倒负”变换的函数的定义，依次代入判断分析即得解
【详解】①，所以不符合题意；
②，所以符合题意；
③，当时，故，当时显然满足题意，当时，，故符合题意
故答案为：②③
4．(1)，
(2)或或或
【分析】
（1）作轴，解直角三角形即可求出点，的坐标，利用待定系数法可求解；
（2）由题意可得，，依据点在坐标轴上，设或，根据，即可求得点的坐标.
【详解】（1）
作轴，在，，，
所以，，所以，
因为在反比例函数的图象上，
所以，所以反比例函数为，因为在的图象上，
所以，把，两点的坐标代入，则，
解得，
所以一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；
（2）由，令，则，令，则，
所以，，所以，
若点在轴上，设，则，
由可得，解得或，
所以点或，
若点在轴上，设，则，
由可得，解得或，
所以点或，
综上所述，点的坐标为或或或.
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
二、多选题
2．（2024·全国·一模）已知函数的定义域为，且满足①；②；③当时，，则（ ）
A． B．若，则
C． D．在区间是减函数
三、填空题
3．（2024·吉林长春·模拟预测）记表示在区间上的最大值，则取得最小值时， .
参考答案：
1．B
【分析】利用题设得到①和②，又由，结合①式，推得的周期为12，利用求得和，最后利用的周期性即可求得.
【详解】由函数的图象关于原点对称，，
即，即①，
由函数的图象关于y轴对称，可得②，
由可得，又得，
两式相加，，将①式代入，得，
则得，将②式代入得，，则，
于是，即的周期为12.
又，由①可得，得，
又由可得，即得.
因，可得，，
于是，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的对称性应用，属于难题.
解题关键在于根据中心对称和轴对称得出函数关系式：①和②，再由利用消元思想，转化为关于的关系式是最关键之处，其次是利用的关系式求得的周期是第二关键，之后赋值求得即可得解.
2．BC
【分析】根据题意求出的解析式，然后就可逐项求解判断.
【详解】由题意得当时，令，则，
因为，所以，
当时，令，则，
又因为，所以，即，
但在时不成立，
若有且，则得，
这时总可以找到，使，所以,
即，此式与矛盾，即，
从而，
对A：，故A错误；
对B：，即，即，故B正确；
对C：，故C正确；
对D：当，为增函数，故D错误；
故选：BC.
【点睛】关键点点睛：本题主要是根据题中给出的3个条件进行合理运用求出函数的解析式，在求解析式时需要分情况讨论并且要巧妙的当时设，当时设，再结合题中条件从而可求解.
3．/0.125
【分析】根据题意，取得最小值，即为在区间上的最大值取得最小值，先用分段函数表示在区间上的最大值，再根据图象求分段函数的最小值即可.
【详解】取得最小值，
即为在区间上的最大值取得最小值，
因为的对称轴，且，
所以的最大值为或，
当时，即，
所以 ，
当时，取最小值，最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查 函数的最值，关键在于理解题意，取得最小值，即为在的最大值取得最小值，所以先要将的最大值表示出来，再用分段函数的性质即可.
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专题06 函数的概念及其表示（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 3
【考点1】函数的概念 3
【考点2】求函数的定义域 4
【考点3】求函数的解析式 6
【考点4】分段函数 7
【分层检测】 9
【基础篇】 9
【能力篇】 10
【培优篇】 11
考试要求：
1.了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域和值域.
2.在实际情景中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.
3.了解简单的分段函数，并能简单应用.
1.函数的概念
概念 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A
定义域 x的取值范围
值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A}
2.同一个函数
(1)前提条件：①定义域相同；②对应关系相同.
(2)结论：这两个函数为同一个函数.
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.
4.分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数.
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.
1.直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.注意以下几个特殊函数的定义域：
(1)分式型函数，分母不为零的实数集合.
(2)偶次方根型函数，被开方式非负的实数集合.
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合.
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}.
(5)正切函数y＝tan x的定义域为.
一、填空题
1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则 ．
2．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：
①在区间上单调递减；
②当时，存在最大值；
③设，则；
④设．若存在最小值，则a的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
3．（2022·浙江·高考真题）已知函数则 ；若当时，，则的最大值是 ．
4．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为 ；a的最大值为 ．
5．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是 ．
6．（2021·浙江·高考真题）已知，函数若，则 .
【考点1】函数的概念
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）若函数对任意，都满足，则可以是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·山东聊城·二模）已知函数为上的偶函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（22-23高一上·陕西西安·期末）设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024·湖北·二模）已知函数，则下列判断正确的是（ ）
A．若，且，则 B．若，且，则
C．是偶函数 D．在区间上单调递增
三、填空题
5．（2023·山东·模拟预测）若函数的图像经过点，且在上是减函数，则 ．
6．（2024·黑龙江·二模）已知函数满足：，则 ．
反思提升：
（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.
（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同
【考点2】求函数的定义域
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·湖北·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·山西吕梁·一模）下列说法正确的是（ ）
A．命题“”的否定是“”
B．“”是“”的充分不必要条件
C．若函数的定义域为，则函数的定义域为
D．记为函数图象上的任意两点，则
4．（2022·安徽合肥·模拟预测）下列说法不正确的是（ ）
A．函数 在定义域内是减函数
B．若是奇函数，则一定有
C．已知函数 在 上是增函数，则实数的取值范围是
D．若的定义域为，则 的定义域为
三、填空题
5．（21-22高三上·北京·开学考试）设函数的定义域为，能说明“若函数在上的最大值为，则函数在上单调递增“为假命题的一个函数是 .
6．（2024·浙江·模拟预测）若分式不论x取何值总有意义，则点关于x轴的对称点在第 象限．
反思提升：
1.求给定解析式的函数定义域的方法
求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则，列出不等式或不等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.
2.求抽象函数定义域的方法
(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域可由不等式a≤g(x)≤b求出.
(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域.
【考点3】求函数的解析式
一、单选题
1．（2022·全国·模拟预测）已知函数满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·江西南昌·二模）为了预防某种病毒，某学校需要通过喷洒药物对教室进行全面消毒．出于对学生身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，学生方可进入教室．已知从喷洒药物开始，教室内部的药物浓度y（毫克/立方米）与时间t（分钟）之间的函数关系为，函数的图像如图所示．如果早上7：30就有学生进入教室，那么开始喷洒药物的时间最迟是（ ）
A．7：00 B．6：40 C．6：30 D．6：00
二、多选题
3．（2024·江苏南京·二模）已知函数满足，则（ ）
A． B． C．是偶函数 D．是奇函数
4．（2023·河北石家庄·三模）已知函数图象上的点都满足，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．若直线与函数的图象有三个交点，且满足，则直线的斜率为.
C．若函数在处取极小值，则.
D．存在四个顶点都在函数的图象上的正方形，且这样的正方形有两个.
三、填空题
5．（2022·山东淄博·一模）以模型去拟合一组数据时，设，将其变换后得到线性回归方程，则 ．
6．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知函数满足.若对于恒成立，则实数a的取值范围是 .
反思提升：
函数解析式的求法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式.
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法.
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.
(4)方程思想：已知关于f(x)与f或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x).
【考点4】分段函数
一、单选题
1．（2024·安徽·三模）已知函数的图象关于直线对称，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
2．（23-24高二下·湖南·阶段练习）已知函数，若的值域是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2022·广东肇庆·模拟预测）已知定义在上的偶函数对任意的满足，当时，，函数且，则下列结论正确的有（ ）
A．是周期为的周期函数
B．当时，
C．若在上单调递减，则
D．若方程在上有个不同的实数根，则实数的取值范围是
4．（2024·河北保定·二模）已知函数，函数，且，定义运算设函数，则下列命题正确的是（ ）
A．的最小值为
B．若在上单调递增，则k的取值范围为
C．若有4个不同的解，则m的取值范围为
D．若有3个不同的解，，则
三、填空题
5．（23-24高三下·内蒙古赤峰·开学考试）已知函数的最小值为-1，则 .
6．（2024·北京平谷·模拟预测）已知函数，设．
给出下列四个结论：
①当时，不存在最小值；
②当时，在为增函数；
③当时，存在实数b，使得有三个零点；
④当时，存在实数b，使得有三个零点．
其中正确结论的序号是 ．
反思提升：
1.根据分段函数解析式求函数值，首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解.
2.已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·江苏南通·二模）已知对于任意，都有，且，则（ ）
A．4 B．8 C．64 D．256
2．（2023·湖南岳阳·模拟预测）对比函数和的图象与性质，有下面四个结论：①它们的定义域不同，但值域相同；②它们在各自的定义域内都是增函数；③它们在各自的定义域内都是奇函数；④它们中一个是周期函数，另一个不是周期函数．其中所有正确结论的编号是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
3．（2023·四川成都·模拟预测）给出下列个函数，其中对于任意均成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024·陕西铜川·三模）若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2022·海南海口·模拟预测）已知函数，则（ ）
A．的定义域为R B． 是奇函数
C．在上单调递减 D． 有两个零点
6．（2021·江西·模拟预测）下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024·贵州遵义·一模）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．函数有且仅有一个零点 B．函数是奇函数
C．在上单调递减 D．函数的最小值为
三、填空题
8．（2024·湖北武汉·二模）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 .
9．（2022·上海嘉定·一模）若函数的反函数的图像经过点，则 .
10．（2024·辽宁沈阳·二模）已知函数，则 ．
四、解答题
11．（2021·江苏·一模）已知向量，，若，求：
（1）实数m的取值范围；
（2）函数定义域.
12．（2022·山东济南·二模）已知函数
(1)若，求m的值；
(2)若，求a的取值集合．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·福建莆田·三模）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
2．（2023·全国·模拟预测）若函数的定义域为，则下列说法正确的是（ ）
A． B．是偶函数
C． D．若方程有4个不同的实数根，则
三、填空题
3．（2021·四川南充·模拟预测）具有性质：的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数．给出下列函数：①；②；③其中满足“倒负”变换的函数是 ．
四、解答题
4．（2024·浙江·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知，，点的坐标是．

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若点在坐标轴上，且使得，求点的坐标．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·四川南充·三模）已知函数的定义域均为R，函数的图象关于原点对称，函数的图象关于y轴对称，，则（ ）
A． B． C．3 D．4
二、多选题
2．（2024·全国·一模）已知函数的定义域为，且满足①；②；③当时，，则（ ）
A． B．若，则
C． D．在区间是减函数
三、填空题
3．（2024·吉林长春·模拟预测）记表示在区间上的最大值，则取得最小值时， .
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