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(共21张PPT)
数学探究——杨辉三角的性质与应用
第六章　计数原理
2024/4/8
一、杨辉三角的历史
探究新知
在探究(a＋b)n的展开式的二次项系数性质时，曾把系数写成一张表格的形式：
我国南宋数学家杨辉在1261年所著的
《详解九章算法》一书中，就出现了该表：
一、杨辉三角的历史
探究新知
该表称为杨辉三角.
我国：杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角出于《释锁》算书，我国北宋数学家贾宪（约11世纪）曾用过；
欧洲：该表被法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现.
杨辉三角的发现比欧洲早500年左右！由此可见，我国古代数学成就是非常值得中华民族自豪的！
二、杨辉三角与的展开式的二项式系数有何联系
探究新知
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第1行
第2行
第3行
第4行
第0行
第5行
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第n行
横看，斜看，竖看，连续看，隔行看等；
采取画一画，连一连，算一算，
进行归纳和猜想.
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横看成岭侧成峰，远近高低各不同.
横看
斜看
三、杨辉三角性质的探究——（1）“杨辉三角”与二项式系数
探究新知
问题1： 我们该如何探究杨辉三角的性质？
研究方法
观
察
归
纳
猜
想
证
明
问题2：如何观察？
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三、杨辉三角性质的探究——（1）“杨辉三角”与二项式系数
探究新知
（1）对称性：每行中与首末两端“等距离”之数相等
（2）递推性：除1以外的数等于肩上两数之和
三、杨辉三角性质的探究——（1）“杨辉三角”与二项式系数
探究新知
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第1行
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（3）二项展开式中的二项式系数和为定值
三、杨辉三角性质的探究——（1）“杨辉三角”与二项式系数
探究新知
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求和
第1行
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第0行
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性质4：第n行各数的平方和等于第2n行中间的数，
联想结构，如何证明？
三、杨辉三角性质的探究——（1）“杨辉三角”与二项式系数
探究新知
联想结构，如何证明？
性质4：第n行各数的平方和等于第2n行中间的数，
三、杨辉三角性质的探究——（2）“杨辉三角”与数列
探究新知
问题3：换个角度观察杨辉三角，观察由这些数字构成的数列，你能否发现其中的规律
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
常数列
等差数列
二阶等差数列
三阶等差数列
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一阶等差数列即是我们所说的等差数列，二阶及二阶以上的等差数列通称为高阶等差数列．
斜向求和：
第0行…………………………………
第1行………………………………
第2行…………………………
第3行………………………
第4行……………………
第5行………………
第6行…………
第7行………
第8行……
常数1
正整数
三角形数
四面体数
三、杨辉三角性质的探究——（2）“杨辉三角”与数列
探究新知
问题4：从每一斜列的和，你能提出哪些猜想？
在第r+1条斜线上(从右上到左下)前n-r个数字的和，等于第r+2条斜线上的第n-r个数.
三、杨辉三角性质的探究——（2）“杨辉三角”与数列
探究新知
解析:假如从顶层开始往下, 每层的球数为
利用杨辉三角, 容易得到,
, 即为第 层球数。所以十二层的三角垛, 球的总数
所以, 得到公式,
拓展1:杨辉《详解九章算法》有一个这样的问题：
三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何.
拓展2:试底层是每边堆n个圆球的三角形，向上
逐层每边减少一个，顶层是1个，求总数.
三、杨辉三角性质的探究——（2）“杨辉三角”与数列
探究新知
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第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1
第1行 1 1
第0行 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
……
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第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1
问题5：斜线上各行数字之和有什么规律
如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，并保留全部的奇数，会出现什么现象？
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谢尔宾斯基三角形
三、杨辉三角性质的探究——（3）“杨辉三角”的形
探究新知
数形相遇
，交相辉映
四、杨辉三角性质的探究——（4）“杨辉三角”与概率
探究新知
高尔顿板实验
天津市春季学期中小学精品课程资源
四、杨辉三角性质的探究——（4）“杨辉三角”与概率
探究新知
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在游乐场，可以看到如图的弹球游戏，小球 (红色 ) 向容器内跌落，碰到第一层阻挡物后等可能地向两侧跌落，碰到第二层阻挡物再等可能地由两侧向第三层跌落，如此下去，最终小球落入底层,根据具体区域来获得奖品.
问题1:为了获得利润，比较贵的奖品放在靠近中间的区域还是靠近两侧的区域？
问题2：能否写出第四层每个通道的获奖概率呢？
小球通过通道下落之后，向左、向右的选择是等可能的，越向中间，选择的路径的可能越多.
四、杨辉三角性质的探究——（4）“杨辉三角”与概率
探究新知
五、杨辉三角性质的应用
例题讲解
例1：如图，在杨辉三角形中，斜线l的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”数列：1,3,3,4,6,5,10，…，则这个数列的第19项为（ ）
A．55 B．110 C．58 D．220
五、杨辉三角性质的应用
例题讲解
如图所示，在杨辉三角中，每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在杨辉三角中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是_______．
五、杨辉三角性质的应用
课堂练习
因为“锯齿形”数列的第37项即为新数列的第19项，
如图所示，在杨辉三角中，每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．若在杨辉三角中从第二行右边的1开始按“锯齿形”排列的箭头所指的数依次构成一个数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则在该数列中，第37项是_______．
五、杨辉三角性质的应用
课堂练习

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