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2024年椒江区初中毕业生学业适应性考试
数学
亲爱的考生：
欢迎参加考试，祝你成功！答题时，请注意以下几点：
1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟；
2．答案必须写在答题纸相应位置上，写在试卷、草稿纸上无效；
3．本次考试不得使用计算器．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
2. 如图是大小相同5个正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列收集数据的方式适合抽样调查的是（ ）
A. 旅客进动车站前的安检
B. 了解某批次汽车的抗撞击能力
C. 了解某班同学的身高情况
D. 选出某班短跑最快的同学参加校运动会
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是( )
A. B. C. D.
6. 将一个含角直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是( )
A. 1 B. C. D.
7. 已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在中，直径垂直于弦，，则的度数为( )
A B. C. D.
9. 如图，将三角形沿方向平移得到，使，与交于点，以下关于四边形和四边形周长的说法，正确的是( )
A. 周长之差可由值确定
B. 周长之和可由值确定
C. 周长之差可由值确定
D. 周长之和可由值确定
10. 台州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（ ）
A. 44 km B. 45 km C. 46 km D. 47 km
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 比较大小：______2．（填“>”、“=”或“<”）
12. 点关于轴对称的点的坐标为________．
13. 一个不透明的盒子中装有12个红球，3个黄球，这些球除颜色外无其他差别，则从中随机摸出一个球是黄球的概率为________．
14. 如图，折扇的骨柄长为 ，打开后为，则图中弧的长为________（结果保留）．
15. 如图，过原点的线段的两端点和分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，若面积为，则________．
16. 如图，四边形为正方形，过点的直线，将对角线绕点旋转，当点落在直线上时（记为点），则的值为________
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 尺规作图：如图，点是直线外一点，点是直线上一点，请用圆规和无刻度的直尺在直线上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）
20. 为提高土地利用率，新的光伏搭建形式可以把光伏从地面搬到高空，如图是字型的光伏支架，支架侧面如图所示，，分别是，的中点，，为支架在水平地面的支点．已知， ，，求点到地面的距离．结果精确到 ．参考数据：，，，，，
21. 中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，寓意“祈福高中”．某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为时都符合标准，其中质量为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取个进行评测，质量分别如下单位：：
甲：，，，，，，，，，
乙：，，，，，，，，，
分析数据如下表：
员工 平均数 中位数 众数 方差
甲 a
乙 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1），，_____．
（2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由．
（3）在此次比赛中，甲员工共包了个粽子，乙员工共包了个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断若以此作为评判标准哪位员工更加优秀？请说明理由．
22. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且于点，．
（1）求证：．
（2）求的长．
23. 【背景素材】射击过程中，瞄准线和枪管并不是平行的，如图1，当瞄准线处于水平时，枪管略微上翘，子弹从枪膛中射出后，其飞行过程形成的轨迹（弹道轨迹）近似于抛物线，弹道轨迹与瞄准线有两个交点，分别称为第一归零点和第二归零点．射击靶靶面呈圆形，圆心即靶心，射击时，瞄准线对准靶心，且垂直于靶面，当靶心位于任意一个归零点时，子弹就能精准命中靶心，否则将偏离靶心．
【探究思考】
有一射击靶距甲种枪枪膛口水平距离为，射击队员调整瞄准镜，使其水平对准靶心，并使靶心刚好位于第二归零点，此时弹道轨迹已确定，如图2，以瞄准线为x轴，枪膛口竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，则子弹的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）满足函数关系，已知点为该枪枪膛口，其低于瞄准线（即）．
（1）求出的值，并解释点的实际意义．
（2）在不调整弹道轨迹的情况下，把射击靶向前移动到与枪膛口的水平距离为处，若射击靶半径为，问子弹能否命中靶面？请说明理由．
【理解应用】
如图3，同上建立平面直角坐标系，已知乙种枪弹道轨迹恒不变，且其两个归零点坐标分别为，，点是弹道轨迹上一点，有一移动电子靶在距枪膛口水平距离处启动加速，迎面驰来，在距枪膛口水平距离处以的速度开始匀速运动，当电子靶启动的同时，一队员开始水平瞄准靶心，瞄准后再连开两枪，随后都命中靶面，子弹落点分别位于靶心上方和处（该移动电子靶靶面半径大于），从电子靶启动到命中第二枪共用时，求这个队员瞄准靶心所用的时间．（子弹飞行所用时间忽略不计）
24. 如图，，，，为上顺次四点，为直径，平分，过点作的切线交延长线于点，连接，设．
（1）求证：．
（2）若，求值．
（3）若．
①求证：四边形菱形．
②直接写出的值．2024年椒江区初中毕业生学业适应性考试
数学
亲爱的考生：
欢迎参加考试，祝你成功！答题时，请注意以下几点：
1．全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟；
2．答案必须写在答题纸相应位置上，写在试卷、草稿纸上无效；
3．本次考试不得使用计算器．
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）
1. 2024的相反数是（ ）
A. 2024 B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数，“只有符号不同两个数互为相反数”，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据相反数的定义即可求解．
【详解】解：2024的相反数是,
故选：B．
2. 如图是大小相同的5个正方体搭成的几何体，其左视图是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了三视图，根据三视图的定义即可判断．
【详解】解：根据立体图可知该左视图是底层有2个小正方形，第二层左边有1个小正方形．
故选：A．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，逐一进行计算即可得到答案．
【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意，选项错误；
B、，原计算错误，不符合题意，选项错误；
C、，原计算错误，不符合题意，选项错误；
D、，原计算正确，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题关键．
4. 下列收集数据的方式适合抽样调查的是（ ）
A. 旅客进动车站前的安检
B. 了解某批次汽车的抗撞击能力
C. 了解某班同学的身高情况
D. 选出某班短跑最快的同学参加校运动会
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【详解】解：A. 旅客进动车站前的安检,适合全面调查，故该选项不符合题意；
B. 了解某批次汽车的抗撞击能力, 适合抽样调查，故该选项符合题意；
C. 了解某班同学的身高情况, 适合全面调查，故该选项不符合题意；
D. 选出某班短跑最快的同学参加校运动会, 适合全面调查，故该选项不符合题意；
故选：B．
5. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是( )
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况，当时，一元二次方程有两个相等实数根，据此求出的取值范围即可．
【详解】解：依题意，，
解得：，
故选：C．
6. 将一个含角的直角三角板和一把等宽的直尺按如图所示的位置摆放，其中，若，则的度数是( )
A. 1 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角和三角形内角和定理，由平行线的性质可得，根据邻补角求得，由三角形内角和定理可求出的度数．
【详解】解：，，
，
，
，
．
故选：C．
7. 已知实数、在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据数轴判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小，再根据有理数的运算法则对各选项进行判断即可．
【详解】由图可知，，且，
A、，故本选项错误；
B、，故本选项错误；
C、，故本选项正确；
D、，故本选项错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的特点并判断出a、b的正负情况以及绝对值的大小是解题的关键．
8. 如图，在中，直径垂直于弦，，则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了垂径定理及圆周角定理，连接，根据垂径定理可得，从而利用圆周角定理即可求解．
【详解】解：连接，
直径垂直弦，，，
，
，
故选：C．
9. 如图，将三角形沿方向平移得到，使，与交于点，以下关于四边形和四边形周长的说法，正确的是( )
A. 周长之差可由值确定
B. 周长之和可由值确定
C. 周长之差可由值确定
D. 周长之和可由值确定
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查平移的性质，根据平移的性质分别表示出四边形和四边形周长，得出周长关系解答即可．
【详解】解：由平移可知，，，，，
，
，，
四边形和四边形周长之差
，
四边形和四边形周长之和
，
周长之差可由值确定，
故选：A．
10. 台州市域铁路线台州站至城南站全长 理论票价实行里程分段计价制，理论票价（单位：元）与行驶里程（单位：）之间的函数关系如图（，为线段），但在定价时，按该分段计价制所得结果常为小数，实际票价为大于或等于该值的最小整数，如当行驶里程为 时，所得理论票价为元，实际票价则为元，经查从甲站到乙站的实际票价为元，则甲乙两站的里程不可能为（ ）
A. 44 km B. 45 km C. 46 km D. 47 km
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的应用；根据题意求得线段解析式为 ，进而根据从甲站到乙站的实际票价为元，列出不等式组，解不等式组，即可求解．
【详解】解：设段解析式为，将代入得，
，
解得：
∴
当时，，即
依题意，当行驶里程为 时，所得理论票价为元
设线段的解析式为代入
∴
解得：
∴线段解析式为
依题意，
解得：
故选：D．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11. 比较大小：______2．（填“>”、“=”或“<”）
【答案】
【解析】
【分析】此题考查实数的大小比较．根据实数比较大小的方法进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
12. 点关于轴对称的点的坐标为________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为
故答案为：．
13. 一个不透明的盒子中装有12个红球，3个黄球，这些球除颜色外无其他差别，则从中随机摸出一个球是黄球的概率为________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了概率公式；先算出总的球的个数，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】解：总的球数为：个，
∴从中随机摸出一个球是黄球的概率为，
故答案为：．
14. 如图，折扇的骨柄长为 ，打开后为，则图中弧的长为________（结果保留）．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查的是弧长计算，根据弧长公式计算，得到答案．
【详解】解：弧的长为
故答案为：．
15. 如图，过原点的线段的两端点和分别在反比例函数和的图象上，过点作轴的垂线，垂足为，若面积为，则________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，相似三角形的性质与判定；作轴，垂足为，利用两个三角形的面积得到，再根据相似三角形的性质计算出．继而求出值即可．
【详解】解：如图，作轴，垂足为，
点在图象上，
，
面积为，
，
，
，
，
．
．
故答案为：．
16. 如图，四边形为正方形，过点的直线，将对角线绕点旋转，当点落在直线上时（记为点），则的值为________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理；过点作于点，设正方形的边长为，勾股定理可得，进而勾股定理求得，结合图形，求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
设正方形边长为，
∵，是正方形的对角线，
∴
∴
∵
在中，
∴或
∴的值为
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20～21题每题8分，第22～23题每题10分，第24题12分，共66分）
17. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的计算，根据二次根式的性质化简，零指数幂，化简绝对值，进行计算即可求解．
【详解】解：
．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题考查了分式化简求值，分母有理化；先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
【详解】解：
；
当时，原式．
19. 尺规作图：如图，点是直线外一点，点是直线上一点，请用圆规和无刻度的直尺在直线上找一点，使得．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了作图—复杂作图，过点作于即可，解题的关键是熟练掌握五种基本作图．
【详解】解：如图所示，点即为所求，
．
20. 为提高土地利用率，新的光伏搭建形式可以把光伏从地面搬到高空，如图是字型的光伏支架，支架侧面如图所示，，分别是，的中点，，为支架在水平地面的支点．已知， ，，求点到地面的距离．结果精确到 ．参考数据：，，，，，
【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用，连接，过点作于点，根据中位线定理和等腰三角形的性质，即可求出的长，在中，根据，即可求解．
【详解】解：连接，过点作于点，
，分别是，的中点，
，，
，
，
为等腰三角形，
，
，，
在中，
，
点到地面的距离为．
21. 中国人有在端午节这一天吃“粽子”的传统，寓意“祈福高中”．某粽子加工厂家为迎接端午的到来，组织了“浓情端午，粽叶飘香”员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为时都符合标准，其中质量为优秀产品．现从甲乙两位员工所包粽子中各随机抽取个进行评测，质量分别如下单位：：
甲：，，，，，，，，，
乙：，，，，，，，，，
分析数据如下表：
员工 平均数 中位数 众数 方差
甲 a
乙 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1），，_____．
（2）若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由．
（3）在此次比赛中，甲员工共包了个粽子，乙员工共包了个粽子，请你估计两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，并判断若以此作为评判标准哪位员工更加优秀？请说明理由．
【答案】（1）；；
（2）乙，见解析 （3）甲，见解析
【解析】
【分析】本题考查了求众数、平均数、方差；样本估计总体；
（1）将乙的数据加和再除以算出平均数，再利用方差计算公式计算乙的方差，根据众数的定义求出甲的众数即可；
（2）比较两者方差的大小即可；
（3）利用样本估计总体求出两位员工各自所包粽子质量属于“优秀产品”的个数，求出两位员工各自所包粽子的优秀率，即可得出答案．
【小问1详解】
解：由题意得，
，
，
故答案为：，，；
【小问2详解】
乙员工更加优秀，理由如下：
因为乙的方差小于甲的方差，
所以乙所包粽子质量质量比较稳定；
【小问3详解】
个，
个，
甲员工所包粽子的优秀率为%，
乙员工所包粽子的优秀率为%，
甲员工所包粽子的优秀率大于乙员工所包粽子的优秀率，
甲员工更加优秀．
22. 如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，且于点，．
（1）求证：．
（2）求的长．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定；
（1）根据矩形的性质可得，则，，又，证明，即可得证；
（2）根据矩形的性质勾股定理求得，，进而证明，根据相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵矩形
∴
∴，
∵
∴
∴
【小问2详解】
∵矩形，，
∴，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
即
∴
23. 【背景素材】射击过程中，瞄准线和枪管并不是平行的，如图1，当瞄准线处于水平时，枪管略微上翘，子弹从枪膛中射出后，其飞行过程形成的轨迹（弹道轨迹）近似于抛物线，弹道轨迹与瞄准线有两个交点，分别称为第一归零点和第二归零点．射击靶靶面呈圆形，圆心即靶心，射击时，瞄准线对准靶心，且垂直于靶面，当靶心位于任意一个归零点时，子弹就能精准命中靶心，否则将偏离靶心．
【探究思考】
有一射击靶距甲种枪枪膛口水平距离为，射击队员调整瞄准镜，使其水平对准靶心，并使靶心刚好位于第二归零点，此时弹道轨迹已确定，如图2，以瞄准线为x轴，枪膛口竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，则子弹的飞行高度（单位：）与水平距离（单位：）满足函数关系，已知点为该枪枪膛口，其低于瞄准线（即）．
（1）求出的值，并解释点的实际意义．
（2）在不调整弹道轨迹的情况下，把射击靶向前移动到与枪膛口的水平距离为处，若射击靶半径为，问子弹能否命中靶面？请说明理由．
【理解应用】
如图3，同上建立平面直角坐标系，已知乙种枪弹道轨迹恒不变，且其两个归零点坐标分别为，，点是弹道轨迹上一点，有一移动电子靶在距枪膛口水平距离处启动加速，迎面驰来，在距枪膛口水平距离处以的速度开始匀速运动，当电子靶启动的同时，一队员开始水平瞄准靶心，瞄准后再连开两枪，随后都命中靶面，子弹落点分别位于靶心上方和处（该移动电子靶靶面半径大于），从电子靶启动到命中第二枪共用时，求这个队员瞄准靶心所用的时间．（子弹飞行所用时间忽略不计）
【答案】（1）30；的实际意义是第一归零点距枪膛口；（2）能命中，见解析；理解应用：2.5秒或3秒
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
（1）由题意得：，把代入得：，求解即可得出答案；
（2）将代入解析式得，即可得出答案；
理解应用：求出此时抛物线的解析式为，当时求出，，当时求出，再分别计算即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意得：，
把代入得：，
解得：，
的实际意义是第一归零点距枪膛口；
（2）将代入解析式得，
子弹能命中；
理解应用：
解：设此时抛物线的解析式为，
代入得：，
解得：，
此时抛物线的解析式为，
当时，，
化简得：，
解得：，，
当时，，
化简得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
当第一枪距原点时，瞄准时间为（秒），
当第一枪距原点时，瞄准时间为（秒），
综上所述，这个队员瞄准靶心所用的时间为2.5秒或3秒．
24. 如图，，，，为上顺次四点，为直径，平分，过点作的切线交延长线于点，连接，设．
（1）求证：．
（2）若，求值．
（3）若．
①求证：四边形是菱形．
②直接写出的值．
【答案】（1）见解析 （2）
（3）①见解析；②
【解析】
【分析】（1）连接 根据是的直径，得出，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，进而根据切线的性质得出，即可得证；
（2）连接 ，根据题意得出，设，则，，证明，根据相似三角形的性质，即可求解；
（3）①根据题意得出四边形 是平行四边形，进而证明，进而得出，即可得证；
②设 得出，在中，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质，即可求解．
【小问1详解】
证明：如图，连接
是的直径
平分
，
，
是 的切线
，
，
；
【小问2详解】
解：如图，连接
，
，
，
，
，
设，则，，
是 的直径，
，
，
，，
，
；
【小问3详解】
①证明：连接，
，
四边形 是平行四边形
，
，
，
，
，
，
，
，
平行四边形 是菱形；
②解：，
连接 ，
设 ，
，，
，，
在中，，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，菱形的判定，切线的性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

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