资源简介

2023-2024学年度下学期八年级
数学学科5月限时性作业
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形的是（　　　）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义判断即可，解题的关键是正确理解中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
、图形绕某一点旋转后与原来的图形不重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
2. 如图，将四边形沿进行平移，得到四边形，若，则图中的长为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，熟练掌握平移的定义和性质是解题关键．平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，对应点连线平行且相等．据此即可获得答案．
【详解】解：根据题意，将四边形沿进行平移，得到四边形，
∵，
∴．
故选：C．
3. 如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由图可知，，根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：由图可知，，则有
A、，成立，本选项符合题意；
B、，原不等式不成立，本选项不符合题意；
C、，原不等式不成立，本选项不符合题意；
D、，原不等式不成立，本选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】此题考查数轴和不等式的性质，通过数轴判断出，并掌握不等式的性质是解答本题的关键．
4. 下列命题的逆命题是真命题的是(　　　)
A. 等边三角形是等腰三角形
B. 若，则
C. 成中心对称的两个图形全等
D. 有两边相等的三角形是等腰三角形
【答案】D
【解析】
【分析】先根据逆命题的定义分别写出各命题的逆命题，然后根据等腰三角形的性质、不等式的性质、中心对称的性质等进行判断．
【详解】A、逆命题为：等腰三角形是等边三角形，是假命题，故本选项错误；
B、逆命题是：如果a＞b，则ac2＞bc2，是假命题，故本选项错误；
C、逆命题为：全等的两个图形成中心对称，是假命题，故本选项错误；
D、逆命题为：等腰三角形是有两边相等的三角形，故本选项正确；
故选：D
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够正确的写出一个命题的逆命题，并熟悉课本中的性质定理．
5. 下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据完全平方公式的特点判断即可；
【详解】不能用完全平方公式，故A不符合题意；
不能用完全平方公式，故B不符合题意；
，能用完全平方公式，故C符合题意；
不能用完全平方公式，故D不符合题意；
故答案选C．
【点睛】本题主要考查了因式分解公式法的判断，准确判断是解题的关键．
6. 观察如图作图痕迹，所作为的边上的（ ）
A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中垂线
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查过直线外一点作已知直线的垂线，能掌握基本尺规作图是解题的关键．
【详解】根据作图过程，可得所作线段为边上的高线，
故选B．
7. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行四边形的判定定理，解答即可，本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
详解】A. ，可以，不符合题意，
B. ，不可以，符合题意，
C. ，可以，不符合题意，
D. ，可以，不符合题意，
故选B．
8. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】，即，从图象可以看出，当时，，即可求解．
【详解】解：，即，
从图象可以看出，当时，，
故选．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确的确定出的值，是解答本题的关键．
9. 如图，在中， ，若点A到的距离是1，则与之间的距离是（ ）
A. B. 2 C. D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查勾股定理逆定理、三角形面积公式和点到直线的距离，根据三角形面积公式求出点A到的距离，即可求得与之间的距离．
【详解】解：∵，
∴为直角三角形，
∴，
设点A到的距离是h，
∴，
∴，
∴，
∵点A到的距离是1，，
∴与之间的距离为：，
故选：A．
10. 如图，四边形是平行四边形，P是上一点，且和分别平分和．如果，，则的面积等于（ ）．
A. 24 B. 30 C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行四边形性质得出AD∥CB，AB∥CD，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB中求出∠APB=90°，由勾股定理求出BP，证出AD=DP=5cm，BC=PC=5cm，得出DC=10cm=AB，再利用直角三角形面积求法即可得出答案．
【详解】解：过点P作PQ∥AD，交AB于Q，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AB∥CD，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=（∠DAB+∠CBA）=90°，
在△APB中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA）=90°；
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠PAB，
∵AB∥CD，
∴∠PAB=∠DPA，
∴∠DAP=∠DPA，
∴△ADP等腰三角形，
∴AD=DP=5cm，
同理：PC=CB=5cm，
即AB=DC=DP+PC=10cm，
在Rt△APB中，AB=10cm，AP=8cm，
∴BP==6cm，
∴△ABP的面积=×AP×BP=24cm2，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形性质，平行线性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用，正确得出BP的长是解题关键．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若分式的值为零，则x的值为_____．
【答案】﹣3
【解析】
【分析】直接利用分式为零的条件得出答案．
【详解】解：∵分式的值为零，
∴x+3＝0，
解得：x＝﹣3，此时满足分母不为零，
故答案为：﹣3．
【点睛】本题考查分式为零的条件，掌握分式为零的条件是解题关键.
12. 中，若，则__________度．
【答案】120
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形邻角互补得到，解方程组即可得到答案．
【详解】解：在中，，
∴，
解方程组得，
故答案为：120．
13. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】首先解关于和的方程组，利用表示出，代入即可得到关于的不等式，求得的范围．
【详解】解：，
①+②得，
则，
根据题意得，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把当作已知数表示出的值，再得到关于的不等式．
14. 关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
【答案】1或6或
【解析】
【分析】方程两边都乘以，把方程化为整式方程，再分两种情况讨论即可得到结论．
【详解】解：，
，
，
，
当时，显然方程无解，
又原方程的增根为：，
当时，，
，
当时，，
，
综上当或或时，原方程无解．
故答案为：1或6或．
【点睛】本题考查的是分式方程无解的知识，掌握分式方程无解时的分类讨论是解题的关键．
15. 如图，等腰△ABC中，，D是AB上一点，，，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为________________．
【答案】
【解析】
【分析】如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M，证明△TDF≌△BED（SAS），推出BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，TM＝FM＝，再利用直角三角形30度角的性质求出AT即可解决问题．
【详解】解：如图，延长BA到T，使得DT＝BE，连接TF，过点T作TM⊥AC于M．
∵AB＝AC，∠BAC＝150°，
∴∠B＝∠ACB＝15°，
∵∠TDE＝∠B+∠DEB＝∠TDF+∠EDF，∠EDF＝∠B＝15°，
∴∠TDF＝∠BED，
∵DT＝EB，DF＝DE，
∴△TDF≌△BED（SAS），
∴BD＝TF＝4，∠DTF＝∠B＝15°，
∵∠TFC＝∠TAF+∠ATF＝45°，TM⊥FM，
∴TM＝FM＝，
在Rt△ATM中，∵∠TAM＝30°，
∴AT＝2TM＝，
∴BE＝DT＝AD+AT＝1+，
故答案为1+．
【点睛】本题考查旋转的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1）分解因式：；
（2）解不等式组：．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了综合提公因式法和公式法进行因式分解，解一元一次不等式组．熟练掌握综合提公因式法和公式法进行因式分解，解一元一次不等式组是解题的关键．
（1）提取公因式然后利用平方差公式即可；
（2）分别求解两个一元一次不等式，然后再求两个不等式的交集即可；
【小问1详解】
原式＝
＝
＝
【小问2详解】
由不等式，
得：，
解得，
由，得：
，
，
解得，
故不等式组的解集为：．
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】－，
【解析】
【分析】直接将括号里面通分运算，再利用分式的混合运算法则化简，把已知数据代入得出答案．
【详解】解：原式，
，
，
，
，
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握正确化简分式的能力．
18. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？
【答案】（1）每辆A型汽车的售价为18万元，每辆B型汽车的售价为26万元
（2）5辆
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用．
（1）设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，根据“型汽车的售价比型汽车售价高8万元，本周售出1辆型车和3辆型车，销售总额为96万元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设销售型车辆，则销售型车辆，利用销售总额每辆型车的售价销售型车的数量每辆型车的售价销售型车的数量，结合销售总额不少于220万元，可列出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．
【小问1详解】
解：设每辆型车的售价是万元，每辆型车的售价是万元，
根据题意得：，
解得：．
答：每辆型车的售价是18万元，每辆型车的售价是26万元；
【小问2详解】
解：设销售型车辆，则销售型车辆，
根据题意得：，
解得：，
的最小值为5．
答：型车至少销售5辆．
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）平移，使得点A的对应点的坐标为，在图中画出（点B的对应点点C的对应点）；
（2）将绕原点逆时针旋转得到，在图中画出（点A的对应点，点B的对应点，点C的对应点）；
（3）M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接，若，点为y轴上的一点，连接则的最小值为__________．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
分析】本题考查作图-旋转变换，轴对称最短问题等知识
（1）作出平移后的三角形，可得结论；
（2）利用旋转的性质分别作出A，B，C的对应点即可；
（3）作点关于x轴的对称点Q，取点，连接交x轴于点，此时的值最小，利用勾股定理求出即可．
【小问1详解】
解：如图，即为所作：
【小问2详解】
解：如图，即为所作：
【小问3详解】
解：作点关于x轴的对称点Q，取点，连接交x轴于点，则，
过点D作的平行线，交轴于点
∵轴，
∴四边形是平行四边形，
∴
∴的最小值为，
∴,
故答案为：
20. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．
【答案】（1）见解析 （2）16°
【解析】
【分析】（1）通过ADBC，AO=OC，证明△AOD≌△COB（ASA），推出AD＝CB，结合ADBC，即可证明四边形ABCD为平行四边形；
（2）设∠ABE＝x，先证EF为BD的垂直平分线，推出BE＝DE，再利用平行线性质、等腰三角形的性质证明∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵ADBC，
，
又∵AO=OC，
∴△AOD≌△COB（ASA），
∴AD＝CB，
又∵ADBC，
∴四边形ABCD为平行四边形；
【小问2详解】
解：设∠ABE＝x，则∠DBF＝2x，
由（1）得：四边形ABCD为平行四边形，
∴OB＝OD，
∵EF⊥BD，
∴EF为BD的垂直平分线，
∴BE＝DE，
∴∠EBD＝∠EDB，
∵ADBC，
∴∠EDB＝∠DBF，
∴∠EBD＝∠EDB＝∠DBF＝2x，
∵∠BAD+∠ABE+∠EBD+∠EDB＝180°，
∴100°+x+2x+2x＝180°，
解得：x＝16°，
即∠ABE＝16°．
【点睛】本题考查平行线的性质、平行四边形的判定和性质、垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，结合题意综合运用上述知识是解题的关键．
21. 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数煅多8件．
素材2 学校在购买30支钢笔和20本笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”后，文具店赠送m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价
任务2 确定兑换方式 运用数学知识，直接确定符合条件一种兑换方式．
【答案】（1）笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元
（2）文具店赠送2张兑换券，其中有1张兑换券兑换钢笔，有1张兑换券兑换笔记本（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查的是分式方程和二元一次方程的应用，从题目中找出等量关系，列出方程并求解是解题的关键．
任务1：设笔记本的单价为元，则钢笔的单价为元，根据题意，可列方程，求解即可；
任务2：设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本，根据题意，得，
整理得：，分类讨论即可．
【详解】解：任务1：设笔记本的单价为x元，则钢笔的单价为2x元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
此时(元)，
答：笔记本的单价为5元，钢笔的单价为10元．
任务2：当购买钢笔的数量为30支，笔记本数量为20支时，设有张兑换券兑换钢笔，则有张兑换券兑换笔记本，
根据题意，得，
整理得：，
，
，
，
，均为正整数，且为偶数的倍数），
可取1，3，5，
当时，，则，成立；
当时，，则，成立；
当时，，则，成立；
文具店赠送2张兑换券，其中有1张兑换券兑换钢笔，有1张兑换券兑换笔记本；
文具店赠送5张兑换券，其中有3张兑换券兑换钢笔，有2张兑换券兑换笔记本；
文具店赠送8张兑换券，其中有5张兑换券兑换钢笔，有3张兑换券兑换笔记本．
答：文具店赠送2张兑换券，其中有1张兑换券兑换钢笔，有1张兑换券兑换笔记本（答案不唯一）．
22. 爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
【问题发现】
如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：．
小明的解法如下：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴．
【类比探究】
如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D，求证：；
【直接应用】
如图3所示，中，，平分交于D，若，求出的长．
【拓展应用】
如图4所示，在中，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），求出剩余部分的面积．
【答案】【类比探究】见解析；【直接应用】20；【拓展应用】．
【解析】
【分析】本题是阅读理解题，主要考查了角平分线的性质的应用，翻折的性质，三角形的面积等知识
类比探究：过点作于N，过点D作于M．过点A作于点P．根据角平分线的性质得，再利用面积法可得结论；
直接应用：作于H，由角平分线的性质得，由勾股定理得，，可得答案；
（4）由（1）可得，从而得出的面积，同理可求：，进而解决问题．
【详解】证明：过点作于N，过点D作于M．过点A作于点P．
∵平分，
∴.
∴，
，
∴；
直接应用：由（1）得，
设
在中，由勾股定理得，
，
解得
∴.
拓展应用：∵，
∴，
∵将先沿的平分线折叠，
∴，
∴，
由（1）可得，
∴，
∴，
同理可求：，
∴，
∴.
23. 我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．
【发现与证明】
在中，，将沿翻折至，连接．
结论1：；
结论2：与重叠部分的图形是等腰三角形．
请利用图1证明结论Ⅰ或结论2．
【应用与探究】
在中，，将沿翻折至，连接．
（1）如图2，，，与相交于点E，求的面积；
（2）已知，当的长为多少时，是以为斜边的直角三角形？
【答案】发现与证明：见解析；应用与探究：（1）；（2）2或6．
【解析】
【分析】本题考查几何变换综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、翻折变换、勾股定理等知识，
应用与探究：通过折叠和平行四边形的性质证明，进一步证得和，从而证得两个结论；
应用与探究：（1）过点C作，垂足为G，先求出和，再设，根据勾股定理建立方程，解方程求出，根据三角形的面积公式即可求得答案；
（2）分别根据和两种情况展开讨论，当时，先证明，进一步求得，最后根据勾股定理建立方程即可求出，从而得到；当时，延长交于点G，证明G是中点，即可求出．
【详解】发现与证明：如下图所示，设将沿翻折至，于交于点，
∵，
∴，，，
∵,
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，是等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴结论1和结论2成立；
应用与探究：（1）过点C作，垂足G，
∵，
∴，
∴，
∴，
根据发现与证明的结论得到，
设，则，
∵，
∴，
解方程得：，
∴，
∴的面积等于；
（2）当时，
∵，，
∴，
∵，
∴四边形是等腰梯形，
∴,
∵，
∴，
∵是以为斜边的直角三角形，
得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
当时，得，
如下图所示，延长交于点G，
∵，，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴G是的中点，
在直角三角形中，,
∴，
∴，
∴当或时，是以为斜边的直角三角形．2023-2024学年度下学期八年级
数学学科5月限时性作业
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中为中心对称图形是（　　　）
A. B. C. D.
2. 如图，将四边形沿进行平移，得到四边形，若，则图中的长为（ ）
A 4 B. 6 C. 8 D. 无法确定
3. 如图，数轴上点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　）
A. B. C. D.
4. 下列命题逆命题是真命题的是(　　　)
A. 等边三角形是等腰三角形
B. 若，则
C. 成中心对称的两个图形全等
D. 有两边相等的三角形是等腰三角形
5. 下列各式中，能用完全平方公式因式分解的是（ ）
A. B. C. D.
6. 观察如图作图痕迹，所作为的边上的（ ）
A. 中线 B. 高线 C. 角平分线 D. 中垂线
7. 如图，在四边形中，对角线与相交于点O，下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A. B.
C. D.
8. 如图，已知一次函数的图象与轴交于点，则根据图象可得不等式的解集是（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在中， ，若点A到的距离是1，则与之间的距离是（ ）
A. B. 2 C. D. 3
10. 如图，四边形是平行四边形，P是上一点，且和分别平分和．如果，，则的面积等于（ ）．
A. 24 B. 30 C. D.
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若分式的值为零，则x的值为_____．
12. 中，若，则__________度．
13. 若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是____．
14. 关于x的分式方程无解，则m的值为_______．
15. 如图，等腰△ABC中，，D是AB上一点，，，E点在边BC上，若点E绕点D逆时针旋转的对应点F恰好在AC上，则BE的长度为________________．
三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
16. 计算：
（1）分解因式：；
（2）解不等式组：．
17 先化简，再求值：，其中．
18. 为响应国家节能减排的倡议，某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，B型汽车的售价比A型汽车售价高8万元，本周售出1辆A型车和3辆B型车，销售总额为96万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价；
（2）随着新能源汽车越来越受消费者认可，汽车专卖店计划下周销售A，B两种型号的汽车共10辆，若销售总额不少于220万元，求B型车至少销售多少辆？
19. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为，，．
（1）平移，使得点A的对应点的坐标为，在图中画出（点B的对应点点C的对应点）；
（2）将绕原点逆时针旋转得到，在图中画出（点A的对应点，点B的对应点，点C的对应点）；
（3）M、N为x轴上的两个动点，点M在点N的左侧，连接，若，点为y轴上的一点，连接则的最小值为__________．
20. 如图，在四边形ABCD中，ADBC，对角线AC、BD交于点O，且AO=OC，过点O作EF⊥BD，交AD于点E，交BC于点F．
（1）求证：四边形ABCD为平行四边形；
（2）连接BE，若∠BAD=100°，∠DBF=2∠ABE，求∠ABE的度数．
21. 根据以下素材，探索完成任务．
如何设计奖品兑换方案？
素材1 某文具店销售某种钢笔与笔记本，已知钢笔的单价是笔记本的2倍，用120元购买笔记本的数量比用160元购买钢笔的数煅多8件．
素材2 学校在购买30支钢笔和20本笔记本作为奖品颁发给“优秀学生”后，文具店赠送m张兑换券（如图）用于商品兑换．兑换后，笔记本与钢笔数量相同．
问题解决
任务1 探求商品单价 请运用适当方法，求出钢笔与笔记本的单价
任务2 确定兑换方式 运用数学知识，直接确定符合条件的一种兑换方式．
22. 爱动脑筋的小明同学在学习完角平分线的性质一节后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：
【问题发现】
如图1所示，若AD是∠BAC的角平分线，可得到结论：．
小明的解法如下：
过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，
∵AD是∠BAC的角平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
∴．
【类比探究】
如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D，求证：；
【直接应用】
如图3所示，中，，平分交于D，若，求出的长．
【拓展应用】
如图4所示，在中，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），求出剩余部分的面积．
23. 我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论．
【发现与证明】
在中，，将沿翻折至，连接．
结论1：；
结论2：与重叠部分的图形是等腰三角形．
请利用图1证明结论Ⅰ或结论2．
【应用与探究】
在中，，将沿翻折至，连接．
（1）如图2，，，与相交于点E，求的面积；
（2）已知，当的长为多少时，是以为斜边的直角三角形？

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