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专题08 奇偶性、对称性与周期性（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 4
【考点1】函数的奇偶性 4
【考点2】函数的周期性及应用 5
【考点3】函数的对称性 6
【考点4】函数性质的综合应用 8
【分层检测】 9
【基础篇】 9
【能力篇】 11
【培优篇】 11
考试要求：
1.理解函数奇偶性的含义.
2.了解函数的最小正周期的含义.
3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
8．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
10．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
【考点1】函数的奇偶性
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．为偶函数
C．有最小值 D．在上单调递增
2．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．函数是奇函数
C． D．的一个周期为3
三、填空题
5．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知，函数是奇函数，则 ， ．
6．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 .
反思提升：
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【考点2】函数的周期性及应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点 B．是单调函数
C．是奇函数 D．是周期函数
2．（21-22高三上·四川攀枝花·阶段练习）定义在R上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．图象的对称轴为直线
C．当时，
D．方程恰有5个实数解
二、多选题
3．（2024·全国·三模）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．
C．是图象的一条对称轴
D．是图象的一个对称中心
4．（2024·湖北·模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，，则 ．
6．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ．
反思提升：
1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
【考点3】函数的对称性
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（ ）
A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增
2．（2023·河南·模拟预测）已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小正周期为2
D．当时，
二、多选题
3．（2020·山东淄博·一模）已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有3个零点
4．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C． D．
三、填空题
5．（2024·宁夏固原·一模）已知定义在R上的函数满足对任意实数都有，成立，若，则 ．
6．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 ．
反思提升：
对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
【考点4】函数性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·辽宁抚顺·一模）函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·山东临沂·二模）已知定义在上的函数满足，，且，则（ ）
A．的最小正周期为4 B．
C．函数是奇函数 D．
4．（2024·全国·模拟预测）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．在上单调递减
三、填空题
5．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 .
6．（2023·浙江·一模）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
反思提升：
1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
3.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
4.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河北保定·二模）若函数是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1012 D．2024
3．（2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A． B． C．4 D．6
4．（2023·陕西西安·三模）已知是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③的一个对称中心为 ④的一条对称轴为
A．个 B．个 C．个 D．个
二、多选题
5．（2024·山东·二模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的最小值为 D．在上单调递增
6．（2023·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象
B．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象
C．的图象与的图象关于直线对称
D．的图象与的图象关于直线对称
三、填空题
8．（2024·四川成都·模拟预测）函数，若，则 .
9．（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个.
10．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 .
四、解答题
11．（2023·安徽·模拟预测）已知函数（其中）为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)讨论函数的零点情况.
12．（2023·陕西咸阳·模拟预测）求下列情况下的值
(1)若函数是偶函数, 求的值．
(2)已知 是奇函数, 且当时,,若, 求的值．
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·湖南·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且，当时，．若，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2021·陕西安康·一模）已知函数是定义在上的偶函数，满足．
(1)证明：函数是周期函数．
(2)当时，．若恰有14个零点，求实数的取值范围．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数 B． C． D．
三、填空题
3．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，. 当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为
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专题08 奇偶性、对称性与周期性（新高考专用）
【知识梳理】 2
【真题自测】 3
【考点突破】 11
【考点1】函数的奇偶性 11
【考点2】函数的周期性及应用 15
【考点3】函数的对称性 21
【考点4】函数性质的综合应用 26
【分层检测】 33
【基础篇】 33
【能力篇】 40
【培优篇】 44
考试要求：
1.理解函数奇偶性的含义.
2.了解函数的最小正周期的含义.
3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题.
1.函数的奇偶性
奇偶性 定义 图象特点
偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称
奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果 x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称
2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期.
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
1.函数周期性的常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0).
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0).
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0).
2.对称性的四个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称；特别地，当a＝b时，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
(4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称.特别地，当b＝0时，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，则y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称.
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则（ ）．
A． B．0 C． D．1
3．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高考真题）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A． B． C．0 D．1
5．（2021·全国·高考真题）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国·高考真题）设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
7．（2023·全国·高考真题）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A． B．
C．是偶函数 D．为的极小值点
8．（2022·全国·高考真题）已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
9．（2023·全国·高考真题）若为偶函数，则 ．
10．（2021·全国·高考真题）已知函数是偶函数，则 .
参考答案：
1．D
【分析】根据偶函数的定义运算求解.
【详解】因为为偶函数，则，
又因为不恒为0，可得，即，
则，即，解得.
故选：D.
2．B
【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可.
【详解】因为 为偶函数，则 ，解得，
当时，，，解得或，
则其定义域为或，关于原点对称.
，
故此时为偶函数.
故选：B.
3．D
【分析】根据对称性和已知条件得到，从而得到，，然后根据条件得到的值，再由题意得到从而得到的值即可求解.
【详解】因为的图像关于直线对称，
所以，
因为，所以，即，
因为，所以，
代入得，即，
所以，
.
因为，所以，即，所以.
因为，所以，又因为，
联立得，，
所以的图像关于点中心对称，因为函数的定义域为R，
所以
因为，所以.
所以.
故选：D
【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.
4．A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.
5．B
【分析】推导出函数是以为周期的周期函数，由已知条件得出，结合已知条件可得出结论.
【详解】因为函数为偶函数，则，可得，
因为函数为奇函数，则，所以，，
所以，，即，
故函数是以为周期的周期函数，
因为函数为奇函数，则，
故，其它三个选项未知.
故选：B.
6．D
【分析】通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．
【详解】[方法一]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
[方法二]：
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
【点睛】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．
7．ABC
【分析】方法一：利用赋值法，结合函数奇偶性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，当时，对两边同时除以，得到，
故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
故选：.
8．BC
【分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.
【详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究
对于，因为为偶函数，所以即①，所以，所以关于对称，则，故C正确；
对于，因为为偶函数，，，所以关于对称，由①求导，和，得，所以，所以关于对称，因为其定义域为R，所以，结合关于对称，从而周期，所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.
由方法一知周期为2，关于对称，故可设，则，显然A，D错误，选BC.
故选：BC.
[方法三]：
因为，均为偶函数，
所以即，，
所以，，则，故C正确；
函数，的图象分别关于直线对称，
又，且函数可导，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正确，D错误；
若函数满足题设条件，则函数（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定的函数值，故A错误.
故选：BC.
【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；
方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．
9．2
【分析】利用偶函数的性质得到，从而求得，再检验即可得解.
【详解】因为为偶函数，定义域为，
所以，即，
则，故，
此时，
所以，
又定义域为，故为偶函数，
所以.
故答案为：2.
10．1
【分析】利用偶函数的定义可求参数的值.
【详解】因为，故，
因为为偶函数，故，
时，整理得到，
故，
故答案为：1
【考点1】函数的奇偶性
一、单选题
1．（2024·山东济南·三模）已知函数的定义域为R，且，则下列结论一定成立的是（ ）
A． B．为偶函数
C．有最小值 D．在上单调递增
2．（2024·江西景德镇·三模）已知函数是奇函数，则时，的解析式为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（2024·广东茂名·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（ ）
A． B．函数是奇函数
C． D．的一个周期为3
三、填空题
5．（23-24高一下·内蒙古·期中）已知，函数是奇函数，则 ， ．
6．（2024·河北保定·二模）已知函数的定义域，对任意，恒有，且当时，恒成立，，则不等式的解集为 .
参考答案：
1．C
【分析】利用题设结合赋值法可得出，进而结合二次函数性质一一判断各选项，即可得答案.
【详解】由于函数的定义域为R，且，
令，则，得，
时，恒成立，无法确定，A不一定成立；
由于不一定成立，故不一定为偶函数，B不确定；
由于的对称轴为与的位置关系不确定，
故在上不一定单调递增，D也不确定，
由于表示开口向上的抛物线，故函数必有最小值，C正确，
故选：C
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是利用赋值法确定函数，进而结合二次函数性质求解.
2．C
【分析】设，利用时，和可求得的解析式.
【详解】设，则，
所以，
又函数是奇函数，所以，即，.
即.
故选：C
3．CD
【分析】先利用函数是奇函数，将不等式转变为，再利用函数在上单调递增，将不等式转变为，求解即可.
【详解】因为函数是奇函数，
则不等式，可变形为，
因为函数在上单调递增，
则不等式成立，则，
解得，1，2符合题意，
故选：CD.
4．AC
【分析】根据条件等式，利用赋值法，求特殊函数值，以及判断函数的奇偶性和周期性.
【详解】令，则，所以，A选项正确；
令，则，即，所以是偶函数，B选项错误；
，令，则，
令，则，所以，
所以，因为，所以，，C选项正确；
令，则，
所以，，所以，的一个周期为6，D选项错误.
故选：AC．
5．
【分析】由，可求，由，结合奇函数可求．
【详解】由，解得，所以，
又因为函数为奇函数，所以，
所以，
所以，
所以，
所以或，
所以1或，解得(舍去)．
故答案为：①-1；②1．
6．
【分析】根据条件，构造，利用的奇偶性和单调性，将问题转化成求解，即可求出结果.
【详解】由，得，
设，则，取，得，
取，得；取，得，
所以是偶函数，所以，
因为当时，，两边同时乘以，
得，两边同时除以，得，
即，即，所以在上单调递减.
由，得，由，得，
所以可化为，
即，所以，解得或，
所以不等式的解集为，
故答案为：.
反思提升：
1.判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
2.利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.
3.画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.
【考点2】函数的周期性及应用
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数的结论正确的是（ ）
A．有零点 B．是单调函数
C．是奇函数 D．是周期函数
2．（21-22高三上·四川攀枝花·阶段练习）定义在R上的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的值域为
B．图象的对称轴为直线
C．当时，
D．方程恰有5个实数解
二、多选题
3．（2024·全国·三模）已知函数定义域为且不恒为零，若函数的图象关于直线对称，的图象关于点对称，则（ ）
A．
B．
C．是图象的一条对称轴
D．是图象的一个对称中心
4．（2024·湖北·模拟预测）设定义在上的函数与的导函数分别为和.若，，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的图象关于直线对称 B．
C． D．
三、填空题
5．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，是奇函数，是偶函数，，则 ．
6．（2024·山西临汾·三模）已知函数的定义域为，且，，则 ．
参考答案：
1．D
【详解】根据狄利克雷函数的性质即可由或均为有理数求解A，根据即可判断单调性求解B，根据和同为有理数或同为无理数，即可求解C，根据和同为有理数或同为无理数即可求解D.
【分析】对于A，因为或均为有理数，
所以，故没有零点，A错误，
对于B，因为，所以，
故不是单调函数，B错误，
对于C，因为和同为有理数或同为无理数，所以，
故是偶函数，C错误，
对于D，设为任意非零有理数，则和同为有理数或同为无理数，
所以，故是周期函数（以任意非零有理数为周期），D正确，
故选：D.
2．C
【分析】由给定条件可得的周期为4，并探讨函数的奇偶性，举例说明判断A；由是对称轴判断B；求出时的解析式判断C；画出函数的部分图象判断D作答.
【详解】因，则的值域为不正确，A不正确；
R上的函数满足，即，又，
则函数是最小正周期为4的周期函数，，当时，，有，
当时，，且，，
于是有，，即函数在上是偶函数，又周期为4，则是R上的偶函数，
由知，直线是函数的图象对称轴，不满足，B不正确；
当时，，则，C正确；
，在同一坐标系作出函数的部分图象与直线，如图，
观察图象知，直线与函数的图象有4个公共点，即方程有4个实根，D不正确.
故选：C
【点睛】方法点睛：图象法判断函数零点个数，作出函数f(x)的图象，观察与x轴公共点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出这两个函数的图象，观察它们的公共点个数.
3．BCD
【分析】由条件证明直线为函数的对称轴，点为函数的对称中心，结合函数的周期定义证明为周期函数，由此判断A，再证明，结合周期性判断B，证明为函数的对称轴，结合周期性判断C，证明原点为函数的对称中心，结合周期性判断D.
【详解】因为的图象关于直线对称，
所以，即，
所以，
所以的图象关于直线对称.
因为的图象关于点对称，
所以，即，
所以的图象关于点对称.
所以.
令，得.
由，可得，
故即，
所以，
所以函数的周期，
所以，又不恒为零，
所以错误，A错误，
，B正确；
因为的图象关于直线对称，的图象关于点对称，
所以，
所以为函数的对称轴，
结合周期性可得，，为函数的图象的对称轴，
所以是函数图象的一条对称轴，C正确；
因为，，
所以，
所以原点为函数的一个对称中心，
结合函数周期性可得点，，为函数图象的对称中心，
所以点是函数图象的一个对称中心，D正确.
故选：BCD.
4．AC
【分析】对于A：由可设，根据题意分析可得，，即可得结果；对于C：结合奇偶性可得函数的周期，结合周期性分析求解；对于B：分析可知，根据周期性分析求解；对于D：结合选项BC中的结论运算求解.
【详解】对于选项A：因为，则，
可得，
又因为，可得.
令，可得，解得，
可得，所以函数的图象关于直线对称，A正确；
对于选项C：因为为奇函数，
可知的图象关于点对称，且，
令，可得，即；
令，可得；
令，可得；
由函数的图象关于直线对称，可得；
所以，
又因为，则，
可知函数的周期，
所以，故C正确；
对于选项B：由AC可知，
可得，，
所以，故B错误；
对于选项D：可得，故D错误.
故选：AC.
【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．
5．
【分析】根据题意，结合是奇函数，是偶函数，推得函数是周期为12的周期函数，进而求得的值，得到答案.
【详解】解法一因为是奇函数，可得 ，所以，
又因为是偶函数，可得，即，
所以，
所以是周期为12的周期函数，则．
解法二 因为是奇函数，可得的图象关于点对称，
又因为是偶函数，可得的图象关于直线对称，
所以是周期为12的周期函数，所以，
因为的图象关于直线对称，所以，则．
故答案为：.
6．
【分析】令求，令求，令得，通过迭代求周期，然后可解.
【详解】令，则，
因为，所以，
令，则，得，
令，则，即，
所以，
所以
所以，所以，即，
是以6为周期的周期函数，
所以，
故答案为：.
反思提升：
1.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.
2.利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题.
【考点3】函数的对称性
一、单选题
1．（2024·全国·模拟预测）下列关于函数的四个结论中错误的是（ ）
A．的图象关于原点对称 B．的图象关于点对称
C．的图象关于直线对称 D．在区间上单调递增
2．（2023·河南·模拟预测）已知函数对任意都有，且函数的图象关于对称，当时，.则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点对称
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的最小正周期为2
D．当时，
二、多选题
3．（2020·山东淄博·一模）已知函数是R上的奇函数，对于任意，都有成立，当时，，给出下列结论，其中正确的是（ ）
A．
B．点是函数的图象的一个对称中心
C．函数在上单调递增
D．函数在上有3个零点
4．（2024·江西鹰潭·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．函数的图象关于点对称
C． D．
三、填空题
5．（2024·宁夏固原·一模）已知定义在R上的函数满足对任意实数都有，成立，若，则 ．
6．（2024·广西南宁·二模）定义域为R的函数的图象关于点对称，函数的图象关于直线对称．若，则 ．
参考答案：
1．D
【分析】根据奇函数的定义判断A；根据函数的周期判断B；根据函数的对称轴判断C；根据复合函数的性质或切化弦判断D
【详解】由，得且，
因为，所以函数为奇函数，
所以的图象关于原点对称，所以选项A正确．
因为，
所以是函数的一个周期，
由选项A知点是函数的图象的对称中心，
则也是函数的图象的对称中心，所以选项B正确．
因为，
所以函数的图象关于直线对称，所以选项C正确．
方法一：因为函数在上单调递减，函数在上单调递增，
由复合函数的性质可知，函数在区间上单调递减，所以选项D错误．
方法二：因为，所以在区间上单调递减，
所以选项D错误．
故选：D．
2．C
【分析】根据题中条件可得的周期为4且关于对称，结合时，，即可画出函数的图象，由图象即可逐一判断.
【详解】因为函数对任意都有，即恒成立，所以的周期为4.
因为函数的图象关于对称，所以将的图象向右平移一个单位，得到的图象，所以的图象关于对称，
故，因此的图象关于对称，
设，则，
因为函数对任意都有
所以，
所以 所以选项D错误.
作出的图象如图所示：
由图象可知，函数的图象关于点中心对称，关于直线对称，故A，B错误；
对于C：函数的图象可以看成的图象轴上方的图象保留，把轴下方的图象翻折到轴上方，所以函数的最小正周期为2.故C正确.
故选：C
3．AB
【分析】由，赋值，可得，故A正确；进而可得是对称中心，故B正确；作出函数图象，可得CD不正确.
【详解】在中，令，得，又函数是R上的奇函数，所以，，故是一个周期为4的奇函数，因是的对称中心，所以也是函数的图象的一个对称中心，故A、B正确；
作出函数的部分图象如图所示，易知函数在上不具单调性，故C不正确；
函数在上有7个零点，故D不正确.
故选：AB
【点睛】本题考查了函数的性质，考查了逻辑推理能力，属于基础题目.
4．ABD
【分析】由已知结合函数的奇偶性，对称性和复合函数的求导可得A，B正确，C错误；惊醒赋值可先求出，则有成立，进而得到D正确.
【详解】对于选项A，因为为偶函数，可得：，
即，∴，即，故选项A正确；
对于选项B，因为为偶函数，所以为奇函数，且
，则的图象关于点对称，故选项B正确；
对于选项C，为偶函数，其导函数为奇函数，
可得：，即，
得，
所以，即，
则，可知的周期为4，
故选项C错误；
对于选项D，因为为奇函数，
将代入，得，得，
因为为偶函数，可得：关于对称，
由且关于对称，知，
又的周期为4，可得（），
选项C中有等式，即，
则有（）成立，
∴，故选项D正确；
故选：ABD.
5．
【分析】由可得函数的对称性，再对中的进行赋值，依次得到，，，，即可求出.
【详解】由可得函数图象关于直线对称，
因，故，在中，令，代入可得，
再令，代入可得，再令，代入可得，，
故令，代入可得，故.
故答案为：.
6．2499
【分析】根据抽象函数的对称性、周期性运算得解.
【详解】因为的图象关于点对称，所以，
则即，
又的图象关于直线对称，则，
所以，即，
可得，则是以4为周期的函数.
因为，
由，令，得，
所以，，，
所以
.
故答案为：2499.
【点睛】关键点睛：本题关键是根据条件判断出是以4为周期的函数.
反思提升：
对称性的三个常用结论
(1)若函数f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称.
(2)若函数f(x)满足f(a＋x)＝－f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于点对称.
(3)若函数f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则函数f(x)的图象关于点对称.
【考点4】函数性质的综合应用
一、单选题
1．（2024·辽宁抚顺·一模）函数满足：当时，，是奇函数．记关于的方程的根为，若，则的值可以为（ ）
A． B． C． D．1
2．（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
3．（2024·山东临沂·二模）已知定义在上的函数满足，，且，则（ ）
A．的最小正周期为4 B．
C．函数是奇函数 D．
4．（2024·全国·模拟预测）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（ ）
A．
B．当时，
C．
D．在上单调递减
三、填空题
5．（2024·陕西西安·二模）已知函数满足，.则 .
6．（2023·浙江·一模）设函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，当时，，则 .
参考答案：
1．C
【分析】首先判断函数关于点对称，再画出函数和的图象，结合函数的对称性，判断交点的个数，利用数形结合，即可求解.
【详解】若函数是奇函数，则，
即，则函数关于点对称，所以
而也关于点对称，恒过点，
方程根，即为函数与交点的横坐标，
因为两个函数都关于点对称，所以交点也关于点对称，且其中一个交点是，
如图画出两个函数的图象，
若，根据对称性可知，轴左侧和右侧各有3个交点，如图，
当直线过点时，轴右侧有2个交点，此时，
当直线过点时，轴右侧有3个交点，此时，
所以满足条件的的取值范围是，选项中满足条件的只有.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键是正确分析出函数的图象，尤其是，并且会利用数形结合，分析临界直线，即可求解.
2．A
【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小.
【详解】由可得，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即；
由可得，
显然可得.
故选：A
【点睛】方法点睛：研究抽象函数性质时，可根据满足的关系式利用赋值法合理选取自变量的取值，由函数值或范围得出函数单调性等性质，进而实现问题求解.
3．AB
【分析】据题意，通过赋值得到，，即可判断A；令，可求出，由周期性可判断B；令，得到，由周期性，可证明是奇函数，假设函数是奇函数，推出矛盾，判断C；由周期性及对称性可计算D.
【详解】对于A，因为，
所以，，
所以，故的最小正周期为4，A正确；
对于B，因为，
令，则，
所以，
由A可知，，故B正确；
对于C， 因为，①
令，则，
所以，
所以，②
由①②，所以，即，故为奇函数，
若函数是奇函数，则，
所以，即，
所以，
所以的最小正周期为2，与选项A矛盾，故C错误；
对于D，因为为奇函数，且，所以，
又因为的最小正周期为4，所以，
因为
所以，，
所以，
，
以此类推，
所以，故D错误.
故选：AB
【点睛】方法点睛：本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数，
（1）若，则函数的周期为；
（2）若，则函数的周期为；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为；
（5）若，则函数的周期为.
4．AB
【分析】利用赋值法可以逐次判断选项，A，取可得；B，取，再由条件当时，推理可得；对于C，虽能用基本不等式，但因在上的符号不定，得不出结论；对于D，运用单调性定义法推导得出相反结论，排除.
【详解】对于A项，由，取，得，，故A项正确；
对于B项，由，取，因，故，即，
当时，，则，故，即，故B项正确；
对于C项，由，取，可得，，整理得，，
因，，当且仅当时取等号，但因的符号不能确定，故不一定有，
即不一定成立，故C项错误；
对于D项，任取，则，依题意，，而，
则，即，即在上是增函数.于是，对于，
任取，因，则，即，即函数在上单调递增，故D项错误.
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质判断和应用，属于难题.
解决此类题的关键在于观察已知抽象函数式的特征，巧用赋值代入法，对称取值法和定义推导法进行推理判断，即可得出正确结论.
5．.
【分析】根据题意，取，求得，再令，得到，结合，利用等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】由函数满足，
取，可得，
令，可得，
即
则
.
故答案为：.
6．
【分析】推导出函数是周期为的周期函数，根据题中条件求出的值，结合函数的周期性可求得的值.
【详解】因为函数的定义域为，且为偶函数，为奇函数，
则，，
所以，函数的图象关于直线对称，也关于点对称，
所以，，，
所以，，则，
所以，函数是周期为的周期函数，
当时，，则，，，
，，，
，，
所以，，
又因为，所以，.
故答案为：.
【点睛】结论点睛：对称性与周期性之间的常用结论：
（1）若函数的图象关于直线和对称，则函数的周期为；
（2）若函数的图象关于点和点对称，则函数的周期为；
（3）若函数的图象关于直线和点对称，则函数的周期为.
反思提升：
1.比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小；
2.对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1x2)求解.
3.周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.
4.函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b－x)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(a＋x)＝f(b＋x)(a≠b)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.
【基础篇】
一、单选题
1．（2024·河北保定·二模）若函数是定义在R上的奇函数，则（ ）
A．3 B．2 C． D．
2．（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1012 D．2024
3．（2024·山东日照·二模）已知是定义域为的偶函数，，，若是偶函数，则（ ）
A． B． C．4 D．6
4．（2023·陕西西安·三模）已知是定义域为的奇函数，若的最小正周期为1，则下列说法中正确的个数是（ ）
① ②
③的一个对称中心为 ④的一条对称轴为
A．个 B．个 C．个 D．个
二、多选题
5．（2024·山东·二模）已知函数，则（ ）
A．是奇函数 B．的最小正周期为
C．的最小值为 D．在上单调递增
6．（2023·海南·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C． D．
7．（2024·全国·模拟预测）已知，，则（ ）
A．将的图象向左平移个单位长度可以得到的图象
B．将的图象向右平移个单位长度可以得到的图象
C．的图象与的图象关于直线对称
D．的图象与的图象关于直线对称
三、填空题
8．（2024·四川成都·模拟预测）函数，若，则 .
9．（2024·河南·二模）已知函数是偶函数，对任意，均有，当时，，则函数的零点有 个.
10．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则的值为 .
四、解答题
11．（2023·安徽·模拟预测）已知函数（其中）为偶函数.
(1)求实数的值；
(2)讨论函数的零点情况.
12．（2023·陕西咸阳·模拟预测）求下列情况下的值
(1)若函数是偶函数, 求的值．
(2)已知 是奇函数, 且当时,,若, 求的值．
参考答案：
1．A
【分析】根据奇函数的性质可得，进而可得，，即可求解.
【详解】设，则，即，
即，所以.
因为，所以，.
故选：A
2．B
【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.
【详解】由，即的一个周期为4，
由为偶函数可知关于轴对称，即，
又可知，
所以，
显然，
所以.
故选：B
3．D
【分析】根据是偶函数，得到关于对称，即，结合和为偶函数即可得到周期为4，故可求出，则即可.
【详解】因为是偶函数，
所以的图象关于直线对称，
即，
即，
所以.
所以关于点中心对称.
又是定义域为的偶函数，
所以，
所以，
即，
所以函数的周期为4.
所以，
所以.
故选：D.
4．B
【分析】根据条件得出周期，结合周期性、对称性可得答案.
【详解】因为的最小正周期为1，所以；
即，所以2是的周期；
因为为奇函数，所以，②正确；
，不一定为零，①不正确；
因为，所以的一个对称中心为，③正确；
通过题目条件无法得出的一条对称轴为，④不正确；
故选：B
5．AC
【分析】对于A，直接用奇函数的定义验证；对于B，直接说明不是周期；对于C，利用正弦二倍角公式证明，再由可得最小值；对于D，直接计算得到，即可否定结论.
【详解】对于A，函数定义域为，有，
所以是奇函数，A正确；
对于B，有，.
所以，这表明不是的周期，B错误；
对于C，我们有，
而之前已计算得到，故的最小值为，C正确；
对于D，由于，，
故，所以在上并不是单调递增的，D错误.
故选：AC.
6．BCD
【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，推得函数的对称性和周期性，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由为奇函数得，
因此，所以的图象关于点对称，所以A错误；
对于B中，由为偶函数得，于是，即，所以的图象关于直线对称，所以B正确；
对于C中，，
从而，所以以4为周期，可得，
由中，令，得，所以C正确；
对于D中，由前面的分析可得，，
所以，
所以D正确．
故选：BCD.
7．BD
【分析】根据三角函数的图像变换及对称性可判断各项.
【详解】因为的图象向左平移个单位长度得到
，所以A错误，
因为的图象向右平移个单位长度得到
，故B正确；
与的图象关于直线对称的函数为
，故C错误；
与的图象关于直线对称的函数为
，所以D正确；
故选：BD．
8．
【分析】利用和的关系求解即可.
【详解】，
，
.
故答案为：
9．4
【分析】转化为函数的图象与的图象的交点个数即可求解.
【详解】函数是偶函数，说明函数的图象关于轴对称，说明的周期是2，
在同一平面直角坐标系中画出函数的图象与的图象，如图所示：
如图所示，共有4个不同的交点，即有4个零点.
故答案为：4.
10．4
【分析】由奇函数性质可求得的值，结合计算即可.
【详解】由题得，解得，
所以当时，，
所以.
故答案为：4.
11．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可；
（2）把零点问题转化为方程解问题，利用换元法，结合二次函数的性质分类讨论进行求解即可.
【详解】（1）函数是偶函数且定义域为，
所以有
，
因为，所以；
（2）函数的零点情况等价于
方程的解的情况，
即
令，则
①当时，，此时方程无解；
②当时，函数开口向上，且恒过定点，
则只有一解，此时方程只有一解；
③当时，函数开口向下，且恒过定点，
函数的对称轴，此时方程无解.
综上，当时函数无零点，当时函数有一个零点.
12．(1)
(2)
【分析】(1)根据偶函数定义,代入化简即可得的值;
(2)根据奇函数定义,先求出的解析式,再将代入,即可得的值.
【详解】（1）因为 ,
故 ,
因为为偶函数,
故,
所以,
整理得到,
故;
（2）因为是奇函数,
且当时,
,
因为,
,
所以,
化简可得,
解得: .
【能力篇】
一、单选题
1．（2024·云南·模拟预测）已知函数为上的偶函数，且当时，，若，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
2．（2024·湖南·二模）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若满足的图象关于直线对称，且，则（ ）
A．是偶函数 B．
C． D．
三、填空题
3．（2024·全国·模拟预测）已知定义在上的函数的图象关于点对称，且，当时，．若，则实数的取值范围为 ．
四、解答题
4．（2021·陕西安康·一模）已知函数是定义在上的偶函数，满足．
(1)证明：函数是周期函数．
(2)当时，．若恰有14个零点，求实数的取值范围．
参考答案：
1．C
【分析】根据条件判断函数的单调性，结合函数奇偶性和单调性的关系进行转化求解即可.
【详解】当时，，所以在上单调递增；
又有为上的偶函数，所以在上单调递减.
由于我们有，
即，故.
而，，，故.
故选：C.
2．ABD
【分析】推导出函数的奇偶性，设，利用导数推导出为常值函数，结合函数奇偶性的定义可判断A选项；推导出，令代值计算可判断B选项；由、推导可判断C选项；求出的值，结合函数的周期性可判断D选项．
【详解】对于A选项，因为函数的图象关于直线对称，
则，
即，所以，函数为偶函数，故A正确；
对于选项，因为，令，可得，即，
对等式两边求导得，即，
故，所以，故B正确；
对于选项，因为，则，
令，则，所以，为常值函数，
设，其中为常数，
当时，，故C错误；
对于D选项，因为，所以，.
，可得，
，
由，令，可得，则，
所以，
因为，则，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】结论点睛：本题考查抽象函数的对称性与周期性，一般可根据如下规则判断：
（1）若对任意的实数，满足，则函数的周期为；
（2）若对任意的实数，满足，则函数关于直线对称；
（3）若对任意的实数，满足，则函数关于点对称．
3．
【分析】根据题意，得函数的对称性和周期性，再结合时的函数解析式得单调性，数形结合求的取值范围.
【详解】由的图象关于点对称，可得．
由，可得，
故函数的图象关于直线对称，
且，
所以2是的一个周期．
当时，，单调递增，
且，则，
画出在上的大致图象如图所示，
数形结合可得实数的取值范围为．
故答案为：
4．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据偶函数的性质及周期性的定义证明即可；
（2）画出的图象，则问题转化为函数的图象与函数的图象交点的个数，数形结合即可得解.
【详解】（1）证明：因为是上的偶函数，所以．
因为，所以，
则．
因为，所以，
故函数是周期函数，且周期为4．
（2）解：当时，，则，
由（1）知，所以，
即当时，．
因为函数的零点个数就是函数的图象与函数的图象交点的个数，
且函数与函数均为偶函数，所以当时，恰有7个零点，
即当时，函数的图象与函数的图象有7个交点．
结合图象可知，
当时，，解得；
当时，，解得．
综上可知，实数的取值范围是．
【培优篇】
一、单选题
1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A． B．方程有解
C．是偶函数 D．是偶函数
二、多选题
2．（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数 B． C． D．
三、填空题
3．（2024·浙江绍兴·二模）已知定义在上的增函数满足:对任意的都有且，函数满足，. 当时，，若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，若，则的取值范围为
参考答案：
1．C
【分析】由已知利用赋值法与等差数列的求和公式，结合函数的奇偶性及方程解的存在条件检验各选项即可判断.
【详解】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用赋值法得到，再利用等差数列数列的求和公式得到，从而得解.
2．BC
【分析】方法一：利用和差角公式证明正弦平方差公式：，符合题意，逐项验证选项即可；
方法二：采用取特值的方法逐项验证选项.
【详解】方法一：先介绍正弦平方差公式：．
证明过程如下：
．
由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误．
因为，故选项B正确．
因为，故选项C正确．
因为，故，故选项D错误．
方法二：对于选项A，因为的定义域为，
令，则，故，则，
令，则，
又不恒为0，故，
所以为奇函数，故A错误．
对于选项B，令，则．
而，所以，故选项B正确．
对于选项C，由选项B可知，，
令，则，所以．
又因为为奇函数，所以，故C正确．
对于选项D，由选项B以及，可得，
所以，同理可得．
因为，故，故D错误．
故选：BC
3．.
【分析】由的性质得，，由满足的条件得，，的图象关于点对称，关于直线对称，的一个周期是4，可得的最值点与最值的结果，结合已知分析求解.
【详解】定义在上的增函数，对任意的都有且，
则，得，
，得，
当时，，则在上单调递增，且，，
函数满足，则的图象关于点对称，
得在上单调递增，且，，
，则的图象关于直线对称，
得在和上单调递减，且，
由和，得，
则有，，
故的一个周期是4，且在时取最大值0，在时取最小值-2，
若在上取得最大值的值依次为，，…，，取得最小值的值依次为，，…，，
有或，
，
当时，有，方程无正整数解；
当时，有，解得；
则有，即，
所以的取值范围为.
故答案为：
【点睛】方法点睛：
本题以抽象函数为载体综合考查函数的性质，关键是根据已知条件判断出的周期及其在一个周期内的单调性和最值.
以下是抽象函数周期性质的一些总结，可以适当总结记忆：
设函数．
（1）若，则函数的周期为；
（2）若，则函数的周期为；
（3）若，则函数的周期为；
（4）若，则函数的周期为；
（5）若，则函数的周期为；
（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；
（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；
（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为．
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