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2023-2024（2）八年级数学学科试卷
一、选择题（共12小题，满分24分，每小题2分）
1. 若直角三角形的两直角边长分别为5、12，则这个直角三角形的斜边长是（　　）
A. 13 B. C. 169 D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方，求解即可．
【详解】解：斜边=．
故选A．
【点睛】本题考查了勾股定理的知识，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．
2. 在实数范围内，有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x≥0 B. x≤0 C. x＞0 D. x＜0
【答案】A
【解析】
【详解】由题意得，x≥0 .
故选A.
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】据二次根式的加减法对A、B、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断即可求解．
【详解】解：A、原式＝，所以A选项错误，不符合题意；
B、原式＝2+3＝5，所以B选项错误，不符合题意；
C、原式＝，所以C选项正确，符合题意；
D、原式＝，所以D选项错误，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查了二次根式的运算，二次根式的加减先把二次根式化为最简二次根式，然后对被开方数相同的二次根式加减即可．熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
4. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了最简二次根式的知识，熟练掌握最简二次根式的定义是解答本题的关键．
最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
【详解】A．，故不是最简二次根式；
B．，故不是最简二次根式；
C．，故不是最简二次根式；
D．是最简二次根式．
故选D．
5. 已知是整数，正整数n的最小值为( )
A. 0 B. 1 C. 6 D. 36
【答案】C
【解析】
【详解】∵，且是整数，
∴是整数，即6n是完全平方数；
∴n的最小正整数值为6．
故选C．
6. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A=30°，BD=2cm，则AB的长度是（ ）
A. 2cm B. 4cm
C. 8cm D. 16cm
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意易得：∠BCD=30°，然后根据30°角的直角三角形的性质先在直角△BCD中求出BC，再在直角△ABC中即可求出AB．
【详解】解：Rt△ABC中，∵∠A=30°，∠ACB=90°，∴∠B=60°，
∵CD是斜边AB上的高，∴∠BCD=30°，
∵BD=2cm，∴BC=2BD=4cm，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴AB=2BC=8cm．
【点睛】本题考查的是直角三角形的性质，属于基本题型，熟练掌握30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题关键．
7. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A. 1，2， B. 1，2， C. 3，4，5 D. 6，8，12
【答案】D
【解析】
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．
【详解】解：A、，能构成直角三角形；
B、，能构成直角三角形；
C、，能构成直角三角形；
D、，不能构成直角三角形．
故选：D．
【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
8. 下列图形：①一组邻边相等的矩形；②两条对角线互相垂直的矩形；③有一个角是直角的菱形；④对角线相等的菱形；⑤对角线互相垂直的平行四边形，其中一定是正方形的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方形的判定定理，矩形，理性的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
根据正方形的判定定理得到①③符合题意，②④根据菱形和矩形的性质结合垂直平分线，全等三角形证明即可，⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可作出判断．
【详解】解：①一组邻边相等的矩形是正方形，正确，符合题意；
②两条对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，符合题意，理由如下：
如图，在矩形中，，证明：四边形是正方形，
证明：∵矩形，
∴，
∵，
∴，
∴矩形是正方形；
③有一个角是直角的菱形是正方形，正确，符合题意；
④对角线相等菱形是正方形，正确，符合题意，理由如下：
如图，在菱形中，，证明：四边形是正方形，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴菱形是正方形；
⑤对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不符合题意，
因此正确的有4个，
故选：C．
9. 顺次连接梯形四边中点得到一个菱形，则该梯形的两条对角线（ ）
A. 相等 B. 互相垂直 C. 互相平分 D. 互相垂直且平分
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了菱形的性质以及三角形的中位线定理，根据已知得出进而得出是解题关键．
顺次连接梯形四边中点得到的四边形是菱形，则根据菱形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．
【详解】解：如图点，，，分别是梯形各边的中点，且四边形是菱形，
点，，，分别是梯形各边的中点，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
，即该梯形的两条对角线相等．
故选：A．
10. 如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有( )
A. ∠ADC与∠BAD相等 B. ∠ADC与∠BAD互补
C. ∠ADC与∠ABC互补 D. ∠ADC与∠ABC互余
【答案】B
【解析】
【详解】如图，依题意得AD=BC、CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠ADC+∠BAD=180°，∠ADC=∠ABC，∴B正确．
11. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ）
A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5
【答案】A
【解析】
【分析】先由勾股定理求出，再证四边形CEMF是矩形，得，当时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，然后由三角形面积求出，即可得出答案．
【详解】解：连接CM，如图所示：
∵，，，
∴，
∵，，，
∴四边形CEMF是矩形，
∴，
∵点P是EF的中点，
∴，
当CM⊥AB时，CM最短，
此时EF也最小，则CP最小，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
12. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE＝DC；⑥BF＝BC，正确结论的有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】由菱形的性质及等边三角形的性质就可以得出∠GDB=∠GBD=30°，得出∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG，由四边形的内角和为360°就可以求出∠BGD的值，由直角三角形的性质就可以得出CG=2GD就可以得出BG+DG=CG，在Rt△GBC中，CG＞BC=BD，故△BDF与△CGB不全等，由三角形的面积关系可判断④，结合④和菱形的性质进而得出结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD=AD．∠A=∠BCD
∵∠A=60°
∴∠BCD=60°
∴△ABD是等边三角形，△BDC是等边三角形
∴∠ADB=∠ABD=60°，∠CDB=∠CBD=60°
∵E，F分别是AB，AD的中点
∴∠BFD=∠DEB=90°
∴∠GDB=∠GBD=30°
∴∠GDC=∠GBC=90°，DG=BG
∴∠BGD=360°-90°-90°-60°=120°，故①正确；
在△CDG和△CBG中
∴△CDG≌△CBG（SSS）
∴∠DGC=∠BGC=60°
∴∠GCD=30°
∴CG=2GD=GD+GD
∴CG=DG+BG
故②正确．
∵△GBC为直角三角形
∴CG＞BC
∴CG≠BD
∴△BDF与△CGB不全等
故③错误；
∵S菱形ABCD=2S△ADB= 2×AB DE
=AB （BE）
=AB AB
=AB2，故④错误；
∵
∴2DE=CD
故⑤正确；
∵BD＞BF，BD=BC
∴BC＞BF
故⑥错误．
∴正确的有：①②⑤共三个．
故选：C．
【点睛】此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，综合的知识点较多，注意各知识点的融会贯通．
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13 化简：＝___；（﹣）2＝___；＝___．
【答案】 ①. ②. 5 ③.
【解析】
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【详解】解：＝＝；（ ）2＝5；＝．
故答案为：；5；．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键．
14. 计算：___________；___________；___________．
【答案】 ① ②. ③. ##
【解析】
【分析】本题考查二次根式的除法运算，解题的关键是掌握二次根式除法运算法则，根据二次根式除法运算法则进行计算即可．
【详解】解：；
；
．
故答案为：；；．
15. 如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是___（限填序号）．
【答案】①
【解析】
【分析】根据菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质即可得．
【详解】解：①时，平行四边形是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）；
②时，平行四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）；
③由平行四边形的性质可知，，则不能作为构成菱形的条件；
故答案为：①．
【点睛】本题考查了菱形的判定、矩形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．
16. 已知，则代数式的值为 __________．
【答案】
【解析】
【分析】直接把的值代入，利用二次根式的混合运算法则计算得出答案．
【详解】解：，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的化简求值，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．
17. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为________秒时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形．
【答案】2或6##6或2
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的判定．此题难度适中，注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用．分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．
【详解】解：设运动时间，根据题意得：，，
①当点F在C的左侧时，
，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
②当点F在C的右侧时，
，
∵，
∴当时，四边形是平行四边形，
即，
解得：；
综上可得：当运动时间为秒或6秒时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．
故答案为：2或6．
18. 如图，矩形ABCD中，交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，，若，则CD的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质可得∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，用x表示出CD和AD，利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，
∵GF=AF，
∴∠FAG=∠FGA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=4，OB=OD，
∵CG=GF，
∴OG为△CAF的中位线，
∴AF=2OG，OG∥AD，
∴∠FDM=∠MOG，
∵AE⊥BD，
∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°，
.∴∠GMO=∠MDF，
∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，
∴OG=GM，FM=FD，
设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，
∴FD=FM=FG-MG=2x-x=x，
∴CF=4x，AD=3x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
,
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
DC2+AD2=AC2，
即15x2+9x2=48，
解得x=，
∴，
故答案为: ．
【点睛】本题考查了矩形的性质，解题的关键是根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质得到相关的角相等．
三、解答题（共7小题，满分58分）
19. 计算：
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的加法运算法则计算即可；
（2）根据二次根式的混合运算法则计算即可．
【小问1详解】
解：原式＝
＝；
【小问2详解】
解：原式＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质并运用性质和法则准确计算是本题的关键．
20. 在中，
（1）已知，求它的周长；
（2）已知，求其余各内角的度数．
【答案】（1）16；（2），，
【解析】
【分析】（1）根据平行四边形的性质可知CD=AB=5，AD=BC=3，再由四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD，即可求解；
（2）根据平行四边形的性质可知平行四边形的对角相等即∠C=∠A=38°，再由AD∥BC，即可得到∠B=180°-∠A=142°，∠D=180°-∠C=142°．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD=BC=3，
∴四边形ABCD的周长=AB+BC+CD+AD=5+5+3+3=16；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C=∠A=38°，AD∥BC，
∴∠B=180°-∠A=142°，∠D=180°-∠C=142°．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的性质．
21. 已知：如图，中，，点分别是中点，点在的延长线上，且，求证：
（1）
（2）．
【答案】（1）见详解 （2）见详解
【解析】
【分析】（1）利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半即可求证；
（2）由三角形中位线定理先证明四边形为平行四边形，再由平行四边形的性质即可求证．
【小问1详解】
证明：为的中点，
，
，
【小问2详解】
证明：分别是的中点，
，
点在的延长线上，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．
22. 如图，在长方形纸片中，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点F处，
（1）求的长；
（2）求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理计算即可；
（2）由翻折得：，求出，，设，则，在中，由勾股定理得，代入求出x即可．
【小问1详解】
解：∵四边形是矩形，
∴，
∴；
【小问2详解】
由翻折得：，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
∴
∴．
【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，正确掌握矩形的性质及勾股定理的计算是解题的关键．
23. 如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查了菱形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．连接，交于点O，证明平行四边形是菱形，得，再证明，则四边形是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论．
【详解】证明：如图，设交于点O，
∵，四边形是平行四边形，
∴平行四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形是菱形．
24. 如图1，已知，分别以点为圆心，为半径，在的上方画弧，两弧相交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如图2，连接是边上一点，于点于点．则___________．
【答案】（1）见详解 （2）4.8
【解析】
【分析】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
（1）由题意可知，，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；
（2）由矩形的性质得，，，，则，再由勾股定理得，则，然后由等面积法即可求解．
【小问1详解】
证明：由题意可知，，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形；
【小问2详解】
解：设、交于点，连接，如图2所示：
四边形是矩形，
，，，，
，
∴，
∴，
∵
，
，
∵的面积矩形的面积，
又的面积的面积的面积，
，
即，
解得：，
故答案为：4.8．
25. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；（2），见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）利用正方形的性质及定理证明；
（2）由（1）的结论得出，，再根据，通过等量代换即可证明；
（3）连接，证明出四边形是正方形，利用正方形的性质得出条件，证明，在中利用勾股定理求解可得．
【详解】（1）证明：四边形、四边形是正方形，
，，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，理由如下：
，
在中，
（3）解：连接
在中，
，
又．
．，
且．
四边形是正方形，
，
，
在中，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定及性质、线线垂直的判定、勾股定理的使用，解题的关键是：掌握相关知识点，添加适当的辅助线，利用等量代换的思想求解．2023-2024（2）八年级数学学科试卷
一、选择题（共12小题，满分24分，每小题2分）
1. 若直角三角形两直角边长分别为5、12，则这个直角三角形的斜边长是（　　）
A. 13 B. C. 169 D.
2. 在实数范围内，有意义，则x的取值范围是（　　）
A. x≥0 B. x≤0 C. x＞0 D. x＜0
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知是整数，正整数n的最小值为( )
A. 0 B. 1 C. 6 D. 36
6. 如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上高，∠A=30°，BD=2cm，则AB的长度是（ ）
A. 2cm B. 4cm
C 8cm D. 16cm
7. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（ ）
A. 1，2， B. 1，2， C. 3，4，5 D. 6，8，12
8. 下列图形：①一组邻边相等的矩形；②两条对角线互相垂直的矩形；③有一个角是直角的菱形；④对角线相等的菱形；⑤对角线互相垂直的平行四边形，其中一定是正方形的有（ ）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
9. 顺次连接梯形四边中点得到一个菱形，则该梯形两条对角线（ ）
A. 相等 B. 互相垂直 C. 互相平分 D. 互相垂直且平分
10. 如图，已知△ABC，分别以A，C为圆心，BC，AB长为半径画弧，两弧在直线BC上方交于点D，连接AD，CD，则有( )
A. ∠ADC与∠BAD相等 B. ∠ADC与∠BAD互补
C. ∠ADC与∠ABC互补 D. ∠ADC与∠ABC互余
11. 如图，在直角三角形ABC中，，，，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作于点E，于点F，若点P是的中点，则CP的最小值是（ ）
A. 1.2 B. 1.5 C. 2.4 D. 2.5
12. 如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB，AD的中点，DE、BF相交于点G，连接BD，CG．有下列结论：①∠BGD＝120°；②BG＋DG＝CG；③△BDF≌△CGB；④S菱形ABCD＝AB2；⑤2DE＝DC；⑥BF＝BC，正确结论的有（ ）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13. 化简：＝___；（﹣）2＝___；＝___．
14. 计算：___________；___________；___________．
15. 如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是___（限填序号）．
16. 已知，则代数式的值为 __________．
17. 如图，在等边三角形中，，射线，点E从点A出发，沿射线以的速度运动，同时点F从点B出发，沿射线以的速度运动，设运动时间为________秒时，以A，F，C，E为顶点的四边形是平行四边形．
18. 如图，矩形ABCD中，交CD于点E，点F在AD上，连接CF交AE于点G，，若，则CD的值为________．
三、解答题（共7小题，满分58分）
19. 计算：
（1）；
（2）
20. 在中，
（1）已知，求它的周长；
（2）已知，求其余各内角的度数．
21. 已知：如图，中，，点分别是中点，点在的延长线上，且，求证：
（1）
（2）．
22. 如图，在长方形纸片中，，点E在上，将沿折叠，使点A落在对角线上的点F处，
（1）求的长；
（2）求的长．
23. 如图，在平行四边形中，，E，F是对角线上的点，且，连接，，，．求证：四边形是菱形．
24. 如图1，已知，分别以点为圆心，为半径，在的上方画弧，两弧相交于点，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如图2，连接是边上一点，于点于点．则___________．
25. 如图，点是正方形对角线的延长线上任意一点，以线段为边作一个正方形，线段与、分别相交于点、．
（1）求证：；
（2）判断与的位置关系，并说明理由；
（3）若，，求的长．

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