资源简介

2024年春学期第二次学情调研
九 年 级 数 学 试 卷
注意事项：
1.本试卷考试时间120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷.
2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分.
3.答题前，务必将姓名、考试证号用黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置内.
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1.如果a与1互为相反数，那么a的值为 【▲】
A.-1 B.1 C.-2 D.2
2.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是【▲】
3.2024悦达起亚盐城马拉松系列比赛于4月14日上午7:30开始，有来自国内外约15000名运动员参加本次系列比赛.用科学记数法表示数据15000为 【▲】
A.15×103 B.1.5×104 C.1.5×105 D.0.15×105
4.下列运算中，正确的是
A.a2+a3＝a5 B.5a-a＝4 C.a3a4＝a12 D.a6÷a3＝a3
5.实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中一定正确的是… 【▲】
A.a+b＞0 B.bc＞0 C.|a|+a＞|b|+b D.|a|＜|b|＜|c|
6.2024年是新中国成立75周年，是实现“十四五”规划目标任务的关键一年，也是全面推进美丽中国建设的重要一年.一个正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种平面展开图，那么在正方体中，与“盐”字所在面相对的面上的汉字是 【▲】
A.建 B.设 C.美 D.好
7.在菱形ABCD中，AB＝1，∠DAB＝60°，则BD的长为 【▲】
C.1
8.在某月的月历中圈出相邻的3个数，其和为41.这3个数的位置可能是… 【▲】
二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上）
9.分解因式：a2-a＝______.
10.如图，电路图上有A、B、C、D4个开关和1个小灯泡，闭合开关D或同时闭合开关A、B、C都可以使小灯泡发亮.任意闭合其中的1个开关，小灯泡发亮的概率是 .
11.半径为2且圆心角为60°的扇形面积为_____（结果保留π）.
12.不等式组 的解集为 .
13.盐宜铁路是一条南北向高速铁路，预计2024年第三季度开工建设，它北起盐城，沿线经过泰州、无锡、常州等地，最终到达宜兴.在比例尺为1：10000000的地图上，盐城、宜兴两地的图上距离是2.5厘米，那么盐城、宜兴两地的实际距离为_____千米.
14.从全校学生中采用简单随机抽样的方法抽取了60名学生的成绩进行分析，绘制了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中70~80分数段的条形还未画出.如果60分以上（含60分）为及格，那么估计全校成绩及格的百分率为_____.
15.如图，点A，B，C在⊙O上.若∠AOC＝90°，∠ACB＝15°，则∠CBO的度数为 .
16.如图，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，连接AB，将AB绕它的中点P顺时针旋转90°得线段A′B′，点A′恰好落在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点P、B′.若AB＝10，点Q是x轴上一动点，则点A′Q+B′Q的最小值为 ..
三.解答题（本大题共有11小题，共102分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤）
17.（本题满分6分）计算+ 2sin45°.
18.（本题满分6分）先化简，再求值 ： ，其中
19.（本题满分8分）已知:α，β是方程x2+2x-4＝0有两个实数根.求出下列代数式的值
（1）α+ β（α+1）；（2）α2+4α+2β.
20.（本题满分8分）唐老师邀请朋友小高和小新来盐城游玩，向他们推荐了四个景区：A、中华麋鹿园；B、黄海国家森林公园；C、大洋湾生态旅游风景区;D、大纵湖生态旅游度假区。两位朋友都随机选择了其中一个景区.
（1）朋友小高选择大纵湖生态旅游度假区的概率是_____；
（2）请用树状图或列表法求他们选择相同景区的概率.
21.（本题满分8分）为弘扬中华优秀传统文化，学校从八、九年级各抽取10名学生开展优秀传统文化知识竞赛（为便于统计成绩，制定了取整数的计分方式，满分10分），成绩如表格所示（单位:分）.经计算，八、九年级学生的平均成绩都是8分.
（1）表格中a的值为 ▲
（2）求八年级学生成绩的中位数；
（3）唐老师先正确计算出了九年级学生成绩的方差为1分2，请帮唐老师计算八年级学生成绩的方差，并判断八、九两个年级哪个年级学生的成绩更稳定？
22.（本题满分10分）如图，已知 ABCD（AD＞AB），连接AC.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作图（保留作图痕迹，不写作法）
作AC的垂直平分线MN,分别交AD,BC,AC于点M,N,O,连接CM和AN；
（2）在（1）的条件下，若四边形AMCN的周长为16，求AM的长.
23.（本题满分10分）在课外活动中，某数学兴趣小组带着测角仪和皮尺到室外开展实践活动，当他们走到一个平台上时，发现不远处的教学楼AB（如图所示，A、C、D在同一条直线上，且AD⊥AB），在平台底部的点C处测得教学楼的顶部B的仰角为60°，在平台上的点E处测得教学楼的顶部B的仰角为30°.通过测量得到:在平台的纵截面矩形DCFE中，DE＝1米，DC＝20米.求教学楼AB的高（精确到1米，参考数据:≈1.41，≈1.73，≈ 2.455）.
24.（本题满分10分）校园内有一块三角形空地（如图中的△ABC），经测量BC＝8米，边BC上的高AD＝6米.某综合实践小组要在这块空地上规划出一个区域（如图中的△EFD）种植月季花，其余部分种植牡丹花.根据设计要求，点E，F分别在边AB，AC上，且EF∥BC.已知种植月季花和牡丹花每平方米分别需要50元、80元.设EF＝x，△DEF的面积为S.
（1）求S关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
（2）种植月季花和牡丹花的总费用是否存在最小值？若存在，求出最小值;若不存在，说明理由.
25.（本题满分10分）如图，P为⊙O的直径BA延长线上的一点，PC为⊙O的切线，切点为C，CD⊥AB于D，连接AC.
（1）求证：AC平分∠PCD；
（2）若PA＝3，，求⊙O的半径.
26.（本题满分12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝12，E为边AD上的动点，将矩形ABCD沿直线CE折叠，点A，B的对应点分别为点A′，B′.
（1）当∠A′EA＝60°时，则AE＝ ；
（2）连接A′D，当△A′DE为直角三角形时，求AE的长；
（3）设A′D与B′C的交点为点F，连接EF，如图2，当四边形EFB′A′为矩形时，求矩形EFB′A′的面积.
（第26题图）
27.（本题满分14分）定义：在平面直角坐标系中有两个函数的图象，如果在这两个图象上分别取点（x，y1），（x，y2）（x为自变量取值范围内的任意数），都有点（x，y1）和点（x， y2）关于点（x，x）成中心对称（这三个点可以重合），那么称这两个函数互为“中心对称函数”.例如：y1 x和y2互为“中心对称函数”。
（1）如果点（x，y1）和点（x，y2）关于点（x，x）成中心对称，那么三个数x，y1，y2满足的等量关系是 ；
（2）已知函数:① y＝ - 2x和y＝2 x；② y＝- x+3和y＝3x-3；③ y＝3x2+4x-1和y＝-3x2 -2x+1，其中互为“中心对称函数”的是_____ （填序号）;
（3）已知函数y＝3x-4的“中心对称函数”的图象与反比例函数（m＞0）的图象在第一象限有两个交点C，D，且△COD的面积为4.
① 求m的值；
② 反比例函数的“中心对称函数”的图象在第一象限内是否存在最低点，若存在，直接写出反比例函数的“中心对称函数”的函数表达式和该函数图象在第一象限内最低点坐标；若不存在，请简要说明理由；
（4）已知三个不同的点M（t，m），N（5，n），P（1，m）都在二次函数y＝-ax2+（2- b）x-c（a，b，c为常数，且a＞0）的“中心对称函数”的图象上，且满足m＜n＜c.如果t2恒成立，求w的取值范围。九年级数学第二次模拟考试答案及评分说明
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D B D B C C A
二、填空题
9．a(a－1) 10． 11．π 12．－2＜x≤1
13．250 14．75% 15．60° 16．
三、解答题
17．解：原式＝1－(－1)＋2× 4分
＝1－＋1＋ 5分
＝2． 6分
18．解：原式＝·＝． 4分
当＝1＋时，原式＝． 6分
19．解：（1）根据题意得，……………………………………………… 2分
……………………………………………………… 4分
（2）根据题意得，∴…………………………………………… 6分
∴………… 8分
（若学生解出方程，分两种情况代入也可，没分两种情况扣2分）
20．解：（1）． 3分
（2）用树状图列出所有可能的结果：
6分
由树状图可知，共有16种等可能的结果，他们选择相同景区有4种．
∴P（他们选择相同景区的概率）＝＝． 8分
21．解：（1）9． 2分
（2）把八年级学生的成绩按从小到大的顺序排列得：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10．
∴中位数为＝8（分）． 4分
（3）＝×[4×(8－8)2＋(6－8)2＋2×(7－8)2＋2×(9－8)2＋(10－8)2]＝1.2（分2）． 6分
∵＝1，1.2>1，
∴九年级学生的成绩更稳定． 8分
22．（1）如图所示：
3分
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CB，AO＝OC．
∴∠AMO＝∠CNO．
又∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（AAS）， 6分
∴AM＝CN．
又∵AM∥CN，
∴四边形AMCN是平行四边形． 7分
∵MN垂直平分线段AC，
∴AM＝CM．
∴四边形AMCN是菱形， 8分
∴四边形AMCN的周长＝4AM＝16．
∴AM＝4． 10分
23．解：如图，延长EF交AB于点G，则DE＝CF＝AG＝1米，DC＝EF＝20米，CA＝FG，DA＝EG，∠EGB＝90°． 1分
设CA＝FG＝x米，则EG＝DA＝DC＋AC＝(20＋x)米．
在Rt△ABC中，∠BCA＝60°．
∴AB＝AC tan60°＝x（米）．
∴BG＝AB－AG＝(x－1)米． 3分
在Rt△BEG中，∠BEG＝30°．
∴tan30°＝，即＝． 5分
∴x＝10＋．
经检验：x＝10＋是分式方程的根． 8分
∴AB＝x＝＋≈19（米）．
答：教学楼AB的高约为19米． 10分
24．解：（1）设AD与EF交于点M．
设DM＝y，由相似得＝，解得y＝－x＋6． 3分
∴S＝xy＝－(x－4)2＋6（0＜x＜8）． 6分
（自变量x的取值范围中有等于号不扣分）
（2）设总费用为W，则W＝50S＋80(×8×6－S)＝－30S＋1 920＝－30×[－(x－4)2＋6]
＋1 920＝(x－4)2＋1 740． 8分
∵＞0，
∴当x＝4时，W最小，最小值为1 740．
答：种植月季花和牡丹花的总费用的最小值为1 740元． 10分
25．解：（1）连接OC．
∵PC为⊙O切线，
∴∠PCO＝∠PCA＋∠ACO＝90°．
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°．
∴∠CAD＋∠ACD＝90°．
∵OA＝OC，
∴∠CAD＝∠OCA．
∴∠PCA＝∠ACD．
∴AC平分∠PCD． 4分
（2）设OA＝OC＝OB＝r．
在Rt△PCO中，PC2＝(3＋r)2－r2＝9＋6r．
在Rt△ABC中，BC2＝(2r)2－()2＝4r2－3． 6分
证∠PCA＝∠PBC，∴△PAC∽△PCB．
∴＝，即＝．
∴PC2＝3BC2．
∴9＋6r＝3(4r2－3)． 8分
解得r1＝－1(舍去），r2＝，即⊙O的半径为． 10分
26．解：（1）12－． 2分
（2）当∠A′ED＝90°时（如图1）．
∴DE＝DC＝4，AE＝8． ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分
(
图1
图2
)
当∠A′DE＝90°时，则A′、D、C三点共线（如图2）．
∴CA′＝CA＝，A′D＝－4．
设AE＝A′E＝x，则ED＝12－x．
在Rt△A′ED中，由勾股定理得(12－x)2＋(－4)2＝x2．
解得x＝，即AE＝．
（亦可通过△A′ED与△CA′B′相似解答）
综合知，当△A′DE是直角三角形时，AE的长为8或． 6分
（3）当四边形EFB′A′为矩形时，则∠EFC＝90°．有下列两种情况：
①如图3，EF＝DC＝4，A′E＝AE＝8，矩形EFB′A′的面积＝4×8＝32． ┄┄┄┄┄8分
(
图3
图4
)
②如图4，证明△EFM≌△CDM．
∴MF＝MD．
∴∠MDF＝∠MFD．
∵A′E∥CB′．
∴∠MFD＝∠EA′D．
∴∠MDF＝∠EA′D．
∴DE＝A′E＝AE＝6．
∴矩形EFB′A′的面积＝4×6＝24．
综合知，四边形EFB′A′为矩形时，它的面积为32或24． 12分
27．解：（1）y1＋y2＝2x． 2分
（2）②③． 4分
（3）①由“中心对称函数”的定义得，函数y＝3x－4的“中心对称函数”为y＝－x＋4．
如图，设直线y＝－x＋4分别交x，y轴于点B，A，则B（4，0），A（4，0）．
∴OA＝OB＝4．
设点C，D的坐标分别为（a，－a＋4），（b，－b＋4）．
∴S△COD＝8－2a－2(－b＋4)＝4．
∴b＝a＋2．
∴D（a＋2，－a＋2)．
∴a(－a＋4)＝(a＋2)(－a＋2)．
解得a＝1．
∴C（1，3），m＝3． 7分
②函数y＝－的“中心对称函数”为y＝， 8分
此函数图象在第一象限内有最低点，最低点坐标为（）． 10分
（4）由“中心对称函数”的定义得，函数y＝－ax2＋(2－b)x－c（a＞0）的“中心对称函数”为y＝ax2＋bx＋c（a＞0）． 11分
∵P（1，m），N（5，n）在函数y＝ax2＋bx＋c的上，
∴m＝a＋b＋c，n＝25a＋5b＋c．
∵m＜n＜c，
∴a＋b＋c＜25a＋5b＋c＜c，
∴a＋b＜25a＋5b＜0．
∵a＞0，
∴－6＜＜－5．
∴5＜－＜6．
∵点P（1，m），M（t，m）的纵坐标相等，
∴抛物线对称轴为直线x＝，即＝－．
∴－＝t＋1．
∴5＜t＋1＜6．
解得4＜t＜5．
设h＝－t2－t＋＝－(t＋1)2＋3．
∴当t＞－1时，h随t的增大而减小．
∴h＜－9.5．
∵w＞－t2－t＋恒成立，
∴w≥－9.5． 14分

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