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2023-2024学年八年级数学下学期期末模拟卷
考试时间：120分钟 总分：120分
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版八下全章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.
1．下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组线段能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在中，的平分线交的延长线于点，交于点，，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
4．六名同学的数学成绩分别为，，，，，．这组数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C． D．
7．如图，正方形的边长为4，点在延长线上，，作交延长线于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从甲地前往乙地，两车同时出发，出租车到达乙地后立即以相同的速度返回，在货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地．两车离甲地的距离 和行驶时间 的函数关系如图所示，则两车在途中相遇时的时间是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
9．计算： ．
10．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到坐标原点的距离为 ．
11．如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为 ．
12．某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是 万元．
年薪/万元 50 30 20 10 8 6 5
员工数/人 1 1 2 3 11 9 3
13．我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ．
14．平面直角坐标系中，正方形的顶点，点在轴正半轴上，的角平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点，则点的坐标为 ．
15．如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点在轴上，，点为边上一点，以为一边在与点的同侧作正方形，连接，当点在边上运动时，的长度的最小值是 ．
解答题：本题共9小题，共72分.
17．计算：
(1)；
(2)．
18．已知，．求的值．
19．小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．

(1)求线段的长；
(2)求四边形的面积．
20．如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，求的长．
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段且使，连接；
(2)线段的长为 ；
(3)的形状为 ；
(4)中边的高为 ．
22．校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
信息一：10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
信息二：10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据：85，90，90，90，94．
信息三：
年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
七年级 90 89 a 26.6
八年级 90 b 90 30
抽取的10名八年级学生的成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______．
(2)该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有多少人？
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
23．小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点米．他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：
(1)小明出发之后，前秒的速度是______米秒：妈妈的速度是______米秒；
(2)表示的意义是______，代表的数字是多少？
(3)直接写出小明出发后的秒内，两人何时相距米？
24．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
(1)操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ．
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
25．对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：，分别为图形和图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．
(1)如图②，已知点和点，则______；
(2)如图③，已知点，，，点是轴正半轴上一点，若，求点的坐标；
(3)已知，，当时，对于每一个的值，若线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，请直接写出的取值范围．中小学教育资源及组卷应用平台
人教版2023-2024学年八年级数学下学期期末模拟卷
考试时间：120分钟 总分：120分
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．测试范围：人教版八下全章。
5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.
1．下列各式中，能与合并的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质、及同类二次根式，根据二次根式的性质及同类二次根式的定义逐一判断即可求解，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
【详解】解：A、与不能进行合并，故不符合题意；
B、，则能与进行合并，故符合题意；
C、，则不能与进行合并，故不符合题意；
D、，则不能与进行合并，故不符合题意；
故选B．
2．下列各组线段能构成直角三角形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
利用勾股定理的逆定理对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：A中，不能构成直角三角形，故不符合要求；
B中，不能构成直角三角形，故不符合要求；
C中，不能构成直角三角形，故不符合要求；
D中，能构成直角三角形，故符合要求；
故选：D．
3．如图，在中，的平分线交的延长线于点，交于点，，，则的长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，灵活运用相关知识解决问题是解题关键．根据平行四边形额性质，得出，再根据角平分线的定义，得出，进而得到，求出，即可得到的长．
【详解】解：中，，
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
故选：A．
4．六名同学的数学成绩分别为，，，，，．这组数据的中位数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查中位数，理解中位数的意义，掌握中位数的计算方法是得出正确答案的前提．
根据中位数的定义（将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数）即可得．
【详解】解：将这组数据从小到大排列为，，，，，，
位于中间的两个数是和，
∴这组数据的中位数为，
故选：B．
5．若关于的方程的解是，则直线一定经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，一次函数的性质等等，先把代入方程中得到，进而得到当时，，据此可得答案．
【详解】解：∵关于x的方程的解是，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴当时，，即直线一定经过点，
故选：D．
6．如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个小正方形，其面积为2，则空白部分的面积为（ ）
A．6 B．8 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论．
【详解】解：三个小正方形的面积分别为18、12、2，
三个小正方形的边长分别为、、，
由题图知：大正方形的边长为：，
．
故选：D．
7．如图，正方形的边长为4，点在延长线上，，作交延长线于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，在上截取，得与全等；再证明与全等，得，设，用x表示，在中由勾股定理列出x的方程便可求解．
【详解】解：如图，在上截取，连接．
∵，
∴
∴．
∴，
即．
又，
∴．
∵，
∴．
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
故选：A．
8．已知甲、乙两地相距，一辆出租车从甲地出发往返于甲乙两地，一辆货车沿同一条公路从甲地前往乙地，两车同时出发，出租车到达乙地后立即以相同的速度返回，在货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地．两车离甲地的距离 和行驶时间 的函数关系如图所示，则两车在途中相遇时的时间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，从函数图象获取信息；
根据函数图象可得的值，再根据题意设设直线的解析式为，设直线的解析式为利用待定系数法可知的函数解析式进而即可解答．
【详解】解：由图可知，出租车从甲地到乙地的路程为，所用时间为，
∴出租车的速度为，出租车从乙地到甲地的时间为，
∴，
∵货车到达乙地小时后，出租车返回到甲地，
∴，
如图，设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立，
解得，
∴两车相遇的时间为，
故选：
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
9．计算： ．
【答案】4
【分析】先计算有理数的乘方，再进行二次根式的化简，
本题考查了，有理数的乘方，二次根式的化简，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则．
【详解】解：，
故答案为：4．
10．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点到坐标原点的距离为 ．
【答案】10
【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的几何意义，在解答此题时要注意求点到原点的距离时要用到勾股定理．
直角坐标系中，某点到轴的距离是它的纵坐标的绝对值，到轴的确距离是它的横坐标的绝对值，到原点的距离为．
【详解】解：点到原点的距离为，
故答案为：10．
11．如图，正方形的边长为，将该正方形沿方向平移，得到正方形，交于点，交于点，则的长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了平移的性质，正方形的性质，勾股定理．连接，则，得出是等腰直角三角形，进而即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
依题意，，，
又，
∴，
故答案为：．
12．某公司全体员工年薪如表所示，则该公司全体员工年薪的中位数是 万元．
年薪/万元 50 30 20 10 8 6 5
员工数/人 1 1 2 3 11 9 3
【答案】8
【分析】本题考查中位数．根据表格中的数据，可以先计算出总的员工数，再根据中位数的定义即可得出答案．
【详解】解：员工人数为：（人，
则中位数为：（万元），
故答案为：8．
13．我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，若的面积为6，，，则阴影部分的周长为 ．
【答案】28
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用、正方形的性质等知识点，掌握勾股定理的内容是解题的关键．
先根据勾股定理和正方形的性质可得，再根据勾股弦图可得，再结合的面积为6可得，再运用完全平方公式可得，最后再求周长即可．
【详解】解：根据勾股定理得：，
，
正方形的面积是25，
，
的面积为6，即，
，
， 即，
阴影部分的周长为．
故答案为：28．
14．平面直角坐标系中，正方形的顶点，点在轴正半轴上，的角平分线交于点，过点作，垂足为点，交于点，则点的坐标为 ．

【答案】
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
过作于，由平分，，可得，故，而四边形是正方形，有是等腰直角三角形，可运用勾股定理求得，从而的坐标为．
【详解】解：过作于，如图：
平分，
，
，
，
，
，
，
四边形是正方形，
，
是等腰直角三角形，
设，则由勾股定理得：，
解得：，
的坐标为，
故答案为：．
15．如图1，点P从的顶点A出发，沿着的方向运动，到达点C后停止．设P点的运动时间为x，的长度为y，图2是y与x的关系图象，其中E点是曲线部分的最低点，则的面积是 ．
【答案】
【分析】分析出当点到点处时，，即，当点到点处时最短，，即，当点到点处时，，即，再根据勾股定理分别求出和，即可求出三角形的面积．本题考查了动点问题的函数图象，准确的分析动点的运动位置，获得相应的解题条件是本题的解题关键．
【详解】解：作，如图，
当点到点处时，，即，
当点到点处时最短，，即，
当点到点处时，，即，
在中，，
在中，，
．
故答案为：
16．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形的顶点在轴上，，点为边上一点，以为一边在与点的同侧作正方形，连接，当点在边上运动时，的长度的最小值是 ．
【答案】
【分析】过点D作，过点E作于．先证明，从而得到，．设，则，，则，证明在直线上运动，再利用垂线段最短可得答案．
【详解】解：如图所示：过点D作，过点E作于．
∴．
∴．
∵四边形为正方形，
∴，．
∴．
在和中
，
∴．
∴，．
设，则，．
∴．
∴，
∴即，
∴在直线上运动，
如图，记直线与轴的交点为，与轴的交点为，
当时，则，
∴，
同理可得：，
∴，
当时，有最小值，
最小值为：．
故答案为：
【点睛】本题主要考查的是正方形的性质、一次函数的性质、全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，得到点E的坐标是解题的关键．
解答题：本题共9小题，共72分.
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可；
（2）先根据二次根式的除法以及平方差公式去括号，再计算加减即可
【详解】（1）解：
；
（2）
．
18．已知，．求的值．
【答案】15
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式变形求值，平方差公式的运用，先根据题求出，，再将原式变形，最后代入计算即可．
【详解】解：，，
，，
，
∴ 原式．
19．小明将要组织策划社区龙年春节联欢活动，活动需要准备一块会场背景板，形状如图所示．具体要求如下：在四边形中，连接，，米，米，米，米．

(1)求线段的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)线段的长为5米；
(2)（平方米）
【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．
（1）由勾股定理求出的长即可；
（2）由勾股定理的逆定理证出是直角三角形，且，然后由三角形面积公式求出四边形的面积即可．
【详解】（1）解：，米，米，
（米，
即线段的长为5米；
（2）解：，米，米，米，
，
是直角三角形，且，
（平方米）．
20．如图，在平行四边形中，，过点D作交的延长线于点E，连接交于点F．

(1)求证：四边形是矩形；
(2)连接，若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)的长是
【分析】此题重点考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明及是等边三角形是解题的关键．
（1）由，，得，由四边形是平行四边形，点E在的延长线上，得，则四边形是平行四边形，即可由，根据矩形的定义证明四边形ACED是矩形；
(2)由平行四边形的性质和矩形的性质得，
推出是等边三角形，则，，所以，即可根据勾股定理求得结果．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
四边形是平行四边形，点E在的延长线上，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，四边形是平行四边形，
，，
，
是等边三角形，
，，
，，
，
的长是．
21．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
(1)画线段且使，连接；
(2)线段的长为 ；
(3)的形状为 ；
(4)中边的高为 ．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)直角三角形
(4)2
【分析】本题考查了网格问题、勾股定理、三角形的面积、直角三角形的判定：
（1）根据点之间的关系可得到结果；
（2）根据勾股定理可计算出结果；
（3）先算出三边长，根据勾股定理的逆定理可得出结果；
（4）根据三角形的面积可得到结果；
掌握并灵活运用该知识点是解题的关键．
【详解】（1）解： ∵点C在点B的右边4个格，下面3个格，
则点D在点A的右边4个格，下面3个格，
如图所示：
；
（2）解：由图可得：，
故答案为：；
（3）解：根据图形可得：，
，
由（2）可得，
∵，
∴的形状为直角三角形，
故答案为：直角三角形；
（4）解：过点A作于点E,
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：2．
22．校园消防关系到全校师生的生命安全．某校为加强学生的消防意识，开展了“消防安全知识”宣传活动，活动后举办了消防知识竞赛（百分制），并分别在七、八年级中各随机抽取10名学生的成绩进行了统计、整理与分析（成绩用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
信息一：10名七年级学生的成绩：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
信息二：10名八年级学生中“良好”等级包含的所有数据：85，90，90，90，94．
信息三：
年级 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占百分比
七年级 90 89 a 26.6
八年级 90 b 90 30
抽取的10名八年级学生的成绩扇形统计图

根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：______，______，______．
(2)该校七、八年级各有700名学生，估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有多少人？
(3)根据以上数据，你认为该校七、八年级中，哪个年级学生对消防知识掌握得更好？请说明理由．
【答案】(1)95，90，20
(2)估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有490人
(3)七年级学生对消防知识掌握得更好，理由见解析
【分析】（1）根据已知条件可以分别求出八年级10名学生“优秀”和“良好”的人数，再根据众数和中位数的定义即可求解；
（2）用样本估计总体即可求解；
（3）结合平均数、众数、中位数、方差进行分析，给出合理建议即可．
【详解】（1）解：由学生成绩统计表可知，八年级10名学生中“优秀”等级所占百分比为，“良好”等级所占百分比为，
∴八年级“优秀”等级人数为：（人），
∴八年级“良好”等级为：（人），
∴八年级“合格”等级所占百分比为，
∴，
∴八年级“合格”等级人数为：（人），
∴八年级10名学生中，中位数为将10名学生成绩从小到大排序后第5、6成绩的平均数，即八年级10名学生中“良好”等级的第3、4成绩的平均数，为（分），
10名七年级学生的成绩中，95出现次数最多，
∴；
故答案为：95，90，20；
（2）解：估计该校七、八年级学生中成绩为“优秀”等级的学生共有
（人）；
（3）解：七年级学生对消防知识掌握得更好，
理由如下：
平均数：七、八年级学生成绩的平均数相同；
众数：七年级学生成绩的众数比八年级学生成绩的众数高；
方差：七年级学生成绩的方差比八年级学生成绩的方差小，即七年级学生成绩比八年级学生成绩更稳定．
综上所述，该校七年级学生对消防知识掌握得更好．
【点睛】本题考查了会从统计图中获取信息进行相关计算，众数、中位数的定义，平均数、众数、中位数、方差的特征，正确获取信息，会根据数据的集中趋势特征数和离散程度的特征数进行分析决策是解题的关键．
23．小明和妈妈一起在一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点小明做了一会准备活动，妈妈先跑．当小明出发时，妈妈已经距离起点米．他们距起点的距离（米）与小明出发的时间（秒）之间的关系如图所示，根据图中给出的信息解答下列问题：
(1)小明出发之后，前秒的速度是______米秒：妈妈的速度是______米秒；
(2)表示的意义是______，代表的数字是多少？
(3)直接写出小明出发后的秒内，两人何时相距米？
【答案】(1)，；
(2)小明和妈妈第一次相遇时距起点的距离，；
(3)小明出发后秒或秒时，两人相距米．
【分析】（）小明在前秒内跑过的距离除以所用时间即可；而妈妈的速度始终不变，在秒内跑过的距离除以所用时间即可；
（）两图象的交点处表示两人相遇，因此表示的数字是小明和妈妈第一次相遇时距离起点的距离，再利用路程关系求出小明和妈妈相遇时的时间，即可求出的值；
（3）两人有可能两次相距米，分别在第一次相遇前、第一次相遇后，分别讨论计算即可求解；
本题考查了一次函数的图象和应用，能从图象上获取有用的信息是解题的关键．
【详解】（1）解：由图象可知，小明在前秒内跑过的距离是米，
∴小明前秒的速度是米秒；
妈妈的速度始终不变，在秒内跑过的距离是米，
∴妈妈的速度是米秒；
故答案为：，；
（2）解：两图象的交点处表示两人相遇，
∴表示的数字是小明和妈妈第一次相遇时距起点的距离，
当小明和妈妈第一次相遇时，有，
解得，
∴，
故答案为：小明和妈妈第一次相遇时距起点的距离；
（3）解：有两种情况：
第一次相遇前相距米，则有，
解得；
第一次相遇后相距米，则有，
解得；
∴小明出发后秒或秒时，两人相距米．
24．综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形．
(1)操作发现：
如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ．
(2)类比探究：
如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ．
(3)拓展延伸：
如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键．
（1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长；
（2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长；
（3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长．
【详解】（1）解：由折叠可知，，，，
∴，点是中点，
过点作于点，交于点，如图①所示：
∵，
，
∴由折叠可知：，
∴，
∴完美矩形的面积为：；
（2）解：由折叠可得：，，，，
∴，
∴，
∴，
∴矩形的周长；
（3）解：连接，如图所示：
由折叠可得：点和分别是和的中点，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴设，则，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，，
∴矩形的周长．
25．对于平面直角坐标系中的图形和图形，给出如下定义：，分别为图形和图形上任意一点，将，两点间距离的最小值称为图形和图形之间的“关联距离”，记作．例如，如图①，点与轴之间的“关联距离”．
(1)如图②，已知点和点，则______；
(2)如图③，已知点，，，点是轴正半轴上一点，若，求点的坐标；
(3)已知，，当时，对于每一个的值，若线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，请直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)或或
(3)且．
【分析】（1）根据“关联距离”的定义得：，勾股定理即可求解；
（2）分三种情况画出图形：当在上方时，的坐标是；当在线段上时，过作，可得；当在上方时，；
（3）求出直线过定点，当时，，，当时，，，直线过，时，分别求得的值，进而根据新定义，得出直线与平行四边形无公共点，结合图形，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，，
故答案为：．
（2）解：如图所示，点是轴正半轴上一点，
当在点上方时，，即点到点的距离为，
∴，
当在上方时，即点到的距离为，
∴，
∵点，，，
∴，
∴，是等腰直角三角形， 则平分，则到的距离相等，
过点作，则是等腰直角三角形，
∵，此时点到的距离为，即，
∴，
∴，
综上所述，或或；
（3）解：如图所示，
当时，，
直线过定点，
当时，，，
当时，，，
把代入得：，
解得，
把代入得：，
解得，
线段和一次函数（是常数，）的图像之间的“关联距离”，
∴直线与平行四边形无公共点，
由图可知，此时．
∵
∴且
故答案为：且．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，涉及新定义，等腰直角三角形，平行四边形，勾股定理，解题的关键是分类讨论思想和数形结合思想的应用．

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