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二○二四年东昌府区初中学生学业水平模拟考试（二）
数学试题
亲爱的同学，伴随着考试的开始，你又走到了一个新的人生驿站，请你在答题之前一定要仔细阅读以下说明：
1.试题由选择题与非选择题两部分组成，共6页，选择题30分，非选择题90分，共120分，考试时间为120分钟.
2.将姓名、考场号、座号、考号填写在试题和答题卡指定的位置.
3.试题答案全部写在答题卡上，完全按照答题卡中的“注意事项”答题.
4.考试结束，只交回答题卡.
5.不允许使用计算器.
愿你放松心情，认真审题，密思考，细心演算，交一份满意的答卷.
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项符合题目要求.
1．下列实数为无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．青铜器最早出现在中国原始社会末期，是一种重要的古代金属器具，下列青铜器图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．年春节小长假期间旅游创新高，达到人次，同比上涨，将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．在一个圆柱体内挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图为（ ）

A． B．
C． D．
5．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．直线，一个含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
7．人的单双眼皮在遗传学上被称为一对相对性状，具体形态主要和遗传因素有关，双眼皮为显性基因控制，单眼皮为隐形基因控制，决定双眼皮的基因R是显性的，单眼皮的基因r是隐性的，因此决定眼皮为单双的基因有，，三种，其中基因为和的人为双眼皮，基因为的人为单眼皮，父母分别将他们一对基因中的一个基因等可能地遗传给子女.若父母的基因都是，则他们的子女是双眼皮的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．将一副三角板按如图放置，其中，，，如果，则（ ）

A． B． C． D．
9．如图，是的直径，是弦，点是弧的中点，连接，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，等边与矩形在同一直角坐标系中，现将等边按箭头所指的方向水平移动，平移距离为x，点C到达点F为止，等边与矩形重合部分的面积记为S，则S关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分.
11．因式分解： ．
12．如图，在矩形中、，垂足为，，若，则矩形的面积为 ．
13．分式方程的解为 ．
14．如图，点在的边上，经过点，且与相切于点，若，，则阴影部分的面积是 ．
15．如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ．
16．代数推理
……
试探究两位数的（即个位数字是5十位数字是a的两位数）平方的一般规律，
三、解答题：本题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（1）计算：
（2）化简：
18．为积极提升学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力，某校开设综合与实践项目化学习的校本课程，计划购买A，B两种型号的测量仪器，经市场调查得知：购买1台A型仪器和1台B型仪器共需260元，A仪器的单价是B仪器单价的2倍少40元.
(1)求A型，B型仪器的单价分别是多少元？
(2)学校准备再次购买A型和B型测量仪器共80件，B型仪器不超过A型仪器的2倍，问购买A型和B型仪器各多少台时花费最少？最少花费是多少？
19．聊城西站自开通以来给聊城人民出行带来了极大的便利，某数学兴趣小组在一次数学实践活动中，开展了测量聊城西站楼顶P处到地面的距离，实践报告如下：
活动课题 测量聊城西站楼顶P处到地面的距离（的长度）
活动工具 测量角度的仪器、皮尺等
测量方案示意图
说明 为站台北侧扶梯，点A为扶梯底端，点B为扶梯顶端，平台
测量数据
解决问题 根据以上数据计算聊城西站楼顶P到地面的高度．
请你帮助兴趣小组解决以上问题（参考数据：，，，，结果保留整数）
20．某学校在“校园文化节”期间举行知识竞赛活动，学校在每班随机抽取10名同学参加，下面对七年级（1）班10名参赛同学的成绩进行了收集、整理和分析.
【收集数据】60，90，70，80，90，100，90，70，80，90
【整理数据】
得分 60 70 80 90 100
频数 1 2 a b 1
根据上面整理的数据，制作出扇形统计图如下图

【分析数据】
统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级（1）班 e f 90 136
【解决问题】
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：______，______，______；
（2）根据扇形统计图，将得分所占百分比高于20%的成绩记为班级“最好成绩”，七年级（1）班共有50名学生，估计全班能达到“最好成绩”的学生有多少名？
【数据应用】
（3）七年级（2）班10名参赛同学的成绩相关信息如下：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
七年级（2）班 82 90 80 112
根据以上两个班表中的统计量，你认为哪个班的同学竞赛水平更高一些？并给出一条合理的解释.
21．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数在第二象限内交于点．
(1)求的值；
(2)平行于轴的动直线与直线反比例函数分别交于点，（点在点左侧），若以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．
22．如图，是的直径，点C是上的一点，与过点C的切线垂直，垂足为D，连接，．

(1)试说明：平分；
(2)若，，求的长．
23．已知抛物线与x轴交于，对称轴为直线，顶点为M，点P为对称轴右侧第一象限内抛物线上的一点，连接与y轴交于点D．
(1)求b，c的值；
(2)当为以为底边的等腰三角形时，求点D的坐标；
(3)过动点P作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形周长最大时，求点P的坐标.
24．综合与实践
【问题情景】
数学活动课上老师让同学们以“图形的折叠”为主题开展数学活动
（1）小莹将平行四边形纸片进行折叠（如图①）使点A落在边上的点E处，折痕为，将纸片展平，试猜想四边形的形状，并说明理由．
【探究与实践】
（2）小亮同学将一张矩形纸片进行折叠（如图②），使边落在对角线上，点B落在点O处：
①若点B恰好落在的中点处，折痕为，延长交的延长线于点G，与有什么数量关系？并说明理由；
②若点B落在的处（如图），那么与的数量关系是______．
【拓展应用】
（3）大刚将一张边长为8的正方形纸片进行折叠（如图③），先将正方形纸片对折，折痕为．将正方形沿折叠使得点D与E重合与的交点为M，求的值．
1．B
【分析】本题主要考查了无理数的概念，解题关键是熟记常见无理数的种类，常见无理数的三种情况：①开方开不尽的数；②与有理数的和差积商；③有规律但无限不循环的小数．根据概念判断即可．
【详解】解：A、是有理数，不符合题意；
B、是无理数，符合题意；
C、是有理数，不符合题意；
D、是有理数，不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的识别，解题的关键是掌握：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．据此判断即可．
【详解】A．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B．该图形既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
3．C
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是熟记科学记数法的定义：将一个数表示成的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于时，是正整数；当原数的绝对值小于时，是负整数．
【详解】解：将用科学记数法表示为．
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了几何图形的三视图，根据主视图是从正面看得到的图形，以及看到到的轮廓线用实线表示，看不见的轮廓线用虚线表示，对图形进行判断，即可解题．
【详解】解：主视图是从正面看得到的图形，观察已知几何体，可知其主视图是一个长方形，中间看不见的轮廓线用虚线表示，
它的主视图为 ，
故选：A．
5．B
【分析】本题考查二次根式的化简和除法运算，合并同类项，同底数幂的除法．熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据合并同类项，二次根式的化简和除法运算，同底数幂的除法，逐项进行计算判断，即可解题．
【详解】解：A、，故A计算错误，不符合题意；
B、，故B计算正确，符合题意；
C、与不是同类项，不能进行合并，故C计算错误，不符合题意；
D、，故D计算错误，不符合题意；
故选：B．
6．C
【分析】本题考查三角形外角的定义及性质，平行线的性质，先根据三角形外角的定义及性质得，再根据平行线的性质得即可．解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和．
【详解】解：根据题意，，
∵，
∴，
∵，
∴．
故选：C．
7．D
【分析】本题主要考查了利用树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格．根据题意画出树状图，然后求出概率即可．
【详解】解：根据题意画树状图，如图所示：

∵由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中他们的子女双眼皮的结果有3种，
∴他们的子女是双眼皮的概率
故选：D．
8．A
【分析】本题考查三角形内角和的应用，先计算，根据对顶角相等得，根据三角形内角和得，即可得解．解题的关键是掌握：三角形的内角和是．
【详解】解：如图，根据题意，，
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：A．

9．B
【分析】本题考查圆的基本性质，根据直径所对的圆周角为直角得，继而得到，根据圆周角定理得，根据等弧所对的圆心角相等得，最后根据圆周角定理可得解．掌握圆的基本性质是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∵圆周角和圆心角所对的弧为，
∴，
∴点是弧的中点，
∴，
∵圆周角和圆心角所对的弧为，
∴，
∴的度数为．
故选：B．
10．C
【分析】本题主要考查了动点问题的函数图象，二次函数的图象，等腰三角形的性质等知识，如图，作于点Q，可知．分当或或三种情形，分别求出重叠部分的面积，即可得出图象．
【详解】解：如图①，设与交于点，
∵是等边三角形，
∴
过点作于点，则
∴，
∵四边形是矩形，
∴
当时，
在中，
∴
∴，
∴
∴，
所以，S关于x的函数图象是顶点为原点，开口向上且在内的一段；
当时，如图，
设与交于点，
∵
∴
同理可得，，
∴，
所以，图象为时开口向下的一段抛物线索；
当时，如图，
,
此时的函数图象是在范围内的一条线段，即，
故选：C
11．
【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再根据完全平方公式进行第二次因式分解．解题的关键是掌握公式的特点以便利用公式法进行因式分解．
【详解】解：
．
故答案为：．
12．
【分析】本题考查矩形的性质，锐角三角函数，根据矩形的性质和，得，继而得到，然后在中，得，在中，得，即可得解．掌握矩形的性质及锐角三角函数的定义是解题的关键．
【详解】解：∵在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
13．
【分析】本题考查解分式方程，先在方程两边同乘以，将原方程化为，求解后再检验即可．掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】解：在方程两边同乘以，得：
，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查求阴影部分的面积，连接，过点作，根据切线的性质得，根据锐角三角函数得，得到，继而得到，最后根据，代入计算即可．掌握切线的性质、锐角三角函数及扇形的面积公式是解题的关键．
【详解】解：连接，过点作，
∵，，，
∴，，
∵与切于点，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
，
∴阴影部分的面积是．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根，
∴抛物线与没有交点，
∵抛物线的顶点坐标是，
∴．
故答案为：．
16．
【分析】此题考查了数字类规律，根据已知代数推理即可得到答案．
【详解】解：由题意可得，
……
则两位数的（即个位数字是5十位数字是a的两位数）平方的一般规律，，
故答案为：
17．（1）；（2）
【分析】本题考查实数的运算及分式的混合运算，
（1）根据零指数幂、二次根式的性质、绝对值和特殊角三角函数值将原式化简，再进行加减运算；
（2）先根据异分母分式的加减运算法则计算括号内的减法，再计算除法，结果化为最简形式；
掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键．
【详解】解：（1）
；
（2）
．
18．(1)A型、B型仪器的单价分别为160元，100元；
(2)购买A型仪器27台，B型仪器53台时花费最少，花费最少为9620元．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出二元一次方程组与不等式是解题的关键．
（1）设A型仪器x元，B型仪器y元，根据“买1台A型仪器和1台B型仪器共需260元，A仪器的单价是B仪器单价的2倍少40元”建立二元一次方程组求解，即可解题；
（2）设购买A型仪器m台，则B型仪器件，购买两种仪器共花费W元，根据“B型仪器不超过A型仪器的2倍”建立不等式求解，再根据题意可列出W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出购买方案和最小值．
【详解】（1）解：设A型仪器x元，B型仪器y元，
根据题意得：，
解这个方程组得，
经检验符合题意，
答：A型、B型仪器的单价分别为160元，100元．
（2）解：设购买A型仪器m台，则B型仪器件，购买两种仪器共花费W元，
根据题意得：，
．
，
，
，
W随m增大而增大．
当时，W取最小值9620元．
（台），
购买A型仪器27台，B型仪器53台时花费最少，花费最少为9620元．
19．32
【分析】本题考查解直角三角形，以及矩形的判定和性质，过点B作交于点E，易知四边形为矩形，得到，在中，利用解直角三角形得到，在中，利用解直角三角形得到，再根据求解，即可解题．
【详解】解：过点B作交于点E，
易知四边形为矩形，
，
在中，，，
，
在中，，，
，
，
的高度为32．
20．（1）40，82，85．（2）20人．（3）见解析
【分析】本题考查中位数、平均数、众数、方差等统计量，扇形统计图等知识，理解统计量的意义，掌握中位数、平均数的计算方法是正确解答的前提．
（1）根据90分的人数为4人、中位数、平均数的计算方法进行计算即可；
（2）根据扇形统计图列式计算即可求出七年级（1）班全班同学能达到“最好成绩”的有多少名；
（3）从平均数、中位数、众数、方差的比较得出结论，理由合理即可．
【详解】解：（1）由题意可知，90分的人数为4人，即，80分的人数为2人，故，
∴，故，
平均数，
数据按照从小到大排列如下：
60，70，70，80，80，90，90，90，90，100，
中位数为处在中间两个数的平均数，即，
故答案为：40，82，85．
（2）根据题意得，
90分的人数百分比为，80分的人数的百分比为，结合扇形统计图可得，
估计全班能达到“最好成绩”的学生有（人）
所以，七年级（1）班同学中能达到“最好成绩”的约有20人．
（3）从平均数来看，两个班的成绩一样好，从中位数看，七年级（2）班的成绩更好，从众数看，七年级（1）班成绩更高，从方差来看，七年级（2）班成绩更稳定（答案不唯一，合理即可）
21．(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法确定函数解析式，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，
（1）将点，代入得到关于，的二元一次方程组，求解后得到，继而确定，再代入，即可得解；
（2）设点，则点的坐标为，继而得到，根据平形四边形判定和性质得，则，求解即可；
掌握待定系数法确定函数解析式及平行四边形的判定和性质是解题的关键．
【详解】（1）解：∵直线过点，，
∴，
解得：，
∴直线表达式为，
当时，得：
∴，
∵点在反比例函数上，
∴；
（2）设点，
∴点的坐标为，
∴，
∵，
∴当时，以，，，为顶点的四边形为平形四边形
∵，则，
∴，
解得：，（舍去），
经检验，是原方程的解且符合题意，
此时，
∴．
22．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，根据切线的性质得，然后证明，从而得到结论；
（2）利用正切的定义可求出，根据勾股定理求出，证明，得出，代入数据求出即可．
【详解】（1）解：连接，

∵与相切，
∴，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴平分；
（2）解：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，
∴，
由勾股定理得：，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得： ．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，三角形相似的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．
23．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）根据对称轴为直线，在抛物线上，建立方程组求解，即可解题；
（2）设，根据题意得，根据结合勾股定理建立等式求解，即可解题；
（3）设点P，则，根据矩形周长公式得到四边形周长表达式，再结合二次函数的最值，即可解题．
【详解】（1）解：对称轴为直线，在抛物线上，
，
解得；
（2）解：抛物线，
顶点，
设，
根据题意得：
，为等腰三角形，
，
，，
，
解得，
．
（3）解：设点P，则，
由题意可知四边形为矩形，
四边形的周长，
，
，
∵，
当时，四边形周长最大
此时．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形性质，勾股定理，矩形的性质，二次函数的性质，以及在二次函数图象的条件下探究几何图形的能力，解题的关键在于要灵活运用二次函数知识解决与其相关的综合问题．
24．（1）四边形为菱形，理由见解析；（2）①，理由见解析；②；（3）
【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，菱形和矩形的性质：
（1）根据折叠的性质以及平行四边形的性质可得，从而得到四边形为平行四边形，即可；
（2）①证明，可得，即可；②证明，可得，即可；
（3）设，则，在中，根据勾股定理可得
，再证明，即可求解．
【详解】解：（1）四边形为菱形，理由：
由折叠的性质得：，
又∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）①，理由如下：
由题意得：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
∴；
②由题意得：，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
（3）根据题意得：，，，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：．
即，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．

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