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专题04 平方根、立方根、实数期末真题汇编之十一大题型
平方根、算术平方根、立方根概念的理解
例题：（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．是25的一个平方根 B．的平方根是
C．的平方根是 D．64的立方根是
【变式训练】
1．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（ ）．
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根
2．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的算术平方根是3
C．8的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1
求一个数的算术平方根、平方根、立方根
例题：（22-23八年级上·四川达州·期末）4的平方根是 ，的立方根是 ，的算术平方根是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）的立方根为 ．的平方根是 ．
2．（22-23七年级下·湖北随州·期末）的相反数是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ．
利用算术平方根的非负性求解
例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的平方根为 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，，则等于 ．
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）若，则的算术平方根是 ．
利用平方根、立方根的定义解方程
例题：（23-24七年级上·山东滨州·期末）求下列各式中的值：
(1)
(2)
【变式训练】
1．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）求下列各式中的x值：
(1)
(2)．
2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
平方根和立方根的综合应用
例题：（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知 a 的算术平方根为 3，的立方根为，b 和 c 是互为相反数．
(1)求 a，b，c 的值；
(2)求的平方根．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知的平方根是的立方根是3．
(1)求的平方根；
(2)若的算术平方根是4，求的立方根．
2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）已知的平方根是，的立方根为．
(1)求a与b的值；
(2)求的算术平方根．
与算术平方根有关的规律探索题
例题：（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）规律运用：
①已知，则 ；
②已知，，则 ．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）观察表格回答下列问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中　 　，　 　．
(2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题：
①已知，则　 　．
②已知，若，则a＝　 　．
2．（22-23七年级下·江西南昌·期末）观察表格，回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y z …
(1)表格中　 　，　 　；　 　；
(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则　 　；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝　 　；
(3)试比较与a的大小．
当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，．
无理数的识别
例题：（23-24八年级上·湖北·期末）下列各组数中都是无理数的为（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）有下列各数：，，，，，，（相邻两个3之间0的个数逐次增加1），其中无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
2．（22-23七年级下·四川凉山·期末）下列实数，，，，，（相邻两个4之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
实数与数轴
例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： ．
实数的大小比较
例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）估计大小关系： （填或）．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）比较大小： ．
2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）比较大小： （用“”“”“”填空）．
无理数整数部分的有关计算
例题：（23-24八年级上·河北邯郸·期末）的整数部分是 ；的小数部分是 ．
【变式训练】
1．（22-23七年级上·山东威海·期末）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ．
2．（23-24七年级上·山东威海·期末）的整数部分是 ，的小数部分是 ，的小数部分是 ．
实数的混合运算
例题：（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）计算：
(1)；
(2)．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·贵州黔西·期末）计算：
(1)；
(2)．
2．（21-22七年级下·辽宁抚顺·期末）计算：
(1)；
(2)．
程序设计与实数运算
例题：（22-23七年级下·湖北襄阳·期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（ ）

A． B．2 C． D．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图是一个数值转换器，当输入的时，输出的y等于（ ）

A．8 B． C． D．4
2．（21-22七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值为16时，输出值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值为时，输入值为9
D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值
新定义下的实数运算
例题：（22-23七年级上·河北保定·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．
若，
（1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ；
（2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·四川达州·期末）对于任意实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，．现对72进行如下操作：，，，这样对72需进行 次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后就变为1的所有正整数中，最大的数是 ．
2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么必然有且．据此，解决下列问题：
(1)如果，其中，为有理数，那么__________，__________；
(2)如果，其中，有理数，求的平方根．
一、单选题
1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）在实数，，π，3.14，，，3.1212212221 （相邻两个1之间依次增加一个2）中，无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）下列说法：（1）是9的平方根；（2）的平方根是；（3）3是9的算术平方根；（4）9的平方根是3，其中正确的是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
4．（24-25七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在方格中，每个小方格的边长为1，格点在数轴上，表示的数为1，以为圆心，长为半径画半圆，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小：5 （填“、、或”）
7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ．
8．（23-24七年级上·山东东营·期末）已知，则的值为 ．
9．（23-24七年级上·山东威海·期末）已知数轴上表示1、的点分别为点．若点A是线段的中点，则点C表示的数为 ．
10．（21-22七年级下·山东德州·期末）观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为 ．
三、解答题
11．（23-24七年级上·山东东营·期末）（1）计算：；
（2）已知，求x的值．
（3）已知，求x的值．
12．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图，实数，对应数轴上，，，四点中的两点．根据图中各点的位置，请回答下列问题：

(1)实数对应的点是 ；实数对应的点是 ；
(2)计算：．
13．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是3．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
14．（23-24七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序：
(1)若，则 ；
(2)若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是 ．
15．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为．
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)若m，n分别是的整数部分和小数部分，求的值．
16．（23-24八年级上·北京顺义·期末）下表是a与的几组对应值：
a … 1 1000 1000000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中________，________；
(2)借助表格解决下列问题：
①若，则________；
②若，，则________（用含有b的代数式表示c）；
③当时，直接写出与a的大小关系．中小学教育资源及组卷应用平台
专题04 平方根、立方根、实数期末真题汇编之十一大题型
平方根、算术平方根、立方根概念的理解
例题：（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）下列说法中正确的是（ ）
A．是25的一个平方根 B．的平方根是
C．的平方根是 D．64的立方根是
【答案】A
【分析】本题考查了平方根和立方根，根据相关定义逐一判断即可．
【详解】解：A、是25的一个平方根，原说法正确，符合题意；
B、的平方根是，原说法错误，不符合题意；
C、没有平方根，原说法错误，不符合题意；
D、64的立方根是，原说法错误，不符合题意；
故选：A．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·浙江湖州·期末）下列说法正确的是（ ）．
A．的平方根是 B．的算术平方根是
C．负数没有立方根 D．是2的算术平方根
【答案】D
【分析】本题考查了平方根，算术平方根，以及立方根的定义，熟练掌握定义是解答本题的关键．根据平方根，算术平方根，以及立方根的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．的平方根是，故不正确；
B．的算术平方根是，故不正确；
C．负数有一个负的立方根，故不正确；
D．是2的算术平方根，正确；
故选D．
2．（23-24七年级上·浙江丽水·期末）下列说法正确的是（ ）
A．4的平方根是2 B．的算术平方根是3
C．8的立方根是2 D．立方根是它本身的数是1
【答案】C
【分析】
本题考查平方根、立方根的定义，熟记平方根、立方根的定义逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、4的平方根是，选项说法错误，不符合题意；
B、，的算术平方根是，选项说法错误，不符合题意；
C、8的立方根是2，选项说法正确，符合题意；
D、立方根是它本身的数是和0，选项说法错误，不符合题意；
故选：C．
求一个数的算术平方根、平方根、立方根
例题：（22-23八年级上·四川达州·期末）4的平方根是 ，的立方根是 ，的算术平方根是 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根的概念的运用以及应用，根据平方根，算术平方根和立方根的定义解答即可．难度不大，属于基本知识．
【详解】解：，
4的平方根是，
的立方根是，
的算术平方根是，
故答案为：；；
【变式训练】
1．（23-24八年级上·山东枣庄·期末）的立方根为 ．的平方根是 ．
【答案】 2
【分析】本题考查求一个数的平方根和立方根，掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：，8的立方根为2；
，4的平方根是，
故答案为：2；．
2．（22-23七年级下·湖北随州·期末）的相反数是 ，4的平方根是 ，的立方根是 ．
【答案】 2
【分析】根据相反数的定义，平方根和立方根的概念求解即可．
【详解】的相反数是，
∵，
∴4的平方根是，
∵，8的立方根是2，
∴的立方根是2，
故答案为：，，2．
【点睛】此题考查了相反数、平方根和立方根的概念，解题的关键是熟练掌握平方根和立方根的概念．
利用算术平方根的非负性求解
例题：（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）若，则的平方根为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了非负数的性质，算术平方根具有非负性，以及任意一个数的绝对值都是非负
数，解答此题的关键是求出的大小．
首先根据算术平方根具有非负性，以及任意一个数的绝对值都是非负数，求出的大小即可求解，
【详解】解：因为，
所以，
解得，
所以， ，
所以的平方根为：．
故答案为∶ ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）已知，，则等于 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查了代数式求值，非负数的性质，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，据此求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）若，则的算术平方根是 ．
【答案】2
【分析】本题考查的是非负数的性质，算术平方根，熟知几个非负数的和为0时，每一项都等于0是解题的关键．
先根据非负数的性质求出，的值，再代入根据算术平方根求解．
【详解】解：，
，，
，，
，
的算术平方根是2．
故答案为：2．
利用平方根、立方根的定义解方程
例题：（23-24七年级上·山东滨州·期末）求下列各式中的值：
(1)
(2)
【答案】(1)或
(2)
【分析】本题考查利用平方根和立方根解方程，掌握平方根和立方根的定义，是解题的关键．
（1）利用平方根解方程即可；
（2）利用立方根解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴或；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·江苏淮安·期末）求下列各式中的x值：
(1)
(2)．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）移项后两边开方，即可求出x；
（2）方程两边都除以3，再开方，即可求出答案．
【详解】（1）解：，
，
，
开方得：，
即，；
（2）解：，
，
开方得：，
解得：．
【点睛】本题考查了平方根和立方根的定义，能熟记平方根和立方根的定义是解此题的关键．
2．（22-23八年级上·江苏盐城·期末）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）移项，系数化为1，开方，即可得；
（2）系数化为1，开立方，移项即可得．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
【点睛】本题考查了解方程，解题的关键是掌握平方根。立方根并正确计算．
平方根和立方根的综合应用
例题：（23-24七年级上·浙江杭州·期末）已知 a 的算术平方根为 3，的立方根为，b 和 c 是互为相反数．
(1)求 a，b，c 的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了实数的性质，正确掌握相关定义是解题关键．
（1）利用算术平方根、立方根、互为相反数的定义可得出a，b，c的值；
（2）把代入化简，再根据平方根的定义求解即可．
【详解】（1）∵a 的算术平方根为 3，的立方根为，b 和 c 是互为相反数，
∴，
∴；
（2）∵，
∴
，
∴的平方根为．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏扬州·期末）已知的平方根是的立方根是3．
(1)求的平方根；
(2)若的算术平方根是4，求的立方根．
【答案】(1)，，的平方根为
(2)，的立方根为
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的应用，熟练掌握平方根，算术平方根，立方根的定义是解题的关键．
（1）根据立方根与平方根的定义求得m，n的值，然后得出代数式的值，根据平方根的定义即可求解；
（2）根据算术平方根的定义求得a的值，然后得出代数式的值，根据立方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：的平方根是，
，
；
的立方根是3，
，
，
，
，
，
，
的平方根为；
（2）解：由（1）知，，
的算术平方根是4，
，
，
，
，
的立方根为．
2．（23-24八年级上·山东烟台·期末）已知的平方根是，的立方根为．
(1)求a与b的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，；
(2)
【分析】（1）本题考查平方根及立方根的定义，根据若，那么是的平方根记作，若，那么是的平方根记作直接求解即可得到答案；
（2）本题考查算术平方根的定义，根据一个数的正的平方根叫这个数的算术平方根直接求解即可得到答案；
【详解】（1）解：∵的平方根是，
∴，
解得：，
∵的立方根是，
∴，
解得：，
∴，；
（2）解：当，时，
，
∴的算术平方根为．
与算术平方根有关的规律探索题
例题：（23-24七年级上·浙江湖州·期末）（1）观察发现：
… 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y 100 …
表格中 ， ．
（2）归纳总结：
被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向 移动 位．
（3）规律运用：
①已知，则 ；
②已知，，则 ．
【答案】（1）0.1，10；（2）右，1；（3）22.4，50
【分析】本题考查算术平方根中的规律探索题：
（1）直接计算即可；
（2）观察（1）中表格数据，找出规律；
（3）利用（2）中找出的规律求解．
【详解】解：（1），，
故答案为：，10；
（2）被开方数的小数点每向右移动2位，相应的算术平方根的小数点就向右移动1位．
故答案为：右，1；
（3）①已知，则，
②已知，，则，
故答案为：22.4，50．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·吉林长春·期末）观察表格回答下列问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中　 　，　 　．
(2)从表格中探究a与数位之间的变化规律，并利用规律解决下面问题：
①已知，则　 　．
②已知，若，则a＝　 　．
【答案】(1)；10
(2)①；②25600
【分析】（1）利用算术平方根的定义即可得出答案；
（2）①根据表格中数据总结规律，继而求得答案；②根据表格中数据总结规律，继而求得答案．
【详解】（1）解：∵，
∴，．
故答案为：；10．
（2）解：①由表格中数据可得，被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，
已知，则，
故答案为：；
②由①可得被开方数的小数点每往右移动两位，则它的算术平方根的小数点就向右移动一位，
已知，则，
∵，
∴．
故答案为：25600．
【点睛】本题考查数式规律问题、算术平方根的定义等知识点，从表格数据总结出数式变化规律是解题的关键．
2．（22-23七年级下·江西南昌·期末）观察表格，回答问题：
a … 0.0001 0.01 1 100 10000 …
… 0.01 x 1 y z …
(1)表格中　 　，　 　；　 　；
(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则　 　；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝　 　；
(3)试比较与a的大小．
当　 　时，；当　 　时，；当　 　时，．
【答案】(1)0.1；10；100
(2)①31.6；②
(3)；或0；
【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可．
【详解】（1），，．
故答案为：0.1；10，100；
（2）①∵，
∴．
②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
∴．
故答案为：31.6；；
（3）由表格中数据可知：
当时，；
当或0时，；
当时，，
故答案为：；或0；．
【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键．
无理数的识别
例题：（23-24八年级上·湖北·期末）下列各组数中都是无理数的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了无理数的定义，根据无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数判断即可．
【详解】解：A、中的0.07，不是无理数，故本选项错误；
B、中的不是无理数，故本选项错误；
C、中的都是无理数，故本选项正确；
D，中的不是无理数，故本选项错误．
故选：C．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）有下列各数：，，，，，，（相邻两个3之间0的个数逐次增加1），其中无理数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【答案】A
【分析】首先求立方根，然后根据无理数的定义判断即可．本题考查了无理数即无限不循环小数，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】，
∵，，（相邻两个3之间0的个数逐次增加1）是无理数，共3个．
故选A．
2．（22-23七年级下·四川凉山·期末）下列实数，，，，，（相邻两个4之间0的个数逐次加1）中，无理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【详解】解：，
∴无理数有：，，（相邻两个4之间0的个数逐次加1），共3个，
故选：C．
实数与数轴
例题：（23-24八年级上·河南郑州·期末）如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为，若，则数轴上点E所表示的数为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了实数与数轴，算术平方根的求解，先求出的长，再求出点E的坐标即可．
【详解】正方形的面积为3，
．
．
的坐标为，E在点A的右侧，
的坐标为．
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·浙江绍兴·期末）如图，实数在数轴上的对应点可能是 点．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的估算，实数在数轴上点的表示，估算出，即可求解；会估算无理数是解题的关键．
【详解】解：，
，
，
由数轴得：对应点可能是点，
故答案为：B．
2．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·期末）实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简： ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数的性质，先根据数轴推出，据此化简绝对值，求算术平方根和立方根即可得到答案．
【详解】解：观察数轴可知，
∴，
∴
，
故答案为：．
实数的大小比较
例题：（23-24八年级上·四川成都·期末）估计大小关系： （填或）．
【答案】
【分析】本题考查了实数大小的比较，任意两个实数都可以比较大小．正实数都大于0，负实数都小
于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小．
【详解】解：由题可得： ，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）比较大小： ．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较和二次根式性质的应用，把化成，再与比较即可；
【详解】解：∵，
∴，
故答案为： ．
2．（23-24八年级上·山东青岛·期末）比较大小： （用“”“”“”填空）．
【答案】
【分析】本题主要考查了实数大小的比较，熟练掌握算术平方根的性质以及不等式的性质是解题的关键．由，得，故，那么可得与的大小关系．
【详解】解：，
，即，
，
即，
∴，
即
故答案为：．
无理数整数部分的有关计算
例题：（23-24八年级上·河北邯郸·期末）的整数部分是 ；的小数部分是 ．
【答案】 4
【分析】本题主要考查了无理数的估算，掌握算术平方根的求法及不等式的性质是解决本题的关键．先利用算术平方根确定的范围，再确定的小数部分．
【详解】解：∵，
∴．
∴的整数部分是4．
∵，
∴．
∴，即．
∴的小数部分是．
故答案为：4，．
【变式训练】
1．（22-23七年级上·山东威海·期末）已知a是的整数部分，b是它的小数部分，则 ．
【答案】
【分析】此题考查了估算无理数的大小，熟练掌握估算无理数的大小方法是解本题的关键．一个数是由整数部分＋小数部分构成的．通过估算的整数部分是3，那么它的小数部分就是，再代入式子求值．
【详解】解：∵是的整数部分，是它的小数部分，
∴
∴．
故答案为：；
2．（23-24七年级上·山东威海·期末）的整数部分是 ，的小数部分是 ，的小数部分是 ．
【答案】 2
【分析】本题主要考查实数的整数部分和小数部分，无理数的估算，判断出实数的整数范围是解题的关键．先确定整数部分，再根据整数部分和小数部分之和为这个数来确定小数部分即可．
【详解】解：∵；
∴的整数部分是2；
∵；
∴；
∴的小数部分是；
∵；
∴；
即；
∴的小数部分是；
故答案为：2，，．
实数的混合运算
例题：（23-24八年级上·江苏宿迁·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)7；
(2)．
【分析】本题考查了算术平方根与立方根、化简绝对值，熟练掌握算术平方根与立方根和运算法则是解题关键．
（1）先计算算术平方根与立方根及乘方，再计算实数的加减法即可得；
（2）先计算算术平方根与立方根、化简绝对值，再计算实数的加减法即可得．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·贵州黔西·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查了实数的运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
2．（21-22七年级下·辽宁抚顺·期末）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)2
【分析】（1）先进行有理数乘方、绝对值、立方根、算术平方根计算，然后加减运算即可；
（2）先算术平方根、绝对值、立方根运算，再加减运算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，熟练掌握相关知识的运算法则和运算顺序，正确求解是解答的关键．
程序设计与实数运算
例题：（22-23七年级下·湖北襄阳·期末）有一个数值转换器，原理如下：当输入的为时，输出的是（ ）

A． B．2 C． D．
【答案】C
【分析】直接利用规定的运算顺序计算得出答案．
【详解】解：的立方根为：，则4的算术平方根为2，2是有理数，
2的算术平方根为，是无理数，
则输出的是，
故选：C．
【点睛】本题考查立方根、算术平方根、有理数和无理数定义，正确把握运算顺序是解题关键．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·河南洛阳·期末）如图是一个数值转换器，当输入的时，输出的y等于（ ）

A．8 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出即可．
【详解】根据程序第一步计算，再次计算得，是无理数，直接输出，，
故选B．
【点睛】本题考查了程序计算，算术平方根，无理数，熟练掌握算术平方根，无理数的计算与判定是解题的关键．
2．（21-22七年级下·辽宁葫芦岛·期末）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图下面说法正确的是（ ）
A．输入值为16时，输出值为4
B．输入任意整数，都能输出一个无理数
C．输出值为时，输入值为9
D．存在正整数，输入后该生成器一直运行，但始终不能输出值
【答案】D
【分析】根据运算规则即可求解．
【详解】解∶A．输入值x为16时，，，即y=，故A错误；
B．当x=0， 1时，始终输不出y值． 因为0， 1的算术平方根是0， 1，一定是有理数，故B错误；
C．x的值不唯一． x=3或x=9或81等，故C错误；
D．当x= 1时，始终输不出y值． 因为1的算术平方根是1，一定是有理数；故D正确；
故选∶D．
【点睛】本题考查了算术平方根及无理数的概念，正确理解给出的运算方法是关键．
新定义下的实数运算
例题：（22-23七年级上·河北保定·期末）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数），并且运算重复进行，例如，取，第三次“F运算”的结果是11．
若，
（1）第一次“F运算”的结果为 ；第二次“F运算”的结果为 ；
（2）照这样运算下去，第2022次“F运算”的结果为 ．
【答案】 1
【分析】（1）若，根据题意进行计算即可得；
（2）由（1）得，若，第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为，再算出第三次运算结果，第四次运算结果，第五次运算结果，第六次运算结果，根据所得规律进行计算即可得．
【详解】解：（1）若，第一次“F运算”的结果为：，
第二次“F运算”的结果为：，
故答案为：，；
（2）由（1）得，若，第一次“F运算”的结果为；第二次“F运算”的结果为，
第三次运算结果为：，
第四次运算结果为：，
第五次运算结果为：，
第六次运算结果为：，
∵
∴第2022次“F运算”的结果为1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了数字类变化规律，解题的关键是理解题意，发现结果的变化规律．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·四川达州·期末）对于任意实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，．现对72进行如下操作：，，，这样对72需进行 次操作后变为1，类似地，只需进行3次操作后就变为1的所有正整数中，最大的数是 ．
【答案】 3 255
【分析】根据可用表示不超过a的最大整数，反推回去每次求最大整数可得答案．
【详解】解：由题意得，这样对72需进行3次操作后变为1；
∵表示不超过a的最大整数，
∴设，则a的最大值为，
∵第三次结果为1，
∴第二次结果为3
∴第一次最大结果为15
∵，
∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．
故答案为：3；255
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，利用了任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，反推是解题的关键．
2．（22-23八年级上·河北石家庄·期末）我们知道：任意一个有理数与无理数的和为无理数，任意一个不为零的有理数与一个无理数的积为无理数，而零与无理数的积为零，由此可得：如果，其中，为有理数，为无理数，那么必然有且．据此，解决下列问题：
(1)如果，其中，为有理数，那么__________，__________；
(2)如果，其中，有理数，求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据，为有理数，由已知等式求出与 的值即可;
（2）已知等式右边化为0，根据，为有理数，求出与 的值，即可确定出的值．
【详解】（1），其中，为有理数，
∴，
∴
故答案为：3,2
（2）整理，得
．
因为，为有理数，为无理数，
所以，应有
解之，得．
则．
所以，的平方根是．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
一、单选题
1．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）在实数，，π，3.14，，，3.1212212221 （相邻两个1之间依次增加一个2）中，无理数有（　　）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可．
【详解】解：在实数，，π，3.14，，，3.1212212221 （相邻两个1之间依次增加一个2）中，无理数有，π，，3.1212212221 （相邻两个1之间依次增加一个2），共4个；
故选D．
2．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求立方根和算术平方根，根据立方根和算术平方根的定义，逐一进行求解即可．
【详解】解：A、，选项计算正确，符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选A．
3．（22-23八年级上·贵州铜仁·期末）下列说法：（1）是9的平方根；（2）的平方根是；（3）3是9的算术平方根；（4）9的平方根是3，其中正确的是（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．4个
【答案】B
【分析】此题考查了平方根和算术平方根，根据平方根和算术平方根的意义进行判断即可．
【详解】解：（1）是9的平方根，原说法正确；
（2）的平方根是，原说法错误；
（3）3是9的算术平方根，原说法正确；
（4）9的平方根是，原说法错误；
说法正确的共2个，
故选：B．
4．（24-25七年级上·浙江·期末）有一个数值转换器，原理如图，当输入的时，输出的y等于（ ）
A．4 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查算术平方根，理解算术平方根、有理数、无理数的意义，根据数值转换器，输入，进行计算即可．
【详解】解：第1次计算得，，而4是有理数，
因此第2次计算得，，而2是有理数，
因此第3次计算得，，是无理数，
故选：C．
5．（23-24七年级上·浙江衢州·期末）如图，在方格中，每个小方格的边长为1，格点在数轴上，表示的数为1，以为圆心，长为半径画半圆，与数轴交于原点右侧的点，则点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了算术平方根，以及数轴与实数，关键是求出的长．根据方格的面积为4，4个直角三角形的面积和为2，即可得到以为边的正方形的面积，利用算术平跟即可求出的长，即可得到的长，根据数轴上两点间的距离即可求出点表示的数．
【详解】解：由题意得每个小方格的边长为1，则方格的面积为4，
则以为边的正方形的面积为：，
，
格点在数轴上表示的数为1，
点表示的数是，
故选：D．
二、填空题
6．（23-24八年级上·陕西西安·期末）比较大小：5 （填“、、或”）
【答案】
【分析】本题考查了实数的大小比较．先把5化成，再与比较大小，即可得出答案．
【详解】解：，
，
；
故答案为：．
7．（23-24八年级上·陕西西安·期末）的立方根是 ；的平方根是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查求平方根和立方根，熟练掌握平方根和立方根的计算是解题的关键．分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：的立方根是；
的平方根是．
故答案为：；．
8．（23-24七年级上·山东东营·期末）已知，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，绝对值的非负性，正确理解算术平方根及绝对值的非负性是解答本题的关键．根据算术平方根及绝对值的非负性，即得答案．
【详解】，
，，
，，
．
9．（23-24七年级上·山东威海·期末）已知数轴上表示1、的点分别为点．若点A是线段的中点，则点C表示的数为 ．
【答案】/
【分析】本题考查了数轴上的两点之间的距离公式，线段中点的计算，熟练掌握数轴上的两点之间的距离公式，即可求解．
【详解】解：设点C表示的数为x，
点分别为1、，且A是线段的中点，
，
解得：，
故答案为：．
10．（21-22七年级下·山东德州·期末）观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为 ．
【答案】4
【分析】本题考查了求实数的近似值，掌握无理数的估算方法并能熟练运算是解题关键．
的整数部分为3，的整数部分则为4．
【详解】解：∵，即，
∴的整数部分为3，的整数部分则为4．
表示实数的整数部分，
∴．
故答案为：4．
三、解答题
11．（23-24七年级上·山东东营·期末）（1）计算：；
（2）已知，求x的值．
（3）已知，求x的值．
【答案】（1）0（2）（3）
【分析】本题主要考查实数的混合运算，平方根，立方根，绝对值的计算和化简．
（1）首先计算乘方、开立方和绝对值，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可；
（2）根据平方根的含义和求法，求出的值，进而求出x的值即可；
（3）首先求出的值，然后根据立方根的含义和求法，求出x的值即可．
【详解】解（1）原式
；
（2）
或
解得：；
（3）
．
12．（22-23八年级上·福建漳州·期末）如图，实数，对应数轴上，，，四点中的两点．根据图中各点的位置，请回答下列问题：

(1)实数对应的点是 ；实数对应的点是 ；
(2)计算：．
【答案】(1)；
(2)
【分析】本题考查实数与数轴，绝对值和算术平方根，
（1）根据实数的大小即可得出答案；
（2）数轴可知，，再根据绝对值的意义和算术平方根的性质化简即可；
掌握数轴上点的特征，算术平方根是解题的关键．
【详解】（1）解：实数对应的点是；实数对应的点是；
故答案为：；；
（2）解：由数轴可知，
∴，
∴
．
13．（23-24八年级上·贵州毕节·期末）已知的立方根是2，的算术平方根是3．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了求一个数的立方根以及算术平方根、平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先求出，再求出，即可作答．
（2）把和代入，再求其平方根，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，得，，
解得，；
（2）解：由（1）知，，，
，
的平方根为．
14．（23-24七年级上·山东威海·期末）对于如下运算程序：
(1)若，则 ；
(2)若输入的值后，无法得到的值，则输入的值是 ．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】本题主要考查了立方根，无理数，解题的关键是掌握立方根，无理数的定义．
（1）根据题目中的运算程序代入计算即可；
（2）综合立方根和无理数的定义即可求解．
【详解】（1）解：输入，得到，
不是无理数不能输出，返回可得：，
是无理数可以输出，
，
故答案为：；
（2），，，
输入的值为或或时，无法得到的值，
故答案为：或或．
15．（23-24八年级上·河北秦皇岛·期末）阅读下面的文字，解答问题：
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来．将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，因为的整数部分是1，于是用来表示的小数部分．又例如：∵，即，∴的整数部分是2，小数部分为．
(1)的整数部分是______，小数部分是______；
(2)若m，n分别是的整数部分和小数部分，求的值．
【答案】(1)4，
(2)
【分析】本题主要考查了估算无理数的大小，解题关键是熟练掌握估算无理数大小．
（1）先估算的大小，求出整数部分和小数部分即可；
（2）先估算的大小，然后根据不等式的性质求出的大小，求出整数部分和小数部分，然后代入所求代数式进行计算即可．
【详解】（1）解：，即，
的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：4，；
（2）解：，即，
，
，
，
的整数部分是3，小数部分是，
，，
．
16．（23-24八年级上·北京顺义·期末）下表是a与的几组对应值：
a … 1 1000 1000000 …
… x 1 y 100 …
(1)表格中________，________；
(2)借助表格解决下列问题：
①若，则________；
②若，，则________（用含有b的代数式表示c）；
③当时，直接写出与a的大小关系．
【答案】(1)；
(2)①；②；③当，；当时，；当，
【分析】本题考查了立方根的定义；
（1）根据立方根定义直接计算即可；
（2）观察表格得到规律，①被开方数扩大1000倍，，立方根扩大10倍；②立方根扩大10倍，则被开方数扩大1000倍；③根据表格规律进行分类讨论即可．
由定义推导并找到规律是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，；
（2）①与比较，被开方数扩大到1000倍，
立方根扩大到10倍
故答案为： ；
②立方根从边长，扩大到10倍，
被开方数扩大到倍
故答案为：；
③由题意得：
当，
当时，
当，

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