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专题03 平行线中的拐点问题期末真题汇编之五大模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角.本专题就平行线中的拐点模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角.
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化.
模型一：猪蹄模型或锯齿模型
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
【模型证明】
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
模型二：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
模型三：牛角模型
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等.
模型四：羊角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
图1 图2
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.
模型五：蛇形模型
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
平行线中的拐点问题之猪蹄模型或锯齿模型
例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：，，，则 ．

【变式训练】
1．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）如图，已知直线，点E在和之间，连接，若，，则 ．

2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是 ．

平行线中的拐点问题之铅笔头模型
例题：（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．

【变式训练】
1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知， 则 ．

2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是 ．
3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的与平行．

图中的，
图中的，
图中的，
图中的 ，
据此推测，图中的
平行线中的拐点问题之牛角模型
例题：（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）如图，已知，，，则的度数为 ．

【变式训练】
1．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．

平行线中的拐点问题之羊角模型
例题：（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？
(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学行线的“等角转化”．
如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
解：过点作，
， ，
又．
．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图所示，已知，、交于点，，在图的情况下求的度数．
（3）如图，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系．
2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．

(1)如图①，_______；如图②，_______；
如图③，______；如图④，______．
(2)得到图②结论的过程如下：（补足理由）
过P点作，又∵，
∴（同平行于第三条直线的两直线平行）
∵，
∴_______，________（ ）
∵（图形性质）
∴_______（等量代换）
(3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）．
平行线中的拐点问题之蛇形模型
例题：（2021-23七年级下·河南周口·期末）如图，若，则 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为 ．
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，则图中，，，的数量关系是 ．
一、单选题
1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24七年级上·山西长治·期末）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，，记，则m的值为 ．

4．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ．
三、解答题
5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知，，，则 °．
6．（23-24七年级上·云南昆明·期末）（1）如图①，，则_______；如图②，，则_______；
（2）如图③，，则_______；
（3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点，，求的度数．
7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，点E，F分别为， 之间的点．
(1)如图1，若 ，求的度数；
(2)若 ．
①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由；
②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数．
8．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）综合与探究
某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广、请你利用这个结论解决以下问题．
已知直线，点在，之间，点，分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，，，求出与之间的数量关系．
(3)如图3，直接写出，，，，之间的数量关系：__________．
9．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）（）问题情境：图中，，，，求的度数.小明的思路是：过作，通过平行线性质来求.按小明的思路，易求得的度数为_________；（直接写出答案）
（）问题探究：图中，，为之间一点，连接，试探究与，之间的数量关系；
（）图中，，，，求的度数.
10．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）问题情境1：如图1，，P是内部一点，P在的右侧，探究，，之间的关系？

（1）如图2，过P作，可得，，之间满足______关系．（直接写出结论）
问题情境2如图3，，P是，内部一点，P在的左侧，
（2）得，，之间满足______关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知，与两个角的角平分线相交于点F．
（3）如图4，若，求的度数；（写证明过程）
（4）如图5中，，，写出与之间数量关系并证明结论．
11．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，定点E，F分别在直线上，平行线之间有动点P，Q．
(1)如图1，当点P在的左侧时，满足数量关系为______；如图2，当点P在的右侧时，满足数量关系为______；
(2)如图3，若点P，Q都在的左侧，且分别平分，则和的数量关系为______．
(3)如图4，若点P在的左侧，点Q在EF的右侧且分别平分则和有怎样的数量关系？请说明理由．
12．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，，点、分别在直线，上，为直线和之间的一个动点，且满足．
(1)如图1，、、之间的数量关系为 ．
(2)如图2，、、之间的数量关系为 ．
(3)如图3，，分别平分和，点在左侧，点在右侧．
①若，求的度数．
②猜想规律：与的数量关系可表示为 ．
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，……依此类推，则与的数量关系是 ．中小学教育资源及组卷应用平台
专题03 平行线中的拐点问题期末真题汇编之五大模型
平行线中的拐点模型在初中数学几何模块中属于基础工具类问题，也是学生必须掌握的一块内容，熟悉这些模型可以快速得到角的关系，求出所需的角.本专题就平行线中的拐点模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握.
拐点（平行线）模型的核心是一组平行线与一个点，然后把点与两条线分别连起来，就构成了拐点模型，这个点叫做拐点，两条线的夹角叫做拐角.
通用解法：见拐点作平行线； 基本思路：和差拆分与等角转化.
模型一：猪蹄模型或锯齿模型
【模型解读】
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠APB=∠A+∠B；②已知：∠APB=∠A+∠B，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3=∠A+∠B+∠P2.
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠P1+∠P3+...+∠P2n+1=∠A+∠B+∠P2+...+∠P2n.
【模型证明】
（1）∠APB＝∠A+∠B这个结论正确，理由如下：如图1，过点P作PQ∥AM，
∵PQ∥AM，AM∥BN，∴PQ∥AM∥BN，∴∠A＝∠APQ，∠B＝∠BPQ，
∴∠A+∠B＝∠APQ+∠BPQ＝∠APB，即：∠APB＝∠A+∠B．
（2）根据（1）中结论可得，∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
故答案为：∠A+∠B+∠P2＝∠P1+∠P3，
（3）由（2）的规律得，∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
故答案为：∠A+∠B+∠P2+…+P2n＝∠P1+∠P3+∠P5+…+∠P2n+1
模型二：铅笔头模型
图1 图2 图3
如图1，①已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3=360°；②已知：∠1+∠2+∠3=360°，结论：AM∥BN.
如图2，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+∠3+∠4=540°
如图3，已知：AM∥BN，结论：∠1+∠2+…+∠n=（n－1）180°.
【模型证明】在图1中，过P作AM的平行线PQ，
∵AM∥BN，∴PQ∥BN，∴∠1+∠APQ＝180°，∠3+∠BPQ＝180°，∴∠1+∠2+∠3＝360°；
在图2中，过P1作AM的平行线P1C，过点P2作AM的平行线P2D，
∵AM∥BN，∴AM∥P1C∥P2D∥BN，
∴∠1+∠AP1C＝180°，∠P2P1C+∠P1P2D＝180°，∠BP2D+∠4＝180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝540°；
在图3中，过各角的顶点依次作AB的平行线，
根据两直线平行，同旁内角互补以及上述规律可得：∠1+∠2+∠3+…+∠n＝（n﹣1）180°．
模型三：牛角模型
图1 图2
如图1，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3
如图2，已知AB∥CD，结论：∠1+∠3-∠2=180°
【模型证明】在图1中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
图1 图2
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3+∠FED＝180°，即：∠3+∠2+∠FEB＝180°，∴∠1=∠2+∠3.
在图2中，过E作AB的平行线EF，∴∠1+∠FEB＝180°
∵AB∥CD，∴EF∥CD，∴∠3=∠FEC，即：∠3-∠2=∠FEB，∴∠1+∠3-∠2=180°.
注意;牛角模型的证明也可添加其他辅助线，如：延长AB交DE于点F，或延长EB交CD于点F等.
模型四：羊角模型
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
图1 图2
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD-∠FCB，∴∠=∠-∠.
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠FCD=∠+∠FCB，∴∠+∠+∠-∠=180°.
模型五：蛇形模型
基本模型：如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
图1 图2
如图1，已知：AB∥DE，结论：.
如图2，已知：AB∥DE，结论：.
【模型证明】在图1中，过C作AB的平行线CF，∴∠＝∠FCB.
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠+∠FCD=180°，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
在图2中，过C作AB的平行线CF，∴∠+∠FCB=180°，
∵AB∥DE，∴CF∥DE，∴∠=∠FCD，∵∠=∠FCD+∠FCB，∴∠+∠=∠+180°
平行线中的拐点问题之猪蹄模型或锯齿模型
例题：（22-23七年级下·广西崇左·期末）如图：，，，则 ．

【答案】
【分析】过点E作，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【详解】解：如图，过点E作，

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目过拐点作平行线是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·重庆彭水·期末）如图，已知直线，点E在和之间，连接，若，，则 ．

【答案】
【分析】如图所示，过点E作，则，根据两直线平行，内错角相等得到，，再求出即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点E作，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．

【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
2．（22-23七年级下·浙江杭州·期末）如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是 ．

【答案】/108度
【分析】过点F作，可得，根据平行线的性质结合已知求出，可得，即可求出的度数．
【详解】解：如图，过点F作，

∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
平行线中的拐点问题之铅笔头模型
例题：（22-23七年级下·湖南永州·期末）如图所示，已知，，，则的度数是 ．

【答案】/85度
【分析】过点P作，则，再根据平行线的性质，求解即可．
【详解】解：过点P作，如下图：

则
∴，
∴，，
∴
【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的判定与性质，作出合适的辅助线．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·黑龙江绥化·期末）如图，已知， 则 ．

【答案】/540度
【分析】可过点，分别作，，进而利用同旁内角互补得出结论．
【详解】解：如图，过点，分别作，，

，
，
则，，，
，
故答案为．
【点睛】本题主要考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决此题的关键．
2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，已知直线，点M，N分别在直线，上，点E为，之间一点，且点E在线段的右侧，．若与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，……以此类推，若，则n的值是 ．
【答案】5
【分析】本题考查了平行线的性质、平行公理的应用，探索图形规律、角平分线的定义等知识点，正确的识别图形、归纳图形规律是解答本题的关键．作则，根据平行线的性质得出，同理，，可归纳规律，依此建立方程，再求解即可解答．
【详解】解：如图：作，
∵，
∴，
∴， ，
∴，
∵与的平分线相交于点，
∴，
∴，
同理：作可证明：
作可证明：，，
…
归纳可得：
由题意得：，解得．
故答案为：5．
3．（22-23七年级下·河北石家庄·期末）下列各图中的与平行．

图中的，
图中的，
图中的，
图中的 ，
据此推测，图中的
【答案】
【分析】由特殊情况发现规律，即可得答案．
【详解】解：图中的，
图中的，
图中的，
图中的，
图中的．
故答案为：，．
【点睛】本题考查平行线的性质，规律型：图形的变化类，关键是由特殊情况总结一般规律．
平行线中的拐点问题之牛角模型
例题：（23-24八年级上·辽宁阜新·期末）如图，已知，，，则的度数为 ．

【答案】/120度
【分析】此题考查了平行线的判定和性质．过作，根据平行线的性质及角的和差求解即可．
【详解】解：过作，

∵，
∴，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·湖北武汉·期末）如图，，在的两边上分别过点A和点C向同方向作射线和，且，若和的角平分线所在的直线交于点P（P与C不重合），则的大小为 ．

【答案】或
【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键．
分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得．
【详解】解：①当为锐角时，如图所示：
过点作，过点作，

，
，
，，
，，
，即，
，，
，，
，即，
又点为和的角平分线所在的直线的交点，
，，
，
②当为钝角时，如图所示：
过点作，过点作，
，
，
，，
，，
，
，
，
，，
，，
又点为和的角平分线所在的直线的交点，
，，
，
综上所述或
故答案案为：或．
平行线中的拐点问题之羊角模型
例题：（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）有一天李小虎同学用“几何画板”画图，他先画了两条平行线，，然后在平行线间画了一点E，连接，后（如图①），他用鼠标左键点住点E，拖动后，分别得到如图②，③，④等图形，这时他突然一想，，与之间的度数有没有某种联系呢？接着小虎同学通过利用“几何画板”的“度量角度”和“计算”功能，找到了这三个角之间的关系．
(1)请直接写出图①到图④各图中的，与之间的关系吗？
(2)请从图③④中，选一个说明它成立的理由．
【答案】(1)图①：；图②：；图③：；图④：
(2)以图③为例说明理由见解析
【分析】（1）分别过E作，根据两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补解答；
（2）选择③，过点E作，根据两直线平行，内错角相等可得，，再根据整理即可得证．
【详解】（1）图①：；
如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴
图②：；
如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴；
图③：；
证明见小问2详解；
图④：；
如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴
（2）以图③为例：如图，过点E作，
∵，
∴，
∴，．
∵，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质，此类题目解题关键在于过拐点作平行线，然后借助平行线的性质进行证明．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·河南南阳·期末）【课题学行线的“等角转化”．
如图，已知点是外一点，连接，求的度数．
解：过点作，
， ，
又．
．
【问题解决】（1）阅读并补全上述推理过程．
【解题反思】从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，，“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
【方法运用】（2）如图所示，已知，、交于点，，在图的情况下求的度数．
（3）如图，若，点在，外部，请直接写出，，之间的关系．
【答案】（1）；；；（2）；（3），理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定：
（1）过点作，从而利用平行线的性质可得，，再根据平角定义可得，然后利用等量代换可得，即可解答；
（2）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答；
（3）过点作，从而利用平行线的性质可得，再利用平行于同一条直线的两条直线平行可得，然后利用平行线的性质可得，从而利用角的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：（1）过点作，
，，
又，
，
故答案为：；；；
（2）过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3），
理由：过点作，
，
，
∴，
，
，
．
2．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图，已知，分别探索下列四个图形中与，的关系．

(1)如图①，_______；如图②，_______；
如图③，______；如图④，______．
(2)得到图②结论的过程如下：（补足理由）
过P点作，又∵，
∴（同平行于第三条直线的两直线平行）
∵，
∴_______，________（ ）
∵（图形性质）
∴_______（等量代换）
(3)仿照（2），在图③、④中，选一个写出得到结论的过程（给出理由）．
【答案】(1)，，，
(2)，，两直线平行，内错角相等，
(3)选④，结论的过程（理由）见解析
【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟练的利用平行线的性质探究角之间的关系是解本题的关键；
（1）过的作的平行线，再利用平行线的性质逐一分析即可；
（2）过P点作，如图②；再利用内错角相等结合角的和差可得结论；
（3）如图④，过点P作，再利用内错角相等结合角的和差可得结论；
【详解】（1）解：如图①，
过点P作．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴；
∴图①结论：，
过P点作，又∵，如图②；
∴（同平行于第三条直线的两直线平行）
∵，
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵（图形性质）
∴（等量代换）
图②结论：，
如图③，过点P作，
∴，
∵，．
∴，
∴，
∴，
即．
∴图③结论为：；
如图④，过点P作，
∴，
∵，．
∴，
∴，
∴，
即．
图④结论：
（2）过P点作，又∵，如图②；
∴（同平行于第三条直线的两直线平行）
∵，
∴，（两直线平行，内错角相等）
∵（图形性质）
∴（等量代换）
（3）如图④，过点P作，
∴，
∵，．
∴，
∴，
∴，
即．
平行线中的拐点问题之蛇形模型
例题：（2021-23七年级下·河南周口·期末）如图，若，则 ．
【答案】/85度
【分析】本题考查了平行线的判定和性质；
作，可得，根据平行线的性质求出和，进而计算即可．
【详解】解：如图，作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，，点为与之间两点，，若，，则的度数为 ．
【答案】/16度
【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．分别过点E，F作，可得，从而得到，，即可求解．
【详解】解：如图，分别过点E，F作，
∵，
∴，
∴，，
∵，即，
∴，
∵，
∴．
故答案为：
2．（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，则图中，，，的数量关系是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．过点作，过点作，则，，再由可知，故，据此可得出结论．
【详解】解：如图，过点作，过点作，则，，
，
，
，
，
即．
故答案为：．
一、单选题
1．（23-24九年级上·重庆渝北·期末）如图，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．过点作，则，再由可知，故，据此可得出结论．
【详解】解：过点作，
，，
，
∵，
∴，
，
．
故选：C．
2．（23-24七年级上·山西长治·期末）如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查的是平行线的判定及性质，掌握构造平行线的方法是解决此题的关键．过P作直线，根据两直线平行，同旁内角互补即可求出，然后根据平行于同一条直线的两直线平行可得，进而可求出，从而求出．
【详解】解：过P作直线，如下图所示，
∵，，
∴（两直线平行，同旁内角互补），
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
二、填空题
3．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）如图，已知，，记，则m的值为 ．

【答案】
【分析】过点F作，则，依据平行线的性质可证明，同理可证明，然后结合已知条件可得到问题的答案．
【详解】解：如图所示：过点F作．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
同理：．
∴
∵，
∴．
故答案为：．

【点睛】本题主要考查的是平行线的判定和性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．
4．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图是一盏可调节台灯，如图为示意图．固定支撑杆底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，，若，则 ．
【答案】/68度
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，如图所示，过点A作，过点B作，则，由得到，则，进而得到，再根据平行线的性质得到，由此即可得到．正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图所示，过点A作，过点B作，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题
5．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知，，，则 °．
【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20
【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键．
（1）过点作，根据平行线的性质可求解；
（2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论；
（3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图①，过点作，
则，
又∵，
∴，
，
，
即；
（2）解：．
证明：如图②，过作，
，
∵，
∴，
，
，
即：．
故答案为：；
（3）如图③，过作，
，
∵，
∴，
，
，
故答案为：20．
6．（23-24七年级上·云南昆明·期末）（1）如图①，，则_______；如图②，，则_______；
（2）如图③，，则_______；
（3）利用上述结论解决问题：如图④，，和的平分线相交于点，，求的度数．
【答案】（1），；（2）；（3）
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，
（1）根据平行线的性质，解答即可；
（2）过作，过作，根据平行线的性质，解答即可；
（3）根据（1）的结论，得出，进而得出，再根据角平分线的定义，得出，再根据四边形的的内角和等于，计算即可得出的度数．
【详解】解：（1）如图①，
∵，
∴，
故答案为：；
，理由如下：
如图②，过作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）如图③，过作，过作，
∵，
∴，
∴，，，
∴；
故答案为：；
（3）如图④，∵，
∴，
∵，
∴，
∵、分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴．
7．（23-24八年级上·陕西咸阳·期末）如图，已知，点E，F分别为， 之间的点．
(1)如图1，若 ，求的度数；
(2)若 ．
①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由；
②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数．
【答案】(1)
(2)①，是定值 ②
【分析】（1）：过点E作，则，然后根据平行线的性质得到，，即可解题；
（2）①如图, 过作，过作，证明，可得，，再利用角的和差运算可得结论；
②如图，平分，平分，可得 ，由三角形的内角和定理可得，结合① 得: ，从而可得．
【详解】（1）解：过点E作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（2）①，是定值，理由如下：
如图, 过作，过作，
∵，
∴，而，
∴，，，
∴；
②如图, ∵平分，平分，
，
，
∵由①得:
，
．
【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键．
8．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）综合与探究
某学习小组发现一个结论：已知直线，若直线，则．他们发现这个结论运用很广、请你利用这个结论解决以下问题．
已知直线，点在，之间，点，分别在直线，上，连接，．
(1)如图1，作，运用上述结论，探究与的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，，，求出与之间的数量关系．
(3)如图3，直接写出，，，，之间的数量关系：__________．
【答案】(1)，理由见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查了平行线的性质和应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合条件中角度之间的倍数、平角等关系即可得出答案；
（3）分别过点E、F、G作平行，根据平行线的性质即可得到结论
【详解】（1）解：
理由：由，，则．
又
（2）由（1）得，同理可得
，
，
，
，
．
（3）
如图，分别过点作平行
，即：
9．（23-24七年级下·贵州黔南·期末）（）问题情境：图中，，，，求的度数.小明的思路是：过作，通过平行线性质来求.按小明的思路，易求得的度数为_________；（直接写出答案）
（）问题探究：图中，，为之间一点，连接，试探究与，之间的数量关系；
（）图中，，，，求的度数.
【答案】（）；（）；（）．
【分析】（）由平行公理的推论可得，进而得到，，即可求出，再根据角的和差关系即可求解；
（）由平行公理的推论可得，进而得到，，再根据角的和差关系即可求解；
（）由平行公理的推论可得，进而得到，，再根据角的和差关系即可求解；
本题考查了平行公理的推论，平行线的性质，正确作出辅助线及掌握平行公理的推论是解题的关键．
【详解】解：（）∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（）)如图，过点向左作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
即；
（）如图，过点向右作
∵，
∴，
∴，，
∴．
10．（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）问题情境1：如图1，，P是内部一点，P在的右侧，探究，，之间的关系？

（1）如图2，过P作，可得，，之间满足______关系．（直接写出结论）
问题情境2如图3，，P是，内部一点，P在的左侧，
（2）得，，之间满足______关系．（直接写出结论）
问题迁移：请合理的利用上面的结论解决以下问题：
已知，与两个角的角平分线相交于点F．
（3）如图4，若，求的度数；（写证明过程）
（4）如图5中，，，写出与之间数量关系并证明结论．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），证明见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义：
（1）先证明，再由平行线的性质得到，进而可得；
（2）如图所示，过P作，先证明，再由平行线的性质得到，进而可得；
（3）由（1）（2）的结论可得，，则可求出，再由角平分线的定义可得；
（4）由（1）（2）的结论可知，，进而得到，再由角平分线的定义得到，则．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
故答案为：；
（2）如图所示，过P作，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
故答案为：；

（3）由（1）（2）的结论可知，，
∵，
∴，
∵与两个角的角平分线相交于点F，
∴，
∴；
（4），证明如下：
由（1）（2）的结论可知，，
∵，，
∴，
∴，
∵与两个角的角平分线相交于点F，
∴，
∴，
∴．
11．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）如图，，定点E，F分别在直线上，平行线之间有动点P，Q．
(1)如图1，当点P在的左侧时，满足数量关系为______；如图2，当点P在的右侧时，满足数量关系为______；
(2)如图3，若点P，Q都在的左侧，且分别平分，则和的数量关系为______．
(3)如图4，若点P在的左侧，点Q在EF的右侧且分别平分则和有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)，理由见解析
【分析】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解答此题的关键是是准确识图，熟练掌握平行线的性质，理解平行于同一条直线的两条直线平行，难点是类比思想在解题中的应用．
（1）过点作，根据平行线的性质得，进而得，据此即可得出结论；当点在的右侧时，由上述结论得，再根据平角的定义得，，据此即可得出结论；
（2）先由角平分线的定义得，，再由（1）的结论得，据此即可得出结论；
（3）先由角平分线的定义得，，再由（1）的结论得，据此即可得出结论．
【详解】（1）解：当点在的左侧时，满足．
理由如下：
过点作，如图所示：
即：；
当点在的右侧时，满足．
理由如下：
由上述结论得：，
由平角的定义得：
故答案为：．
（2），理由如下：
∵分别平分，
∴，
由（1）的结论得：
，
∴和的数量关系为：；
故答案为：．
（3），理由如下：
∵分别平分，
由（1）的结论得：
即：．
12．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，，点、分别在直线，上，为直线和之间的一个动点，且满足．
(1)如图1，、、之间的数量关系为 ．
(2)如图2，、、之间的数量关系为 ．
(3)如图3，，分别平分和，点在左侧，点在右侧．
①若，求的度数．
②猜想规律：与的数量关系可表示为 ．
③如图4，若与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，……依此类推，则与的数量关系是 ．
【答案】(1)
(2)
(3)①；②；③
【分析】本题考查了根据平行线的性质探究角的关系以及角平分线的有关计算，掌握相关结论，学会举一反三是解题关键．
（1）作，根据、即可求解；
（2）作，根据、即可求解；
（3）结合（1）（2）的结论即可求解；
【详解】（1）解：作，如图所示：
∵，
∴，
∴、
∴、
故答案为：
（2）解：作，如图所示：
∵，
∴，
∴、
∴
即：
故答案为：
（3）解：作，，如图所示：
∵，
∴，
若，
由（1）可得：
∴
∵，分别平分和，
∴
由（2）可得：
即：
∴
由（1）可得：
∴
∵，分别平分和，
∴
由（2）可得：
即：
∴
故答案为：
由②得：
∵与的角平分线交于点，
∴…
依此类推：，，….,
∴
故答案为：

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