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2024年广东中考最后一卷
数学
注意事项：
1．本试卷共有三个大题，分为单项选择题、填空题、解答题，满分120分，考试时间90分钟。
2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，答在试卷上的答案无效。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既可以看作是轴对称图形也可以看作是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，沿着由点B到点C的方向平移得到，若，那么平移的距离为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．生物课上在制作酸奶的过程中，小华了解到：乳酸菌（lactic acid bacteria，LAB）是一类能利用可发酵碳水化合物产生大量乳酸的细菌的统称，某种球状乳酸菌的直径仅为微米（米＝微米），将微米用科学记数法表示为（ ）米．
A． B． C． D．
5．下列各式计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．关于一次函数，下列结论正确的是（ ）
A．图象不经过第二象限
B．图象与轴的交点是
C．图象与坐标轴形成的三角形的面积为36
D．点和都在该函数图象上，若，则
7．从下图中裁掉一个正方形后，剩余部分恰好是正方体的表面展开图，则裁剪错误的是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
8．学校决定从甲、乙两人中选一人去参加全县的射击比赛，在最后5次射击训练中，甲、乙两人的射击成绩分别为（单位：环）
甲：10 9 10 8 8
乙：7 9 10 10 9
则选谁去参加比赛更合适（ ）
A．甲、乙选谁都一样 B．选甲 C．选乙 D．无法确定
9．如图，在矩形中，E，F分别在边和边上，于点G，且G为的中点．若，则的长为（　　）

A．4 B． C． D．
10．二次函数（a，b，c为常数，）中的x与y的部分对应值如表．当时，给出下列四个结论：①；②当时，y的值随x的增大而增大；③；④．其中结论正确的个数是（ ）
x 0 3
y n 3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．要使根式有意义，则x应满足的条件是 ．
12．从一个不透明的口袋中随机摸出1个球，再放回袋中，不断重复上述过程，一共摸了240次，其中有60次摸到黑球，已知口袋中仅有黑球10个和白球若干个，这些球除颜色外，其他都一样，由此估计口袋中有 个白球．
13．方程的解为 ．
14．为了给山顶供水，决定在山脚A处开始沿山坡铺设水管．现测得斜坡与水平面所成角为，为使出水口高度为35m，那么需要准备 长的水管．（结果保留整数）（）
15．如图，在菱形中，，，分别为，的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值是 ．
16．如图，已知在中，，，，点是的内心．

（1）点到边的距离为 ；
（2）是的外心，连接，则的长为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（本题4分）解方程： ．
18．（本题4分）如图，线段，相交于点，，．求证：．
19．（本题6分）已知．
(1)化简；
(2)若、为方程的两个根，求的值．
20．（本题6分）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，两点．

(1)求直线的函数表达式及点B的坐标；
(2)过点A的直线分别与x轴、反比例函数的图象交于点M，N．且，连接，求的面积．
21．（本题8分）为促进学生身心全面健康发展，进一步推广“阳光体育”大课间活动，某校就学生对：A．实心球；B．立定跳远；C．跑步；D．跳绳，四种体育活动项目最喜欢的情况进行调查，随机抽取了部分学生，并将调查结果绘制成如图1，图2的统计图，请结合图中的信息，解答下列问题：
(1)本次被抽取的学生总人数是______，将条形统计图补充完整．
(2)随机抽取了4名喜欢“跑步”的学生，其中有2名女生，2名男生，现从这4名学生中再任意抽取2名学生，请用画树状图或列表的方法，求出刚好抽到2名女生的概率．
22．（本题10分）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车成为大部分人首选的交通工具．某市公交公司购买一批A，B两种型号的新能源汽车，已知购买辆型汽车和辆型汽车共需要万元，购买辆型汽车和辆型汽车共需要万元．
(1)求购买每辆型和型汽车各需要多少万元？
(2)若该公司计划购买型汽车和型汽车共辆，且型汽车的数量不超过型汽车数量的倍，请给出最省钱的购买方案，求出最少费用，并说明理由．
23．（本题10分）如图，是圆O直径，C，D两动点在直径同侧，连接，作射线，交的延长线于点H．
(1)求证：．
(2)已知，
①若，求的长．
②若，，求y关于x的关系式，并求出四边形周长的最大值．
24．（本题12分）已知点在二次函数的图象上，且该抛物线的对称轴为直线．
(1)求b和c的值；
(2)当时，求函数值y的取值范围，并说明理由；
(3)设直线与抛物线交于点A，B两点，与抛物线交于点C，D两点，求证：．
25．（本题12分）如图1，已知，在平面直角坐标系中，点为第一象限内的一点，过点B分别作x轴，y轴的平行线交x轴，y轴于点A、C．点D为射线上的一个动点，与关于直线对称，连接．
(1)请判断四边形的形状；
(2)若，当为直角三角形时，求的长；
(3)如图2，若，点，过点A作交的延长线于点H，求的长．
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2024年广东中考最后一卷
数学参考答案
一、单选题
1．A
【分析】本题考查的是，有理数的绝对值的求法．
一个负数的绝对值等于它的相反数.
【详解】∵一个负数的绝对值等于它的相反数，
∴的绝对值是．
故选A．
2．A
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答，即将一个图形沿某直线折叠直线两旁的部分能够重合，这样的图形是轴对称图形，将一个图形绕某点旋转能够与本身重合，这样的图形是中心对称图形．
【详解】因为图A既是轴对称图形又是中心对称图形，所以符合题意；
因为图B是中心对称图形，不是轴对称图形，所以不符合题意；
因为图C是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意；
因为图D是轴对称图形，不是中心对称图形，所以不符合题意．
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查了平移的性质，根据平移的性质可得平移的距离即为的长，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵沿着由点B到点C的方向平移得到，
∴平移距离为2，
故选；B．
4．B
【分析】本题考查科学记数法的知识，解题的关键是根据题意，把微米表示为：米，其中，为整数，即可．
【详解】∵米微米，
∴微米米，用科学记数法表示为：．
故选：B．
5．C
【分析】根据合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘多项式、单项式的除法法则判断即可．
【详解】解：A．不是同类项，不能合并，所以A选项错误，不符合题意；
B．，所以B选项错误，不符合题意；
C．，所以C选项正确，符合题意；
D．，所以D选项错误，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、完全平方公式、单项式乘多项式、单项式的除法法则是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查一次函数的图像及其性质及一次函数图像上点的坐标特征等知识点，掌握一次函数的性质及函数图像与坐标轴交点的求法是解题的关键．
【详解】解：A．，图象过一、二、四象限，选项错误；
B．令，则，解得，图象与轴的交点是，选项错误；
C．当时，，图象与坐标轴形成的三角形的面积为，选项错误；
D．y随x的增大而减小，故，则，选项正确；
故选D．
7．A
【分析】本题考查将侧面展开图还原为立体图形，涉及正方体的侧面展开图，熟记正方体常见的平面展开图，利用空间想象能力还原即可判定，熟记正方体常见的平面展开图是解决问题的关键．
【详解】解：裁剪甲，如图所示：
不能还原成正方体，不是正方体的侧面展开图，符合题意；
裁剪乙，如图所示：
展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；
裁剪丙，如图所示：
展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；
裁剪丁，如图所示：
展开图能还原成正方体，是正方体的侧面展开图，不符合题意；
故选：A．
8．B
【分析】先比较平均数，平均数一致的情况下比较方差，方差较小的成绩更稳定．
【详解】甲的平均数为:
乙的平均数为:
甲乙的平均数相等，则比较方差，
甲的方差为：甲
乙的方差为：乙
甲乙
甲的成绩更稳定,选甲参加比赛更合适．
故选B．
【点睛】本题考查了求算术平均数方差和平均数，方差意义，熟悉以上知识点是解题的关键．
9．C
【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，中垂线的性质，作出合适的辅助线，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．连接，且为的中点，得到，利用勾股定理可求出，进而得到，在中，可求出，进而求出，再运用勾股定理即可求．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，
且为的中点，
，，
在中，
，
在中，
．
在中．
故选：C．
10．C
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．由抛物线经过，可得抛物线对称轴及c的值，从而可得a，b的关系，由可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定①②③．由，，得出，把代入，得出，即可判断④．
【详解】解：由表格可知过，点，
∴对称轴为直线，
，
，故④正确；
，
函数图象开口向下，当时，y随x的增大而增大，
，
，
，故①正确；
，
∴当时y随x的增大而减小，故②错误；
，，
，代入得：
，
∴，故③正确．
综上，正确的结论有3个．
故选：C．
二、填空题
11．
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件“被开方数大于等于0”求解即可．
【详解】根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
12．30
【分析】本题考查了利用频率估计概率．先由频率=频数÷数据总数计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
【详解】解：摸了240次，其中有60次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
设口袋中大约有个白球，则，
解得．
经检验，是方程的解，且符合题意，
故答案为：30．
13．
【分析】本题考查解分式方程，把分式方程转化为整式方程，求解后，检验即可．
【详解】解：∵，
∴，
经检验，是原方程的解；
故答案为：．
14．113
【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，解直角三角形进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴；
故答案为：113．
15．10
【分析】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，则就是的最小值，即的长就是．
【详解】由菱形的性质，找出N点关于的对称点E，连接，如图：
此时即为的最小值，与的交点是此时P的位置，
又，M，N分别是的中点，
∴E也是的中点，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
又，
则，
故答案为：10．
【点睛】此题是有关最短路线问题，有关直线同侧的折线段相加的值最小问题，常转化为直线两侧两点之间线段最短问题．
16． 2
【分析】（1）连接，，，过点分别作，，于点，，，根据，，可得，即可解决问题；
（2）连接，证明，可得，再利用勾股定理即可解决问题．
【详解】解：（1）如图，连接，，，过点分别作，，于点，，，

在中，
，，，
，
是的内心，
，
，
，
，
点到边的距离为2；
故答案为：2；
（2）如图，连接，
由1.知，，
，，
四边形是正方形，
，
，
，
在和中，
，
（AAS），
，
是的外心，
，
，
在中，根据勾股定理得：
．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了三角形内切圆与内心，三角形外接圆与外心，三角形的全等的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握内心和外心的区别．
三、解答题
17．
【分析】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的步骤是解题的关键．
利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：，
移项，合并同类项得：，
解得：，
∴原方程的解为：．
18．见解析
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用“”证明即可作答．
【详解】证明：在和中，
，
∴，
∴．
19．(1)
(2)1
【分析】（1）原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将除法转化为乘法，约分即可得到结果；
（2）利用根与系数的关系求出的值，代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：
；
（2）、是方程的两个根，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了分式的化简求值，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．
20．(1)直线的函数表达式为，
(2)
【分析】本题主要考查了函数图象上点的坐标的特征，反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，平行线分线段成比例等知识．
（1）将代入直线与反比例函数，可得答案；
（2）过点A作轴于P，过点N作于Q，根据平行线分线段成比例得，可得，从而得出直线的解析式为，，再计算即可；
【详解】（1）解：将代入反比例函数得，，
，
将点代入得，，
直线的函数表达式为，
联立直线与反比例函数得，
，
解得，（舍），
点的坐标为；
（2）解：过点作轴于，过点作于Q，

设与轴交于，
，
，
，
，
，
，
设线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
令，则，
，.
直线的函数表达式为，
令，则，
，
21．(1)150，图见解析
(2)
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，树状图法求概率：
（1）用的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出的人数，补全条形图即可；
（2）画出树状图，利用概率公式进行求解即可．
【详解】（1）解：，
∴的人数为：，补全条形图如图：
（2）画出树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中抽中2名女生的结果有2种，
∴．
22．(1)购买每辆型汽车需要万元，每辆型汽车需要万元
(2)购买辆型汽车，辆型汽车费用最少，最少费用为万元
【分析】本题考查一次函数、一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用；
（1）找出等量关系列出方程组再求解即可．本题的等量关系为“购买辆型汽车和辆型汽车共需要万元”和“购买辆型汽车和辆型汽车共需要万元”；
（2）设购买型汽车辆，则购买型汽车辆，总费用为万元，根据总费用，两种型号汽车费用之和列出函数解析式，再根据型汽车的数量不超过型汽车数量的倍求出的取值范围，由函数的性质求最值．
【详解】（1）解：设购买每辆型汽车需要万元，每辆型汽车需要万元．
依题意有，
解得：，
答：购买每辆型汽车需要万元，每辆型汽车需要万元；
（2）设购买型汽车辆，则购买型汽车辆，总费用为万元，
依题意有：，
，
解得，
，
当，有最小值，最小值为，
此时，
答：购买辆型汽车，5辆B型汽车费用最少，最少费用为325万元．
23．(1)见解析
(2)①；②
【分析】（1）本题考查了平行线的性质，圆的半径相等的性质，通过，根据等角对等边即可得证；
（2）连接，根据直径所对的圆周角是直角证，通过证，根据相似三角形的性质求出即可求解；
（3）通过相似的三角形对线段成比例求出y关于x的解析式，利用二次函数的性质即可求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（2）解：①连接，
又∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是圆O的内接四边形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
，
∴，
∴，，
∴，
∴.
②∵，
∴，即，
∴，
∴.
四边形周长，
，
当时，四边形周长的最大值为.
24．(1)，
(2)；理由见解析
(3)见解析
【分析】本题考查了待定系数法的应用，二次函数的对称轴公式，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的综合，灵活运用二次函数的图象及性质是解答本题的关键．
（1）根据抛物线过点以及对称轴公式可求得b和c的值；
（2）根据二次函数的解析式可知，在给定的范围内，当时，二次函数取最小值，当时，取最大值，进而可得答案；
（3）联立直线与抛物线，求出交点A，B的横坐标，用含的代数式表示的长，同理，联立直线 与抛物线，求出交点C，D的横坐标，用含的代数式表示的长，据此证明即可．
【详解】（1）∵该抛物线的对称轴为直线，
，
，
，
．
（2）由（1）得抛物线的解析式为，
，对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，函数有最小值，最小值为，
，，，且离对称轴越远，值越大．
当时，值最大，最大值为，
当时，的取值范围为：．
（3）联立
整理，得，
解得：，，
，
联立和
整理，得，
解得，，
，
．
25．(1)四边形是矩形
(2)18或2
(3)
【分析】（1）由题意可得，则四边形是矩形；
（2）当D点在上时，D、、B三点共线，再由，得到，则，用勾股定理求出，则；当D在的延长线上时，、B、D三点共线，再由，推导出，则，勾股定理求出，则；
（3）连接、交于点G，利用折叠的性质和三角形内角定理得到，再由，求出，则，可得是等腰直角三角形，等积法求出，勾股定理求出，再由是中位线，得到，即可求．
【详解】（1）解：轴，轴，
，
∴四边形是矩形；
（2）解：∵点，，
，
由折叠可知，，
为直角三角形，
，
当D点在上时，
，
∴D、、B三点共线，
，
，
，
，
，
，
；
当D在的延长线上时，
，，
∴、B、D三点共线，
，
，
，
，
，
，
，
；
综上所述：的长为18或2；
（3）解：连接交于点G，
由折叠可知，，
，
，
∵点，
，
由折叠可知，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
， ，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查四边形的综合应用，熟练掌握矩形的性质，正方形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，三角形全等的判定及性质，折叠的性质，勾股定理，分类讨论，数形结合是解题的关键．
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