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专题8.27 二元一次方程组挑战综合（压轴）题分类专题（专项练习）
【类型一】解二元一次方程组
【考点一】解二元一次方程组 解二元一次方程组 纠错 求值
（2015·山东滨州·统考中考真题）
1．根据要求，解答下列问题.
（1）解下列方程组(直接写出方程组的解即可):
①的解为 .
②的解为 .
③的解为 .
（2）以上每个方程组的解中，x值与y值的大小关系为 .
（3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解．
（2018·浙江嘉兴·统考中考真题）
2．用消元法解方程组时，两位同学的解法如下：
解法一： 解法二：由②，得，③
由①-②，得． 把①代入③，得．
（1）反思：上述两个解题过程中有无计算错误 若有误，请在错误处打“”．
（2）请选择一种你喜欢的方法,完成解答．
（2016·四川达州·中考真题）
3．已知x，y满足方程组，求代数式的值．
【考点二】解二元一次方程组 解二元一次方程组 整体思想
（2022·广东广州·广州市第一二三中学校考模拟预测）
4．阅读材料：善于思考的小军在解方程组时，采用了一种“整体代入”的解法：
解：由①得
将③代入②得：，即
把代入③得，
∴方程组的解为
请你模仿小军的“整体代入”法解方程组，解方程．
（2021·江苏苏州·统考一模）
5．阅读材料，善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下，
解：将方程②，变形为③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：请你解决以下问题：
（1）试用小明的“整体代换”的方法解方程组；
（2）已知x、y、z，满足 试求z的值．
【考点三】解二元一次方程组 解二元一次方程组 整数解 大数二元一次方程组
（2020·浙江杭州·模拟预测）
6．对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解，满足，我们就说方程组的解与具有“邻好关系”．
（1）方程组的解与是否具有“邻好关系” 说明你的理由：
（2）若方程组的解与具有“邻好关系”，求的值：
（3）未知数为，的方程组，其中与、都是正整数，该方程组的解与是否具有“邻好关系” 如果具有，请求出的值及方程组的解：如果不具有，请说明理由．
（2022秋·广东梅州·八年级校考阶段练习）
7．解方程组：．
【考点四】解二元一次方程组 同解原理 看错问题
（2022春·河南南阳·七年级统考期中）
8．某中学七年级数学兴趣小组在一次活动中，遇到这样一个问题：
已知x、y满足x+2y＝5，且，求m的值．
小璐同学说：先解关于x、y的方程组，再求m的值．
小明同学观察后说：方程组中含有字母，解方程组可能比较麻烦．但x+2y＝5中不含母……请你用一利比较简单的方法，求出m的值．
（2019春·四川遂宁·七年级四川省遂宁市第二中学校阶段练习）
9．已知方程组与方程组的解相同．求a、b的值．
【类型二】解三元一次方程组
【考点一】解三元一次方程组 直接解三元一次方程组
（2022·全国·七年级专题练习）
10．解方程组：
（2021春·七年级课时练习）
11．解下列方程组：
（1）； （2）．
【考点二】解三元一次方程组 二次函数型 求值
（2022秋·八年级课时练习）
12．在等式中，当时，；当时，；当时，．
(1)求，，的值；
(2)求当时，的值．
（2021春·江苏南通·七年级南通田家炳中学校考阶段练习）
13．已知y＝ax2+bx+c，当x＝1时，y＝8；当x＝0时，y＝2；当x＝﹣2时，y＝4．
（1）求a，b，c的值；
（2）当x＝﹣3时，求y的值．
【考点三】解三元一次方程组 整体思想 求值
（2021春·吉林长春·七年级统考期末）
14．【数学问题】解方程组
【思路分析】榕观察后发现方程①的左边是x+y，而方程②的括号里也是x+y，她想到可以把x+y视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照榕榕的思路，完成解方程组的过程．
解：把①代入②，得
（2）【迁移运用】请你按照上述方法，解方程组
（2022秋·全国·八年级专题练习）
15．阅读：善于思考的小明在解方程组时，采用了一种“整体代换”的思想，解法如下：
解：将方程②变形为，即③，把方程①代入③得，，则；把代入①得，，所以方程组的解为：
试用小明的“整体代换”的方法解决以下问题：
（1）试求方程组的解
（2）已知x y z，满足，求z的值．
【考点四】解三元一次方程组的应用 整体思想 求值
（2022春·四川内江·七年级校考阶段练习）
16．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x＋3y＝7…②，求x﹣4y和7x＋5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①＋②×2可得7x＋5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组 ，则x﹣y＝　 　，x＋y＝　 　；
（2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax＋by＋c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值．
（2020·江苏扬州·中考真题）
17．阅读感悟：
有些关于方程组的问题，欲求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：
已知实数x、y满足①，②，求和的值．
本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大．其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①②可得，由①②可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．
解决问题：
（1）已知二元一次方程组，则________，________；
（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，则购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需多少元？
（3）对于实数x、y，定义新运算：，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知，，那么________．
【类型三】二元一次方程组的应用
【考点一】二元一次方程组的应用 销售利润问题
（2022·重庆璧山·统考一模）
18．五一期间，璧山区丁家街道天天农家乐的草莓和枇杷相继成熟，为了吸引更多游客走进乡村，体验采摘乐趣，天天农家乐推出采摘草莓和采摘枇杷两种方式：采摘1公斤草莓的费用比采摘1公斤枇杷的费用多15元，采摘2公斤草莓和1公斤枇杷的费用共90元．
(1)求采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是多少元？
(2)根据去年采摘情况表明，平均每天采摘草莓30公斤，采摘枇杷20公斤．天天农家乐决定今年采摘枇杷的价格保持不变，采摘草莓的价格下调，采摘草莓的费用每降价3元，采摘草莓的数量会增加2公斤．天天农家乐要想平均每天的收益为1386元，请问采摘草莓每公斤应降价多少元？
（2019·甘肃兰州·校联考中考模拟）
19．某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元（毛利润＝售价－进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A型 B型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
(1)请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
(2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【考点二】二元一次方程组的应用 方案问题
（2020·广西贵港·统考模拟预测）
20．芒果大王小明春节前欲将一批芒果运往外地销售，若用2辆A型车和1辆B型车载满芒果一次可运走10吨，用1辆A型车和2辆B型车载满芒果一次可运走11吨．现有芒果31吨，计划同时租用A型车x辆，B型车y第，一次运完，且恰好每辆车都载满芒果，根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都载满芒果一次可分别运送多少吨？
(2)请你据该物流公司设计租车方案：
(3)若1辆A型车需租金100元/次，1辆B型车需租金120元/次．请选出费用最少的租车方案，并求出最少租车费用是多少．
（2022·广西钦州·统考模拟预测）
21．“一方有难，八方支援”是我国的优良传统美德．我市在3月份发生新冠疫情时，某地就有甲、乙两家单位组织员工开展捐款支援我市抗疫的活动，已知甲、乙两单位共捐款24000元，甲单位有员工150人，乙单位有员工180人，乙单位的人均捐款数是甲单位的．
(1)问甲、乙单位员工人均捐款数分别为多少元？
(2)现两家单位共同使用这笔捐款购买、两种防疫物资，种防疫物资每箱1500元，种防疫物资每箱1200元，若购买种防疫物资不少于10箱，并恰好将捐款用完．请你帮这两家单位设计购买方案，共有哪几种购买方案（两种防疫物资均按整箱配送）？
【考点三】二元一次方程组的应用 几何问题
（2020·浙江杭州·模拟预测）
22．某铁件加工厂用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2的竖式与横式两种无盖的长方体铁容器．（加工时接缝材料不计）
（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，则需要长方形铁片与正方形铁片各多少张？
（2）现有长方形铁片2020张，正方形铁片1175张，如果加工成这两种铁容器，刚好铁片全部用完，那加工的竖式铁容器、横式铁容器各有多少个？
（3）把长方体铁容器加盖可以加工成为铁盒，现用35张铁板做成长方形铁片和正方形铁片，已知每张铁板可做成3个长方形铁片或4个正方形铁片，也可以将一张铁板裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片．该如何充分利用这些铁板加工成铁盒，最多可以加工成多少个铁盒？
（2018·云南红河·统考一模）
23．阅读材料：
小明是个爱动脑筋的学生，他在学习了二元一次方程组后遇到了这样一道题目：现有8个大小相同的长方形，可拼成如图1、2所示的图形，在拼图②时，中间留下了一个边长为2的小正方形，求每个小长方形的面积．
小明设小长方形的长为x，宽为y，观察图形得出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y的值，再根据长方形的面积公式得出每个小长方形的面积．
解决问题：
（1）请按照小明的思路完成上述问题：求每个小长方形的面积；
（2）某周末上午，小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图3所示．若小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是　 　cm；
（3）小明进行自主拓展学习时遇到了以下这道题目：如图，长方形ABCD中放置8个形状、大小都相同的小长方形（尺寸如图4），求图中阴影部分的面积，请给出解答过程．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．（1）①②③（2）x=y；（3）方程组为：，解为：（答案不唯一）
【分析】（1）快速利用代入消元法或加减消元法求解；
（2）根据（1）发现特点是x=y；
（3）类比①②③写出符合x=y的方程组，直接写出解即可.
【详解】解：（1）① ②③
（2）x=y
（3）方程组为：，解为：（答案不唯一）
2．（1）解法一中的计算有误；（2）原方程组的解是
【分析】利用加减消元法或代入消元法求解即可．
【详解】（1）解法一中的计算有误（标记略）；
（2）由①-②，得：，解得：，
把代入①，得：，
解得：，
所以原方程组的解是．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
3．
【分析】利用加减消元法解方程组，求得x与y的值，再把x与y的值代入化简后的代数式求值即可．
【详解】解：，
由得：，
解得：．
把代入①得：，
解得：．
当，时，原式．
【点睛】本题考查解二元一次方程组，整式的化简求值．掌握解二元一次方程组的方法和整式的混合运算法则是解题关键．
4．
【分析】按照阅读材料提供的“整体代入”法把方程①代入方程②，得到，解得再将代入①得：，即可得出答案．
【详解】解：，
将①代入②得：，即，
将代入①得：，
∴原方程组的解为：．
【点睛】本题主要考查了特殊法解二元一次方程组，解决问题的关键是熟练掌握“整体代入”法，将一个代数式作为一个整体代入另一个方程．
5．（1）；（2）z=2
【分析】（1）将②变形后，把①代入解答即可；
（2）将原方程变形后利用加减消元解答即可．
【详解】解：（1），
将②变形得3(2x-3y)+4y=11 ④，
将①代入④得
3×7+4y=11，
∴y= ，
把y= 代入①得x＝ ，
∴方程组的解为；
（2），
由①得3(x+4y)-2z=47 ③，
由②得2(x+4y)+z=36 ④，
③×2-④×3得
-7z-14，
∴z=2．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
6．（1），具有“邻好关系”，见解析；（2）或；（3）具有，，方程组的解为
【分析】（1）表示出方程组的解，利用题中的新定义判断即可；
（2）表示出方程组的解，由题中的新定义求出m的值即可；
（3）方程组两方程相加消元x，表示出y，根据a，x，y都为正整数，利用题中的新定义确定出a与方程组的解即可．
【详解】（1）方程组
由②得：，即满足．
方程组的解，具有“邻好关系”；
（2）方程组
①-②得：，即．
方程组的解，具有“邻好关系”，
，即
或：
（3）方程两式相加得：，
，，均为正整数，
，，（舍去），（舍去），
在上面符合题宜的两组解中，只有时，．
，方程组的解为
【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
7．
【分析】利用加减消元法求解．
【详解】解：，
，得，
即，
，得，
即，
联立，
解得．
【点睛】本题考查加减消元法解二元一次方程组，根据所给方程特点，选择合适的消元方法是解题的关键．
8．m的值为4
【分析】先由不含m的两个方程组成的方程组解得x、y的值，再把x、y的值代入包含x、y、m的方程，即可得到m的值．
【详解】解：解方程组：
由②得③
代入①得
解得
代入③中得
∴方程组的解为
把代入中
得
解得
∴m的值为4
【点睛】本题考查二元一次方程组和一元一次方程的综合应用，熟练掌握二元一次方程组和一元一次方程的解法是解题关键．
9．.
【分析】根据题意可得，然后求解得到x，y的值，再代入系数为a，b的方程，得到关于a，b的二元一次方程组，最后求解方程组即可.
【详解】解：由题意得，
解得，
将代入得，
，
解得.
【点睛】本题主要考查二元一次方程组，解此题的关键在于准确理解题意列出新的二元一次方程组进行求解计算.
10．
【分析】利用消元法先把三元一次方程组变形为二元一次方程组，再解二元一次方程组即可得解．
【详解】解： ，
得，
把和④组成方程组得，
解此二元一次方程组得，
把，代入②得2×2+5×1-2z=11，
解得z= 1，
∴原方程组得解为．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组，把三元一次方程组通过消元法化为二元一次方程组是解题的关键．
11．（1）；（2）．
【分析】根据三元一次方程组的基本思路，通过“代入”或“加减生”进行消元，把“三元”化“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程，计算即可．
【详解】解：⑴
①+②得：5x-2z=14④
①+③得：4x+2z=15⑤
④+⑤得：9x=29
解得：x=
将x=代入④，得：
5×-2z=14
解得：z=
将x=，z=代入③得：
+y+=12
解得：y=
∴原方程组的解是
⑵
①+③×4得：17x+4y=85④
②+③×（-3）得：-7x+y=-35⑤
④-⑤×4得：45x=225
解得：x=5
将x=5代入⑤得：-7×5+y=-35
解得：y=0
将x=5，y=0代入③得：
3×5+2×0-z=18
解得：z=-3
∴原方程组的解是
【点睛】本题考查了三元一次方程组的解法，做题的关键是熟练的掌握三元一次方程组的解法思路，认真计算即可．
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据题设条件，得到关于，，的三元一次方程组，利用加减消元法解之即可，
（2）结合（1）的结果，得到关于和的等式，把代入，计算求值即可．
【详解】（1）根据题意得：，
①＋②得：④
③＋②×2得：⑤，
⑤－④得：，
把代入④得：，
解得：，
把，代入①得：，
解得：，
方程组的解为：；
（2）根据题意得：，
把代入得：，
即的值为．
【点睛】本题考查了解三元一次方程组，解题的关键：（1）正确掌握加减消元法，（2）正确掌握代入法．
13．（1）；（2）12
【分析】（1）把x、y的值分别代入y=ax2+bx+c，得出关于a、b、c的方程组，求出方程组的解即可；
（2）求出y=x2+x+2，再把x=-3代入，即可求出答案．
【详解】解：（1）根据题意得：，
把②代入①，得a+b+2=8④，
把②代入③，得4a-2b+2=4⑤，
由④和⑤组成方程组，
解得：，
所以a=，b= ，c=2；
（2）由（1）得y=x2+x+2，
当x=-3时，y=×（-3）2+ ×（-3）+2=12．
【点睛】本题主要考查了解三元一次方程组的应用，能根据题意得出三元一次方程组是解本题的关键.
14．【完成解答】；【迁移运用】
【分析】（1）【完成解答】把①代入②求出x的值，再把x的值代入①即可求解；
（2）【迁移运用】把①代入③求出c的值，把c的值代入②求出a的值，再把a的值代入①即可求解．
【详解】解：（1）【完成解答】把①代入②，得，解得，
把代入①，可得，
∴方程组的解为；
（2）【迁移运用】把①代入③，得，解得，
把代入②，得，解得，
把代入①，得，
∴方程组的解为．
【点睛】本题考查解三元一次方程组、解二元一次方程组，掌握整体思想是解题的关键．
15．（1）；（2）z=2
【分析】（1）方程组利用“整体代换”思想求出解即可；
（2）方程组两方程变形后，利用“整体代换”思路求出z的值即可．
【详解】解：（1），
由②得③，
把方程①代入③得，，
解得：y=-3，代入①得，x=-1，
所以方程组的解为：；
（2），
由①得③，
由②得④，
③×2-④×3得z=2．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键，用了整体代入思想．
16．（1）；5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）．
【分析】（1）利用①②可得出的值，利用①②可得出的值；
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元”，即可得出关于，，的三元一次方程组，由①②可得出的值，再乘5即可求出结论；
（3）根据新运算的定义可得出关于，，的三元一次方程组，由①②可得出的值，即的值．
【详解】解：（1）．
由①②可得：，
由①②可得：．
故答案为：；5．
（2）设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，
依题意，得：，
由①②可得，
．
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元．
（3）依题意，得：，
由①②可得：，
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出，的值；（2）（3）找准等量关系，正确列出三元一次方程组．
17．（1）-1，5；（2）购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元；（3）-11
【分析】（1）已知，利用解题的“整体思想”，①-②即可求得x-y，①+②即可求得x+y的值；
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，根据题意列出方程组，根据（1）中“整体思想”，即可求解；
（3）根据，可得，，，根据“整体思想”，即可求得的值．
【详解】（1）
①-②，得x-y=-1
①+②，得3x+3y=15
∴x+y=5
故答案为：-1，5
（2）设每支铅笔x元，每块橡皮y元，每本日记本z元，则
①×2，得40x+6y+4z=64③
③-②，得x+y+z=6
∴5(x+y+z)=30
∴购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
答：购买5支铅笔、5块橡皮、5本日记本共需30元
（3）∵
∴①，②，
∴②-①，得③
∴④
①+②，得⑤
⑤-④，得
∴
故答案为：-11
【点睛】本题考查了利用“整体思想”解二元二次方程组，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，引入了新运算，根据定义结合“整体思想”求代数式的值．
18．(1)采摘1公斤草莓的费用是35元，采摘1公斤枇杷的费用是20元
(2)采摘草莓每公斤应降价6元
【分析】（1）设采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是，元，根据题意列出方程组即可解得．
（2）根据单价乘以销量等于收益列出方程即可解得．
【详解】（1）设采摘1公斤草莓和1公斤枇杷的费用分别是，元，根据题意得，
，
解得：
答：采摘1公斤草莓的费用是35元，采摘1公斤枇杷的费用是20元．
（2）设采摘草莓每公斤应降价元，根据题意，得：
，
解得，（舍），
∴．
答：采摘草莓每公斤应降价6元．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系式．
19．(1)购进A型服装45件，购进B型服装30件
(2)服装店比按标价出售少收入1410元
【分析】（1）设购进A型服装x件，B型服装y件，根据“某服装店用5700元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3600元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用少收入的钱数=每件A型服装少挣的钱数×销售数量+每件B型服装少挣的钱数×销售数量，即可求出结论．
【详解】（1）设购进A种服装x件，购进B种服装y件，
根据题意得：，
解得：
答：购进A型服装45件，购进B型服装30件；
（2）
=450+960
（元）．
答：服装店比按标价出售少收入1410元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
20．(1)1辆A型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送4吨
(2)该物流公司共有3种租车方案，方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；方案3：租用1辆A型车，7辆B型车
(3)费用最少的租车方案为：租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元
【分析】（1）设1辆A型车载满蔬菜一次可运送x吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送y吨，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意列出二元一次方程，然后根据题意求出整数解即可；
（3）分别计算出每种方案的费用，然后比较即可
【详解】（1）解：设1辆A型车载满蔬菜一次可运送x吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送y吨，
依题意得：，
解得：．
答：1辆A型车载满蔬菜一次可运送3吨，1辆B型车载满蔬菜一次可运送4吨．
（2）依题意得：3x+4y＝31，
∴．
又∵x，y均为非负整数，
∴或或，
∴该物流公司共有3种租车方案，
方案1：租用9辆A型车，1辆B型车；
方案2：租用5辆A型车，4辆B型车；
方案3：租用1辆A型车，7辆B型车．
（3）方案1所需租车费为100×9+120×1＝1020（元）；
方案2所需租车费为100×5+120×4＝980（元）；
方案3所需租车费为100×1+120×7＝940（元）．
∵1020＞980＞940，
∴费用最少的租车方案为：租用1辆A型车，7辆B型车，最少租车费为940元．
【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用（方案问题），理解题意，列出方程组求解是解题关键．
21．(1)甲单位人均捐款为100元，乙单位人均捐款为50元
(2)有两种方案：①种物资8箱，种物资10箱；②种物资4箱，种物资15箱
【分析】（1）设甲单位人均捐款为x元，乙单位人均捐款为y元，由题意：甲、乙两单位共捐款24000元，甲单位有员工150人，乙单位有员工180人，乙单位的人均捐款数是甲单位的，列出方程组，解方程组即可；
（2）设A种物资a箱，B种物资b箱，由题意：两家单位共同使用这笔捐款购买A、B两种防疫物资，A种防疫物资每箱1500元，B种防疫物资每箱1200元，列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【详解】（1）解：（1）设甲单位人均捐款为元，乙单位人均捐款为元，
由题意得：，
解得：，
答：甲单位人均捐款为100元，乙单位人均捐款为50元；
（2）（2）设种物资箱，种物资箱，
由题意可得，
∴，
∴，
又∵购买种物资不少于10箱，且、为正整数，
∴，或，．
∴有两种方案：①种物资8箱，种物资10箱；②种物资4箱，种物资15箱．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：弄清题意，找准等量关系，列出方程（组）．
22．（1）长方形铁片7张，正方形铁片3张；（2）竖式铁容器加工103个，横式铁容器加工536个；（3）25张做长方形铁片可做75片，9张做正方形铁片可做36片，剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，最多可以加工成19个铁盒
【分析】（1）一个竖式长方体铁容器需要4个长方形铁皮和1个正方形铁皮；一个横式长方体铁容器需要3个长方形铁皮和2个正方形铁皮；
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，由题意得：①两种容器共需长方形铁皮2020张；②两种容器共需正方形铁皮1175张，根据等量关系列出方程组即可；
（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，由题意得：①长方形铁片的铁板m张+正方形铁片的铁板n张=35张；②长方形铁片的铁片的总数=正方形铁片总数×2，列出方程组，再解即可．
【详解】解：（1）如果加工竖式铁容器与横式铁容器各1个，
则共需要长方形铁片7张，正方形铁片3张；
（2）设加工的竖式铁容器有x个，横式铁容器有y个，
根据题意得，解得：，
答：竖式铁容器加工103个，横式铁容器加工536个；
（3）设做长方形铁片的铁板m张，做正方形铁片的铁板n张，
根据题意得，解得：，
∵在这35张铁板中，25张做长方形铁片可做25×3=75（片），9张做正方形铁片可做9×4=36（片），剩1张可裁出1个长方形铁片和2个正方形铁片，
共可做长方形铁片75+1=76（片），正方形铁片36+2=38（片），
∴可做铁盒76÷4=19（个）
答：最多可加工成铁盒19个．
【点睛】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．
23．（1）每个小长方形的面积为60；（2）小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm（3）46
【分析】（1）设小长方形的长为x，宽为y，观察图形即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出x、y的值，再根据长方形的面积公式即可得出每个小正方形的面积；
（2）通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即单独一个纸杯的高度＋3个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝9，单独一个纸杯的高度＋8个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高的高度＝14．根据这两个等量关系可列出方程组；
（3）设小长方形的面积为x，宽为y，根据长方形ABCD的长为17，宽的两种不同表达方式列出方程组求出小长方形的长和宽，进一步求出图中阴影部分的面积．
【详解】（1）设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得：，解得：，
∴xy=10×6=60．
故每个小长方形的面积为60；
（2）设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高xcm，单独一个纸杯的高度为ycm，
则，解得，
则12x+y=12×1+8=20．
即小明把13个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是20cm．
（3）设小长方形的长为x，宽为y，
根据题意得，
解得，
∴S阴影=17×14﹣8×8×3=46．
【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
答案第1页，共2页
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