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专题 19.20 一次函数与方程、不等式（知识讲解）
【学习目标】
1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．
2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．
【要点梳理】
要点一、一次函数与一元一次方程
一次函数与一元一次方程：从“数”的角度看x为何值时函数y= ax+b的值为0．
求ax+b=0（a，b是常数，a≠0）的解，从“形”的角度看，求直线y= ax+b与 x 轴交点的横坐标
要点二、一次函数与一元一次不等式
解不等式ax+b＞0（a，b是常数，a≠0）．从“数”的角度看，x为何值时函数y= ax+b的值大于0．
解不等式ax+b＞0（a，b是常数，a≠0）．从“形”的角度看，求直线y= ax+b在 x 轴上方的部分（射线）所对应的的横坐标的取值范围．
要点三、一次函数与二一元一次方程组
1、从“数”的角度看，自变量（x）为何值时两个函数的值相等．并求出这个函数值
2、 从“形”的角度看，确定两直线交点的坐标．
【典型例题】
【类型一】直线与坐标轴交点 方程的解
1．已知函数的部分函数值如表所示，则关于x的方程的解是（ ）
… 1 …
… 5 3 …
A． B． C． D．
举一反三：
【变式】
2．如图，在平面直角坐标系中，直线和相交于点，则方程的解为（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，点O（0，0），A（5，3），B（4，0），直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的两部分，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．﹣1
举一反三：
【变式】
4．将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后，所得图象与x轴的交点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【类型二】一次方程的解 直线与坐标轴交点
5．已知一次函数，下表是x与y的一些对应数值，则下列结论中正确的是（ ）
… 0 1 2 …
… 6 3 1 …
A．y随x的增大而增大
B．该函数的图象经过一、二、三象限
C．关于x的方程的解是
D．该函数的图象与y轴的交点是
举一反三：
【变式1】
6．若是关于的方程的解，则一次函数的图象与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】
7．如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【类型三】图象法求一元一次方程（不等式）的解（集）
8．已知一次函数与一次函数中，函数、与自变量的部分对应值分别如表1、表2：则关于的方程的解是（　　）
表1：
… 0 1 …
… 3 4 …
表2
… 0 1 …
… 2 4 …
A． B． C． D．
举一反三：
【变式1】
9．如图是一次函数y＝ax+b的图象，则关于x的方程ax+b＝1的解为（　　）
A．0 B．2 C．4 D．6
【变式2】
10．如图，直线与x轴、y轴的交点分别为则关于x的不等式的解集为 ．
【类型四】直线与坐标轴交点 求解集
11．如图，已知一次函数，当x 时，；
当x 时，；
当x 时，；
当时，x的取值范围是 ．
举一反三：
【变式】
12．如图，一次函数的图象经过点，则关于x的不等式的解集为 ．
【类型五】两直线的交点 求解集
13．如图，函数和的图象相交于点，则关于 x 的不等式 的解集为 ．
举一反三：
【变式】
14．一次函数与的部分自变量和对应函数值如下表：
x … 0 1 2 …
… 5 2 …
… 1 2 3 4 5 …
则关于x的不等式的解集是 ．
15．已知，如图直线与直线交于点，则不等式的解集为 ．
举一反三：
【变式1】
16．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则方程组的解为 ．
【变式2】
17．已知方程的解是，则直线与的交点坐标是
【变式3】
18．已知直线，，的图象如图，若无论取何值，总取中的最小值，则y的最大值为 .
【类型五】数形结合解二元一次方程组
19．用图象法解二元一次方程组：
【变式1】
20．利用函数图象解方程组．
【变式2】
21．已知：，，试用图像法比较与的大小．
【类型六】直线与坐标轴围成的图形面积
22．已知某一次函数的图象经过点，且与正比例函数的图象相交于点，求：
(1)的值；
(2)一次函数y与x的函数解析式；
(3)这两个函数图象与轴所围成的三角形的面积．
举一反三：
【变式1】
23．如图，已知直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，与直线交于点，直线与x轴交于点A．
(1)求直线的解析式；
(2)求四边形的面积．
【变式2】
24．已知直线与直线交于A点，A点横坐标为，且直线与x轴交于B点，与y轴交于D点，直线与y轴交于C点．
(1)求直线的解析式，并画出直线的函数图像．
(2)连结，求．
(3)当时，直接写出x的取值范围．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】根据表中的信息，得到时，，故的解就可以判定了．
【详解】∵时，，
∴方程的解是．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次方程的关系，正确理解二者的关系是解题的关键．
2．A
【分析】根据点A（m，1）在直线y＝﹣2x上，可以得到m的值，然后根据函数图象，交点A的横坐标，即为方程﹣2x=ax+1.2的解．
【详解】解：∵点A（m，1）在直线y＝﹣2x上，
∴1＝﹣2m，
解得，m，
∴交点
∴方程﹣2x=ax+1.2的解集为x，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
3．A
【分析】设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），利用一次函数图象上点的坐标特征可得出直线y=mx-5m+3过三角形的顶点A（5，3），结合直线y=mx-5m+3过点C（2，0），再利用一次函数图象上点的坐标特征可求出m的值．
【详解】解：设点C为线段OB的中点，则点C的坐标为（2，0），如图所示．
∵y＝mx﹣5m+3＝（x﹣5）m+3，
∴当x＝5时，y＝（5﹣5）m+3＝3，
∴直线y＝mx﹣5m+3过三角形的顶点A（5，3）．
∵直线y＝mx﹣5m+3将△OAB分成面积相等的的两部分，
∴直线y＝mx﹣5m+3过点C（2，0），
∴0＝2m﹣5m+3，
∴m＝1．
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，利用一次函数上点的坐标特征，找出关于m的一元一次方程是解题的关键．
4．C
【分析】根据一次函数图象上下平移时解析式的变化规律得到新的函数解析式，再令即可求解．
【详解】将函数的图象沿y轴向下平移1个单位长度后得到：，
令，
解得，
所得图象与x轴的交点坐标为．
故选C．
【点睛】本题考查了一次函数图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，掌握一次函数的平移是解题的关键．
5．C
【分析】先把两个点的坐标代入y=kx+b，求出k、b的值，得出函数解析式是y=-2x+3，再逐个判断即可．
【详解】解：由表可知：函数图象过点（0，3），（1，1），
把点的坐标代入y=kx+b得：，
解得：k=-2，b=3，
即函数的解析式是y=-2x+3，
A．∵k=-2＜0，
∴y随x的增大而减小，故本选项不符合题意；
B．∵k=-2，b=3，
∴函数的图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意；
C．当y=1时，-2x+3=1，
解得：x=1，
即方程kx+b=1的解是x=1，故本选项符合题意；
D．∵b=3，
∴函数的图象与y轴的交点坐标是（0，3），故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，解一元一次方程等知识点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．
6．B
【分析】直线y=mx+n与x轴的交点的横坐标就是函数值为0时的方程的解，根据题意得到一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），进而得到一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），由于一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，即可求得一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标．
【详解】解：∵方程的解为x=2，
∴当x=2时mx+n=0；
∴一次函数y=mx+n的图象与x轴的交点为（2，0），
∴一次函数y=-mx-n的图象与x轴的交点为（2，0），
∵一次函数y=-mx-n的图象向右平移一个单位得到y=-m（x-1）-n，
∴一次函数y=-m（x-1）-n的图象与x轴的交点坐标是（3，0），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．
7．C
【分析】首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案．
【详解】解：∵直线与相交于点，
∴，
∴，
∴，
∴关于的方程的解是，
故选：C．
【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．
8．A
【分析】根据表格中的数据可知函数、与都经过点，从而可以得到关于的方程的解，本题得以解决．
【详解】解：一次函数与一次函数都经过点，
关于的方程的解是：，
故选：A．
【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数与方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的图象上点的坐标特征．
9．C
【分析】一次函数y＝kx+b的图象上纵坐标为1的点的横坐标即为方程ax+b＝1的解，据此求解即可．
【详解】解：∵点（4，1）在一次函数y＝ax+b的图象上，
∴关于x的方程kx+b＝1的解是x＝4．
故选C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系．任何一元一次方程都可以转化为ax+b＝0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．
10．
【分析】根据直线与x轴交点坐标为，得出y的值大于0的点都符合条件，从而得出x的解集．
【详解】解：∵直线与x轴交点坐标为，
∴由图象可知，当时，，
∴不等式的解集是．
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数与不等式的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，找到与x轴的交点．
11．
【分析】根据函数图像上即可求解．
【详解】
，即，解得
故答案为．
即，在直线下方所有的横坐标点的集合
故答案为．
即，在直线上方所有的横坐标点的集合
故答案为．
即，在直线之间所有的横坐标点的集合
故答案为．
【点睛】本题考查了一次函数图像与一元一次不等式，熟练掌握上述知识点是解答本题的关键．
12．
【分析】由一次函数的图象经过，以及y随x的增大而减小，可得关于x的不等式的解集．
【详解】解：∵一次函数的图象经过，
∴时，，
又y随x的增大而减小，
∴关于x的不等式的解集为．
故答案是：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
13．
【分析】先把点A的坐标代入中求解m的值，然后根据一次函数与不等式的关系可进行求解．
【详解】解：由题意得：
把点A代入可得，
解得：，
∴点A的坐标为，
由图象可得当关于x的不等式时，则需满足在点A的右侧，即的图象在的图象下方，
∴不等式的解集为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，熟练掌握一次函数与一元一次不等式是解题的关键．
14．
【分析】根据统计表确定两个函数的增减性以及函数的交点，然后根据增减性判断．
【详解】解：根据表可得中随的增大而减小；
中随的增大而增大．且两个函数的交点坐标是．
则的解集为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质，正确确定增减性以及交点坐标是关键．
15．##
【分析】根据函数图象交点左侧直线图象在直线：图象的下面，即可得出不等式的解集．
【详解】解：∵直线，与直线交于点，
∴不等式为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．
16．
【分析】利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断．
【详解】∵函数与的图象交于点，
∴方程组的解是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
17．
【分析】把代入直线解析式求出y的值即可得到交点坐标．
【详解】解：∵是方程的解，
∴把代入，得．
∴交点坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一次函数的性质及交点问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
18．2
【分析】根据函数图象结合题意得出y的最大值为直线与的交点的纵坐标，继而联立直线与的解析式，即可求解．
【详解】解：∵无论取何值，总取中的最小值，
∴的取值如图所示（位于最下方的函数图象）：
∴y的最大值为直线与的交点的纵坐标，
联立，
解得，
所以，当时，的值最大，最大值为
故答案为：.
【点睛】本题考查了一次函数交点问题，根据题意求得y的最大值为直线与的交点的纵坐标，是解题的关键．
19．
【分析】根据题意，可得方程组的解为直线与直线的交点，在同一坐标系画出两个一次函数的图象，交点坐标即为方程组的解．
【详解】解：，即
依题意，方程组的解为直线与直线的交点，
如图所示，
∴的解为．
【点睛】本题考查了图象法求二元一次方程组的解，数形结合是解题的关键．
20．．
【分析】直接利用两函数图象的交点横纵坐标即为x，y的值进而得出答案．
【详解】解：方程组对应的两个一次函数为：与，
画出这两条直线，如图所示：
由图像知两直线交点坐标为（-1，1）．
所以原方程组的解为．
【点睛】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组的解，正确利用数形结合分析是解题关键．
21．当时，；当时，；当时，．
【分析】在同一直角坐标系中画出两个一次函数的图象，并联立求出两直线的交点坐标，然后根据图象即可得出结论．
【详解】解：直线和的图象如图所示，
联立
解得：
∴两直线的交点坐标是．
由图象可知：当时，；当时，；当时，．
【点睛】此题考查的是画一次函数图象、求两直线的交点坐标和比较两函数值的大小，掌握一次函数图象的画法、联立一次函数解析式求交点坐标和根据图象比较函数值的大小是解决此题的关键．
22．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）把交点坐标代入正比例函数解析式中求出a的值；
（2）将两点的坐标代入中，利用待定系数法求出一次函数解析式；
（3）先求得与x轴的交点A的坐标，再根据三角形面积公式进行计算．
【详解】（1）解：∵点在正比例函数的图象上，
∴；
（2）解：设一次函数的解析式为，
∵经过点，点，
∴，
解得，
∴一次函数的解析式为；
（3）解：∵时，，
∴，
∴与x轴的交点A为，
∵，
∴．
【点睛】本题主要是考查了待定系数法求解一次函数表达式以及求解与坐标轴的面积，正确利用待定系数法求出一次函数表达式，合理确定坐标轴围成的三角形的底和高，这是解决本题的关键．
23．(1)
(2)10
【分析】（1）由直线求得P的坐标，代入即可得到结论；
（2）由直线的解析式求得B、C的坐标，由直线求得A的坐标，然后根据四边形的面积等于的面积减去的面积即可得到结论．
【详解】（1）解：∵直线过点，
∴，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴直线的函数表达式为：．
（2）解：把代入，得：
，解得，
∴，
把代入得：，
∴，
∴，
把代入得：，
∴，
∴，
∴，
过P点作轴于H，如下图所示：
∴四边形的面积为．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题及三角形的面积公式等，熟练掌握一次函数的图形性质是解决本题的关键．
24．(1)，图象见解析；
(2)1
(3)
【分析】（1）求出点的坐标，再将点代入，即可求函数的解析式；
（2）设直线交x轴于E，先分别求出直线与x轴的交点B坐标、与坐标轴的交点C、E坐标，然后利用坐标求出三角形面积即可；
（3）根据图象，直接求解即可．
【详解】（1）解： 点横坐标为，
，
，
将点代入，得，
解得，
直线；
直线的函数图像如图所示
（2）解：如图，设直线交x轴于E，
对于直线，
令，则，
∴，
∴，
对于，
令，则，
∴，
令，则，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：由图象可得，当时，．
【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式，由两条直线交点求不等式解集，三角形面积，熟练掌握一次函数与不等式关系和坐标与图形是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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