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2024年龙岩市九年级学业（升学）质量检查
数学试题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意：
请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
在本试题上答题无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．
1. 是的（ ）
A. 倒数 B. 相反数 C. 绝对值 D. 平方根
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得出答案．
【详解】解：是的相反数，
故选：B．
2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同
【答案】A
【解析】
【分析】直接利用已知几何体分别得出三视图进而分析得出答案．
【详解】解：这个花鹅颈瓶的主视图与左视图相同，俯视图与主视图和左视图不相同．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了简单几何体的三视图，掌握三视图的概念是解题关键．
3. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用中心对称图形的定义直接判断．
【详解】解：根据中心对称图形的定义，四个选项中，只有B选项的图形绕着某点旋转180°后能与原来的图形重合，
故选B．
【点睛】本题考查中心对称图形的判定，掌握中心对称图形的定义是解题的关键．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心．
4. 下列各式计算正确的是（ ）．
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：根据幂的运算性质可知，A．不能合并，故错误；B．，故错误；C．，故错误；D．，故正确．
故选D．
考点：幂的运算性质．
5. 福建省第十四届人民代表大会第二次会议于2024年1月23日在福州开幕，政府工作报告指出，初步统计，2023年全省地区生产总值54355亿元，同比增长．数值54355用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时，是负整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
【详解】解：数值54355用科学记数法表示为，
故选：C．
6. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A. 且． B. 且．
C. 且 D. 且．
【答案】B
【解析】
【分析】根据平均数、方差的定义，平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定解答即可．
【详解】根据平均数越高成绩越好，方差越小成绩越稳定．
故选：B．
【点睛】此题考查平均数、方差的定义，解答的关键是理解平均数、方差的定义，熟知方差是衡量一组数据波动大小的量，方差越小表明该组数据分布比较集中，即波动越小数据越稳定．
7. 如图，中，于点，点是的中点，连接，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查三角形中位线定理，等腰三角形的性质，直角三角形斜边的中线，平行线的判定．和不一定相等，因此和不一定垂直，由等腰三角形的性质推出D是BC中点，，由三角形中位线定理推出，由平行线的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质得到．
【详解】解：A.∵E是的中点，若，
∴垂直平分，
∴，但和不一定相等，
∴和不一定垂直，
故A符合题意；
B.∵．
∴D是中点，，
∵E是中点，
∴是的中位线，
∴，
故B不符合题意；
C.∵，
∴，
故C不符合题意；
D.∵，E是中点，
∴，
故D不符合题意．
故选：A．
8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程中求平均变化率的方法．掌握“设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为”是解决本题的关键．先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：第一季度的总营业额是700万元，把相关数值代入即可．
【详解】解：∵一月份的营业额为200万元，平均每月增长率为x，
∴二月份的营业额为，
∴三月份的营业额为，
∴可列方程为，即
故选：D．
9. 平面直角坐标系中，，则坐标原点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称的性质，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，坐标与图形性质，如图，过作轴于，求解，可得为等边三角形，再进一步解答即可．
【详解】解：如图，过作轴于，
∵，
∴，
∴，
由对折可得：，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴．
故选B
10. 如图，是半径为6的半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、扇形面积公式、弧长计算，连接，由等边对等角结合平行线的性质得出，证明得出，从而得出，设，利用弧长公式得出，得到，最后由计算即可得出答案．
【详解】解：如图，连接，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，
的长度为，
，
解得：，
，
，
，
，
故选：C．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
11. 已知一次函数的图象经过点，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】将点，代入解析式即可求解．
【详解】将点，代入一次函数
即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数与轴的交点问题，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
12. 正多边形一个内角的度数是，则该正多边形的边数是________．
【答案】12
【解析】
【分析】此题主要考查了多边形的外角与内角．首先根据题意，求出一个外角的度数，再利用外角和定理求出边数．
【详解】解：∵正多边形的一个内角是，
∴它的一个外角是：，
∵多边形的外角和为，
∴这个正多边形的边数是：．
故答案为：12．
13. 已知，，则代数式的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法是解答本题的关键．先提取公因式，再把，代入计算即可．
【详解】解：∵，，
∴
．
故答案为：．
14. “学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是______．
【答案】
【解析】
【分析】画树状图（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：画树状图为：（用A、B、C分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）
共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，
所以两人恰好选择同一场馆的概率，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．
15. 在边长为6的菱形中，点分别是上的点，且，是直线上的动点，则的最大值为______．
【答案】4
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称 最短路线问题，菱形的性质，三角形两边之差小于第三边等知识点，在上取一点，使，连接，推出的最大值为，再求出，即可解决问题，作出辅助线是解题的关键．
【详解】在上取一点，使，连接，如图，
∵四边形是菱形，
∴直线是菱形的一条对称轴，
∴，
∴，
∴的最大值为，此时点P与点A重合，
∵，，
∴，
∴的最大值为4．
故答案为：4．
16. 抛物线经过，，，，四点，且，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由题意得出抛物线的对称轴，抛物线在和部分是对称的，从而得出点不在这两部分抛物线上，推出或，求解即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键．
【详解】由抛物线经过，两点可知抛物线的对称轴，
抛物线在和部分是对称的，
依题意，点不在这两部分抛物线上，
∵，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程组：．
【答案】．
【解析】
【分析】利用加减消元法解方程组即可得答案．
【详解】
①×2+②得：5x=10，
解得：x=2，
把x=2代入①得：2×2+y=3，
解得：y=-1，
∴方程组的解为：．
【点睛】本题运用了加减消元法求解二元一次方程组，需要注意的是运用这种方法需满足其中一个未知数的系数相同或互为相反数，若不具备这种特征，则根据等式的性质将其中一个方程变形或将两个方程都变形，使其具备这种形式．
18. 如图，将沿射线方向平移得到，的对应点分别是．
（1）若，求的度数；
（2）若，当时，求的长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）由平移的性质得，推出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得解；
（2）由平移的性质可得，结合，计算即可得解．
【小问1详解】
解：由平移的性质得，
∴四边形是平行四边形，
∴；
【小问2详解】
解：由平移的性质得，
又∵，
∴．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式混合运算法则进行计算，然后再代入数据求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
20. 如图，四边形中，，将线段绕点逆时针旋转得线段．
（1）作出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了全等三角的判定和性质，等边三角形的判定及性质，旋转的作图和性质，准确作图是解题的关键．
（1）根据旋转的性质作图即可；
（2）证明，即可得到结论．
【小问1详解】
解：如图所示：线段即为所作线段，
【小问2详解】
证明：如图，
∵，
∴是等边三角形，
∵绕点旋转得线段，
∴，
∴
即
在和中
，
∴
∴．
21. 实施乡村振兴战略，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村计划集中采购两种树苗，已知种树苗单价（每棵树苗的价格）比种树苗多3元，用360元购买种树苗和用540元购买种树苗的棵数相同．
（1）求两种树苗的单价分别是多少？
（2）红旗村决定购买这两种树苗共1000棵，若预算总费用不超过7000元，问至多可以购买种树苗多少棵？
【答案】（1）种树苗的单价每棵6元，种树苗的单价每棵株9元
（2）333棵
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，
（1）设A种树苗的单价是x元，则B种树苗的单价是元，利用数量＝总价÷单价，结合用360元购买A种树苗和用540元购买B种树苗的棵数相同，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即A种树苗的单价），再将其代入中，即可求出B种树苗的单价；
（2）设购买m棵B种树苗，则购买棵A种树苗，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过7000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；
解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
【小问1详解】
设种树苗的单价每棵元，则种树苗的单价每棵元．
则依题意可得：，
解得，
经检验：是原方程的解．
答：种树苗单价每棵6元，种树苗的单价每棵9元．
【小问2详解】
设红旗村决定购买种树苗棵，则购买种树苗棵．
依题意可得：，
解得：
∵是整数，
∴
答：红旗村最多可以购买种树苗333棵．
22. 某校“综合与实践”小组为了了解全校3600名学生周末参加体育运动的情况，随机抽取部分（同一批）学生进行问卷调查，形成了如下不完整的调查报告：
数据的收集与整理
问题1：您平均每周末参加体育运动时间是（每项含最小值，不含最大值）
A.小时；B．小时；C．小时；D．3小时及以上．
问题2：您每周末参加体育运动的主要方式是
E．打篮球；F．打羽毛球；G．跑步；H．其他．
平均每周末参加体育运动时间的调查统计图
每周末选择的运动方式调查统计表
运动方式 E F G H
人数 108 93 m 66
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求的值；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周末参加体育运动时间在“3小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两个问题的调查数据分别写出一条你获取的信息．
【答案】（1）
（2）人
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图的信息关联，用样本估计总体，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点．
（1）先求出总人数，然后根据其他三项的人数求出m的值即可；
（2）用样本估计总体即可；
（3）根据统计图信息进行回答即可．
【小问1详解】
解：依题意可得：，
．
【小问2详解】
解：平均每周周末参加体育运动时间在“3小时及以上”的人数为：
．
【小问3详解】
解：答案不唯一．
如：由问题1可知：周末运动时间为“小时”人数最多，“3小时及以上”的人数最少；由问题2可知：周末运动方式中“打篮球”的人数最多，“跑步”的人数最少．
23. 阅读素材并解决问题．
设而不求
材料 “设而不求”法又叫“增设辅助未知量法”或“设参法”，基本思路是先设定一个辅助未知量（辅助元），然后根据辅助元与未知量之间的关系，建立一个包含辅助元、未知量和已知量的方程或代数式，最后通过消元法或代换法来解决问题．
问题1 有麻料、棉料、毛料三种布料，若购买3匹麻料、7匹棉料、1匹毛料共需315元；若购买4匹麻料、10匹棉料、1匹毛料共需420元．现需购买麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？ 解：依题意，可设每匹麻料、棉料、毛料的价格各为x元、y元、z元． 列出方程组： 通过①×3－②×2，直接可得 ．
问题2 如图，已知中，，，为线段上两点，且，平分，设，用表示其它有关的角，可求的度数，请写出求解过程．
问题3 如图，已知点是第一象限位于双曲线上方的一点，过点作轴于点，交双曲线于点；再过点作轴于点，交双曲线于点，设，求证：．
【答案】问题1：；问题2：；问题3：见解析
【解析】
【分析】本题考查了“设参法”，解题关键是先设定一个辅助未知量（辅助元），然后根据辅助元与未知量之间的关系，建立一个包含辅助元、未知量和已知量的方程或代数式，最后通过消元法或代换法来解决问题．
（1）按题目提示即可解答；
（2）设，则，由可知，进而可得，，，再由三角形外角性质可得；
（3）设，用m、n、k表示点的坐标和线段长，求得，，即可得出，进而证明结论．
【详解】解：问题1： ．
问题2：设，，∴
根据三角形内角和可得：
∴
∵
∴
∵平分
∴
∵
∴
∴
∴．
问题3：方法一：设
∵，，且点，点在双曲线上，
∴
∴，
∴
∴，
∴
∴
∴．
方法二：设
轴，轴，且点、点在双曲线上，
∴，
∴
∴，
∴
又∵
∴
∴
∴．
24. 抛物线与轴的交点为，顶点为，对称轴与轴的交点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，点在线段上，若上存在点，使得，且，求点的坐标；
（3）点是抛物线上的一个动点（不与点重合），直线分别与抛物线的对称轴相交于点，求证：与的面积相等．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，
（1）把代入得出，，即可得解；
（2）过点作于，证出得出，设，则，由得出，求出t值，即可得解；
（3）如图，设点，分别含m的式子表示出，的长，证出，进而即可得解；
熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
【小问1详解】
把代入得，
解得：
所求抛物线的解析式为；
【小问2详解】
如图，抛物线的对称轴，顶点，
∴，
过点作于，
∵，
∴，，
∴，
∵，
，
，
设，则，
∵，
，
∴，
即，解得：，
∴；
【小问3详解】
如图，设点，则且，
设直线解析式，
依题意：，解得：，
∴直线解析式，
当时，，
∴点的坐标为，
，
同理可求直线的解析式为，
当时，，
∴点的坐标为，
，
设点到直线的距离为，
则，，
∵，
∴，即与的面积相等．
25. 在锐角内部取一点，过点分别作于点，作于点，以为直径作，的延长线与交于点．
（1）求证：；
（2）若，点在的延长线上，求证：是的切线；
（3）当时，连接，若于点，求的值．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）根据是的直径得，由可得，进而由，即可得出结论；
（2）连接，证明平分，过作于E，由角平分线性质可，即可得出结论；
（3）过点作于点，过点作于点，可得四边形是矩形；设，，由，得出，再证明，得，即，解得，在利用勾股定理求出，，由面积法可得，进而可得，由此求出比值.
【小问1详解】
证明：是的直径
，即
，
，
，
，
【小问2详解】
证明：连接，则点在上，
过作于E
由（1）
平分
是的切线
【小问3详解】
解法一：过点作于点，过点作于点
则，，
设，
由（1）得，
∴四边形是矩形
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴，即
∴
∴
∴，
∴
∴
解法二：∵，
∵，
∴，
∵，
过点作于点，
设，
∵，
由（1），
中，，
∴
∵，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查的是切线的判定和性质、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定、解三角形，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、灵活运用相似三角形 转化线段关系是解题的关键．2024年龙岩市九年级学业（升学）质量检查
数学试题
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意：
请把所有答案填涂或书写到答题卡上！请不要错位、越界答题！
在本试题上答题无效．
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的．
1. 是的（ ）
A. 倒数 B. 相反数 C. 绝对值 D. 平方根
2. 北宋时期的汝官窑天蓝釉刻花鹅颈瓶是河南博物院九大镇院之宝之一，具有极高的历史价值、文化价值．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A. 主视图与左视图相同 B. 主视图与俯视图相同
C. 左视图与俯视图相同 D. 三种视图都相同
3. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月飞天之旅展现了中国航天科技的新高度下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 下列各式计算正确的是（ ）．
A. B. C. D.
5. 福建省第十四届人民代表大会第二次会议于2024年1月23日在福州开幕，政府工作报告指出，初步统计，2023年全省地区生产总值54355亿元，同比增长．数值54355用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
6. A，B两名射击运动员进行了相同次数的射击，下列关于他们射击成绩的平均数和方差的描述中，能说明A成绩较好且更稳定的是（ ）
A. 且． B. 且．
C. 且 D. 且．
7. 如图，中，于点，点是的中点，连接，则下列结论不一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
8. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额是700万元，设第一季度平均每月增长率为，根据题意可列方程（ ）
A. B.
C. D.
9. 平面直角坐标系中，，则坐标原点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，是半径为6半圆上的两个点，是直径，，若的长度为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分．
11. 已知一次函数的图象经过点，则的值为______．
12. 正多边形一个内角的度数是，则该正多边形的边数是________．
13. 已知，，则代数式的值为_______．
14. “学雷锋”活动月中，学校组织学生开展志愿者劳动服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是______．
15. 在边长为6的菱形中，点分别是上的点，且，是直线上的动点，则的最大值为______．
16. 抛物线经过，，，，四点，且，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是________．
三、解答题：本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 解方程组：．
18. 如图，将沿射线方向平移得到，的对应点分别是．
（1）若，求的度数；
（2）若，当时，求的长．
19. 先化简，再求值：，其中．
20. 如图，四边形中，，将线段绕点逆时针旋转得线段．
（1）作出线段（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，求证：．
21. 实施乡村振兴战略，是新时代做好“三农”工作的总抓手．为了发展特色产业，红旗村计划集中采购两种树苗，已知种树苗单价（每棵树苗的价格）比种树苗多3元，用360元购买种树苗和用540元购买种树苗的棵数相同．
（1）求两种树苗单价分别是多少？
（2）红旗村决定购买这两种树苗共1000棵，若预算总费用不超过7000元，问至多可以购买种树苗多少棵？
22. 某校“综合与实践”小组为了了解全校3600名学生周末参加体育运动的情况，随机抽取部分（同一批）学生进行问卷调查，形成了如下不完整的调查报告：
数据的收集与整理
问题1：您平均每周末参加体育运动时间是（每项含最小值，不含最大值）
A.小时；B．小时；C．小时；D．3小时及以上．
问题2：您每周末参加体育运动的主要方式是
E．打篮球；F．打羽毛球；G．跑步；H．其他．
平均每周末参加体育运动时间的调查统计图
每周末选择的运动方式调查统计表
运动方式 E F G H
人数 108 93 m 66
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求的值；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周末参加体育运动时间在“3小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两个问题的调查数据分别写出一条你获取的信息．
23. 阅读素材并解决问题．
设而不求
材料 “设而不求”法又叫“增设辅助未知量法”或“设参法”，基本思路是先设定一个辅助未知量（辅助元），然后根据辅助元与未知量之间的关系，建立一个包含辅助元、未知量和已知量的方程或代数式，最后通过消元法或代换法来解决问题．
问题1 有麻料、棉料、毛料三种布料，若购买3匹麻料、7匹棉料、1匹毛料共需315元；若购买4匹麻料、10匹棉料、1匹毛料共需420元．现需购买麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？ 解：依题意，可设每匹麻料、棉料、毛料的价格各为x元、y元、z元． 列出方程组： 通过①×3－②×2，直接可得 ．
问题2 如图，已知中，，，为线段上的两点，且，平分，设，用表示其它有关的角，可求的度数，请写出求解过程．
问题3 如图，已知点是第一象限位于双曲线上方的一点，过点作轴于点，交双曲线于点；再过点作轴于点，交双曲线于点，设，求证：．
24. 抛物线与轴的交点为，顶点为，对称轴与轴的交点为．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接，点在线段上，若上存在点，使得，且，求点的坐标；
（3）点是抛物线上一个动点（不与点重合），直线分别与抛物线的对称轴相交于点，求证：与的面积相等．
25. 在锐角内部取一点，过点分别作于点，作于点，以为直径作，的延长线与交于点．
（1）求证：；
（2）若，点在的延长线上，求证：是的切线；
（3）当时，连接，若于点，求的值．

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