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天津市第一中学2023-2024学年中考数学模拟测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 是某三角形三边的长，则等于（ ）
A. B. C. 10 D. 4
3. 计算的结果是（ ）
A. B. 1 C. D. 3
4. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　）
A 0.905 B. 0.90 C. 0.9 D. 0.8
5. 如图，已知A，B坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
6. 如图，正方形的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（ ）
A. 34 B. 36 C. 40 D. 100
7. 一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2024个单项式是( )
A. B. C. D.
8. 某几何体的主视图和俯视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积是（　　）
A. 60πcm2 B. 65πcm2 C. 90πcm2 D. 120πcm2
9. 如图，在中，是斜边上的高．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，四边形是内接四边形，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
11. 某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品首批柑橘成熟后，某电商用元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
12. 根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 分解因式：________.
14. 代数式有意义时，x应满足的条件是______．
15. 如图，是操场上直立一根旗杆，旗杆上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角，到A点的仰角，若米，则旗杆的高度________________米．
16. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________．
17. 如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为_______．
18. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接、，分别交、于点P、Q，过点P作交的延长线于F，下列结论：
①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．
其中正确的结论有__________．
三、解答题（本大题共7小题，第19-20题，每题8分，第21-25题，每题10分，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 先化简再求值：，其从，2，，3中选一个合适的数代入求值．
20. “百节年为首，四季春为先”，春节是我们中华民族最为隆重的传统节日．某日小宁在微博上通过网络投票对“过年计划做的事情”展开调查，当天调查数据如下：
过年计划做的事情： a．回家和父母家人一起过年 b．观看央视春晚 c．准备年夜饭 d．拜年，走亲访友 e．外出旅游 根据“过年计划做的事情”的数量分为四个组，其中n为计划做的事情的数量 A． B． C． D．
（1）请直接写出条形统计图中 ；
（2）请直接写出该组数据的众数所在组别，并求出B组所对应的扇形圆心角的度数；
（3）经10天的调查，共收到2400份调查结果，根据上述数据估计属于A组大约有多少人？
21. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上）
（1）求的长（结果保留根号）；
（2）山峰高度长（结果精确到米）．
（参考数据：，）
22. 如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）求的正切值．
23. 近年来，国潮联名款产品层出不穷，大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”，“故宫” 这样的传统中国元素，唤起年轻一代消费群体的记忆，与这些年轻消费者进行着价值沟通，逐渐构成“国潮力量”．某外贸公司经市场调研，整理出某爆款联名卫衣的售价每增加x元，日销售量的变化情况如下表：
售价(元/件) 日销售量(件)
已知该款卫衣的成本价为80元/件，设销售该卫衣的日销售利润为w元．
（1）求w（元）与x（元）之间的函数关系式；
（2）在销售过程中，该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗，为什么？
（3）求该卫衣售价增加多少元时，日销售利润最大，最大日利润是多少？
24. 已知，，，点是边上一点，过点作于点，连接，点是中点，连接，．
（1）如图①，线段，之间的数量关系为________，的度数为________；
（2）如图②，将绕点按顺时针方向旋转，请判断线段，之间的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）若绕点旋转的过程中，当点落到直线上时，连接，若，，请直接写出的长．
25. 如图，抛物线：经过点和点．已知直线的解析式为．．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图1，若直线将线段AB分成1：3两部分，求k的值；
（3）如图2，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为．
①直接写出新图象，当y随x的增大而增大时x的取值范围；
②直接写出直线与图象有四个交点时k的取值范围．天津市第一中学2023-2024学年中考数学模拟测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】图1、图5都是轴对称图形，不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．
图3不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，沿这条直线对折后它的两部分能够重合；也不是中心对称图形，因为绕中心旋转180度后与原图不重合．
图2、图4既是轴对称图形，又是中心对称图形．
故选B．
2. 是某三角形三边的长，则等于（ ）
A. B. C. 10 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论．
【详解】解：是三角形的三边，
，
解得：，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出的范围，再对二次根式化简．
3. 计算的结果是（ ）
A. B. 1 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可．
【详解】解：
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键．
4. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率，所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示：
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息，估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为（精确到0.1）（　　）
A 0.905 B. 0.90 C. 0.9 D. 0.8
【答案】C
【解析】
【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案．
【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不断增加，这种树苗移植成活的频率稳定在0.905，
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9，
故选：C．
【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率．
5. 如图，已知A，B的坐标分别为，，将沿x轴正方向平移，使B平移到点E，得到，若，则点C的坐标为（ ）．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由B可得，进而得到，即将沿x轴正方向平移1个单位得到，然后将A向右平移1个单位得到C，最后根据平移法则即可解答．
【详解】解：∵B
∴
∵
∴
∴将沿x轴正方向平移1个单位得到
∴点C是将A向右平移1个单位得到的
∴点C是的坐标是，即．
故选A．
【点睛】本题主要考查了图形的平移、根据平移方式确定坐标等知识点，根据题意得到将沿x轴正方向平移1个单位得到是解答本题的关键．
6. 如图，正方形的边长为8，在各边上顺次截取，则四边形的面积是（ ）
A. 34 B. 36 C. 40 D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积，进行计算即可．
【详解】解：∵正方形的边长为8，在各边上顺次截取，
∴，
∴四边形的面积为：；
故选C．
【点睛】本题考查正方形的性质．熟练掌握正方形的性质，正确的识图，利用割补法求面积，是解题的关键．
7. 一列单项式按以下规律排列：x，，，，，，，…，则第2024个单项式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律．分析所给的单项式可得到第n个单项式为：，即可求第2024个单项式．
【详解】解：∵，
，
，
，
…，
∴第n个单项式为：，
∴第2024个单项式为：．
故选：C．
8. 某几何体的主视图和俯视图及相关数据（单位：cm）如图所示，则该几何体的侧面积是（　　）
A. 60πcm2 B. 65πcm2 C. 90πcm2 D. 120πcm2
【答案】B
【解析】
【分析】先求出圆锥底面半径及母线长，然后通过 求解．
【详解】由图象可得圆锥底面半径r＝5cm，
则母线l长为：＝13cm，
∴侧面积S＝πrl＝5×13π＝65π（cm2）
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥侧面积计算，解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式．
9. 如图，在中，是斜边上的高．若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形中正切的定义及余弦函数求解即可．
【详解】解：∵是斜边上的高，
∴是直角三角形，．
∵在中，，
∴设，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选B．
【点睛】题目主要考查解直角三角形，理解三角函数的定义是解题关键．
10. 如图，四边形是内接四边形，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，即可求解，掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是的内接四边形，，
∴，
∴，
故选：．
11. 某种柑橘果肉清香、酸甜适度，深受人们的喜爱，也是馈赠亲友的上佳礼品首批柑橘成熟后，某电商用元购进这种柑橘进行销售，面市后，线上订单猛增，供不应求，该电商又用元购进第二批这种柑橘，由于更多柑橘成熟，单价比第一批每箱便宜了元，但数量与第一批的数量一样多，求购进的第一批柑橘的单价设购进的第一批柑橘的单价为元，根据题意可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程．根据单价比第一批每箱便宜了4元，数量与第一批的数量一样多，可以列出相应的分式方程，本题得以解决．
【详解】解：由题意可得，
，
故选：A．
12. 根据如图所示的二次函数的图象，判断反比例函数与一次函数的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据二次函数的图象，确定a、b、c的符号，再根据a、b、c的符号判断反比例函数y与一次函数y＝bx+c的图象经过的象限即可．
【详解】解：由二次函数图象可知a＞0，c＜0，
由对称轴x0，可知b＜0，
所以反比例函数y的图象在一、三象限，
一次函数y＝bx+c经过二、三、四象限．
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质，关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围．
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
13. 分解因式：________.
【答案】
【解析】
【分析】考查提取公因式法和平方差公式法因式分解，解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法．
【详解】解：，
故答案为：．
14. 代数式有意义时，x应满足的条件是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到．
【详解】解：由题意，得，
解得．
故答案是：．
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义条件，正确把握二次根式的定义是解题关键．
15. 如图，是操场上直立的一根旗杆，旗杆上有一点B，用测角仪（测角仪的高度忽略不计）测得地面上的D点到B点的仰角，到A点的仰角，若米，则旗杆的高度________________米．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据仰角构造直角三角形．在中，根据，求出米，在中，根据即可求出的高度．
【详解】解：在中，
∵°，
∴米，
在中，
∵，
∴米．
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的值为______________．
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得，然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题．
【详解】解：把点代入反比例函数得：，
∴，解得：，
故答案为-2．
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．
17. 如图，是一个圆锥形状的生日帽，若该圆锥形状帽子的母线长为，底面半径为，将该帽子沿母线剪开，则其侧面展开扇形的圆心角为_______．
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角．设侧面展开扇形的圆心角为，则，代入数据即可求解．
【详解】解：设侧面展开扇形圆心角为，则，
．
故答案为：．
18. 如图，在正方形中，点E是边的中点，连接、，分别交、于点P、Q，过点P作交的延长线于F，下列结论：
①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．
其中正确的结论有__________．
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】①正确．证明∠EOB＝∠EOC＝45°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题．
②正确．利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可．
③正确．设BE＝EC＝a，求出AE，OA即可解决问题．
④错误，通过计算正方形ABCD的面积为48．
⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可．
【详解】解：如图，连接OE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD，
∴∠BOC＝90°，
∵BE＝EC，
∴∠EOB＝∠EOC＝45°，
∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO，
∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确，
连接AF．
∵PF⊥AE，
∴∠APF＝∠ABF＝90°，
∴A，P，B，F四点共圆，
∴∠AFP＝∠ABP＝45°，
∴∠PAF＝∠PFA＝45°，
∴PA＝PF，故②正确，
设BE＝EC＝a，则AEa，OA＝OC＝OB＝ODa，
∴，即AEAO，故③正确，
根据对称性可知，△OPE≌△OQE，
∴S△OEQS四边形OPEQ＝2，
∵OB＝OD，BE＝EC，
∴CD＝2OE，OE∥CD，
∴，△OEQ∽△CDQ，
∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8，
∴S△CDO＝12，
∴S正方形ABCD＝48，故④错误，
∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC，
∴△EPF∽△ECD，
∴，
∵EQ＝PE，
∴CE EF＝EQ DE，故⑤正确，
故答案为：①②③⑤
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
三、解答题（本大题共7小题，第19-20题，每题8分，第21-25题，每题10分，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 先化简再求值：，其从，2，，3中选一个合适的数代入求值．
【答案】，当时，原式；当时，原式
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后结合分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可．
【详解】解：原式
，
由题意可得，和，
当时，原式，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知分式的相关计算法则是解题的关键．
20. “百节年为首，四季春为先”，春节是我们中华民族最为隆重的传统节日．某日小宁在微博上通过网络投票对“过年计划做的事情”展开调查，当天调查数据如下：
过年计划做的事情： a．回家和父母家人一起过年 b．观看央视春晚 c．准备年夜饭 d．拜年，走亲访友 e．外出旅游 根据“过年计划做的事情”的数量分为四个组，其中n为计划做的事情的数量 A． B． C． D．
（1）请直接写出条形统计图中 ；
（2）请直接写出该组数据的众数所在组别，并求出B组所对应的扇形圆心角的度数；
（3）经10天的调查，共收到2400份调查结果，根据上述数据估计属于A组大约有多少人？
【答案】（1）
（2）众数在C组，
（3）200人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
（1）根据C组别占比，可知C组的人数等于其余三项之和，据此即可解答；
（2）根据众数的概念，即可求解出该组数据的众数所在组别；
想求出B组所对应的扇形圆心角的度数，要先求出B组的人数占比，再根据各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比，即可求解．
（3）先求出A组的占比，再乘总数，即可求解．
【小问1详解】
解：（人），
故答案为：60．
【小问2详解】
根据众数的概念可知，这组数据中组的数据最多，所以众数在组，
（人），
，
答：众数在组，组所对应的扇形圆心角的度数为．
【小问3详解】
（人），
答：估计属于组大约有200人．
21. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义．
如图，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，D、B、H三点共线．从点B处退行到点F，观察山顶A，发现A、C、F三点共线，且仰角为；从点D处退行到点G，观察山顶A，发现A、E、G三点共线，且仰角为．（点F、G都在直线上）
（1）求的长（结果保留根号）；
（2）山峰高度的长（结果精确到米）．
（参考数据：，）
【答案】（1）米
（2）山峰高度的长约为米
【解析】
【分析】（1）根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【小问1详解】
解：由题意得：，，
在中，，，
（米），
在中，，，
（米），
米，
米，
的长为米；
【小问2详解】
解：设米，
在中，，
（米），
∵米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
米，
∴山峰高度的长约为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及A字模型相似三角形是解题的关键．
22. 如图，在中，，以为直径作，交于点，连接并延长，分别交于两点，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）求证：；
（3）求的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】本题考查圆的综合题型，涉及切线的判定，勾股定理的逆定理，三角形相似，角的正切值．
（1）先用勾股定理的逆定理证是直角三角形，得出即可；
（2）证，得到对应边成比例，再变形即可，具体见详解；
（3）先求出的值，再证明得出对应边的比，最后用对应边的比表示出即可．
【小问1详解】
证明：在中
是直角三角形
是的的直径
是的切线；
【小问2详解】
证明：是直径，
（公共角）
即；
【小问3详解】
由（2）得
即
解这个方程，得或（舍去）
连结
与都是的直径，
与互相平分
四边形为平行四边形，
在中
．
23. 近年来，国潮联名款产品层出不穷，大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”，“故宫” 这样的传统中国元素，唤起年轻一代消费群体的记忆，与这些年轻消费者进行着价值沟通，逐渐构成“国潮力量”．某外贸公司经市场调研，整理出某爆款联名卫衣的售价每增加x元，日销售量的变化情况如下表：
售价(元/件) 日销售量(件)
已知该款卫衣的成本价为80元/件，设销售该卫衣的日销售利润为w元．
（1）求w（元）与x（元）之间的函数关系式；
（2）在销售过程中，该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗，为什么？
（3）求该卫衣售价增加多少元时，日销售利润最大，最大日利润是多少？
【答案】（1）
（2）能，理由见解析 （3）售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用中的利润最大问题，熟练将生活问题转化为二次函数问题解决是解题的关键．
（1）根据利润售价日销售量计算即可；
（2）当时，求销售利润的值，比较即可；
（3）把问题转化为二次函数的最值问题处理即可．
【小问1详解】
解：由题意得
；
【小问2详解】
解：∵当时，
，
∴该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元；
【小问3详解】
解：∵，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，w取得最大值为98000，
∴该卫衣售价增加30元时，日销售利润最大，最大日利润为98000元．
24. 已知，，，点是边上一点，过点作于点，连接，点是中点，连接，．
（1）如图①，线段，之间的数量关系为________，的度数为________；
（2）如图②，将绕点按顺时针方向旋转，请判断线段，之间的数量关系及的度数，并说明理由；
（3）若绕点旋转的过程中，当点落到直线上时，连接，若，，请直接写出的长．
【答案】（1），
（2），；理由见解析；
（3）的长为或．
【解析】
【分析】（1）要求与之间的数量关系，可通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得；要求的度数，可根据等腰三角形的性质，进行等角代换求得；
（2）作辅助线，通过构造可求得，的度数可通过等边三角形的性质及等角代换求得；
（3）要分点落在线段上和点落在延长线上两种情况，通过勾股定理分别求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，点是中点，
∴，
∴，，
∴．
故答案为：，；
【小问2详解】
解：，；
理由：如图，取的中点，的中点，连接，，，．
∵，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，，
在中，
∵，，
∴，
在和中，，，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，∴，
∵，，
∴，是等边三角形，，
∴；
【小问3详解】
解：或．
在中，∵，，
∴，
①如图，当点落在线段上时，过点作于点．
∵，∴，
在中，，，
∴，
在中，∵，，
∴，，
在中，；
②如图，当点落在的延长线上时，过点作于点．
在中，，，
∴，
∴，，
在中，．
综上所述，的长为或．
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了直角三角形斜边中线定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
25. 如图，抛物线：经过点和点．已知直线的解析式为．．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图1，若直线将线段AB分成1：3两部分，求k的值；
（3）如图2，将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为．
①直接写出新图象，当y随x的增大而增大时x的取值范围；
②直接写出直线与图象有四个交点时k的取值范围．
【答案】（1）
（2）或
（3）①当或时新图象随的增大而增大；②．
【解析】
【分析】（1）先求点再利用待定系数法求抛物线的解析式；
（2）先确定分点的坐标，代入直线的解析式求的值；
（3）①观察图象上升的部分对应的范围；
②直线过，利用数形结合观察有四个交点的情形，求出临界值，再写的范围．
【小问1详解】
直线的解析式为，
，
经过点和点，
，
，
抛物线的解析式为；
【小问2详解】
设直线与轴的交点为，
点和点，
，
直线将线段分成两部分，
或，
或，代入得或；
【小问3详解】
①的对称轴是直线，点和点，
当或时新图象随的增大而增大；
②如图所示，当直线夹在两条虚线之间时直线与图象有四个交点，把代入得；
的顶点是，
将抛物线在轴上方的部分沿轴折叠到轴下方后，顶点变为，
折叠后的抛物线表达式为，
联立和得，
，即，
△，
或，
，
，
．
【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，结合了对称变换，渗透了数形结合的思想，对于（3）②，关键是找到并求出的临界值．

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