2024年天津市第一中学中考模拟数学试题(原卷版+解析版)

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2024年天津市第一中学中考模拟数学试题(原卷版+解析版)

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天津市第一中学2023-2024学年中考数学模拟测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
2. 是某三角形三边的长,则等于( )
A. B. C. 10 D. 4
3. 计算的结果是( )
A. B. 1 C. D. 3
4. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率,所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示:
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息,估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)(  )
A 0.905 B. 0.90 C. 0.9 D. 0.8
5. 如图,已知A,B坐标分别为,,将沿x轴正方向平移,使B平移到点E,得到,若,则点C的坐标为( ).
A. B. C. D.
6. 如图,正方形的边长为8,在各边上顺次截取,则四边形的面积是( )
A. 34 B. 36 C. 40 D. 100
7. 一列单项式按以下规律排列:x,,,,,,,…,则第2024个单项式是( )
A. B. C. D.
8. 某几何体的主视图和俯视图及相关数据(单位:cm)如图所示,则该几何体的侧面积是(  )
A. 60πcm2 B. 65πcm2 C. 90πcm2 D. 120πcm2
9. 如图,在中,是斜边上的高.若,则的值为( )
A. B. C. D.
10. 如图,四边形是内接四边形,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
11. 某种柑橘果肉清香、酸甜适度,深受人们的喜爱,也是馈赠亲友的上佳礼品首批柑橘成熟后,某电商用元购进这种柑橘进行销售,面市后,线上订单猛增,供不应求,该电商又用元购进第二批这种柑橘,由于更多柑橘成熟,单价比第一批每箱便宜了元,但数量与第一批的数量一样多,求购进的第一批柑橘的单价设购进的第一批柑橘的单价为元,根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
12. 根据如图所示的二次函数的图象,判断反比例函数与一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
13. 分解因式:________.
14. 代数式有意义时,x应满足的条件是______.
15. 如图,是操场上直立一根旗杆,旗杆上有一点B,用测角仪(测角仪的高度忽略不计)测得地面上的D点到B点的仰角,到A点的仰角,若米,则旗杆的高度________________米.
16. 在平面直角坐标系中,若反比例函数的图象经过点和点,则的值为______________.
17. 如图,是一个圆锥形状的生日帽,若该圆锥形状帽子的母线长为,底面半径为,将该帽子沿母线剪开,则其侧面展开扇形的圆心角为_______.
18. 如图,在正方形中,点E是边的中点,连接、,分别交、于点P、Q,过点P作交的延长线于F,下列结论:
①,②,③,④若四边形的面积为4,则该正方形的面积为36,⑤.
其中正确的结论有__________.
三、解答题(本大题共7小题,第19-20题,每题8分,第21-25题,每题10分,共66分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19. 先化简再求值:,其从,2,,3中选一个合适的数代入求值.
20. “百节年为首,四季春为先”,春节是我们中华民族最为隆重的传统节日.某日小宁在微博上通过网络投票对“过年计划做的事情”展开调查,当天调查数据如下:
过年计划做的事情: a.回家和父母家人一起过年 b.观看央视春晚 c.准备年夜饭 d.拜年,走亲访友 e.外出旅游 根据“过年计划做的事情”的数量分为四个组,其中n为计划做的事情的数量 A. B. C. D.
(1)请直接写出条形统计图中 ;
(2)请直接写出该组数据的众数所在组别,并求出B组所对应的扇形圆心角的度数;
(3)经10天的调查,共收到2400份调查结果,根据上述数据估计属于A组大约有多少人?
21. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作,原名《重差》.这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁.直至近代,重差测量法仍有借鉴意义.
如图,为测量海岛上一座山峰的高度,直立两根高2米的标杆和,两杆间距相距6米,D、B、H三点共线.从点B处退行到点F,观察山顶A,发现A、C、F三点共线,且仰角为;从点D处退行到点G,观察山顶A,发现A、E、G三点共线,且仰角为.(点F、G都在直线上)
(1)求的长(结果保留根号);
(2)山峰高度长(结果精确到米).
(参考数据:,)
22. 如图,在中,,以为直径作,交于点,连接并延长,分别交于两点,连接.
(1)求证:是的切线;
(2)求证:;
(3)求的正切值.
23. 近年来,国潮联名款产品层出不穷,大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”,“故宫” 这样的传统中国元素,唤起年轻一代消费群体的记忆,与这些年轻消费者进行着价值沟通,逐渐构成“国潮力量”.某外贸公司经市场调研,整理出某爆款联名卫衣的售价每增加x元,日销售量的变化情况如下表:
售价(元/件) 日销售量(件)
已知该款卫衣的成本价为80元/件,设销售该卫衣的日销售利润为w元.
(1)求w(元)与x(元)之间的函数关系式;
(2)在销售过程中,该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗,为什么?
(3)求该卫衣售价增加多少元时,日销售利润最大,最大日利润是多少?
24. 已知,,,点是边上一点,过点作于点,连接,点是中点,连接,.
(1)如图①,线段,之间的数量关系为________,的度数为________;
(2)如图②,将绕点按顺时针方向旋转,请判断线段,之间的数量关系及的度数,并说明理由;
(3)若绕点旋转的过程中,当点落到直线上时,连接,若,,请直接写出的长.
25. 如图,抛物线:经过点和点.已知直线的解析式为..
(1)如图1,求抛物线的解析式;
(2)如图1,若直线将线段AB分成1:3两部分,求k的值;
(3)如图2,将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为.
①直接写出新图象,当y随x的增大而增大时x的取值范围;
②直接写出直线与图象有四个交点时k的取值范围.天津市第一中学2023-2024学年中考数学模拟测试卷
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题所给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的,请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1. 下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的有()
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】图1、图5都是轴对称图形,不是中心对称图形,因为找不到任何这样的一点,旋转180度后它的两部分能够重合;即不满足中心对称图形的定义.
图3不是轴对称图形,因为找不到任何这样的一条直线,沿这条直线对折后它的两部分能够重合;也不是中心对称图形,因为绕中心旋转180度后与原图不重合.
图2、图4既是轴对称图形,又是中心对称图形.
故选B.
2. 是某三角形三边的长,则等于( )
A. B. C. 10 D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】先根据三角形三边的关系求出的取值范围,再把二次根式进行化解,得出结论.
【详解】解:是三角形的三边,

解得:,

故选:D.
【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简,解题的关键是:先根据题意求出的范围,再对二次根式化简.
3. 计算的结果是( )
A. B. 1 C. D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】把括号内的每一项分别乘以 再合并即可.
【详解】解:
故选:B.
【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算,掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键.
4. 县林业部门考察银杏树苗在一定条件下移植的成活率,所统计的银杏树苗移植成活的相关数据如下表所示:
移植的棵数a 100 300 600 1000 7000 15000
成活的棵数b 84 279 505 847 6337 13581
成活的频率 0.84 0.93 0.842 0.847 0.905 0.905
根据表中的信息,估计银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为(精确到0.1)(  )
A 0.905 B. 0.90 C. 0.9 D. 0.8
【答案】C
【解析】
【分析】利用表格中数据估算这种树苗移植成活率的概率即可得出答案.
【详解】解:由表格数据可得,随着样本数量不断增加,这种树苗移植成活的频率稳定在0.905,
∴银杏树苗在一定条件下移植成活的概率为0.9,
故选:C.
【点睛】此题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即为概率.
5. 如图,已知A,B的坐标分别为,,将沿x轴正方向平移,使B平移到点E,得到,若,则点C的坐标为( ).
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由B可得,进而得到,即将沿x轴正方向平移1个单位得到,然后将A向右平移1个单位得到C,最后根据平移法则即可解答.
【详解】解:∵B



∴将沿x轴正方向平移1个单位得到
∴点C是将A向右平移1个单位得到的
∴点C是的坐标是,即.
故选A.
【点睛】本题主要考查了图形的平移、根据平移方式确定坐标等知识点,根据题意得到将沿x轴正方向平移1个单位得到是解答本题的关键.
6. 如图,正方形的边长为8,在各边上顺次截取,则四边形的面积是( )
A. 34 B. 36 C. 40 D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】利用正方形的面积减去4个直角三角形的面积,进行计算即可.
【详解】解:∵正方形的边长为8,在各边上顺次截取,
∴,
∴四边形的面积为:;
故选C.
【点睛】本题考查正方形的性质.熟练掌握正方形的性质,正确的识图,利用割补法求面积,是解题的关键.
7. 一列单项式按以下规律排列:x,,,,,,,…,则第2024个单项式是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查数字的变化规律,解答的关键是由所给的单项式总结出存在的规律.分析所给的单项式可得到第n个单项式为:,即可求第2024个单项式.
【详解】解:∵,



…,
∴第n个单项式为:,
∴第2024个单项式为:.
故选:C.
8. 某几何体的主视图和俯视图及相关数据(单位:cm)如图所示,则该几何体的侧面积是(  )
A. 60πcm2 B. 65πcm2 C. 90πcm2 D. 120πcm2
【答案】B
【解析】
【分析】先求出圆锥底面半径及母线长,然后通过 求解.
【详解】由图象可得圆锥底面半径r=5cm,
则母线l长为:=13cm,
∴侧面积S=πrl=5×13π=65π(cm2)
故选:B.
【点睛】本题考查了圆锥侧面积计算,解题关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式.
9. 如图,在中,是斜边上的高.若,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据直角三角形中正切的定义及余弦函数求解即可.
【详解】解:∵是斜边上的高,
∴是直角三角形,.
∵在中,,
∴设,,
则,,
∴,
∵,
∴,
∴.
故选B.
【点睛】题目主要考查解直角三角形,理解三角函数的定义是解题关键.
10. 如图,四边形是内接四边形,若,则的度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质,圆周角定理,由圆内接四边形的性质可得,再根据圆周角定理可得,即可求解,掌握圆内接四边形的性质和圆周角定理是解题的关键.
【详解】解:∵四边形是的内接四边形,,
∴,
∴,
故选:.
11. 某种柑橘果肉清香、酸甜适度,深受人们的喜爱,也是馈赠亲友的上佳礼品首批柑橘成熟后,某电商用元购进这种柑橘进行销售,面市后,线上订单猛增,供不应求,该电商又用元购进第二批这种柑橘,由于更多柑橘成熟,单价比第一批每箱便宜了元,但数量与第一批的数量一样多,求购进的第一批柑橘的单价设购进的第一批柑橘的单价为元,根据题意可列方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程,解答本题的关键是明确题意,列出相应的分式方程.根据单价比第一批每箱便宜了4元,数量与第一批的数量一样多,可以列出相应的分式方程,本题得以解决.
【详解】解:由题意可得,

故选:A.
12. 根据如图所示的二次函数的图象,判断反比例函数与一次函数的图象大致是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据二次函数的图象,确定a、b、c的符号,再根据a、b、c的符号判断反比例函数y与一次函数y=bx+c的图象经过的象限即可.
【详解】解:由二次函数图象可知a>0,c<0,
由对称轴x0,可知b<0,
所以反比例函数y的图象在一、三象限,
一次函数y=bx+c经过二、三、四象限.
故选:A.
【点睛】本题主要考查二次函数图象的性质、一次函数的图象的性质、反比例函数图象的性质,关键在于通过二次函数图象推出a、b、c的取值范围.
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分.请把答案填写在答题卡相应位置上)
13. 分解因式:________.
【答案】
【解析】
【分析】考查提取公因式法和平方差公式法因式分解,解题的关键是掌握提公因式和平方差公式因式分解法.
【详解】解:,
故答案为:.
14. 代数式有意义时,x应满足的条件是______.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数得到.
【详解】解:由题意,得,
解得.
故答案是:.
【点睛】本题主要考查了二次根式有意义条件,正确把握二次根式的定义是解题关键.
15. 如图,是操场上直立的一根旗杆,旗杆上有一点B,用测角仪(测角仪的高度忽略不计)测得地面上的D点到B点的仰角,到A点的仰角,若米,则旗杆的高度________________米.
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解直角三角形的应用,解题的关键是根据仰角构造直角三角形.在中,根据,求出米,在中,根据即可求出的高度.
【详解】解:在中,
∵°,
∴米,
在中,
∵,
∴米.
故答案为:.
16. 在平面直角坐标系中,若反比例函数的图象经过点和点,则的值为______________.
【答案】
【解析】
【分析】由题意易得,然后再利用反比例函数的意义可进行求解问题.
【详解】解:把点代入反比例函数得:,
∴,解得:,
故答案为-2.
【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质,熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键.
17. 如图,是一个圆锥形状的生日帽,若该圆锥形状帽子的母线长为,底面半径为,将该帽子沿母线剪开,则其侧面展开扇形的圆心角为_______.
【答案】##120度
【解析】
【分析】本题考查了求圆锥侧面展开扇形的圆心角.设侧面展开扇形的圆心角为,则,代入数据即可求解.
【详解】解:设侧面展开扇形圆心角为,则,

故答案为:.
18. 如图,在正方形中,点E是边的中点,连接、,分别交、于点P、Q,过点P作交的延长线于F,下列结论:
①,②,③,④若四边形的面积为4,则该正方形的面积为36,⑤.
其中正确的结论有__________.
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】①正确.证明∠EOB=∠EOC=45°,再利用三角形的外角的性质即可解决问题.
②正确.利用四点共圆证明∠AFP=∠ABP=45°即可.
③正确.设BE=EC=a,求出AE,OA即可解决问题.
④错误,通过计算正方形ABCD的面积为48.
⑤正确.利用相似三角形的性质证明即可.
【详解】解:如图,连接OE.
∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OA=OC=OB=OD,
∴∠BOC=90°,
∵BE=EC,
∴∠EOB=∠EOC=45°,
∵∠EOB=∠EDB+∠OED,∠EOC=∠EAC+∠AEO,
∴∠AED+∠EAC+∠EDO=∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB=90°,故①正确,
连接AF.
∵PF⊥AE,
∴∠APF=∠ABF=90°,
∴A,P,B,F四点共圆,
∴∠AFP=∠ABP=45°,
∴∠PAF=∠PFA=45°,
∴PA=PF,故②正确,
设BE=EC=a,则AEa,OA=OC=OB=ODa,
∴,即AEAO,故③正确,
根据对称性可知,△OPE≌△OQE,
∴S△OEQS四边形OPEQ=2,
∵OB=OD,BE=EC,
∴CD=2OE,OE∥CD,
∴,△OEQ∽△CDQ,
∴S△ODQ=4,S△CDQ=8,
∴S△CDO=12,
∴S正方形ABCD=48,故④错误,
∵∠EPF=∠DCE=90°,∠PEF=∠DEC,
∴△EPF∽△ECD,
∴,
∵EQ=PE,
∴CE EF=EQ DE,故⑤正确,
故答案为:①②③⑤
【点睛】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行线分线段成比例定理,三角形的中位线定理等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考选择题中的压轴题.
三、解答题(本大题共7小题,第19-20题,每题8分,第21-25题,每题10分,共66分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
19. 先化简再求值:,其从,2,,3中选一个合适的数代入求值.
【答案】,当时,原式;当时,原式
【解析】
【分析】先根据分式的混合计算法则化简,然后结合分式有意义的条件选取合适的值代值计算即可.
【详解】解:原式

由题意可得,和,
当时,原式,
当时,原式.
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值,熟知分式的相关计算法则是解题的关键.
20. “百节年为首,四季春为先”,春节是我们中华民族最为隆重的传统节日.某日小宁在微博上通过网络投票对“过年计划做的事情”展开调查,当天调查数据如下:
过年计划做的事情: a.回家和父母家人一起过年 b.观看央视春晚 c.准备年夜饭 d.拜年,走亲访友 e.外出旅游 根据“过年计划做的事情”的数量分为四个组,其中n为计划做的事情的数量 A. B. C. D.
(1)请直接写出条形统计图中 ;
(2)请直接写出该组数据的众数所在组别,并求出B组所对应的扇形圆心角的度数;
(3)经10天的调查,共收到2400份调查结果,根据上述数据估计属于A组大约有多少人?
【答案】(1)
(2)众数在C组,
(3)200人
【解析】
【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
(1)根据C组别占比,可知C组的人数等于其余三项之和,据此即可解答;
(2)根据众数的概念,即可求解出该组数据的众数所在组别;
想求出B组所对应的扇形圆心角的度数,要先求出B组的人数占比,再根据各部分扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比,即可求解.
(3)先求出A组的占比,再乘总数,即可求解.
【小问1详解】
解:(人),
故答案为:60.
【小问2详解】
根据众数的概念可知,这组数据中组的数据最多,所以众数在组,
(人),

答:众数在组,组所对应的扇形圆心角的度数为.
【小问3详解】
(人),
答:估计属于组大约有200人.
21. 《海岛算经》是中国古代测量术的代表作,原名《重差》.这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁.直至近代,重差测量法仍有借鉴意义.
如图,为测量海岛上一座山峰的高度,直立两根高2米的标杆和,两杆间距相距6米,D、B、H三点共线.从点B处退行到点F,观察山顶A,发现A、C、F三点共线,且仰角为;从点D处退行到点G,观察山顶A,发现A、E、G三点共线,且仰角为.(点F、G都在直线上)
(1)求的长(结果保留根号);
(2)山峰高度的长(结果精确到米).
(参考数据:,)
【答案】(1)米
(2)山峰高度的长约为米
【解析】
【分析】(1)根据题意可得:,,然后分别在和中,利用锐角三角函数的定义求出和的长,从而利用线段的和差关系进行计算,即可解答;
(2)设米,在中,利用锐角三角函数的定义求出的长,从而求出的长,再在中,利用锐角三角函数的定义可得,从而列出关于x的方程,进行计算即可解答.
【小问1详解】
解:由题意得:,,
在中,,,
(米),
在中,,,
(米),
米,
米,
的长为米;
【小问2详解】
解:设米,
在中,,
(米),
∵米,
米,
在中,,


解得:,
米,
∴山峰高度的长约为米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题,相似三角形的应用,熟练掌握锐角三角函数的定义,以及A字模型相似三角形是解题的关键.
22. 如图,在中,,以为直径作,交于点,连接并延长,分别交于两点,连接.
(1)求证:是的切线;
(2)求证:;
(3)求的正切值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析 (3)
【解析】
【分析】本题考查圆的综合题型,涉及切线的判定,勾股定理的逆定理,三角形相似,角的正切值.
(1)先用勾股定理的逆定理证是直角三角形,得出即可;
(2)证,得到对应边成比例,再变形即可,具体见详解;
(3)先求出的值,再证明得出对应边的比,最后用对应边的比表示出即可.
【小问1详解】
证明:在中
是直角三角形
是的的直径
是的切线;
【小问2详解】
证明:是直径,
(公共角)
即;
【小问3详解】
由(2)得

解这个方程,得或(舍去)
连结
与都是的直径,
与互相平分
四边形为平行四边形,
在中

23. 近年来,国潮联名款产品层出不穷,大品牌通过在服饰中加入如“大闹天宫”,“故宫” 这样的传统中国元素,唤起年轻一代消费群体的记忆,与这些年轻消费者进行着价值沟通,逐渐构成“国潮力量”.某外贸公司经市场调研,整理出某爆款联名卫衣的售价每增加x元,日销售量的变化情况如下表:
售价(元/件) 日销售量(件)
已知该款卫衣的成本价为80元/件,设销售该卫衣的日销售利润为w元.
(1)求w(元)与x(元)之间的函数关系式;
(2)在销售过程中,该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元吗,为什么?
(3)求该卫衣售价增加多少元时,日销售利润最大,最大日利润是多少?
【答案】(1)
(2)能,理由见解析 (3)售价增加30元时,日销售利润最大,最大日利润为98000元
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的实际应用中的利润最大问题,熟练将生活问题转化为二次函数问题解决是解题的关键.
(1)根据利润售价日销售量计算即可;
(2)当时,求销售利润的值,比较即可;
(3)把问题转化为二次函数的最值问题处理即可.
【小问1详解】
解:由题意得

【小问2详解】
解:∵当时,

∴该卫衣售价增加8元后的日销售利润能达到80000元;
【小问3详解】
解:∵,
∵,
∴抛物线开口向下,
∴当时,w取得最大值为98000,
∴该卫衣售价增加30元时,日销售利润最大,最大日利润为98000元.
24. 已知,,,点是边上一点,过点作于点,连接,点是中点,连接,.
(1)如图①,线段,之间的数量关系为________,的度数为________;
(2)如图②,将绕点按顺时针方向旋转,请判断线段,之间的数量关系及的度数,并说明理由;
(3)若绕点旋转的过程中,当点落到直线上时,连接,若,,请直接写出的长.
【答案】(1),
(2),;理由见解析;
(3)的长为或.
【解析】
【分析】(1)要求与之间的数量关系,可通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得;要求的度数,可根据等腰三角形的性质,进行等角代换求得;
(2)作辅助线,通过构造可求得,的度数可通过等边三角形的性质及等角代换求得;
(3)要分点落在线段上和点落在延长线上两种情况,通过勾股定理分别求解.
【小问1详解】
解:∵,
∴,
∵,点是中点,
∴,
∴,,
∴.
故答案为:,;
【小问2详解】
解:,;
理由:如图,取的中点,的中点,连接,,,.
∵,,,
∴,,,
∵,
∴,
∴四边形是平行四边形,
∴,,
在中,
∵,,
∴,
在和中,,,
∵,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,,
∵,∴,
∵,,
∴,是等边三角形,,
∴;
【小问3详解】
解:或.
在中,∵,,
∴,
①如图,当点落在线段上时,过点作于点.
∵,∴,
在中,,,
∴,
在中,∵,,
∴,,
在中,;
②如图,当点落在的延长线上时,过点作于点.
在中,,,
∴,
∴,,
在中,.
综上所述,的长为或.
【点睛】本题属于几何变换综合题,考查了直角三角形斜边中线定理,解直角三角形,全等三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
25. 如图,抛物线:经过点和点.已知直线的解析式为..
(1)如图1,求抛物线的解析式;
(2)如图1,若直线将线段AB分成1:3两部分,求k的值;
(3)如图2,将抛物线在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为.
①直接写出新图象,当y随x的增大而增大时x的取值范围;
②直接写出直线与图象有四个交点时k的取值范围.
【答案】(1)
(2)或
(3)①当或时新图象随的增大而增大;②.
【解析】
【分析】(1)先求点再利用待定系数法求抛物线的解析式;
(2)先确定分点的坐标,代入直线的解析式求的值;
(3)①观察图象上升的部分对应的范围;
②直线过,利用数形结合观察有四个交点的情形,求出临界值,再写的范围.
【小问1详解】
直线的解析式为,

经过点和点,


抛物线的解析式为;
【小问2详解】
设直线与轴的交点为,
点和点,

直线将线段分成两部分,
或,
或,代入得或;
【小问3详解】
①的对称轴是直线,点和点,
当或时新图象随的增大而增大;
②如图所示,当直线夹在两条虚线之间时直线与图象有四个交点,把代入得;
的顶点是,
将抛物线在轴上方的部分沿轴折叠到轴下方后,顶点变为,
折叠后的抛物线表达式为,
联立和得,
,即,
△,
或,



【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质,结合了对称变换,渗透了数形结合的思想,对于(3)②,关键是找到并求出的临界值.

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