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第9章 不等式与不等式组（单元测试·基础卷）
【要点回顾】
【要点1】一般地，用符号“＜”（或“≤”）,“＞”（或“≥”）连接的式子叫做不等式。
（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）不等式的解不唯一，把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集。
（3）求不等式解集的过程叫解不等式。
（4）由几个一元一次不等式组所组成的不等式组叫做一元一次不等式组。
（5）不等式组的解集：一元一次不等式组各个不等式的解集的公共部分。
【要点2】等式基本性质
性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式。
性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数(除数不为0)，所得的结果仍是等式。
【要点3】不等式的基本性质
性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。（注：移项要变号，但不等号不变。）
性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
【要点4】解不等式的步骤：
（1）去分母； （2）去括号； （3）移项、合并同类项； （4）系数化为1。
【要点5】解不等式的步骤：
（1）解出不等式的解集；（2）在同一数轴表示不等式的解集；（3）写出不等式组的解集。
【要点6】列一元一次不等式组解实际问题的一般步骤：
审题； 设未知数，找（不等量）关系式；设元，(根据不等量)关系式列不等式(组) ；
（4）解不等式组，检验并作答。
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．的值为负数，则满足（ ）
A． B． C． D．
2．若，且，则a的值可以是（ ）
A． B． C．0.7 D．
3．不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．不等式括号中部分数字和符号被墨水污染，淇淇查看到该不等式的解为，则污染部分的内容为（ ）
A． B． C． D．
5．下列不等式组无解的是（ ）
A． B． C． D．
6．若实数满足：，则实数的整数解有（ ）个
A．8 B．7 C．6 D．5
7．若时，则关于的不等式组的解集是（ ）
A． B． C． D．
8．若，则为（ ）
A． B．
C．或 D．
9．下面是两位同学在讨论一个一元一次不等式，根据对话提供的信息，他们讨论的不等式是（ ）
A． B． C． D．
10．观察下列式子：
4×6-2×4=4×4；
6×8-4×6=6×4；
8×10-6×8=8×4；
…
若第n 个等式的右边的值大于 180，则 n的最小值是 （ ）
A．20 B．21 C．22 D．23
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．或的否定形式为 ．
12．当 时，点在第四象限．
13．在数轴上，可以清晰的表达数的大小关系．请你在数轴上画出关于x的不等式的解集，如果解集中只有正整数解1，那么a的取值范围是 ．
14．已知的值小于的值，化简 ．
15．若不等式组的所有整数解的和为k，则关于x的一元一次方程的解为 ．
16．运行程序如图所示，该程序规定：从“输入一个值x”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次即停止，那么x的取值范围是 ．
17．如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，，C是的中点，连接，并延长，点D在的延长线上，点P是射线上的一个动点，当时，点P的横坐标的取值范围为 .

18．若关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（1）求不等式的正整数解．
（2）解不等式组．
20．（8分）小亮在做数学题时由于不小心，把不等式组污染了一部分（不等式组中的），他记得这个不等式组的解集是，且里是一个正整数．根据上述信息，你能求出里原来是一个什么数吗？
21．（10分）如图，在数轴上，点B在点A右侧，点A，B分别表示数，．

若，则点A，B间的距离是多少
求x的取值范围；
请确定表示数的点应落在点A左边 点B右边 还是线段AB上 说明理由．
22．（10分）若点的坐标满足方程组．
(1) 求点的坐标（用含的式子表示，）；
(2) 若点在第二象限，求的取值范围；
(3) 若点在第一象限，且，则满足条件的整数有几个？
23．（10分）感知：解不等式 ．根据两数相除，同号得正，异号得负，得不等式组 或不等式组 解不等式组 ，得 ；解不等式组 ，得 ，所以原不等式的解集为 或．
（1）探究：解不等式 ．
（2）应用：不等式 的解集是 ．
24．（12分）2024年成都世界园艺博览会于4月26日开幕，成都将向世界展示中华园艺文化的魅力和底蕴．某学校以此为契机，计划开展“遇见生态文明之美”研学活动．本次活动需租用客车，若单独租用30座客车若干辆，则刚好坐满；若单独租用45座客车，则可以少租4辆，且空余30个座位．已知每辆客车的租金情况如表所示：
车型 30座 45座
租金（元/辆） 300 400
求该校参加研学活动的人数；
该校计划租用以上两种车型的客车共10辆，当两种车型的客车分别租用多少辆时，总费用最少？
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试卷第1页，共3页
参考答案：
1．C
【分析】根据题意可得，求解即可．
【详解】解：根据题意，可得，
解得．
故选：C．
【点拨】本题主要考查了负数的概念以及解一元一次不等式，根据题意得出并求解是解题关键．
2．B
【分析】根据不等式的性质3得出a＜0，再得出选项即可．
【详解】解：由am＜an得出m＞n是不等式的两边都除以a，并且不等号的方向改变了，
所以a＜0，
∴只有选项B中的-7＜0，选项A、选项C、选项D中的数都大于0，
即选项B符合题意，选项A、选项C、选项D都不符合题意，
故选：B．
【点拨】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
3．B
【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，先根据不等式的性质：先移项，然后合并同类项即可解得不等式，进而在数轴上表示解集，即可求解．
【详解】解：
∴
∴
解得：
在数轴上表示如图
故选：B．
4．C
【分析】设污染的部分为，根据不等式的解集为，进行求解即可．
【详解】解：设污染的部分为，则不等式为，
解得：，
∵不等式的解集为，
∴，
解得：；
∴污染部分的内容为；
故选C．
【点拨】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤，正确的计算，是解题的关键．
5．C
【分析】利用解不等式组的方法判断即可．
【详解】解：A、不等式组的解集为，不等式组有解，故不符合题意；
B、不等式组的解集为，不等式组有解，故不符合题意；
C、不等式组无解，故符合题意；
D、不等式组的解集为，不等式组有解，故不符合题意，
故选：C．
【点拨】此题考查了不等式组的解集，解题的关键掌握解不等式组的方法，同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小无解，以及画数轴确定．
6．B
【分析】解一元一次不等式组，先求出不等式组中每一个不等式的解集，再利用口诀求出这些解集的公共部分：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了（无解），最后求出整数解．
【详解】解：由可得：
，
解不等式组得：，
整数解有1，2，3，4，5，6，7共7个．
故选：B．
【点拨】此题主要考查了一元一次不等式组的解法，其中正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．
7．A
【分析】先解不等式，得，根据同小取小即可得到不等式的解集．
【详解】解：解不等式，得，
又，
∴当时，不等式组的解集是，
故选：A．
【点拨】此题考查了解一元一次不等式，求不等式组的解集，正确理解一元一次不等式解集的确定方法：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了，是解题的关键．
8．C
【分析】根据x取非负数或负数两种情况来解不等式，因此得到两种结果．
【详解】当x为非负数时，不等式组的解为
当x为负数时，∵
∴
∴
∴
故选C
【点拨】本题考查含绝对值不等式组的求解，掌握x取值的两种情况是本题解题关键．
9．C
【分析】根据解一元一次不等式的方法求解后即可得出结论．
【详解】解：A. ，两边都除以－2，得，解集不符合要求，故此选项不符合题意；
B. ，两边都除以2，得，不等号的方向未改变，故此选项不符合题意；
C. ，两边都除以－2，得，故此选项符合题意；
D. ，两边都除以－2，得，解集不符合要求，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键．
10．C
【分析】根据规律确定第n个等式：2（n+1）（2n+4）-2n（2n+2）=2（n+1）×4，根据第n个等式的右边的值大于180，列不等式可得结论．
【详解】解：第1个式子：4×6-2×4=4×4；
第2个式子：6×8-4×6=6×4；
第3个式子：8×10-6×8=8×4；
…
∴第n个等式：2（n+1）（2n+4）-2n（2n+2）=2（n+1）×4；
∵第n个等式的右边的值大于180，
即2（n+1）×4＞180，
n＞21.5，
∴n的最小值是22．
故选：C．
【点拨】本题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键，注意n的值为正整数，在解得n＞21.5时，要注意向上取整．
11．或/或
【分析】此题考查了不等式，根据不等式的意义进行解答即可．
【详解】解：或的否定形式是或．
故答案为：或
12．
【分析】由平面直角坐标系中第四象限点的坐标特征得到，继而解关于x的一元一次不等式即可解答．
【详解】解：由题意得，
故答案为：．
【点拨】本题考查平面直角坐标系点的坐标特征、解一元一次不等式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
13．
【分析】根据不等式的解集即可确定a的取值范围．
【详解】解：如图，
∵解集中只有正整数解1，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题考查了不等式的整数解，关键是掌握不等式的性质．
14．/
【分析】根据题意得到不等式，解不等式得到x的范围，再根据绝对值的性质即可求解．
【详解】解：依题意有：，
解得，
则，
则．
故答案为：．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式，绝对值，关键是得到x的范围．
15．
【分析】先解出不等式的解集，找出整数解，得出值，将值代入方程算出结果．
【详解】解：，
由不等式①得，
由不等式②得，
不等式组的解集是，其中整数解为，，0,1，整数解的和为，
，
将代入得，
解得：，
故答案是：．
【点拨】本题考查了一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，其中找到整数解并求和是解题的关键．
16．
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，以及求代数式的值，熟练掌握程序图的计算规则和步骤，利用不等式组的解集求出x的取值范围是解题的关键．根据题意，先计算第一次，得到的结果为，然后再计算第二次的结果为，列出不等式组，从而求出x的取值范围．
【详解】解：根据题意，
第一次计算得：；
第二次计算得：；
∵如果程序操作进行了二次才停止，则有
解得：，
∴的取值范围是；
故答案为：．
17．
【分析】由坐标知，，构建不等式，求解即得答案．
【详解】解：由题意知，点P在第一象限，，则
，
∴
∴．
故答案为：．
【点拨】本题考查直角坐标系，一元一次不等式的应用；根据题意构建不等式求解是解题的关键．
18．
【分析】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，根据不等式组的整数解得出关于a的不等式组是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再根据“大取大小取小、大小小大中间找、大大小小无解了”确定不等式组的解集，再结合不等式组的整数解的个数得出关于a的不等式组，解之可得答案．
【详解】解：，
解不等式①得：，
∴，
解不等式②得：，
∵不等式组有2个整数解，
∴不等式组的解集为，从而得到不等式组的整数解为4、3、2，则，
∴，
故答案为：．
19．（1）1，2，3；（2）无解
【分析】本题主要考查了解不等式和不等式组，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）先去分母，再去括号，然后移项，合并同类项，最后系数化为1即可；
（2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【详解】解：（1）
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为 1，得．
原不等式的正整数解为1，2，3．
（2）
解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组无解．
20．1
【分析】求出该不等式组中两个不等式的解，根据该不等式组的解集为可得，再根据里是一个正整数即可求得．
【详解】解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
该不等式组的解集为，
∴，
∴，
∴，
∵里是一个正整数，
∴，
故原来的数字是1．
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是根据不等式组的解集求得．
21．(1)点A、B间的距离是；
(2)；
(3)表示数的点落在线段上．
【分析】本题考查代数式求值，一元一次不等式的应用．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及数轴上的数从左到右依次增大，是解题的关键．
（1）将代入，求出代表的数，再根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据点B在点A右侧，列出不等式进行求解即可；
（2）求出的范围，进行判断即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴代表的数为，
∴点A、B间的距离是；
（2）解：由题意，得：，
解得：；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴表示数的点落在线段上．
22．(1)
(2)
(3)2个
【分析】（1）运用加减消元法解此方程组；
（2）由题意构造不等式组并求解；
（3）由题意构造不等式组并求解，并确定出符合条件的的值．
【详解】（1）解：，
得，，
解得，
把代入得，，
解得，
该方程组的解为，
点的坐标为；
（2）解：由题意得不等式组，
解得，
的取值范围；
（3）解：由题意得不等式组，
解得，
满足条件的整数有，，
即满足条件的整数有个．
【点拨】此题考查了含字母参数的方程组与不等式组综合问题的解决能力，关键是能对以上题目正确求解，并确定出符合条件的字母参数的值．
23．（1）-1＜x＜2;（2）-5≤x≤3
【分析】（1）先把不等式转化为两个不等式组或，然后通过解不等式组来求分式不等式；
（2）根据题意先把不等式转化为两个不等式组或，然后通过解不等式组来求不等式．
【详解】（1）根据题意原不等式可化为不等式组
①或②{
解不等式组①，无解.
解不等式组②，得： 1所以原不等式的解集为 1（2）应用：原不等式可化为不等式组：
①或②，
解不等式组①得：不等式组无解，
解不等式组②得： 5 x 3.
故答案为 5 x 3.
【点拨】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是读懂题目中举的例子，根据举例即可解答本题.
24．(1)该校参加研学活动的人数是人
(2)当租用30座客车2辆，45座客车8辆总费用最少
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，
（1）设单独租用30座客车辆，根据单独租用45座客车，则可以少租4辆，且余30个座位列出方程求解即可；
（2）设租用30座客车辆，则租用45座客车辆，根据两种客车的座位要大于等于人数列出不等式求出，再根据为正整数确定对应的方案并计算出每个方案的花费并比较即可得到答案．
【详解】（1）解：设单独租用30座客车辆，
根据题意，得．
解得．
．
答：该校参加研学活动的人数是人．
（2）解：设租用30座客车辆，则租用45座客车辆，
根据题意，得．
解得．
取正整数，
或2．
当时，，租金为；
当时，，租金为．
最省钱的租车方案是租用30座客车2辆，45座客车8辆．
答：当租用30座客车2辆，45座客车8辆总费用最少．

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